第九章中心對稱圖形-平行四邊形拓展練習2023-2024學年蘇科版數(shù)學八年級下冊

9.1圖形的旋轉1.如圖，點A坐標為(?2,1)，點B坐標為(0,4)，將線段AB繞點O按順時針方向旋轉得到對應線段A′B′，若點A′恰好落在x軸上，則點B′到x軸的距離為(

)

A.455B.8552.如圖，在平面直角坐標系xOy中，A(?3,0)，點B為y軸正半軸上一點，將線段AB繞點B旋轉90°至BC處，過點C作CD垂直x軸于點D，若四邊形ABCD的面積為36，則線AC的解析式為______．3.如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D，E分別在邊AB，AC上，AD=AE，連接DC，BE，點P為DC的中點，

(1)【觀察猜想】圖1中，線段AP與BE的數(shù)量關系是____，位置關系是____．(2)【探究證明】把△ADE繞點A逆時針旋轉到圖2的位置，(1)中的猜想是否仍然成立？若成立請證明，否請說明理由；(3)【拓展延伸】把△ADE繞點A在平面內(nèi)自由旋轉，若AD=4，AB=10，請直接寫出線段AP長度的最大值和最小值．9.2中心對稱與中心對稱圖形1.對于坐標平面內(nèi)的點，先將該點向右平移1個單位，再向上平移2個單位，這種點的運動稱為點的斜平移，如點P(2,3)經(jīng)1次斜平移后的點的坐標為(3,5).已知點A的坐標為(2,0)，點Q是直線l上的一點，點A關于點Q的對稱點為點B，點B關于直線l的對稱點為點C，若點B由點A經(jīng)n次斜平移后得到，且點C的坐標為(8,6)，則△ABC的面積是(

)

A.12 B.14 C.16D.182.已知兩個完全相同的直角三角形紙片△ABC、△DEF，如圖放置，點B、D重合，點F在BC上，AB與EF交于點G.∠C=∠EFB=90°，∠E=∠ABC=30°，現(xiàn)將圖中的△ABC繞點F按每秒15°的速度沿逆時針方向旋轉180°，在旋轉的過程中，△ABC恰有一邊與DE平行的時間為______秒．3.定義：如果兩個全等的三角形有一條公共邊且位于公共邊的異側，我們稱這兩個三角形成軸全等，公共邊所在直線稱為全等軸．

(1)已知在平面直角坐標系中，△ABC的頂點A、B、C的坐標分別為(4,7)、(0,4)、(4,2)，若△ACD與△ABC成軸全等，全等軸為直線AC，請直接寫出D點坐標．

(2)如圖，在平面直角坐標系中，△ABC兩個頂點B、C坐標分別為(?14,0)、(503,0)，∠ABC=45°，AC與y軸交于點E，點E的坐標為(0,252)，點F是OC上一點，坐標為(10,0).如果M、N為△ABC的邊上的兩點，是否存在△OMN與△OFM以OM所在直線為全等軸的軸全等？若存在，請求出所有符合條件的點9.3.1平行四邊形性質(zhì)1.如圖，在平行四邊形ABCD中，EF//BC，GH//AB，EF、GH的交點P在BD上，則圖中面積相等的平行四邊形有(

)

A.3對 B.2對 C.1對 D.0對2.如圖，?ABCD的對角線AC,BD交于點O，AE平分∠BAD，交BC于點E，且∠ADC=60°，AD=2AB，連接OE，下列結論：①∠CAD=30°；②OD=AB；③S平行四邊形ABCD=AC?CD；④A.1個 B.2個 C.3個 D.4個.3.如圖，□OABC的頂點A、C分別在直線x=1和x=4上，O是坐標原點，則對角線OB長的最小值為

