2022-2023學年山西省大同市陽高重點中學高一（下）期末數(shù)學試卷

2022-2023學年山西省大同市陽高重點中學高一（下）期末數(shù)學

試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.復數(shù)上的虛部是（）

A.gB.一；C.；iD.-

2.設向量蒼=(2,1),b=(3,m)，alb，則zn=()

A.-6B.-IC.-iD.。

262

3.如圖，在正方體力8?！辏┮?8?。1中，點E，F(xiàn)分別為棱AB和4公上的

中點，則異面直線EF與BD所成角的大小為（）

A.90°

B.60°

C.45°

D.30°

4.已知某圓錐的高為3,底面半徑為，至，則該圓錐的側(cè)面積為（）

A.yTZ2nB.2yT22nC.2兀D.67r

5.記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若。=J%，A=1,8=冷則c=（）

A.3AT3B.3C.2V-3D.2

6.如圖，邊長為2的正方形AB'C'D'是用斜二測畫法得到的四邊

形48C。的直觀圖，則四邊形ABCD的面積為（）

A.3<7

B.6<7

C.4C

D.8。

7.某次數(shù)學競賽中有甲、乙、丙三個方陣，其人數(shù)之比為2：3：5.現(xiàn)用比例分配的分層隨

機抽樣方法抽取一個容量為50的樣本，其中方陣乙被抽取的人數(shù)為（）

A.10B.15C.20D.25

8.《易經(jīng)》是中國文化中的精髓，如圖是易經(jīng)八卦圖（含乾、

坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦），每一卦由三根線組成

表示一根陽線，.■表示一根陰線），從八卦中任取兩卦‘火

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）

9.下列命題不正確的是（）

A.三點確定一個平面B.兩條相交直線確定一個平面

C.一條直線和一點確定一個平面D.兩條平行直線確定一個平面

10.下列關于直線，，點4B與平面a的關系推理正確的是（）

A..Ael,A&a,B€l,B6a=/ua

B.A&a,A&p,Bea,BC夕=an/?=ZB

C.Ia,AelnACa

D.A&I,/ua=4ea

11.某校為更好地支持學生個性發(fā)展，開設了學科拓展類、創(chuàng)新素質(zhì)類、興趣愛好類三種類

型的校本課程，每位同學從中選擇一門課程學習.現(xiàn)對該校6000名學生的選課情況進行了統(tǒng)計,

如圖①，并用分層抽樣的方法從中抽取2%的學生對所選課程進行了滿意率調(diào)查，如圖②.

f滿意率％

興趣愛

類35%

學科拓創(chuàng)新素興趣愛校本課程

展類質(zhì)類好類

②

則下列說法正確的是（）

A.抽取的樣本容量為6000

B.該校學生中對興趣愛好類課程滿意的人數(shù)約為1050

C.若抽取的學生中對創(chuàng)新素質(zhì)類課程滿意的人數(shù)為36,則a=70

D.該校學生中選擇學科拓展類課程的人數(shù)為1500

12.下列四個命題中錯誤的是()

A.若事件4B相互獨立,則滿足P(AB)=P(A)P(B)

B.若事件4,B,C兩兩獨立，則P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

C.若事件4B,C彼此互斥，則P(4)+P(B)+P(C)=1

D.若事件4B滿足P(4)+P(B)=1,則4B是對立事件

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.一組數(shù)1、2、4、5、6、6、7、8、9的75%分位數(shù)為.

14.已知事件4B互斥，且事件4發(fā)生的概率P(4)=%事件B發(fā)生的P(B)=：,則事件4

8都不發(fā)生的概率是.

15.已知輪船4在燈塔B的北偏東45。方向上，輪船C在燈塔B的南偏西15。方向上，且輪船4

C與燈塔B之間的距離分別是10千米和10/甘千米，則輪船4C之間的距離是.

