專題14兩個基本計數(shù)原理3種常見考法歸類（原卷版）

專題14兩個基本計數(shù)原理3種常見考法歸類思維導圖核心考點聚焦考點一、分類加法計數(shù)原理考點二、分步乘法計數(shù)原理考點三、兩個計數(shù)原理的綜合應用（一）與數(shù)字有關的問題（二）涂色問題（三）幾何圖形問題1．分類加法計數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法．注：1每類方法都能獨立完成這件事，它是獨立的、一次的，且每次得到的是最后結果，只需一種方法就可完成這件事.2各類方法之間是互斥的、并列的、獨立的.3完成一件事可以有n類不同方案，各類方案相互獨立，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法……在第n類方案中有mn種不同的方法．那么，完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法．2．分步乘法計數(shù)原理完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法．注：(1)每一步得到的只是中間結果，任何一步都不能獨立完成這件事，只有各個步驟都完成了才能完成這件事．(2)各步之間是相互依存的，并且既不能重復也不能遺漏.（3）完成一件事需要經過n個步驟，缺一不可，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法．那么，完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法．3.兩種計數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理相同點都是完成一件事的不同方法的種數(shù)問題不同點1完成一件事有類不同方案，關鍵詞是“分類”完成一件事需要個步驟，關鍵詞是“分步”不同點2每類方案都能獨立完成這件事情，且每種方法得到的最后結果，只需一種方法就可以完成這件事任何一步都不能獨立完成這件事，缺少任何一步也不能完成這件事，只有各個步驟都完成了，才能完成這件事不同點3各類方案之間是互斥的、并列的、獨立的各步之間是關聯(lián)的、獨立的，“關聯(lián)”確保不遺漏，“獨立”確保不重復4.兩種計數(shù)原理綜合應用（1）用兩個計數(shù)原理解決計數(shù)問題時，最重要的是在最開始計算之前進行仔細分析—需要分類還是需要分步；（2）分類要做到“不重不漏”，分類后再分別對每一類進行計數(shù)，最后用分類加法計數(shù)原理求和，得到總數(shù)；（3）分步要做到“步驟完整”，完成了所有步驟，恰好完成任務，當然步與步之間要相互獨立，分步后再計算每一步的方法數(shù)，最后根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù)。1、分類標準是運用分類加法計數(shù)原理的難點所在，應抓住題目中的關鍵詞、關鍵元素、關鍵位置．(1)根據(jù)題目特點恰當選擇一個分類標準．(2)分類時應注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法是不同的方法，不能重復．(3)分類時除了不能交叉重復外，還不能有遺漏.2、利用分步乘法計數(shù)原理解決問題的策略(1)利用分步乘法計數(shù)原理解決問題時要注意按事件發(fā)生的過程來合理分步，即分步是有先后順序的，并且分步必須滿足：完成一件事的各個步驟是相互依存的，只有各個步驟都完成了，才算完成這件事．(2)分步必須滿足的兩個條件：一是各步驟相互獨立，互不干擾；二是步與步之間確保連續(xù)，逐步完成．3、利用兩個計數(shù)原理解決應用問題的一般思路(1)弄清完成一件事是做什么．(2)確定是先分類后分步，還是先分步后分類．(3)弄清分步，分類的標準是什么．(4)利用兩個計數(shù)原理求解.4、解決計數(shù)問題常用的方法(1)枚舉法：將各種情況通過樹形圖法、列表法意義列舉出來，適用于計數(shù)種數(shù)較少的情況；(2)間接法：若計數(shù)時分類較多或無法直接計數(shù)時，可先求出沒有限制條件的種數(shù)，再減去不滿足條件的種數(shù)；(3)字典排序法：①字典排序法就是把所有字母分前后次序，先排前面的字母，前面的字母排完后再依次排后面的字母，最后的字母排完，則排列結束。②利用字典排序法并結合分步乘法計數(shù)原理可以解決與排列順序有關的計數(shù)問題，利用字典排序法還可以把這些排雷不重不漏地一一列舉出來。(4)模型法：通過構造圖形，利用形象、直觀的圖形幫助分析和解決問題?？键c剖析考點一、分類加法計數(shù)原理1．（2024·全國·模擬預測）從1至7這7個整數(shù)中隨機取出3個不同的數(shù)，則它們的積與和都是3的倍數(shù)的不同取法有（

