第二章 一元二次函數(shù)、方程和不等式（壓軸題專練）（解析版）

第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式（壓軸題專練）一、單選題1．實數(shù)，，滿足且，則下列關(guān)系成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)等式可變形為，利用完全平方可得大小，由得，做差，配方法比較大小.【詳解】由可得，則，由可得，利用完全平方可得，，，綜上，故選：D【點睛】本題主要考查了做差法比較兩個數(shù)的大小，考查了推理與運算能力，屬于難題.2．已知，，且，則的最大值為（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】由已知條件可得，令，，可得，，，進(jìn)一步可得，最后利用基本不等式求出最大值即可.【詳解】，，配湊得：，兩邊同時除以4得：，即，令，，則，，，所以（當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立）.故選：C.【點睛】本題考查利用基本不等式求最值，考查邏輯思維能力和運算求解能力，考查轉(zhuǎn)化和劃歸思想，屬于難題.3．已知，滿足，則的最小值為（

）A． B．4 C． D．【答案】C【解析】由題意可得，結(jié)合目標(biāo)式即可構(gòu)造出，進(jìn)而利用基本不等式求的最小值【詳解】由知：，而，∴，則∴故選：C【點睛】本題考查了利用基本不等式求最值，由已知方程得到目標(biāo)式的等價形式，應(yīng)用等價代換構(gòu)造出基本不等式的形式求最值4．已知正實數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．10 B．11 C．13 D．21【答案】B【分析】利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出．【詳解】解：正實數(shù)滿足，則，，即：，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時取等號，所以的最小值為11.故選：B.【點睛】本題考查了“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)的應(yīng)用，同時考查轉(zhuǎn)化思想和計算能力．5．已知，則的最大值是（

）A． B． C．0 D．【答案】A【解析】利用均值不等式及三角換元法，即可得到結(jié)果.【詳解】令，等號在時取到．故選：A【點睛】本題考查利用基本不等式求最值問題，考查了三角換元法，考查邏輯推理能力與計算能力，屬于中檔題.6．設(shè)，則取得最小值時，的值為（

）A． B．2 C．4 D．【答案】A【解析】轉(zhuǎn)化條件為原式，結(jié)合基本不等式即可得解.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即，，時，等號成立.故選：A.【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.7．已知實數(shù)，關(guān)于的不等式的解集為，則實數(shù)a、b、、從小到大的排列是(

)A． B．C． D．【答案】A【分析】由題可知，再利用中間量，根據(jù)與之間的關(guān)系求出的取值范圍，即可判斷a、b、、之間的關(guān)系.【詳解】由題可得：，.由，，設(shè)，則.所以，所以，.又，所以，所以.故，.又，故.故選：A.8．若對任意實數(shù)，不等式恒成立，則實數(shù)a的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分離變量將問題轉(zhuǎn)化為對于任意實數(shù)恒成立，進(jìn)而求出的最大值，設(shè)及，然后通過基本不等式求得答案.【詳解】由題意可得，對于任意實數(shù)恒成立，則只需求的最大值即可，，設(shè)，則，再設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取得“=”.所以，即實數(shù)a的最小值為.故選：D.9．已知正實數(shù)，，若，，則的取值范圍是A． B．C． D．【答案】A【分析】可先對作變形處理，得，結(jié)合基本不等式進(jìn)行放縮，可得，再進(jìn)一步化簡求值即可【詳解】由，得，化簡得，解得，即的取值范圍為，故選A【點睛】本題考查根據(jù)不等式求解參數(shù)取值范圍問題，形如變形成這種式子，應(yīng)作為解題模型之一，強化應(yīng)試技巧10．若、、均大于0，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】注意,而,從而溝通了問題與已知的聯(lián)系,然后利用基本不等式求最值.【詳解】解：、、均大于0,當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”,的最大值為.故選:C【點睛】利用基本不等式求最值是高考考查的重點內(nèi)容,對不符合基本不等式形式的應(yīng)首先變形,然后必須滿足三個條件：一正、二定、三相等.11．設(shè)集合，，，，其中，下列說法正確的是A．對任意，是的子集，對任意，不是的子集B．對任意，是的子集，存在，使得是的子集C．對任意，使得不是的子集，對任意，不是的子集D．對任意，使得不是的子集，存在，使得不是的子集【答案】B【分析】運用集合的子集的概念，令，推導(dǎo)出，可得對任意，是的子集；再由，，求得，，即可判斷與的關(guān)系.【詳解】解對于集合，，可得當(dāng)即可得，即有，可得對任意，是的子集；當(dāng)時，，可得是的子集；當(dāng)時，，可得不是的子集；綜上可得，對任意，是的子集，存在，使得是的子集.故選：【點睛】本題考查集合間的關(guān)系，一元二次不等式的解法，屬于中檔題.12．若正數(shù)、滿足，設(shè)，則的最大值是A．12 B．-12 C．16 D．-16【答案】A【分析】根據(jù)則，將式子換元成關(guān)于的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值，值得注意的取值范圍.【詳解】解：、解得當(dāng)且僅當(dāng)時取得最大值故選：【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，重要不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.13．已知，，若時，關(guān)于的不等式恒成立，則的最小值為（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意設(shè)，，由一次函數(shù)以及不等式分析得時，，變形后代入，然后利用基本不等式求解.【詳解】設(shè)（），（），因為，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；由不等式恒成立，得：或，即當(dāng)時，恒成立，當(dāng)時，恒成立，所以當(dāng)時，，則，即，則當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最小值為.故選：B.二、多選題14．下列關(guān)于基本不等式的說法正確的是（