16.如圖，三棱錐P-4BC的底面4BC的斜二測直觀圖為△Y'

C/

A'B'C,已知PB1底面ABC,PB=y/~5,A'D'=D'C,A'O'=/\/

0缶'=。'。'=1,則三棱錐P-4BC外接球的體積V=.Yp'

B'/O'_?

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

若心b,，是同一平面內(nèi)的三個向量，其中五=(3,—1).

(1)若=2V10,且益〃房求，的坐標;

(2)若向=3且五+2沾23-1垂直，求江與石的夾角仇

18.(本小題12.0分)

如圖，四棱錐P—4BCD的底面4BCD為菱形，PB=PD,E,F分別為4B和PD的中點.

(1)求證：EF//^PBC-,

(2)求證：平面PBD1平面P4C.

p

19.(本小題12.0分)

郴州市某高中學校在2021年的自主招生考試成績中隨機抽取40名學生的筆試成績，按成績共

分成五組：第1組［75,80),第2組［80,85),第3組［85,90),第4組［90,95),第5組［95,100),得

到的頻率分布直方圖如圖所示，同時規(guī)定成績在85分以上的學生為“優(yōu)秀”，成績小于85分

的學生為“良好”，且只有成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的學生才能獲得面試資格.

▲掙率

0.07'^--,~

0.()6-----------------------------

().05■

0.()4-------------------------------------

0.03-

0.02---------------------------------------------

0.01--1-------

7580859095100分數(shù)

(I)根據(jù)樣本頻率分布直方圖估計樣本的中位數(shù)與平均數(shù)；

(H)如果用分層抽樣的方法從“優(yōu)秀”和“良好”的學生中共選出5人，再從這5人中選2人,

那么至少有一人是“優(yōu)秀”的概率是多少？

20.(本小題12.0分)

如圖，四棱錐P—2BCC中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面4BCD,AB=BC=1AD,

/.BAD=/.ABC=90°,E為4。的中點.

(1)證明：PE1AB；

(2)若4PAD面積為，與，求點。到面PAC的距離.

21.(本小題12.0分)

甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一球.甲先投且先投中者獲勝，約定有人獲勝或每人都已

投球3次時投籃結(jié)束.設甲每次投籃投中的概率為土乙每次投籃投中的概率為:，且各次投籃

互不影響.

(1)求甲獲勝的概率；

(2)求投籃結(jié)束時乙只投了2個球的概率.

22.(本小題12.0分)

已知△ABC的角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且-sinC=(sinB-sinC).

(1)求角4

(2)從兩個條件：①a=3；②△ABC的面積為中任選一個作為已知條件，求AABC周長

的取值范圍.

答案和解析

1.【答案】B

1_IT_11.

【解析】解:1

1+i-(l+O(l-i)-22

.??復數(shù)+的虛部是T

故選:B.

直接利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案.

本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復數(shù)的基本概念，是基礎題.

2.【答案】A

【解析】解：d=(2,1),b=(3,m)，alb，

???2x3+lxm=0,解得nt——6.

故選：A.

根據(jù)已知條件，結(jié)合向量垂直的性質(zhì)，即可求解.

本題主要考查向量垂直的性質(zhì)，屬于基礎題.

3.【答案】B

【解析】解：由題意得故異面直線EF與BD所成角即為NDB4,

而^DB4是等邊三角形，故NOB&=60°.

故選：B.

由異面直線所成角的概念求解.

本題考查了異面直線所成角的計算，屬于基礎題.

4.【答案】A

【解析】解：某圓錐的高為3,底面半徑為。，

則該圓錐的側(cè)面積為：

S=兀xV_2xV32+2=V227r.

故選：A.

利用圓錐側(cè)面積公式直接求解.

本題考查圓錐的結(jié)構(gòu)特征、圓錐側(cè)面積公式等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.

5.【答案】B

【解析】解：由題意得。="冶，

所以由肅=焉，得0=鬻=3，

故選:B.

利用正弦定理求解.

本題考查了正弦定理的應用，屬于基礎題.

