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第12招構造中位線的五種常用方法冀教版八年級下

例典例剖析【解題秘方】圖中不存在中點，但結論與三角形中位線定理很類似，因此應設法尋找中點，再構造三角形的中位線．方法1連接兩點構造三角形的中位線分類訓練1[2023·廣西]如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的動點，M，N分別是EF，AF的中點，則MN的最大值為________．【點撥】2如圖，在△ABC中，點M為BC的中點，AD為△ABC的外角平分線，且AD⊥BD，若AB＝12，AC＝18，求DM的長．方法2

已知角平分線及垂直構造中位線3如圖，在△ABC中，已知AB＝6，AC＝10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于點D，E為BC的中點，求DE的長.【解】如圖，延長BD交AC于點F.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.∵BD⊥AD，∴∠ADB＝90°＝∠ADF.方法3倍長法構造三角形的中位線∵△BEF為等腰直角三角形，∠BEF＝90°，∴∠BFN＝45°.∴∠BNF＝45°.∴∠FBN＝180°－∠BFN－∠BNF＝90°，即∠FBA＋∠ABN＝90°.又∵∠ABC＝∠FBA＋∠CBF＝90°，∴∠CBF＝∠ABN.方法4

已知兩邊中點，取第三邊中點構造三角形的中位線6[2023·武漢外國語學校月考]如圖，在四邊形ABCD中，AB＝CD，M，N分別為邊AD，BC的中點，EF⊥MN交AB于點E，交CD于點F.求證：∠AEF＝∠DFE.【證明】如圖所示，設MN與EF相交于點O，NM的延長線與BA的延長線交于點P，與CD的延長線交于點Q，連接BD，取BD的中點G，連接MG，NG.∵MG∥AB，∴∠GMN＝∠BPN.∵NG∥CD，∴∠GNM＝∠NQC.∴∠BPN＝∠NQC.∵EF⊥MN，∴∠EOP＝90°，∠FOQ＝90°.∴∠BPN＋∠AEF＝90°，∠NQC＋∠DFE＝90°.∴∠AEF＝∠DFE.【點方法】本題考查了三角形中位線定理及平行線的性質，巧妙構造三角形的中位線是解此題的關鍵．方法5已知一邊中點，推理得出另一邊中點，再取第三邊中點構造三角形的中位線【證明】如圖，取NC的中點H，連接DH，過點H作HE∥

AD，交BN的延長線于點E.∵AB＝AC，AD⊥BC，∴D為BC的中點．又∵H為NC的

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