．

9.3.2平行四邊形判定1.下而給出四邊形ABCD中∠A，∠B，∠C，∠D的度數(shù)之比，其中能判定四邊形ABCD為平行四邊形的是(

)A.1：2：3：4 B.1：2：2：3 C.2：2：3：3 D.2：3：2：32.如圖，四邊形ABCD中，AD//BC，AD=12cm，BC=15cm，點P自點A向D以1cm/s的速度運動，到D點即停止．點Q自點C向B以2cm/s的速度運動，到B點即停止，直線PQ截原四邊形為兩個新四邊形．則當P，Q同時出發(fā)_________秒后其中一個新四邊形為平行四邊形．

3.如圖，在平面直角坐標系中，已知點A(4,0)，點B(?3,2)，點C(0,2)，點P從點B出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿射線BC運動，點Q從點A出發(fā)，開始以每秒1個單位的速度向原點O運動，到達原點后立刻以原來3倍的速度沿射線OA運動，若P，Q兩點同時出發(fā)，設運動時間為t秒，若以點A，Q，C，P為頂點的四邊形為平行四邊形，則t等于______．

A.1B.3C.9D.13

9.3.3平行四邊形性質(zhì)及判定1.如圖，已知平行四邊形OABC的頂點A、C分別在直線x=1和x=4上，O是坐標原點，則對角線OB長的最小值為(

)

A.4B.5 C.6 D.72.如圖，分別以Rt△ABC的直角邊AC，斜邊AB為邊向外作等邊△ACD和△ABE，F(xiàn)為AB的中點，連接DF、EF，∠ACB=90°，∠ABC=30°，則以下4個結論：①AC⊥DF；②四邊形BCDF為平行四邊形；③DA+DF=BE；④S△ACD：S四邊形BCDE=1：7，其中正確的是

．

3.定義：在平面直角坐標系中，對于任意兩點A(a,b)，B(c,d)，若點T(x,y)滿足x=a+c3，y=b+d3，那么稱點T是點A，B的三分點．

例如：A(?1,5)，B(7,7)，當點T(x,y)滿足x=?1+73=2，y=5+73=4時，則點T(2,4)是點A，B的三分點．

(1)已知點C(?1,8)，D(1,2)，E(4,?2)，請說明其中一個點是另外兩個點的三分點．

(2)如圖，點A為(3,0)，點B(t,2t+3)是直線l上任意一點，點T(x,y)是點A，B的三分點．

①試確定y與x的關系式．

②若①中的函數(shù)圖象交y軸于點M，直線l交y軸于點N，當以M，N，B，T為頂點的四邊形是平行四邊形時，求點B的坐標．

③

9.3.4平行四邊形最值1.已知點D與點A(4,0)，B(0,3)，C(a,?a)是一平行四邊形的四個頂點，則CD長的最小值為(

)A.7??22 B.10 C.82.如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC>AB，點D在BC上，以AC為對角線的平行四邊形ADCE中，DE的最小值是（）A.3B.4 C.5 D.63.如圖，已知點A(0,8)，B(0,?2)，E(0,5)，F(xiàn)(?5,0)，C為直線EF上一動點，則?ACBD的對角線CD的最小值是(

)A.22B.4C.54.如圖，平行四邊形ABCD，對角線BD平分∠ABC，BC=6，∠ABC=45°在對角線AC上有一動點P，邊BC上有一動點Q，使PQ+PC最小，則這個最小值為(

)A.??6 B.26 C.35.已知點D與點A(0,8)，B(0,?2)，C(x,y)是平行四邊形的四個頂點，其中x，y滿足x?y+6=0，則CD長的最小值為(

)A.165 B.32 C.26.在平行四邊形ABCD中，BC=4，∠B=60°，過點A分別作BC，CD的垂線，垂足分別為M，N，連結MN，則MN的最小值為(

)A.3 B.3 C.237.一個大平行四邊形按如圖方式分割成九個小平行四邊形，且只有標號為①和②的兩個小平行四邊形為菱形，在滿足條件的所有分割中，若知道九個小平行四邊形中n個小平行四邊形的周長，就一定能算出這個大平行四邊形的周長，則n的最小值是