）A．若，則的最大值為B．函數(shù)的最小值為2C．已知，，，則的最小值為D．若正數(shù)x，y滿足，則的最小值是3【答案】AC【分析】根據(jù)均值不等式求最值，注意驗證等號成立的條件.【詳解】因為，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，故A正確；函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故B錯誤；因為，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故C正確；由可得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故D錯誤.故選：AC【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.15．已知，均為正實數(shù)，且，則（

）A．的最大值為 B．的最小值為C．的最小值為 D．的最小值為【答案】ACD【分析】對A，利用基本不等式即可解得；對B，將2換成，進(jìn)而利用基本不等式得到答案；對C，將原式化簡為，進(jìn)而根據(jù)代換，然后得到答案；對D，將原式變化為，進(jìn)而化簡，然后設(shè)，而后用進(jìn)行代換，最后用基本不等式得到答案.【詳解】因為，均為正實數(shù)，且，對A,，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，正確；對B，，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，錯誤；對C，，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，正確；對D，，設(shè)，則上式，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，正確；故選：ACD.16．已知關(guān)于x的不等式的解集是，其中，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】由一元二次不等式的解集可得判斷A、D，再將題設(shè)轉(zhuǎn)化為，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方法判斷B、C.【詳解】由題設(shè)，的解集為，∴，則，∴，，則A、D正確；原不等式可化為的解集為，而的零點分別為且開口向下，又，如下圖示，∴由圖知：，，故B錯誤，C正確.故選：ACD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：由根與系數(shù)關(guān)系得，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合思想判斷各選項的正誤.三、填空題17．設(shè),則的最大值為．【答案】【詳解】由兩邊同時加上得兩邊同時開方即得：（且當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”），從而有（當(dāng)且僅當(dāng),即時，“=”成立）故填：.考點：基本不等式.【名師點睛】本題考查應(yīng)用基本不等式求最值，先將基本不等式轉(zhuǎn)化為（a>0,b>0且當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”）再利用此不等式來求解.本題屬于中檔題，注意等號成立的條件.18．已知x＞0，y＞0，且，則的最大值為．【答案】-25【分析】，所以，即x+y=xy，且x＞1，y＞1，再結(jié)合基本不等式即可得到的最大值．【詳解】解：依題意，x＞0，y＞0，且，所以x＞1，y＞1，且，即x+y=xy，所以=+=-9-4-（+），因為＞0，＞0，所以=-13-（+）≤-13-2=-13-2=-13-12=-25．當(dāng)且僅當(dāng)x=，y=時等號成立．故答案為-25．【點睛】本題考查了基本不等式，考查學(xué)生的計算能力，正確運用基本不等式是關(guān)鍵．本題屬于難題．19．已知正數(shù)，滿足，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】將變形為，利用均值不等式求的最小值即可求解.【詳解】因為，所以，而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以，故知，故答案為：【點睛】本題主要考查了式子的變形化簡，均值不等式，“1”的技巧，屬于難題.20．若正數(shù)滿足，則的最小值是.【答案】【分析】由題得，設(shè)，得到，令，則，解不等式即得解.