6.【答案】D

【解析】解：因為直觀圖的面積為S'=22=4,

所以原四邊形4BCD的面積為S=2，^S'=2/7X4=8，N.

故選：D.

根據(jù)直觀圖的面積與原圖形的面積比為1：2，N,計算即可.

本題考查了平面直觀圖的面積計算問題，是基礎題.

7.【答案】B

【解析】解：現(xiàn)用比例分配的分層隨機抽樣方法抽取一個容量為50的樣本，其中方陣乙被抽取的

人數(shù)為50xa為=15.

故選：B.

根據(jù)已知條件，結(jié)合分層抽樣的定義，即可求解.

本題主要考查分層抽樣的定義，屬于基礎題.

8.【答案】B

【解析】解：由圖可知有0根陽線的有一卦，1根陽線的有三卦，2根陽線的有三卦，3根陽線的有

一卦，

記1根陽線的分別為a、b、c,2根陽線的分別為4B,C,3根陽線的為3,

從八卦中任取兩卦，一共有竽=28種，

其中滿足陽線之和為4的有(a,3),(43),(c,3),(4B),(4,C),共6種,

故兩卦中陽線之和為4的概率P=白=也

2814

故選：B.

首先得到0根陽線的有一卦，1根陽線的有三卦，2根陽線的有三卦，3根陽線的有一卦，再求出基

本事件總數(shù)，與滿足條件的事件數(shù)，再利用古典概型的概率公式計算可得.

本題主要考查古典概型的問題，熟記概率的計算公式即可，屬于?？碱}型.

9.【答案】AC

【解析】解：由公理三及其推論知：

不共線的三點確定一個平面；

兩條平行線確定一個平面；

一條直線與這條直線外一點確定一個平面；

兩條相交直線確定一個平面.

故四個選項中4C不正確，

故選：AC.

利用公理三及其推論進行判斷.

本題考查確定一個平面的條件的應用，是基礎題.解題時要認真審題，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理

運用.

10.【答案】ABD

【解析】解：對于4：由于B&l,則

由于4ea,Bea,貝iJZBua,故/ua,故A正確；

對于8：由于A6a,BGa,則ABua,由于460,Be/7,貝ijABu/7,即an￡=4B,故8正

確；

對于C：當直線1和平面a相交，且只有一個交點，即點4故Aea,故C錯誤；

對于Ael,lua=46a,故。正確；

故選：ABD.

直接利用點、直線、平面的定義和性質(zhì)的應用判定4、B、C、。的結(jié)論.

本題考查的知識要點：點和直線及平面的關系，主要考查學生對基礎知識的理解和應用，屬于基

礎題.

11.【答案】BD

【解析】解：抽取的樣本容量為6000x2%=120,故A錯誤；

該校學生中對興趣愛好類課程滿意的人數(shù)約為6000x35%x50%=1050,故8正確；

根據(jù)題意，創(chuàng)新素質(zhì)類課程的滿意率為―羽v=75%,a=75,故C錯誤；

OUUUX4U7oXZvb

該校學生中選擇學科拓展類課程的人數(shù)為6000x25%=1500,故。正確.

故選：BD.

根據(jù)分層抽樣的比例可確定樣本容量，從而判斷選項4根據(jù)餅狀圖和柱狀圖即可判斷BCD.

本題考查根據(jù)統(tǒng)計圖表獲取信息，屬于基礎題.