(

)A.2 B.3 C.4 D.58.如圖，?ABCD的頂點A，D分別在直角∠MON的兩邊OM，ON上運動(不與點O重合)，?ABCD的對角線AC，BD相交于點P，連接OP，若OP=5，則?ABCD的周長最小值是(

)A.20B.25C.10D.159.如圖，在△ABC中，∠BAC=45°，AB=AC=8，P為AB邊上一動點，以PA、PC為邊作平行四邊形PAQC，則對角線PQ的最小值為(

)A.6 B.8 C.22 10.如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=1，AC=2，D為BC邊上任意一點，連結DA，以DA，DC為鄰邊作?ADCE，連結DE，當線段DE長度取得最小值時，?ADCE的面積為(

)A.45 B.1 C.85 D.2

9.4.11.如圖，矩形ABCD中，AB=10，BC=5，點E，F(xiàn)，G，H分別在矩形ABCD各邊上，且AE=CG，BF=DH，則四邊形EFGH周長的最小值為(

)

A.55B.105 C.103 2.如圖，在矩形ABCD中，AB=5，BC=53，點P在線段BC上運動(含B、C兩點)，連接AP，以點A為中心，將線段AP逆時針旋轉60°到AQ，連接DQ，則線段DQ的最小值為(

)A.52 B.52 C.53.如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，兩頂點A、B分別在平面直角坐標系的x軸、y軸的正半軸上滑動，點C在第一象限，連接OC，則當OC為最大值時，點C的坐標是

．

4(1)如圖1，將矩形ABCD折疊，使AB落在對角線AC上，折痕為AE，點B落在B1處，若∠DAC=66°，則∠BAE=______°；

(2)小麗手中有一張矩形紙片，AB=9，AD=4.她準備按如下兩種方式進行折疊：

①如圖2，點F在這張矩形紙片的邊CD上，將紙片折疊，使點D落在邊AB上的點D1處，折痕為FG，若DF=5，求AG的長；

②如圖3，點H在這張矩形紙片的邊AB上，將紙片折疊，使HA落在射線HC上，折痕為HK，點A，D分別落在A1，D2處，若DK=73，求A19.4.2矩形判斷1.如圖，點E、F、G、H分別是四邊形ABCD邊AB、BC、CD、DA的中點。則下列說法：

①若AC=BD，則四邊形EFGH為矩形；

②若AC⊥BD，則四邊形EFGH為菱形；③若四邊形EFGH是平行四邊形，則AC與BD互相平分；④若四邊形EFGH是正方形，則AC與BD互相垂直且相等。其中正確的個數(shù)是

(

)A.

1 B.

2C.

3 D.

42.如圖，P為正方形ABCD對角線BD上一動點，若AB=2，則AP+BP+CP的最小值為(

)A.2+5C.4 D.3如圖，在矩形ABCD中，AB=5，BC=6，點M，N分別在AD，BC上，且3AM=AD.?3BN=?BC，E為直線BC上一動點，連接DE，將△DCE沿DE所在直線翻折得到△DC′?E，當點C′恰好落在直線MN上時，CE的長為_________．

4如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AC=12cm，點E從點A出發(fā)沿AB以每秒1cm的速度向點B運動，同時點D從點C出發(fā)沿CA以每秒2cm的速度向點A運動，運動時間為t秒(0<t<6)過點D作DF⊥BC于點(1)試用含t的式子表示AE、AD、DF的長;(2)如圖?①，連接EF，求證四邊形AEFD是平行四邊形;(3)如圖?②，連接DE，當t為何值時，四邊形EBFD是矩形?并說明理由．9.4.3矩形判定與性質(zhì)最值1.如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，D是AB上一動點，過點D作DE⊥AC于點E，DF⊥BC于點F，連結EF，則線段EF的長的最小值是(

