2021版高考數(shù)學(xué)(人教A版理科)一輪復(fù)習(xí)攻略核心素養(yǎng)測(cè)評(píng)二十六

核心素養(yǎng)測(cè)評(píng)二十六

應(yīng)用舉例

鞏固提升練（25分鐘50分）

一、選擇題（每小題5分，共25分）

1.已知A,B兩地間的距離為10km,B,C兩地間的距離為20km,現(xiàn)測(cè)得NABC=

120°,則A,C兩地間的距離為（）

,r

A.10kmB.10v3km

C.10、吋kmD.10\/7km

【解析】選D.由余弦定理得,AC2=AB2+CB2-2AB?CB?cos120°=102+2O2-2X10X

20X（_g=700.所以AC=10^7（km）.

2.甲船在島的正南方A處,AB=10千米，甲船以每小時(shí)4千米的速度向正北勻速航

行，同時(shí)乙船自B出發(fā)以每小時(shí)6千米的速度向北偏東60°的方向勻速航行，當(dāng)

甲、乙兩船相距最近時(shí),它們所航行的時(shí)間是（）

A.三小時(shí)B.三小時(shí)

147

C.上小時(shí)D.二小時(shí)

AK

【解析】選A.假設(shè)經(jīng)過(guò)x小時(shí)兩船相距最近，甲乙分別行至C,D,如圖所示：

-1-

D

B

可知BC=10-4x,BD=6x,NCBD=120°,

由余弦定理可得，

CD2=BCZ+BD2-2BC,BD,cosNCBD

=(10-4x)2+36x2+2X(10-4x)X6xXl

=28x2-20x+100,所以當(dāng)x=2時(shí)兩船相距最近.

3.如圖所示,為測(cè)一建筑物的高度,在地面上選取A,B兩點(diǎn),從A,B兩點(diǎn)分別測(cè)得

建筑物頂端的仰角為30°,45°,且A,B兩點(diǎn)間的距離為60m,則該建筑物的高

度為（）

45tx30、

B60m

A.(30+30^)111B.(30+15\2)m

C.(15+3(\2)mD.(15+15e)m

【解析】選A.在APAB中，NPAB=30°,ZAPB=15°,AB=60m,sin15°=

-2-

sin(45°-30°)=sin45°cos30°-cos45°sin30°二2三由正弦定理得

PB/加也3Q°=30（、石+y，2）（m）,所以建筑物的高度為PBsin45°=3。（口+&）X

cf-n1;°

匚=（30+3（\3）m.

4.已知A船在燈塔C的北偏東85°方向且A到C的距離為2km,B船在燈塔C的

西偏北25°方向且B到C的距離為\門km,則A,B兩船的距離為（）

A.vl3kmB.v,l5km

C.2\月kmD.3V2km

【解析】選A.畫出圖形如圖所示,

北

由題意可得NACB=(90°-25°)+85°=150°,又AC=2,BC=?3.在4ABC中，由余

弦定理可得AB2=AC2+BC2-2AC?BC?cos150°=13,所以即A,B兩船的距

離為v'73km.

5.一個(gè)大型噴水池的中央有一個(gè)強(qiáng)力噴水柱,為了測(cè)量噴水柱噴出的水柱的高

度,某人在噴水柱正西方向的點(diǎn)A處測(cè)得水柱頂端的仰角為45°,從點(diǎn)A沿北偏

東30°方向前進(jìn)100m到達(dá)點(diǎn)B,在B點(diǎn)測(cè)得水柱頂端的仰角為30°,則水柱的

高度是（）

-3-

A.50mB.100m

C.120mD.150m

【解析】選A.設(shè)水柱高度是h,水柱底端為C,

則在4ABC中，ZBAC=60°,AC=h,AB=100,

BC=\；?h,根據(jù)余弦定理得，

（V?h）242+1002-2?h?100?cos60°,

即h2+50h-5000=0,即（h-50）（h+100）=0,解得h=50（負(fù)值舍去），故水柱的高度是

50m.

6.如圖,測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí)可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量點(diǎn)C

與D,測(cè)得NBCD=15°,ZBDC=30°,CD=30,并在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為60°,

則塔高AB等于（）

D

A.5\，6B.15V13C.5V'2D.15\，6

【解析】選D.在4BCD中，ZCBD=180°-15°-30°=135°.由正弦定理得

%=―所以BC=15q2在RtAABCt,AB=BCtanZACB=15V2-X

sin30c￡1711350

、手15遍.