【詳解】由為正數(shù)，且所以，設(shè)，則有，上式轉(zhuǎn)化為，即，由基本不等式易得，所以，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等）令，則，上式轉(zhuǎn)化為，即，解得或（舍去），所以的最小值為.故答案為：【點睛】本題主要考查基本不等式及其應(yīng)用，考查一元二次不等式的解法，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.21．已知，，，則的最小值為．【答案】-1【分析】由已知可得（關(guān)鍵轉(zhuǎn)化），進(jìn)而利用基本不等式求解.【詳解】,當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，最小值為7，最小值為.故答案為：.【點睛】本題考查利用基本不等式求最值，關(guān)鍵在于化歸與轉(zhuǎn)化，屬較難試題.22．已知實數(shù)，滿足，，且，則的最小值為．【答案】5【分析】設(shè)，，則，可得，展開后利用基本不等式求解即可.【詳解】設(shè)，，則，且，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號．此時，有解．故答案為：5.【點睛】本題主要考查利用基本不等式求最值，屬于難題.利用基本不等式求最值時，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內(nèi)涵：一正是，首先要判斷參數(shù)是否為正；二定是，其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最?。?；三相等是，最后一定要驗證等號能否成立（主要注意兩點，一是相等時參數(shù)是否在定義域內(nèi)，二是多次用或時等號能否同時成立）.23．設(shè)，，是三個正實數(shù)，且，則的最大值為.【答案】3【分析】由得到，代入轉(zhuǎn)化為，令，，得到，利用基本不等式求解.【詳解】因為，所以，所以，令，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，所以所以的最大值為3故答案為：3【點睛】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運算求解的能力，屬于較難題.24．已知正實數(shù)滿足則的最小值為.【答案】【解析】根據(jù)，利用一元二次方程的解法結(jié)合,得到，進(jìn)而得到，利用基本不等式求解.【詳解】因為正實數(shù)滿足，所以，解得，因為，所以，所以當(dāng)且僅當(dāng)，取等號，所以的最小值為故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵是利用方程思想，由條件解得x，將問題轉(zhuǎn)化為解決.25．若對任意實數(shù)，則最小值是.【答案】8【解析】令，則，然后利用基本不等式可得到答案.【詳解】令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號.故答案為：8【點睛】方法點睛：在多次運用基本不等式求最值時，一定要檢驗等號成立的條件是否一致，不一致的話求出來的最值是取不到的.26．已知為正實數(shù)，則的取值范圍是.【答案】【解析】先將分式的分子分母同除以，然后采用換元的方法令，根據(jù)基本不等式的變形求解出原式的最小值，再根據(jù)分析原式的最大值，由此求解出原式的取值范圍.【詳解】因為，令，因為，所以，所以原式，又因為，所以，所以，所以原式，取等號時，即，又因為時，，綜上可知原式的取值范圍是，故答案為：.【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.27．若對，使得成立，則實數(shù)a的取值范圍是.【答案】【分析】構(gòu)造函數(shù)，，由已知可知，代入即可求解.【詳解】令函數(shù)，開口向上，對稱軸為，在時函數(shù)單調(diào)遞減；令函數(shù)，函數(shù)在R上單調(diào)遞增；由對，使得成立，即則需，即即，解得：所以實數(shù)a的取值范圍是故答案為：【點睛】結(jié)論點睛：本題考查不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：一般地，已知函數(shù)，（1）若，，總有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；28．已知實數(shù)，且滿足，則．