2023年廣東省中考數(shù)學試卷及答案

2023年廣東省初中學業(yè)水平考試數(shù)學

滿分120分，考試用時90分鐘.

一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.負數(shù)的概念最早出現(xiàn)在我國古代著名的數(shù)學專著《九章算術(shù)》中，如果把收入5元記作+5元，那么支

出5元記作（）

A-5元B.0元C.+5元D.+10元

2.下列出版社的商標圖案中，是軸對稱圖形的為（）

3.2023年5月28日，我國自主研發(fā)的C919國產(chǎn)大飛機商業(yè)首航取得圓滿成功，C919可儲存約186000升

燃油，將數(shù)據(jù)186000用科學記數(shù)法表示為（）

A.0.186xl05B.1.86xl05C.18.6xl04D.186xl03

4.如圖，街道A3與。)平行，拐角NA3C=137°,則拐角N5CD=()

C.107°D.

32

5.計算一+—的結(jié)果為（）

aa

6

D.

aa

6.我國著名數(shù)學家華羅庚曾為普及優(yōu)選法作出重要貢獻，優(yōu)選法中有一種0.618法應(yīng)用了（）

A.黃金分割數(shù)B.平均數(shù)C.眾數(shù)D.中位數(shù)

7.某學校開設(shè)了勞動教育課程.小明從感興趣的“種植”“烹飪”“陶藝”“木工”4門課程中隨機選擇一

門學習，每門課程被選中的可能性相等，小明恰好選中“烹飪”的概率為（）

111i

A.-B.-C.-D.-

8642

x-2>l

8.一元一次不等式組《“解集為（）

x<4

A.-l<x<4B.x<4C.x<3D.3<%<4

9.如圖，AB是。的直徑，ZBAC=50°,則ND=（）

10.如圖，拋物線丁=。必+。經(jīng)過正方形Q4BC的三個頂點A,B,C,點B在y軸上，則"的值為

二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分.

11因式分解：%2-1=.

12.計算氐/=.

13.某蓄電池的電壓為48V,使用此蓄電池時，電流/（單位：A）與電阻R（單位：Q）的函數(shù)表達式為

48

/=—,當R=12Q時，/的值為A.

14.某商品進價4元，標價5元出售，商家準備打折銷售，但其利潤率不能少于10%,則最多可打

_______折.

15.邊長分別為10,6,4的三個正方形拼接在一起，它們的底邊在同一直線上（如圖），則圖中陰影部分

的面積為.

1()

三、解答題（一）：本大題共3小題，第16題10分，第17、18題各7分，共24分.

16.(1)計算：裝+|—5|+(—1)2必；

（2）已知一次函數(shù)、=履+人的圖象經(jīng)過點（0,1）與點（2,5）,求該一次函數(shù)的表達式.

17.某學校開展了社會實踐活動，活動地點距離學校12km,甲、乙兩同學騎自行車同時從學校出發(fā)，甲的

速度是乙的1.2倍，結(jié)果甲比乙早到lOmin,求乙同學騎自行車的速度.

18.2023年5月30日，神舟十六號載人飛船發(fā)射取得圓滿成功，3名航天員順利進駐中國空間站，如圖中

的照片展示了中國空間站上機械臂的一種工作狀態(tài)，當兩臂AC=3C=10m,兩臂夾角NACB=100°

時，求A,8兩點間的距離.（結(jié)果精確到Qlm,參考數(shù)據(jù)sin50。70.766,cos50°?0.643,

tan50°?1.192）

四、解答題（二）：本大題共3小題，每小題9分，共27分.

19.如圖，在YABC。中，ZZMB=30°.

（1）實踐與操作：用尺規(guī)作圖法過點。作A3邊上的高OE；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）

（2）應(yīng)用與計算：在（1）的條件下，AD=4,AB=6,求虛的長.

20.綜合與實踐

主題：制作無蓋正方體形紙盒

素材：一張正方形紙板.

步驟1：如圖1,將正方形紙板的邊長三等分，畫出九個相同的小正方形，并剪去四個角上的小正方形;

步驟2：如圖2,把剪好的紙板折成無蓋正方體形紙盒.

猜想與證明：

c

圖1圖2

（1）直接寫出紙板上/ABC與紙盒上幺用怎的大小關(guān)系；

（2）證明（1）中你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.

21.小紅家到學校有兩條公共汽車線路，為了解兩條線路乘車所用時間，小紅做了試驗，第一周（5個工

作日）選擇A線路，第二周（5個工作日）選擇B線路，每天在固定時間段內(nèi)乘車2次并分別記錄所用時間，

數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：（單位：min）

數(shù)據(jù)統(tǒng)計表

試驗序號12345678910

A線路所用時間15321516341821143520

B線路所用時間25292325272631283024

數(shù)據(jù)折線統(tǒng)計圖

“時間/min

OI234567X910站庠號

根據(jù)以上信息解答下列問題：

平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差

A線路所用時間22a1563.2

B線路所用時間b26.5C6.36

（2）應(yīng)用你所學的統(tǒng)計知識，幫助小紅分析如何選擇乘車線路.

五、解答題（三）：本大題共2小題，每小題12分，共24分.

22.綜合探究

如圖1,在矩形人3。。中（45>4。），對角線AC,此相交于點。，點A關(guān)于3D的對稱點為連接

AA交BD于點E,連接CA'.

圖1圖2圖3

（1）求證：AA1

（2）以點。為圓心，0E為半徑作圓.

①如圖2,。與CD相切，求證：=y/3CA'；

②如圖3,。與C4'相切，AD=1，求.。的面積.