-4-

7.長(zhǎng)為3.5m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在離堤足C處1.4m的地

面上,另一端B在離堤足C處的2.8m的石堤上,石堤的傾斜角為a,則坡度值

【解析】選A.由已知，在4ABC中，AB=3.5m,AC=1.4m,BC=2.8m,且Na+

NACB二兀.

由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2?AC?BC-cosZACB,即3.52=1.42+2.82-2X1.4

X2.8Xcos(n-a),角牟得cosa=2L,所以sina所以tana

161Gccs「

二、填空題(每小題5分，共15分)

8.如圖,為了測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB,選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量點(diǎn)C

和D,現(xiàn)測(cè)得/ACB=45°,ZADB=30°,ZBCD=60°,CD=20m,則塔高

AB=m.

【解析】設(shè)塔高AB=hm,在RtAABC中，因?yàn)镹ACB=45°,所以BC=AB=hm,

在RtZiABD中，因?yàn)镹ADB=30°,

所以BD=\,?hm,

-5-

在aBCD中，ZBCD=60°,CD=20,

由余弦定理得BD2=CD2+BC2-2CD?BCcos60°,

即3h2=400+h2-20h,解得h=10.

答案：10

9.（2018?德州模擬）如圖,某炮兵陣地位于A點(diǎn),兩觀察所分別位于C,D兩點(diǎn).已

知4ACD為正三角形，且DC=vGkm,當(dāng)目標(biāo)出現(xiàn)在點(diǎn)B時(shí)，測(cè)得NCDB=45°,

ZBCD=75°,則炮兵陣地與目標(biāo)的距離是.（保留1位小數(shù)）

【解析】ZCBD=180°-ZBCD-ZCDB=60°.

在aBCD中，由正弦定理，得

5m75°=\后+\5

在4ABD中，NADB=45°+60°=105°,

由余弦定理，得

AB2=AD2+BD2-2AD?BDcos105°

=3+(、百+、州產(chǎn)+2義6X、'6+'2X、備』+26

424

所以AB=j5+2\4刀2.9(km).

所以炮兵陣地與目標(biāo)的距離約是2.9km.

-6-

答案：2.9km

10.海輪“和諧號(hào)”從A處以每小時(shí)21海里的速度出發(fā)，海輪“奮斗號(hào)”在A處

北偏東45°的方向，且與A相距10海里的C處，沿東偏南15°的方向以每小時(shí)9

海里的速度行駛,則海輪“和諧號(hào)”與海輪“奮斗號(hào)”相遇所需的時(shí)間為

小時(shí).口

【解析】設(shè)海輪“和諧號(hào)”與海輪“奮斗號(hào)”相遇所需的時(shí)間為x小時(shí),如圖，

在4ABC中，AC=10海里,AB=21x海里，BC=9x海里，ZACB=120°.由余弦定理得

（21x）2=100+（9x）2-2X10X9xXcos120°，整理，得36x2-9x70=0,解得x±或

3

x=-?￡（舍）.所以海輪“和諧號(hào)”與海輪“奮斗號(hào)”相遇所需的時(shí)間為2小時(shí).

1?a

答案

a

綜合運(yùn)用練（15分鐘35分）

1.（5分）如圖,要測(cè)量底部不能到達(dá)的某鐵塔AB的高度,在塔的同一側(cè)選擇C,D

兩觀測(cè)點(diǎn)，且在C,D兩點(diǎn)測(cè)得塔頂?shù)难鼋欠謩e為45°,30。.在水平面上測(cè)得

NBCD=120°,C,D兩地相距600m,則鐵塔AB的高度是（）

A.120亞mB.480m

-7-

C.240V2mD.600m

【解析】選D.設(shè)AB二x,則BC=x,BD=U3x,

在△BCD中，由余弦定理知cos120°二些辻eq」単十600二-3.二亠,

7RC-CD7xf；00r2

解得x=600m,（x=-300舍去）.

故鐵塔AB的高度為600m.

2.（5分）如圖,為了測(cè)量正在海面勻速行駛的某船的速度,在海岸上選取距離1千

米的兩個(gè)觀察點(diǎn)C,D,在某天10:00觀察到該船在A處,此時(shí)測(cè)得NADC=30°,2

分鐘后該船行駛至B處，此時(shí)測(cè)得NACB=60°,NBCD=45°,NADB=60°,則船速

為千米/分鐘.