【答案】【分析】先分析當(dāng)時，推出，不符合題意；再分析時，將已知條件變形為關(guān)于的一元二次方程，即，由已知該方程有解，可求出的值，代入求出的值，進(jìn)而求得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時，，又，，則，不符合題意；當(dāng)時，整理成關(guān)于的一元二次方程，即①判別式當(dāng)時，，要使方程有解，則不符合，，即，即又，將代入方程①得，，解得：故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查利用方程有解求參數(shù)，解題的關(guān)鍵是先分析不符合題意，再看時，將已知條件轉(zhuǎn)化成關(guān)于的一元二次方程，利用方程有解求參數(shù)，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸能力與運算求解能力，屬于較難題.四、雙空題29．已知正實數(shù)滿足，則的最大值為；的最小值為.【答案】1【分析】由已知可得，利用基本不等式可得解，第二空變形代數(shù)式結(jié)合運用“1”妙用的代換，再利用基本不等式求最值，即可得答案；【詳解】，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，的最大值為，，，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，的最小值為1.故答案為：；1.五、解答題30．解關(guān)于的不等式.【答案】答案不唯一，見解析【分析】先討論不等式是否為一元二次不等式,若為一元二次不等式，則解出其等式的兩個根,討論其開口方向與兩根的大小關(guān)系，即可得出結(jié)論.【詳解】解：（1）當(dāng)時，原不等式可化為，此時不等式的解集為；（2）時，方程的解為，.①當(dāng)時，因為，所以不等式的解集為；②當(dāng)時，因為，所以不等式的解集為；③當(dāng)時，因為，所以不等式的解集為；④當(dāng)時，因為，所以不等式的解集為.【點睛】本題考查含參不等式的解法.屬于中檔題.解含參不等式.首先需確定不等式的類型：一次、二次、分式、絕對值.確定類型后再利用相應(yīng)的解法求解.31．（1）關(guān)于x的不等式的解集為，求實數(shù)a的取值范圍；（2）解關(guān)于x的不等式；（3）設(shè)（1）中a的整數(shù)值構(gòu)成集合A，（2）中不等式的解集是B，若中有且只有三個元素，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）；（2）答案不唯一，具體見解析；（3）.【解析】（1）根據(jù)題意，分，和三種情況討論，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；（2）化簡不等式為，轉(zhuǎn)化為且，結(jié)合一元二次不等式的解法，分類討論，即可求解.（3）由（1）得，根據(jù)中有且只有三個元素，結(jié)合不等式的解集，分類討論，得出不等式組，即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時，不等式可化為無解，滿足題意；當(dāng)時，不等式化為，解得，不符合題意，舍去；當(dāng)時，要使得不等式的解集為，則滿足，解得，綜上可得，實數(shù)a的取值范圍是.（2）由不等式，可得，即且，當(dāng)時，不等式等價于，解得；當(dāng)時，由，不等式且的解集為，當(dāng)時，且，當(dāng)時，解集為，當(dāng)時，解集為，當(dāng)時，解集為，綜上，當(dāng)時，解集為，當(dāng)時，解集為，當(dāng)時，解集為，當(dāng)時，解集為，當(dāng)時，解集為.（3）由（1）得，當(dāng)中有且只有三個元素，顯然不可能，當(dāng)時，因為，不合題意，舍去，當(dāng)時，，因為中有且只有三個元素，所以，，解得，綜上，實數(shù)m的取值范圍是.【點睛】解含參數(shù)的一元二次不等式的步驟：（1）若二次項含有參數(shù)，應(yīng)先討論參數(shù)是等于0、小于0，還是大于0，然后整理不等式；（2）當(dāng)二次項系數(shù)不為0時，討論判別式與0的關(guān)系，判斷方程的根的個數(shù)；（3）確定無根時可直接寫出解集，確定方程有兩個根時，要討論兩根的大小關(guān)系，從而確定解集的形式.32．已知為一個數(shù)集，集合.（1）設(shè)，求集合的元素個數(shù)；（2）設(shè)，證明：若，則；（3）設(shè)，，且，，若，求的最小值.【答案】（1）8個；（2）證明見解析；（3）.【分析】（1）對的取值分類討論，即得集合的元素個數(shù)；（2）因為，設(shè)，再證明；（3）由題得，設(shè)，利用基本不等式和判別式法求最小值.【詳解】（1）時，；；；時，；時，；時，；時，；時，；時，；所以，它有8個元素；（2）因為，所以設(shè)，.所以得證.（3），設(shè)，∴，，設(shè)，整理得，由得，即.【點睛】本題主要考查集合的表示，考查集合和元素的關(guān)系，考查基本不等式和最值的求法，意在