12.【答案】BCD

【解析】解：若事件48相互獨立，則滿足P(48)=P(4)P(8),4說法正確；

舉例說明：投擲兩個骰子，記事件4第一個骰子的點數(shù)為奇數(shù)，

事件B：第二個骰子點數(shù)為奇數(shù)，

事件C：兩個骰子的點數(shù)之和為奇數(shù)，

于是有PQ4)=P(B)=P(C)=5，P(AB)=P(BC)=PQ4C)=P(ABC)=0,可以看出事件4

B,C兩兩獨立，但4B,C不互相獨立，所以P(48C)KP(4)P(B)P(C),B說法錯誤；

舉例說明：投擲一個骰子三次，記事件4第一次骰子的點數(shù)為1,

事件B：第二次骰子點數(shù)為2,

事件C：第三次骰子點數(shù)為3,

則PQ4)=P(B)=P(C)=j

事件4B,C彼此互斥,則P(4)+P(B)+P(C)力1,C說法錯誤；

舉例說明：記事件4投擲一個骰子，骰子的點數(shù)為奇數(shù)，

事件B：投擲一枚硬幣，正面朝上，

則P(4)=P(B)=g,滿足「(4)+「(8)=1,但48不是對立事件，

。說法錯誤.

故選：BCD.

4選項，事件A，B相互獨立，則滿足P(AB)=PQ4)P(B)；BCD可舉出反例，說法錯誤.

本題考查了相互獨立事件、互斥事件、對立事件概率相關知識，屬于基礎題.

13.【答案】7

【解析】解：9x75%=6.75,

所以75%分位數(shù)為第7個數(shù)，

故答案為：7.

由百分位數(shù)的定義直接求解.

本題考查百分位數(shù)的概念，是基礎題.

14.【答案】蘇

【解析】解：???事件4B都不發(fā)生的對立事件是事件4與B至少有一個發(fā)生，

又?.?事件4、B互斥，且事件4發(fā)生的概率PQ4)=%事件B發(fā)生的P(8)=當，

???P(麗=1-P(4uB)=1-(；+》=系

故答案為：---

根據(jù)已知條件，結(jié)合互斥事件的概率加法公式，以及對立事件概率和為1,即可求解.

本題主要考查互斥事件的概率加法公式，以及對立事件概率和為1,屬于基礎題.

15.【答案】10-7千米

【解析】解：由題意可知Z4BC=135°+15°=150°,

在^ABC中,由余弦定理可得4c=VAB2+BC2-2ACxBCcos^ABC=

J100+300-2x10x10/^x=10y/~7-

故答案為：10，萬千米.

由題意可知4ABe的大小，再由余弦定理可得/C的值.

本題考查余弦定理的應用，屬于基礎題.

16.【答案】等兀

O

【解析】解：由題意得且O'D'=\B'C,所以由斜二測畫法得,在原圖△ABC中，N4BC=

^,AB=2,BC=4,

所以三棱錐P-4BC外接球的半徑,_JAB2+BC2+PB2_5,貝亞=引f3=等

I-Z-T3O

先由斜二測畫法得乙4BC=*再結(jié)合PBJ■底面ZBC求出外接球半徑，即可求解.

本題考查了三棱錐外接球的體積計算，屬于中檔題.

17.【答案】解：設,=(x,y),

va//c,a=(3,-1),

???x+3y=0①，

VIcI=2<TO,

尤2+y2=40(2),

聯(lián)立①②，解得憂目或修工6,

.?.c=(6,-2)^c=(-6,2).

(2)???/+2］與2五一1垂直,

???(a+2h)-(2a-6)=0.即2片+3五不一2才=0,

又I弓I=V10>Ib|=

???方?b=-5，

|a|-|K\cos0=ATIOxcos。=-5.

???cos9=—1,

又eG[0,n]f

：,e—Ti.

【解析】(1)設王=(與y),則由到"可得%+3y=0,再由|4=2710,得/+y2=4o,解方程

組可求出％,y,從而可求出的坐標；

(2)由五+2另與2五一3垂直，可得0+2石)?(21一區(qū))=0化簡可求得五不=一5,從而得cos。=-1,

進而可求出。

本題主要考查向量平行，垂直的性質(zhì)，以及向量的數(shù)量積公式，屬于中檔題.