)A.2.5 B.2.4 C.2.2 D.22.如圖，在△ABC中，AB=2，∠ABC=60°，∠ACB=45°，D是BC的中點，直線l經(jīng)過點D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分別為E，F(xiàn)，則AE+BF的最大值為(

)

A.6 B.22 C.23 3.如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，M為BC上的一動點，ME⊥AB于E，MF⊥AC于F，N為EF的中點，則MN的最小值為(

)A.4.8 B.2.4 C.2.5 D.2.64.如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點P為AB邊上一動點(不與點A，B重合)，PE⊥OA于點E，PF⊥OB于點F.若AO=10，BO=5，則EF的最小值為(

)22 B.23 C.5.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=8，AC=6，P為邊AB上一動點(P不與B，A重合)，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，M為EF中點，則CM的取值范圍是(

)A.125≤CM<4B.3≤CM<245C.6.如圖，正方形ABCD的邊長為22，P為對角線BD上動點，過P作PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，連接EF，則EF的最小值為(

)A.2B.4C.2D.7.如圖，正方形ABCD的邊長為4，G是對角線BD上一動點，GE⊥CD于點E，GF⊥BC于點F，連接EF，給出四種情況：

①若G為BD的中點，則四邊形CEGF是正方形；②若G為BD上任意一點，則AG=EF；

③點G在運動過程中，GE+GF的值為定值4；④點G在運動過程中，線段EF的最小值為22．

正確的有(

)A.①②③④ B.①②③ C.①②④ D.①③④8.如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，P為邊BC上一動點，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，動點P從點B出發(fā)，沿著BC勻速向終點C運動，則線段EF的值大小變化情況是(

)A.一直增大 B.不變 C.先減小后增大 D.先增大后減小9.如圖,點P為正方形ABCD對角線BD上一動點,AB=2,則AP+BP+CP的最小值為

(

)

A.2+5 B.2+6 9.4.4菱形性質(zhì)1.如圖，在菱形紙片ABCD中，AB=2，∠A=60°，將菱形紙片翻折，使點A落在CD的中點E處，折痕為FG，點F，G分別在邊AB，AD上，則EF的長為(

)A.74 B.95 C.1910 2.如圖，菱形ABCD的邊長為4，∠A=60°，E是邊AD的中點，F(xiàn)是邊AB上的一個動點將線段EF繞著點E逆時針旋轉60°得到EG，連接BG、CG，則BG+CG的最小值為(

)A.33 B.27 C.3.如圖，在邊長為1的菱形ABCD中，∠ABC=60°，將△ABD沿射線BD的方向平移得到△A′B′D′，分別連接A′C，A′D，B′C，則A′C+B′C的最小值為______．4.如圖所示，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，四邊形ABCO是菱形，點A的坐標為(?3,4)，點C在x軸正半軸上，直線AC交y軸于點M，AB邊交y軸于點H．

(1)求直線AC的函數(shù)解析式及MH的長；(2)連接BM，動點P從點A出發(fā)，沿折線A→B→C方向以每秒1個單位的速度向終點C勻速運動，設△PMB的面積為S(S≠0)，點P的運動時間為t秒，求S與t之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量t的取值范圍；(3)在(2)的情況下，當點P在線段AB上運動時，是否存在以BM為腰的等腰三角形？如存在，直接寫出t的值；如不存在，說明理由．5.如圖，直線l1:y=?12x+b分別與x軸、y軸交于A、B兩點，與直線l2

(1)點A坐標為(?_____，____)，B為(____，____);

