河南省洛陽市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

洛陽市2022－2023學(xué)年高一質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷本試卷共4頁，共150分.考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考號填寫在答題卡上.2．考試結(jié)束，將答題卡交回.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)的模等于（）A.5 B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求出即可.【詳解】因?yàn)椋詫?yīng)復(fù)數(shù)為，其模為.故選：B.2.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先化簡集合B，再利用集合的交集運(yùn)算求解.【詳解】解：由，得，則，所以，又集合，所以故選：D3.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用二倍角正弦公式計(jì)算求解即可.【詳解】由二倍角正弦公式可得，故選：A4.已知m，n為兩條不同的直線，α，β為兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是（）A若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間線面位置關(guān)系依次判斷各選項(xiàng)即可得答案.【詳解】對于選項(xiàng)A，若，，，，由面面平行判定定理知，得不出，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B，若，則直線與平面，可平行、相交或在平面內(nèi)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C，因?yàn)椋灾本€的方向向量互相垂直，又，則，故選項(xiàng)C正確；對于選項(xiàng)D，若，，，則或異面，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：C.5.從A班隨機(jī)抽一名學(xué)生是女生的概率是，從B班隨機(jī)抽一名學(xué)生是女生的概率是，現(xiàn)從兩個(gè)班各隨機(jī)抽一名學(xué)生，那么兩名學(xué)生不全是女生的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分從A班選一名女生從B班選一名男生，從A班選一名男生從B班選一名女生和從A班選一名男生從B班選一名男生求解.【詳解】解：從A班選一名女生從B班選一名男生的概率為：；從A班選一名男生從B班選一名女生的概率為：；從A班選一名男生從B班選一名男生的概率為：，所以兩名學(xué)生不全是女生的概率是，故選：A6.已知是偶函數(shù)，則a=（）A.2 B.1 C.－1 D.－2【答案】A【解析】【分析】由偶函數(shù)的定義可得.【詳解】根據(jù)偶函數(shù)的定義：即，得，即，可得，即，故選：A7.如圖，二面角為，點(diǎn)，在棱l上的射影分別是，，若，則AB長度為（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算律可得.【詳解】由題意：，，，的夾角為，所以，,，，所以故選：D8.已知單位圓O是△ABC的外接圓，若，則的最大值為（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】利用圓的性質(zhì)，得到，將轉(zhuǎn)換為，進(jìn)而找到最大值.【詳解】如圖所示：因?yàn)閱挝粓AO是△ABC的外接圓，，所以，且，，故當(dāng)共線反向時(shí)，取到最大值1，故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.某廠7月生產(chǎn)A型、B型產(chǎn)品共900件，其中A型400件．按型號進(jìn)行分層，用分層隨機(jī)抽樣的方法，從7月產(chǎn)品中抽取一個(gè)容量為45的樣本，如果樣本按比例分配，下列說法中正確的有（）A.應(yīng)抽取的A型產(chǎn)品件數(shù)為20B.應(yīng)抽取的B型產(chǎn)品件數(shù)為25C.應(yīng)抽取的A型產(chǎn)品件數(shù)為25D.應(yīng)抽取的B型產(chǎn)品件數(shù)為20【答案】AB【解析】【分析】利用分層抽樣的方法求解.【詳解】解：應(yīng)抽取的A型產(chǎn)品件數(shù)為，應(yīng)抽取的B型產(chǎn)品件數(shù)為，故選：AB10.已知函數(shù)，下列說法正確的是（）A.的圖象的一條對稱軸為直線B.在上單調(diào)遞增C.的圖象可由函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位得到D.函數(shù)是奇函數(shù)【答案】AC【解析】【分析】驗(yàn)證是否等于可判斷A；根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性判斷B；根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換及誘導(dǎo)公式判斷C；根據(jù)誘導(dǎo)公式及函數(shù)的奇偶性判斷D.【詳解】對于A，,所以的圖象的一條對稱軸為直線，故A正確；對于B，時(shí)，，因?yàn)?