18.【答案】證明：(1)取PC的中點G,

???F是PD的中點，

：.FG//CD,且FG=Q,

又???底面ABCD是菱形，E是力B中點，

-1

:.BE"CD,且BE=、CD,

???BE//FG,且BE=FG,

二四邊形BEFG是平行四邊形，

EF//BG,

又EFC平面P8C,BGu平面PBC,

???￡77/平面PBC；

(2)設4CnBD=0,則。是BD中點，

?.?底面力BCD是菱形，

???BD1AC,

又?；PB=PD,。是BD中點，

???BD1PO,

又ACCPO=O,ZCu平面PAC,POu平面PAC,

BD1平面PAC,

???BDu平面PBD,

.,?平面PBD1平面PAC.

【解析】⑴只需證明四邊形BEFG是平行四邊形，即可得到“〃BG,由此得證;

(2)只需證明8。J_平面P4C,再利用面面垂直的判定可得出結(jié)論.

本題考查線面平行及面面垂直的判定，考查邏輯推理能力，屬于基礎題.

19.【答案】解：(I)第一組的頻率為0.05,第二組的頻率為0.35,第三組的頻率為0.30,第四組

的頻率為0.20,第五組的頻率為0.10,

所以中位數(shù)在第三組，不妨設為X,貝-85)x0.06=0.5-0.05-0.35,解得x=85+在等，

平均數(shù)為77.5x0.05+82.5x0.35+87.5X0.3+92.5x0.2+97.5x0.1=87.25；

(II)根據(jù)題意，“良好”的學生有40x0.4=16人，“優(yōu)秀”的學生有40x0.6=24人，

所以，由分層抽樣得“良好”的學生有5x^=2人，“優(yōu)秀”的學生有5x年=3人，

將三名優(yōu)秀學生分別記為4B,C,兩名良好的學生分別記為a,b,

則這5人中選2人的基本事件有：AB,AC,BC,Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb,ab共10種，

其中至少有一人是“優(yōu)秀”的基本事件有：AB,AC,BC,Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb共9種，

所以至少有一人是“優(yōu)秀”的概率是P=養(yǎng)

【解析】(I)根據(jù)中位數(shù)和平均數(shù)的定義計算即可；

(H)用列舉法列出5人中選2人的基本事件和至少有一人是“優(yōu)秀”的基本事件，利用古典概型公

式計算即可.

本題考查頻率分布直方圖的應用，屬于基礎題.

20.【答案】證明：（1）四棱錐P—中，側(cè)面P4C為等邊三角形且垂直于底面4BCD,

在等邊三角形PAD中，E為4。的中點，所以PE14。，

???面PADJ■面ABCD,而PADC面4BCD=AD,PE1面4BCD,

vABu面力BCD,二PE1AB；

解：（2）???△PAD面積為C，;AD=2,PE=

1

??,AB=BC—乙BAD=4ABC=90°,:.AB=BC=1,

在△P4C中，PA=2fAC=PC=2,

所以S“〃c=；xACx?=：xCx?

1

S&ACD=2X4。XAB—1,

設點。到面P4C的距離為h,則=：xShACDxPE="xS^PACxh,

h=守，即點。至U面P4c的距離為紀巨.

77

【解析】(1)由平面PAD，平血NBCD,根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理證明PE，平面2BCD,由此證明PE1

4B；(2)根據(jù)錐體體積公式結(jié)合等體積法求點。到面P2C的距離.

本題考查了線線垂直的證明和點到平面的距離，屬于中檔題.

21.【答案】解：設4，Bk分別表示甲、乙在第k次投籃時投中，

則P(4)=g,P?)=：,(fc=1,2,3).

(1)記“甲獲勝”為事件C,

則P(C)=P(4)+PQ4/1AD+P(A1B1A2B2A3)=P(/Q+P(4)P(BI)P(42)+P(&)P(Bi)?

P(12)P血)P(%)=|+|x|x|+(|)2x?)2x|=§.

(2)記“投籃結(jié)束時乙只投了2個球”為事件D,

則P(0=pQiAK%)+P(Z瓦屋下甸=P0)P底)P(12)P(B2)+P0)P欣)?

2