(2)在線段BC上有一點E，過點E作y軸的平行線交直線l2于點F，設點E的橫坐標為m，當m為何值時，四邊形OBEF是平行四邊形

(3)若點P為x軸上一點，則在平面直角坐標系中是否存在一點Q，使得P、Q、A、B四個點能構成一個菱形.若存在，求出所有符合條件的Q點坐標;若不存在，請說明理由．6.如圖，四邊形OABC是菱形，點C在x軸上，AB交y軸于點H，AC交y軸于點M.點P從點A出發(fā)，以2單位長/秒的速度沿折線A?B?C運動，到達點C終止．已知點A(?3,4)，設點P的運動時間為t(秒)，△PMB的面積為S(平方單位)．

(1)求點C和點B的坐標；

(2)求點M的坐標；

(3)求S與t的函數(shù)關系式；

(4)求S的最大值．

9.4.5菱形判定1.如圖，已知直線l//AB，l與AB之間的距離為2.C、D是直線l上兩個動點(點C在D點的左側)，且AB=CD=5.連接AC、BC、BD，將△ABC沿BC折疊得到△A′BC.下列說法：①四邊形ABCD的面積始終為10；②當A′與D重合時，四邊形ABDC是菱形；③當A′與D不重合時，連接A′、D，則∠CA′D+∠BCA′=180°；④若以A′、C、B、D為頂點的四邊形為矩形，則此矩形相鄰兩邊之和為35或其中正確的是(

)A.①②④ B.①③④ C.①②③ D.①②③④2.在矩形ABCD中，M，N，P，Q分別為邊AB，BC，CD，DA上的點(不與端點重合)，對于任意矩形ABCD，下面四個結論中，①存在無數(shù)個四邊形MNPQ是平行四邊形；②存在無數(shù)個四邊形MNPQ是矩形；③存在無數(shù)個四邊形MNPQ是菱形；④至少存在一個四邊形MNPQ是正方形．所有正確結論的序號是

．3.如圖，矩形ABCD中，點P是線段AD上一動點，O為BD的中點，PO的延長線交BC于Q.若AD=8cm，AB=6cm，P從點A出發(fā)，以1cm/s的速度向D運動(不與D重合).設點P運動時間為t(s)，則當t=

時，四邊形PBQD是菱形．4.如圖，矩形OABC的頂點A、C分別在x軸、y軸的正半軸上，點B的坐標為(3,4)，一次函數(shù)y=?23x+b的圖象與邊OC、AB分別交于點D、E，且OD=BE.點M是線段DE上的一個動點．

(1)求b的值；

(2)連結OM，若三角形ODM的面積與四邊形OAEM的面積之比為1：3，求點M的坐標；

(3)設點N是平面內(nèi)的一點，以O、D、M、N為頂點的四邊形是菱形，直接寫出點N實踐操作

在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，現(xiàn)將紙片折疊，點D的對應點記為點P，折痕為EF(點E、F是折痕與矩形的邊的交點)，再將紙片還原．

初步思考

(1)若點P落在矩形ABCD的邊AB上(如圖①)

①當點P與點A重合時，∠DEF=______°；當點E與點A重合時，∠DEF=______°；

②當點E在AB上，點F在DC上時(如圖②)，

求證：四邊形DEPF為菱形，并直接寫出當AP=3.5時的菱形EPFD的邊長．

深入探究

(2)若點P落在矩形ABCD的內(nèi)部(如圖③)，且點E、F分別在AD、DC邊上，請直接寫出AP的最小值______．

拓展延伸

(3)若點F與點C重合，點E在AD上，線段BA與線段FP交于點M(如圖④).在各種不同的折疊位置中，是否存在某一情況，使得線段AM與線段DE的長度相等？若存在，請直接寫出線段AE的長度；若不存在，請說明理由．

9.4.6菱形性質(zhì)及判定1.如圖，在?ABCD中，CD=2AD，BE⊥AD于點E，F(xiàn)為DC的中點，連接EF、BF，下列結論：①∠ABC=2∠ABF；②EF=BF；③S四邊形DEBC=2S△EFB；④∠CFE=3∠DEF.其中正確的有A.1個 B.2個 C.3個 D.4個2.如圖，先有一張矩形紙片ABCD，AB=4，BC=8，點M，N分別在矩形的邊AD，BC上，將矩形紙片沿直線MN折疊，使點C落在矩形的邊AD上，記為點P，點D落在G處，連接PC，交MN于點Q，連接CM.下列結論：