，所以在上不單調(diào)，故B錯(cuò)誤；對于C，函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位得到,所以的圖象可由函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位得到，故C正確；對于D，，為偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選:AC.11.在棱長為1的正方體中，M，N分別是，的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.∥平面B.平面截正方體所得截面為等腰梯形C.D.異面直線MN與所成角的正弦值為【答案】ABD【解析】【分析】對于A，連接，則由三角形中位線定理結(jié)合正方體的性質(zhì)可得∥，然后利用線面平行的判定可得結(jié)論；對于B，連接，可得四邊形為等腰梯形，對于C，由∥，則與所成的角為，連接后分析判斷，對于D，異面直線MN與所成角為，然后在中求解即可.【詳解】對于A，連接，因?yàn)镸，N分別是，的中點(diǎn)，所以∥，因?yàn)樵谡襟w中，∥，所以∥，因?yàn)槠矫?，平面，所以∥平面，所以A正確，對于B，連接，由選項(xiàng)A，知∥，所以平面截正方體所得截面為平面，因?yàn)镸，N分別是，的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以≌，所以，因?yàn)椤危?，所以四邊形為等腰梯形，所以B正確，對于C，連接，因?yàn)椤危耘c所成的角為，因在正方體中，，所以為正三角形，所以，所以與不垂直，所以C錯(cuò)誤，對于D，因?yàn)椤?，所以異面直線MN與所成角為，因?yàn)槠矫?，平面，所以在中，，則，所以，所以D正確，故選：ABD12.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，且滿足，，當(dāng)時(shí)，．則下列說法正確的是（）A.B.為偶函數(shù)C.當(dāng)時(shí)，的取值范圍為D.函數(shù)與圖象僅有個(gè)不同的交點(diǎn)【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，確定函數(shù)的對稱性、周期性，判斷A，B，C；作出函數(shù)、的部分圖象判斷D作答.【詳解】依題意，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的定義域?yàn)?，由，可知的圖象關(guān)于對稱，由，則，的圖象關(guān)于對稱，又，因此有，即，于是有，從而得函數(shù)的周期，又，令可得，所以，對于A，，故A不正確；對于B，，所以函數(shù)為偶函數(shù)，B正確；對于C，當(dāng)時(shí)，，有，則，當(dāng)時(shí)，，，，所以，所以當(dāng)時(shí)，的取值范圍為，C正確；對于D，在同一坐標(biāo)平面內(nèi)作出函數(shù)、的部分圖象，如圖：方程的實(shí)根，即是函數(shù)與的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，觀察圖象知，函數(shù)與的圖象有個(gè)交點(diǎn)，因此方程僅有個(gè)不同實(shí)數(shù)解，D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圖象法判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出函數(shù)的圖象，觀察與軸公共點(diǎn)個(gè)數(shù)或者將函數(shù)變形為易于作圖的兩個(gè)函數(shù)，作出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，觀察它們的公共點(diǎn)個(gè)數(shù).三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.______．【答案】5【解析】【分析】利用分?jǐn)?shù)指冪的運(yùn)算性質(zhì)求解即可【詳解】，故答案為：514.從1，2，3，4，5，6中任取兩個(gè)不同的數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)的積為奇數(shù)的概率為______．【答案】##0.2【解析】【分析】將所有可能結(jié)果和符合題意結(jié)果一一列出，根據(jù)古典概率公式即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)取的兩個(gè)數(shù)為，則所有可能結(jié)果為：，，共15種情況，這兩個(gè)數(shù)的積為奇數(shù)有：，共3種情況，則這兩個(gè)數(shù)的積為奇數(shù)的概率為，故答案為：.15.已知實(shí)數(shù)M，N滿足，則的最小值是______．【答案】4【解析】【分析】由已知可得，再解一元二次不等式可得答案.【詳解】因?yàn)閷?shí)數(shù)a，b滿足，所以，且，即，可得，當(dāng)且僅當(dāng)取得最小值.故答案為：.16.如圖，在三棱錐中，平面，，，若三棱錐外接球的表面積為，則三棱錐體積的最大值為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)三棱錐外接球的表面積為可得：外接球半徑，設(shè)外接圓半徑為，根據(jù)外接球和三棱錐的位置關(guān)系可得：，由，代入可得，由正弦定理即得：，再利用余弦定理結(jié)合基本不等式即可得解.【詳解】如圖所示：設(shè)三棱錐的外接球球心為，半徑為，外接圓半徑為，圓心為M，連接，AO，AM，則，解得，在，，故：，故，又，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，三棱錐的體積.