）A．9種 B．12種 C．20種 D．30種2．（2023下·廣東梅州·高二?？茧A段練習）從名女同學和名男同學中任選人主持本班的某次專題班會，則不同的選法種數(shù)為（

）A． B． C． D．3．（2024上·遼寧遼陽·高二統(tǒng)考期末）同一個宿舍的8名同學被邀請去看電影，其中甲和乙兩名同學要么都去，要么都不去，丙同學不去，其他人根據(jù)個人情況可選擇去，也可選擇不去，則不同的去法有（

）A．32種 B．128種 C．64種 D．256種4．（2023上·廣東湛江·高三統(tǒng)考階段練習）某企業(yè)面試環(huán)節(jié)準備編號為的四道試題，編號為的四名面試者分別回答其中的一道試題（每名面試者回答的試題互不相同），則每名面試者回答的試題的編號和自己的編號都不同的情況共有（

）A．9種 B．10種 C．11種 D．12種5．（2023上·山東臨沂·高二?？茧A段練習）集合，，，，5，6，，從兩個集合中各取一個元素作為點的坐標，則這樣的坐標在平面直角坐標系中表示第二象限內不同的點的個數(shù)是（

）A．2 B．4 C．5 D．6考點二、分步乘法計數(shù)原理6．（2024上·甘肅白銀·高二?？计谀?名男生與3名女生中選兩人去參加一場數(shù)學競賽，則男女各一人的不同的選派方法數(shù)為（

）A．7 B．12 C．18 D．247．（2023上·山東·高二校聯(lián)考階段練習）甲同學計劃從3本不同的文學書和4本不同的科學書中各選1本閱讀，則不同的選法共有（

）A．81種 B．64種 C．12種 D．7種8．（2024·全國·高三專題練習）某游泳錦標賽上有四名運動員甲、乙、丙、丁，他們每人參加項目且每人只能參加一個項目，有三個游泳項目供選擇，這四人參賽方案的種類共有（

）A． B． C．12 D．99．（2023上·山東·高三校聯(lián)考階段練習）某商店共有，，三個品牌的水杯，若甲、乙、丙每人買了一個水杯，且甲買的不是品牌，乙買的不是品牌，則這三人買水杯的情況共有（

）A．3種 B．7種 C．12種 D．24種10．（2023上·山東德州·高二?？茧A段練習）為提高學生的身體素質，某校開設了游泳、武術和籃球課程，甲、乙、丙、丁4位同學每人從中任選門課程參加，則不同的選法共有（

）A．種 B．種 C．種 D．種11．（2023下·浙江溫州·高二校聯(lián)考期中）2023年北京冬奧會的順利召開，激發(fā)了大家對冰雪運動的興趣．若甲，乙，丙三人在自由式滑雪、花樣滑冰、冰壺和跳臺滑雪這四項運動中任選一項進行體驗，則不同的選法共有（

）A．12種 B．24種 C．64種 D．81種12．（2023上·甘肅白銀·高二甘肅省靖遠縣第一中學?？计谀┨咔驎r甲?乙?丙三人互相傳遞，由甲開始傳球，經過3次傳遞后，球又被傳回到甲，則不同的傳遞方式共有（

）A．6種 B．8種 C．2種 D．4種考點三、兩個計數(shù)原理的綜合應用（一）與數(shù)字有關的問題13．（2023下·山西忻州·高三校聯(lián)考開學考試）從1，2，3，0這四個數(shù)中取三個組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù)，則這些三位數(shù)的和為．14．（2023下·江蘇揚州·高二統(tǒng)考期中）用，，，四個數(shù)字組成沒有重復數(shù)字的三位偶數(shù)，共有（）A．個 B．個 C．個 D．個15．（2023下·江蘇淮安·高二淮陰中學校聯(lián)考階段練習）自然數(shù)是一個三位數(shù)，其十位與個位、百位的差的絕對值均不超過1，我們就把叫做“集中數(shù)”.那么，大于600的“集中數(shù)”的個數(shù)是（

）A．30 B．31 C．32 D．3316．（2023上·高二課時練習）從0?1?2?3?4?5六個數(shù)字中任取四個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復數(shù)字、且為奇數(shù)的四位數(shù)？17．（2023·高二課時練習）用一顆骰子連擲三次，投擲出的數(shù)字順序排成一個三位數(shù)，此時：(1)各位數(shù)字互不相同的三位數(shù)有多少個？(2)可以排出多少個不同的三位數(shù)？（二）涂色問題18．（2023上·江西新余·高二校考階段練習）如圖，用4種不同的顏色給矩形，，，涂色，要求相鄰的矩形涂不同的顏色，則不同的涂色方法共有（