①CQ=CD；②四邊形CMPN是菱形；

③P，A重合時，MN=25；

④△PQM的面積S的取值范圍是3≤S≤5．

其中正確的是

(把正確結論的序號都填上)．3.如圖，在矩形ABCD中，E是AD上一點，PQ垂直平分BE，分別交AD、BE、BC于點P、O、Q，連接BP、EQ．

(1)求證：四邊形BPEQ是菱形；

(2)若AB=6，F(xiàn)為AB的中點，OF+OB=9，求PQ的長．4.如圖1，點A，B的坐標分別為(6,0)，(0,8)，動點P從點A開始沿線段AO向點O以每秒1個單位長度的速度運動，動點Q從點O開始沿線段OB向點B以每秒2個單位長度的速度運動，過點P作PD/?/BO交AB于點D，連接PQ，點P，Q分別從點A，O同時出發(fā)，當其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動，設運動時間為t秒(t≥0)．(1)用含t的代數(shù)式分別表示QB和PD的長．(2)是否存在t的值，使四邊形PDBQ為菱形，若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．(3)如圖2，在整個運動過程中，求線段PQ中點M所經(jīng)過的路徑長(直接寫出結果)．9.4.7菱形判斷及性質(zhì)最值1.如圖，由兩個長為9，寬為3的全等矩形疊合而得到四邊形ABCD，則四邊形ABCD面積的最大值是(

)A.15B.16C.19D.202.如圖，將兩張長為5，寬為1的矩形紙條交叉，讓兩個矩形對角線交點重合，且使重疊部分成為一個菱形．當兩張紙條垂直時，菱形周長的最小值是4，把一個矩形繞兩個矩形重合的對角線交點旋轉一定角度，在旋轉過程中，得出所有重疊部分為菱形的四邊形中，周長的最大值是(

)A.8 B.10 C.10.4 D.123.如圖，將兩張長為10，寬為2的矩形紙條交叉，使重疊部分是一個菱形，容易知道當兩張紙條垂直時，菱形的周長有最小值8，那么，菱形周長的最大值為(

)A.265 B.845 C.10454.在平面直角坐標系中，點A(0,3)、D(6,0)，一次函數(shù)y=?12x?3的圖像分別交x軸、y軸于點B、C，點E、F、P分別在邊AB、AD、BD上運動，則EP+PF的最小值是A.955 B.1255 C.5.如圖所示，已知Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，D，E，F(xiàn)分別是三邊AB，BC，CA上的點，則DE+EF+FD的最小值為(

)A.125 B.245 C.5 6.如圖，△ABC中，AC=BC=3，AB=2，將它沿AB翻折得到△ABD，點P、E、F分別為線段AB，AD，DB上的動點，則PE+PF的最小值是A.103 B.223 7.如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線BD平分∠ABC，BC=8，∠ABC=45?°，在對角線BD上有一動點P，邊BC上有一動點Q，使PQ+PC的值最小，則這個最小值為

(

)A.4 B.42 C.48.如圖，?ABCD的面積為12，AC=BD=6，AC與BD交于點O，分別過點C，D作BD，AC的平行線相交于點F，點G是CD的中點，點P是四邊形OCFD邊上的動點，則PG的最小值是(

)A.1 B.32 C.32 9.4.8菱形最值1.菱形OABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示，頂點A(5,0)，OB=45，P是對角線OB上的一個動點，D(0,1)，當CP+DP的值最小時，點P的坐標為