【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐的外接球問題，同時(shí)考查了利用正、余弦定理解三角形，還考查了利用基本不等式求最值，考查了空間想象及計(jì)算能力，屬于難題.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程及演算步驟．17.已知復(fù)數(shù)，且為純虛數(shù)．（1）求b；（2）設(shè)復(fù)數(shù)滿足，且復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）將代入化簡，再由其為純虛數(shù)可求出；（2）由求出，再由復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，列不等式組可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．【小問1詳解】，∵是純虛數(shù)，∴∴．【小問2詳解】復(fù)數(shù)，∵復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，∴解得：．∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為．18.已知向量，，滿足：．（1）若，求向量在向量方向上的投影向量；（2）求的最小值．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)投影向量的計(jì)算公式求解即可；（2）根據(jù)及二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【小問1詳解】向量在向量方向上的投影向量為.小問2詳解】,當(dāng)時(shí)，，即.19.在中，角、、的對邊分別為、、．已知．（1）求；（2）若角的平分線與交于點(diǎn)，且，，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理化簡可求得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；（2）由結(jié)合三角形的面積公式可得出關(guān)于的等式，解出的值，再結(jié)合三角形的面積公式可求得的面積.【小問1詳解】解：因?yàn)椋?，，整理可得，即，因?yàn)?，則，由余弦定理可得，因?yàn)?，?【小問2詳解】解：由，即，即，解得，所以，的面積為.20.某單位組織一場黨史知識競賽活動(dòng)，隨機(jī)抽取100名員工的成績作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示頻率分布表：分組頻率0.050.150.250.30.20.05（1）求樣本成績的第80百分位數(shù)；（2）試?yán)帽砀裰袛?shù)據(jù)估算這次黨史知識競賽的平均成績；（3）已知樣本中成績落在區(qū)間內(nèi)的員工男女比例為，現(xiàn)從該樣本中分?jǐn)?shù)在的員工中隨機(jī)抽出2人，求至少有1人是女員工的概率．【答案】（1）82.5（2）71分（3）【解析】【分析】（1）先計(jì)算樣本中成績的第80百分位數(shù)在哪一組，進(jìn)而求解即可；（2）根據(jù)平均數(shù)的公式估計(jì)即可求解；（3）先計(jì)算這次黨史競賽成績落在區(qū)間內(nèi)的員工人數(shù)，進(jìn)而隨機(jī)抽出2人，列舉樣本空間，進(jìn)而利用古典概型的概率公式求解即可.【小問1詳解】樣本中成績在的頻率為，樣本中成績在的頻率為，所以樣本中成績的第80百分位數(shù)在，所以樣本中成績的第80百分位數(shù)為：.【小問2詳解】樣本平均值為：（分），估計(jì)這次黨史知識競賽的平均成績?yōu)?1分．【小問3詳解】這次黨史競賽成績落在區(qū)間內(nèi)的員工有名，男員工3人，女員工2人，記“至少有一個(gè)女員工被選中”為事件A，記這5人為1，2，3，4，5號，其中女員工為1，2號，則樣本空間：，其中，所以至少有1人是女員工的概率為.21.如圖，在三棱柱中，，，．（1）證明：；（2）求與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）．【解析】【分析】（1）取BC中點(diǎn)為N，利用線面垂直的判斷定理可得平面，性質(zhì)定理可得，再由可得答案；（2）利用可得，BC⊥平面得，由線面垂直的判斷定理可得平面，得為與平面所成的角，在直角中計(jì)算可得答案．【小問1詳解】取BC中點(diǎn)為N，連接，∵，∴，又∵，∴，∵，平面，∴平面，∵平面，∴，又∵，∴；【小問2詳解】∵，∴，∴，∴，由（1）BC⊥平面，平面，所以，∵，平面，∴平面，∴為在平面內(nèi)的射影，∴為與平面所成的角，在直角中，，∴，即與平面所成角的正弦值為．22.已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）設(shè)，是g（x）的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由可得，然后令，則，再分或，和討論即可；（2）函數(shù)g（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，，令，則轉(zhuǎn)化為，為方程的兩根，然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得，再利用余弦函數(shù)的單調(diào)性可證得結(jié)論.【小問1詳解】解：．由可得，令，由可得，故．當(dāng)或，即或時(shí)，無解，所以g（x）不存在