）A．12種 B．24種 C．48種 D．72種19．（2023上·高二課時練習）如圖是某校的主要設施平面圖，現(xiàn)用不同的顏色作為各區(qū)域的底色，為了便于區(qū)分，要求相鄰區(qū)域不能使用同一種顏色．若有6種不同的顏色可選，問有多少種不同的著色方案？20．（2023下·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期中）用6種不同的顏色給如圖所示的地圖上色，要求相鄰兩塊涂不同的顏色，則不同的涂色方法有（

）A．240 B．360 C．480 D．60021．（2023·全國·高三專題練習）如圖，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給該地區(qū)的5個區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一種顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的涂色方法共有種.22．（2023上·山東德州·高二校考階段練習）中國是世界上最早發(fā)明雨傘的國家，傘是中國勞動人民一個重要的創(chuàng)造．如圖所示的雨傘，其傘面被傘骨分成個區(qū)域，每個區(qū)域分別印有數(shù)字，，，，現(xiàn)準備給該傘面的每個區(qū)域涂色，要求每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰兩個區(qū)域所涂顏色不能相同，對稱的兩個區(qū)域如區(qū)域與區(qū)域所涂顏色相同．若有種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有（

）A．種 B．種C．種 D．種23．（2023·全國·高三專題練習）如圖所示，將一個四棱錐的每一個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩個端點異色，如果只有5種顏色可供使用，則不同染色方法的種數(shù)為（）A．192 B．420 C．210 D．72（三）幾何圖形問題24．（2023上·上海寶山·高二上海交大附中?？计谥校┱襟w的8個頂點中，選取4個共面的頂點，有種不同選法25．（2001·全國·高考真題）圓周上有個等分點，以其中三個點為頂點的直角三角形的個數(shù)為．26．（2023下·江蘇揚州·高二揚州中學校考期中）已知直線中的a，b，c是取自集合中的3個不同的元素，并且該直線的傾斜角為銳角，那么，這樣的直線的條數(shù)是．27．（2023·全國·高三專題練習）如果一條直線與一個平面垂直，那么稱此直線與平面構成一個“正交線面對”.在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成的“正交線面對”的個數(shù)是（）A．48 B．18 C．24 D．36過關檢測一、單選題1．（2024上·遼寧撫順·高二校聯(lián)考期末）音樂播放器里有15首中文歌曲和5首英文歌曲，任選1首歌曲進行播放，則不同的選法共有（

）A．30種 B．75種 C．10種 D．20種2．（2023上·江西南昌·高二南昌縣蓮塘第一中學?？计谀┈F(xiàn)有4名同學去聽同時進行的5個課外知識講座，每名同學可自由選擇其中的一個講座，不同選法的種數(shù)是（

）A． B． C．20 D．93．（2023上·遼寧朝陽·高二建平縣實驗中學?？计谀┲袊嗣窠夥跑姈|部戰(zhàn)區(qū)領導和指揮江蘇?浙江?上海?安徽?福建?江西的武裝力量.某日東部戰(zhàn)區(qū)下達命令，要求從江西或福建派出一架偵察機對臺海空域進行偵查，已知江西有架偵察機，福建有架偵察機，則不同的分派方案共有（

）A．種 B．種 C．種 D．種4．（2023下·黑龍江齊齊哈爾·高二齊齊哈爾市恒昌中學校?？计谀┮阎吵袨轭櫩吞峁┧姆N結賬方式：現(xiàn)金、支付寶、微信、銀聯(lián)卡.若顧客甲只用銀聯(lián)卡結賬，顧客乙只用微信和銀聯(lián)卡結賬，顧客丁與甲、乙結賬方式不同，丙用哪種結賬方式都可以.若甲乙丙丁購物后依次結賬，那么他們結賬方式的組合種數(shù)共有（