(

)A.(0,0) B.1,12 C.652.如圖，已知AB=8，P為線段AB上的一個動點，分別以AP，PB為邊在AB的同側作菱形APCD和菱形PBFE，點P，C，E在一條直線上，∠DAP=60°.M，N分別是對角線AC，BE的中點．當點P在線段AB上移動時，點M，N之間的距離最短為(

)A.4B.23C.43.如圖，已知菱形ABCD的面積為20，邊長為5，點P、Q分別是邊BC、CD上的動點，且PC=CQ，連接PD、AQ，則PD+AQ的最小值為(

)A.45B.89C.104.在菱形ABCD中，∠C=∠EDF=60°，AB=1，現(xiàn)將∠EDF繞點D任意旋轉，分別交邊AB、BC于點E、F(不與菱形的頂點重合)，連接EF，則△BEF的周長最小值是(

)A.1+3 B.1+32 5.如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，∠A=60?°，點M是AD邊的中點，點N是AB邊上一動點，將ΔAMN沿MN所在的直線翻折得到ΔA′MN，連接A′C，則A′C長度的最小值是(

)A.7 B.7?1 C.9.4.9正方形的性質(zhì)1.如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)將對角線AC三等分，且AC=12，點P在正方形的邊上，則滿足PE+PF=9的點P的個數(shù)是(

)A.0 B.4 C.6 D.82.如圖，正方形ABCD和正方形EFCG的邊長分別為3和1，點F，G分別在邊BC，CD上，P為AE的中點，連接PG，則PG的長為

．3.正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如圖的方式放置．點A1，A2，4.如圖，正方形OABC的邊OA，OC在坐標軸上，點B的坐標為(?4,4).點P從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿x軸向點O運動；點Q從點O同時出發(fā)，以相同的速度沿x軸的正方向運動，規(guī)定點P到達點O時，點Q也停止運動．連接BP，過P點作BP的垂線，與過點Q平行于y軸的直線l相交于點D.BD與y軸交于點E，連接PE.設點P運動的時間為t(s)．

(1)∠PBD的度數(shù)為______，點D的坐標為________(用t表示)；

(2)當t為何值時，△PBE為等腰三角形？

(3)探索△POE周長是否隨時間t的變化而變化？若變化，說明理由；若不變，試求這個定值．5.如圖1，在矩形紙片ABCD中，AB=3cm，AD=5cm，折疊紙片使B點落在邊AD上的E處，折痕為PQ，過點E作EF/?/AB交PQ于F，連接BF．

(1)求證：四邊形BFEP為菱形；

(2)當點E在AD邊上移動時，折痕的端點P、Q也隨之移動；

①當點Q與點C重合時(如圖2)，求菱形BFEP的邊長；

②若限定P、Q分別在邊BA、BC上移動，求出點E在邊AD上移動的最大距離．

9.4.10正方形判斷1.給出下列判斷：①.四個角相等的四邊形是正方形.②對角線相等的四邊形是矩形.③對角形互相垂直且相等的四邊形是正方形.④有一條對角線平分一個內(nèi)角的平行四邊形為菱形.其中不正確的有(

)A.4個 B.3個 C.2個 D.1個2.如圖，點E，F(xiàn)，G，H分別在矩形ABCD(AB>AD)的四條邊上，連接EF，F(xiàn)G，GH，HE，得到四邊形EFGH.下列關于四邊形EFGH的說法正確的是(

)①存在無數(shù)個四邊形EFGH是平行四邊形；②存在無數(shù)個四邊形EFGH是菱形；③存在無數(shù)個四邊形EFGH是矩形；④存在無數(shù)個四邊形EFGH是正方形A.① B.①② C.①②③ D.①②③④3.如圖，△ABC中，O為AC上的任意一點(不與A、C重合)，過點O作直線l/?/BC，直線l與∠BCA的平分線相交于點E，與∠DCA的平分線相交于點F．