【解析】在aBCD中，ZBDC=30°+60°=90°,CD=1,NBCD=45°,所以BC=\，2

在4ACD中，NCAD=180°-(60°+45°+30°)=45°,所以-，°一二」」AC9.

Lr丄Q6cfnao"9

^△ABC,AB2=AC2+BC2-2ACXBCXcos60°

_3

2

所以AB三之所以船速為±二匹千米/分鐘.

224

答案:匹

4.

-8-

3.（5分）如圖，勘探隊(duì)員朝一座山行進(jìn),在前后A,B兩處觀察山頂C的仰角分別是

30°和45°,兩個(gè)觀察點(diǎn)A,B之間的距離是100米，則此座山CD的高度為

________米.

【解析】設(shè)山高CD為x米,在RtABCD中，有BD=CD=x米,在RtAACD中，有AC=2x

米,AD=\，5x米?而AB=AD-BD=（v^-l）x=100.

解得:x=50\；3+50.

答案：（5OJJ+5O）

4.（10分）已知島A南偏西38°方向,距島A3海里的B處有一艘緝私艇.島A處

的一艘走私船正以10海里/時(shí)的速度向島嶼北偏西22°方向行駛，問(wèn)緝私艇朝何

方向以多大速度行駛，恰好用0.5小時(shí)能截住該走私船?

【解析】如圖，設(shè)緝私艇在C處截住走私船,D為島A正南方向上一點(diǎn)，緝私艇的

速度為每小時(shí)x海里,則BC=0.5x海里,AC=5海里,由已知，ZBAC=180°-38°

-9-

22°=120°,

N\

tr

由余弦定理得BC2=ABZ+AC2-2AB?ACcos1200,

所以BC2=49,BCR.5x=7,解得x=14.

又由正弦定理得sinNABC史二^^三五a,所以NABC=38°,又NBAD二

RC714

38°，所以BC〃AD,

所以緝私艇以每小時(shí)14海里的速度向正北方向行駛，恰好用0.5小時(shí)截住該走

私船.

5.（10分）已知在東西方向上有M,N兩座小山，山頂各有一個(gè)發(fā)射塔A,B,塔頂A,B

的海拔高度分別為AM=100m和BN=200m,一測(cè)量車在小山M的正南方向的點(diǎn)P

處測(cè)得發(fā)射塔頂A的仰角為30°,該測(cè)量車向北偏西60°方向行駛了IO。、，？m

后到達(dá)點(diǎn)Q,在點(diǎn)Q處測(cè)得發(fā)射塔頂B處的仰角為9,且NBQA=9,經(jīng)測(cè)量tan9

=2,求兩發(fā)射塔頂A,B之間的距離.

【解析】在RtaAMP中，NAPM=30°,AM=100m,

所以PM=10073m.

連接QM,在△PQM中，ZQPM=60°,

-io-

又PQ=10013m,

所以△PQM為等邊三角形，

所以QM=1OOJ$m.

在RtAAMQ中，由ACh=AM2+QM2得AQ=200m.

在RtABNQ中，tan0=2,BN=200m,

所以BQ=100寸5m,cosG=上.

在△BQA中，BA2=BQ2+AQ2-2BQ?AQcos0

=(10075)2,所以BA=100匹.

所以兩發(fā)射塔頂A,B之間的距離是100J百m.

【拓廣探索練】

1.如圖,某人在垂直于水平地面ABC的墻面前的點(diǎn)A處進(jìn)行射擊訓(xùn)練.已知

點(diǎn)A到墻面的距離為AB,某目標(biāo)點(diǎn)P沿墻面的射擊線CM移動(dòng),此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)

目標(biāo)點(diǎn)P,需計(jì)算由點(diǎn)A觀察點(diǎn)P的仰角0的大?。ㄑ鼋?為直線AP與平面ABC

所成的角）.若AB=15m,AC=25m,NBCM=30°,則tan。的最大值是（）

A.叵B.四

10

-11-

【解析】選D.由已知，在RtZ\ABC中,

,ACDAB153

s?nZACB==二

AC255

則cosNACB=±

作PH±BC,垂足為H,連接AH,如圖所示.

設(shè)PH