）A．20種 B．24種 C．30種 D．36種5．（2023下·福建福州·高二福建省福州第一中學?？计谀┕糯袊奶珮O八卦圖是以同圓內的圓心為界，畫出形狀相同的兩個陰陽魚，陽魚的頭部有個陰眼，陰魚的頭部有個陽眼，表示萬物都在相互轉化，互相滲透，陰中有陽，陽中有陰，陰陽相合，相生相克，蘊含現(xiàn)代哲學中的矛盾對立統(tǒng)一規(guī)律，由八卦模型圖可抽象得到正八邊形，從該正八邊形的8個頂點中任意取出4個構成四邊形，其中梯形的個數(shù)為（

）A．16 B．20 C．24 D．286．（2024上·湖北·高三統(tǒng)考期末）已知任何大于1的整數(shù)總可以分解成素因數(shù)乘積的形式，且如果不計分解式中素因數(shù)的次序，這種分解式是唯一的.如，則2000的不同正因數(shù)個數(shù)為（

）A．25 B．20 C．15 D．127．（2023下·山東德州·高一統(tǒng)考期末）根據(jù)歷史記載，早在春秋戰(zhàn)國時期，我國勞動人民就普遍使用算籌進行計數(shù).算籌計數(shù)法就是用一根根同樣長短和粗細的小棍子以不同的排列方式來表示數(shù)字，如圖所示.如果用算籌隨機擺出一個不含數(shù)字0的兩位數(shù)，個位用縱式，十位用橫式，則個位和十位上的算籌不一樣多的概率為（

）A． B． C． D．8．（2023下·北京·高二北大附中?？计谀┠彻居屑抑睜I店，現(xiàn)需將箱貨物運送至直營店進行銷售，各直營店出售該貨物以往所得利潤統(tǒng)計如下表所示.根據(jù)此表，該公司獲得最大總利潤的運送方式有（

）A．種 B．種 C．種 D．種二、多選題9．（2023下·江蘇淮安·高二統(tǒng)考期末）高二年級安排甲、乙、丙三位同學到A，B，C，D，E五個社區(qū)進行暑期社會實踐活動，每位同學只能選擇一個社區(qū)進行活動，且多個同學可以選擇同一個社區(qū)進行活動，下列說法正確的有（

）A．如果社區(qū)A必須有同學選擇，則不同的安排方法有61種B．如果同學甲必須選擇社區(qū)A，則不同的安排方法有25種C．如果三名同學選擇的社區(qū)各不相同，則不同的安排方法共有60種D．如果甲、乙兩名同學必須在同一個社區(qū)，則不同的安排方法共有20種10．（2023上·甘肅白銀·高二?？计谀┯梅N不同的顏色涂圖中的矩形，要求相鄰的矩形涂色不同，不同的涂色方法總種數(shù)記為，則（

）A． B．C． D．11．（2023下·湖南長沙·高二周南中學?？计谀┈F(xiàn)有不同的紅球4個，黃球5個，綠球6個，則下列說法正確的是（

）A．從中選出2個球，正好一紅一黃，有9種不同的選法B．若每種顏色選出1個球，有120種不同的選法C．若要選出不同顏色的2個球，有31種不同的選法D．若要不放回地依次選出2個球，有210種不同的選法三、填空題12．（2023上·廣東廣州·高三廣州六中?？计谀┠成鐓^(qū)年終活動設置抽獎環(huán)節(jié)，方案如下：準備足夠多的寫有“和諧”、“和睦”、“復興”的卡片，參與者隨機逐一抽取四張，若集齊三種卡片就獲獎.王大爺按規(guī)定參與抽獎，則他直到第四次抽取出卡片才確定獲獎的不同情況種數(shù)為.13．（2023上·上海閔行·高三上海市七寶中學校考期末）用黑白兩種顏色（都要使用）給正方體的6個面涂色，每個面只涂一種顏色。如果一種涂色方案可以通過重新擺放正方體，變?yōu)榱硪环N涂色方案，則這兩種方案認為是相同的。（例如：a.前面涂黑色，另外五個面涂白色;b.上面涂黑色，另外五個面涂白色是同一種方案）則涂色方案一共有種。14．（2023下·陜西寶雞·高二統(tǒng)考期末）從1，2，3，4，7，9中任取2個不相同的數(shù)，分別作為對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，能得到個對數(shù)值.15．（2023上·河南駐馬店·高二校聯(lián)考期末）已知，則關于的方程有實數(shù)解的有序數(shù)對的個數(shù)為.四、解答題16．（2023·高二課時練習）某?！皵?shù)學俱樂部”有高一學生10人，高二學生8