(1)OE=OF嗎？為什么？

(2)點O在何處時，四邊形AECF為矩形？為什么？

(3)△ABC滿足什么條件時，(2)中的四邊形AECF是正方形？4.如圖，四邊形ABCD中，AD?//?BC，∠ADC=90°，AD=8，BC=CD=6，點M從點D出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度向點A運動，同時，點N從點B出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度向點C運動.當其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動.過點N作NP⊥AD于點P，連結AC交NP于點Q，連結MQ，設運動時間為t秒(0<t<4)．(1)求點B到線段AC的距離；(2)當NP經(jīng)過線段AC中點時，求t的值并直接寫出此時線段MQ、NQ的關系；(3)連結AN、CP，在點M、N運動過程中，是否存在某一時刻t，使四邊形ANCP的面積與四邊形ABNP的面積相等？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；(4)將△AQM沿AD翻折，得到△AKM.在點M、N運動過程中，①是否存在某時刻t，使四邊形AQMK為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；②是否存在某時刻t，使四邊形AQMK為正方形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．5.【圖形定義】有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做“等鄰邊四邊形”．【問題探究】(1)如圖①，已知矩形ABCD是“等鄰邊四邊形”，則矩形ABCD____(填“一定”或“不一定”)是正方形；(2)如圖②，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=4，動點M、N分別在AD、CD上(不含端點)，若∠MBN=60°，試判斷四邊形BMDN是否為“等鄰邊四邊形”？如果是“等鄰邊四邊形”，請證明；如果不是，請說明理由；此時，四邊形BMDN的周長的最小值為____；【嘗試應用】(3)現(xiàn)有一個平行四邊形材料ABCD，如圖③，在?ABCD中，AB=17，BC=6，?ABCD的面積為24，點E在BC上，且BE=4，在?ABCD邊AD上有一點P，使四邊形ABEP為“等鄰邊四邊形”，請直接寫出此時四邊形ABEP的面積可能為的值____．9.4.11正方形的判斷與性質(zhì)1.如圖四邊形ABCD中，AD//BC，∠BCD=90°，AB=BC+AD，∠DAC=45°，E為CD上一點，且∠BAE=45°.若CD=4，則△ABE的面積為(

)A.127B.247C.4872.如圖，動點M從(0,3)出發(fā)，沿y軸以每秒1個單位長度的速度向下移動，同時動點N從(4,0)出發(fā)，沿x軸以每秒2個單位長度的速度向右移動，當點M移動到O點時，點M、N同時停止移動.點P在第一象限內(nèi)，在M、N移動過程中，始終有PM⊥PN，且PM=PN.則在整個移動過程中，點P移動的路徑長為(

)A.322 B.3233.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AB=6，點D、E分別在邊AB、AC上，AD=2，AE=22，點F從點D出發(fā)沿DB向點B運動，運動到點B結束，以EF為斜邊作等腰直角三角形EFP(點E、F、P按順時針排列)，在點F運動過程中點P經(jīng)過的路徑長是____________．4.綜合與實踐問題情境：

如圖①，點E為正方形ABCD內(nèi)一點，∠AEB=90°，將Rt△ABE繞點B按順時針方向旋轉90°，得到△CBE′(點A的對應點為點C).延長AE交CE′于點F，連接DE．

猜想證明：

(1)試判斷四邊形BE′FE的形狀，并說明理由；

(2)如圖②，若DA=DE，請猜想線段CF與FE′的數(shù)量關系并加以證明；

解決問題：

(3)如圖①，若AB=15，CF=3，請直接寫出DE的長．9.4.12正方形最值1.如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為BC上一點，且BE=1，F(xiàn)為AB邊上的一個動點，連接EF，以EF為邊向右側作等邊△EFG，連接CG，則CG的最小值為

.

2.如圖，正方形ABCD的邊長為2，點E，點F分別是邊BC，邊CD上的動點，且BE=CF，AE與BF相交于點P.若點M為邊BC的中點，點N為邊CD上任意一點，則MN+PN的最小值等于______．3.如圖，已知