5.4-一階線(xiàn)性微分方程

1小結(jié)思考題作業(yè)一階線(xiàn)性微分方程5.4一階線(xiàn)性微分方程伯努利(Bernoulli)方程第5章微分方程應(yīng)用2一、一階線(xiàn)性微分方程一階線(xiàn)性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式上面方程稱(chēng)為上面方程稱(chēng)為如線(xiàn)性的;非線(xiàn)性的.齊次的;非齊次的.線(xiàn)性一階

自由項(xiàng)3齊次方程的通解為1.線(xiàn)性齊次方程一階線(xiàn)性微分方程的解法(使用分離變量法)(C1為任意常數(shù))42.線(xiàn)性非齊次方程線(xiàn)性齊次方程是線(xiàn)性非齊次方程的特殊情況.顯然線(xiàn)性非齊次方程的解不會(huì)是如此,之間應(yīng)存在某種共性.設(shè)想非齊次方程

待定函數(shù)線(xiàn)性齊次方程的通解是但它們的解是5從而C(x)滿(mǎn)足方程6即一階線(xiàn)性非齊次微分方程的通解為常數(shù)變易法把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法.7一階線(xiàn)性非齊次微分方程的通解為一階線(xiàn)性非齊次微分方程的初值問(wèn)題的解為8非齊次方程的一個(gè)特解對(duì)應(yīng)齊次方程通解一階線(xiàn)性方程解的結(jié)構(gòu)注一階線(xiàn)性方程解的結(jié)構(gòu)及解非齊次方程的常數(shù)變易法對(duì)高階線(xiàn)性方程也適用.9練習(xí)

設(shè)非齊次線(xiàn)性微分方程

有兩個(gè)不同的解y1(x),y2(x),C為任意常數(shù),則該方程

的通解是考研數(shù)學(xué)三,四,選擇4分10解例一階線(xiàn)性非齊次方程11解

由通解公式有練習(xí)

將方程改寫(xiě)成考研數(shù)學(xué)一,二,4分一階線(xiàn)性非齊次方程12例解方程若將方程寫(xiě)成則它既不是線(xiàn)性方程,又不能分離變量.若將方程寫(xiě)成以x為未知函數(shù),

即一階非齊次線(xiàn)性方程.分析y為自變量的13此外,y=1也是原方程的解.解14注參數(shù)形式的.解方程時(shí),

通常不計(jì)較哪個(gè)是自變量哪個(gè)是因變量,視方便而定,關(guān)系.關(guān)鍵在于找到兩個(gè)變量間的解可以是顯函數(shù),也可以是隱函數(shù),甚至是15設(shè)函數(shù)f(x)具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù),且滿(mǎn)足考研數(shù)學(xué)四,10分練習(xí)求f(x)的表達(dá)式.解一階非齊次線(xiàn)性方程16設(shè)函數(shù)f(x)具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù),且滿(mǎn)足練習(xí)求f(x)的表達(dá)式.一階非齊次線(xiàn)性方程將f(0)=0代入上式,得所以考研數(shù)學(xué)四,10分17形如的方程,方程為線(xiàn)性微分方程.

方程為非線(xiàn)性微分方程.需經(jīng)過(guò)變量代換化為線(xiàn)性微分方程.解法稱(chēng)為伯努利(Bernoulli)方程.

事實(shí)上,用除方程的兩邊,得

雅個(gè)布·

伯努利(瑞士)1654-1705二、伯努利(Bernoulli)方程變量代換在數(shù)學(xué)的各個(gè)方面都是極重要的,極限運(yùn)算和積分運(yùn)算中已看到了變換的作用.18即可見(jiàn)只要作變換,方程就可化為z的一階線(xiàn)性方程伯努利方程的通解

令19解例伯努利方程作變換則方程化為即它的通解為故原方程的通解為20

熟悉求解方法后,注例解方程解這不是線(xiàn)性方程,但若把y視為自變量,兩邊除以n=2的伯努利方程.也不是伯努利方程.方程寫(xiě)為:而直接按上述方法求解.即也可以不引入新變量,21即22分析這不是前面的典型類(lèi)型中的任何一種,可仿照伯努利方程的解法,可化為線(xiàn)性方程解

則上式成為即線(xiàn)性方程例兩邊,得23從而于是得即24求解下列微分方程例

解題提示方程中出現(xiàn)等形式的項(xiàng)時(shí),通常要做相應(yīng)的變量代換25解求微分得代入方程

可分離變量方程26解分離變量法得所求通解為

可分離變量方程27解代入原式分離變量法得所求通解為另解一階線(xiàn)性方程.

可分離變量方程方程變形為28解

積分方程例如圖所示,平行于y軸的動(dòng)直線(xiàn)被曲線(xiàn)等于陰影部分的面積,一階非齊次線(xiàn)性方程即截下的線(xiàn)段PQ之長(zhǎng)數(shù)值上求曲線(xiàn)y=f(x).三、應(yīng)用29所求曲線(xiàn)為30例靜脈輸液?jiǎn)栴}.靜脈輸入葡萄糖是一種重要的醫(yī)療技術(shù).研究這一過(guò)程,設(shè)G(t)為時(shí)刻t血液中葡萄糖含量,與此血液中的葡萄糖還會(huì)轉(zhuǎn)化為其他物質(zhì)或轉(zhuǎn)移其速率與血液中的葡萄糖含量成正比.試列出描述這一現(xiàn)象的微分方程,為了到其他地方,含量.糖以常數(shù)同時(shí),解因?yàn)檠褐械钠咸烟呛康淖兓试黾铀俾逝c減少速率之差,等于而增加速率為減少速率為其中為正的比例常數(shù),所以需要知道t時(shí)刻中血液中的葡萄糖且設(shè)葡萄的固定速率輸入到血液中,并解之.常數(shù)k,31即關(guān)于G的一階線(xiàn)性非齊次方程由通解公式,得設(shè)G(0)表示最初血液中葡萄糖含量,于是定出則可確32一階線(xiàn)性微分方程四、小結(jié)伯努利微分方程33一階微分方程的解題程序(1)審視方程,判斷方程類(lèi)型;(2)根據(jù)不同類(lèi)型,確定解題方案;(3)非典型的方程,可作適當(dāng)變換;(4)做變量替換后得出的解,最后一定要還原為原變量.34一曲線(xiàn)為連接點(diǎn)O(0,0)和A(1,1)的一段凸曲線(xiàn),曲線(xiàn)⌒上任一點(diǎn)P(x,y),曲線(xiàn)⌒與直線(xiàn)所圍圖形的面積為x2,求曲線(xiàn)弧⌒的方程.解設(shè)曲線(xiàn)弧⌒的方程為y=

y(x)方程兩端求導(dǎo),得積分方程即得初值問(wèn)題一階線(xiàn)性方程的的初值問(wèn)題