23.綜合運用

如圖1,在平面直角坐標系中，正方形Q4BC的頂點A在無軸的正半軸上，如圖2,將正方形。4BC繞點

。逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為1（0°<1<45°）,AB交直線丁=%于點E,交》軸于點尸.

圖1圖2圖3

（1）當旋轉(zhuǎn)角NCOP為多少度時，OE=OF-,（直接寫出結(jié)果，不要求寫解答過程）

（2）若點A（4,3）,求/C的長；

（3）如圖3,對角線AC交,軸于點M,交直線丁=*于點N,連接F7V,將△OEV與△OCT的面積

分別記為航與邑，設(shè)S=H-$2，AN=n,求S關(guān)于”的函數(shù)表達式.

2023年廣東省初中學業(yè)水平考試數(shù)學

滿分120分，考試用時90分鐘.

一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.負數(shù)的概念最早出現(xiàn)在我國古代著名的數(shù)學專著《九章算術(shù)》中，如果把收入5元記作+5元，那么支

出5元記作（）

A-5元B.0元C.+5元D.+10元

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)相反數(shù)的意義可進行求解.

【詳解】解：由把收入5元記作+5元，可知支出5元記作-5元；

故選A.

【點睛】本題主要考查相反數(shù)的意義，熟練掌握相反數(shù)的意義是解題的關(guān)鍵.

2.下列出版社的商標圖案中，是軸對稱圖形的為（）

A頷B令Q

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念：一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁部分能夠完全重合的圖形；由此問題

可求解.

【詳解】解：符合軸對稱圖形的只有A選項，而B、C、D選項找不到一條直線能使直線兩旁部分能夠完

全重合；

故選A.

【點睛】本題主要考查軸對稱圖形的識別，熟練掌握軸對稱圖形的概念是解題的關(guān)鍵.

3.2023年5月28日，我國自主研發(fā)的C919國產(chǎn)大飛機商業(yè)首航取得圓滿成功，C919可儲存約186000升

燃油，將數(shù)據(jù)186000用科學記數(shù)法表示為（）

A.0.186xl05B.1.86xl05C.18.6xl04D.186xl03

【答案】B

【解析】

【分析】科學記數(shù)法的表示形式為ax10"的形式，其中1<|a|<10,“為整數(shù).確定w的值時，要看把

原數(shù)變成。時，小數(shù)點移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當原數(shù)絕對值大于或等于10

時，”是正整數(shù)；當原數(shù)的絕對值小于1時，”是負整數(shù).

【詳解】解：將數(shù)據(jù)186000用科學記數(shù)法表示為1.86x105；

故選B

【點睛】本題主要考查科學記數(shù)法，熟練掌握科學記數(shù)法的表示方法是解題的關(guān)鍵.

A.43°B.53°C.107°D,137°

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可進行求解.

（詳解】解：：ABCD,ZABC=137°,

ZBCD=ZABC=137°；

故選D.

【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

32

5.計算士+一的結(jié)果為（）

aa

1656

A.-B.—-C.-D.一

aaaa

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)分式的加法運算可進行求解.

【詳解】解：原式=*；

a

故選C.

【點睛】本題主要考查分式的運算，熟練掌握分式的運算是解題的關(guān)鍵.

6.我國著名數(shù)學家華羅庚曾為普及優(yōu)選法作出重要貢獻，優(yōu)選法中有一種0.618法應(yīng)用了（）

A.黃金分割數(shù)B.平均數(shù)C.眾數(shù)D.中位數(shù)

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)黃金分割比可進行求解.

【詳解】解：0.618為黃金分割比，所以優(yōu)選法中有一種0.618法應(yīng)用了黃金分割數(shù);

故選A.

【點睛】本題主要考查黃金分割比，熟練掌握黃金分割比是解題的關(guān)鍵.

7.某學校開設(shè)了勞動教育課程.小明從感興趣的“種植”“烹飪”“陶藝”“木工”4門課程中隨機選擇一

門學習，每門課程被選中的可能性相等，小明恰好選中“烹飪”的概率為（）

1111

A.-B.-C.-D.—

8642

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)概率公式可直接進行求解.

【詳解】解：由題意可知小明恰好選中“烹飪”的概率為工；

4

故選C.

【點睛】本題主要考查概率，熟練掌握概率公式是解題的關(guān)鍵.

8.一元一次不等式組1“的解集為（）

x<4

A.-1<%<4B.x<4C.x<3D.3<x<4

【答案】D

【解析】

【分析】第一個不等式解與第二個不等式的解，取公共部分即可.

x-2>l@

【詳解】解:[x<4②

解不等式①得：x>3

結(jié)合②得：不等式組的解集是3<x<4,

故選：D.

【點睛】本題考查解一元一次不等式組，掌握解一元一次不等式組的一般步驟是解題的關(guān)鍵.

9.如圖，A3是。的直徑，ZBAC=50°,則“=（）

c

c.50°D.80°

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)圓周角定理可進行求解.

【詳解】解：：A3是。。直徑，

ZACfi=90°,

ZBAC=50°,

ZABC=90°—ABAC=40°,

,AC=AC

：.ZD=ZABC=40°；

故選B.

【點睛】本題主要考查圓周角的相關(guān)性質(zhì)，熟練掌握直徑所對圓周角為直角是解題的關(guān)鍵.

10.如圖，拋物線y=ax2+c經(jīng)過正方形Q4BC的三個頂點A,B,C,點B在〉軸上，則的值為

C.-3D.-4

【答案】B

【解析】

（分析］連接AC,交y軸于點D,根據(jù)正方形的性質(zhì)可知AC=OB=2AD=2OD,然后可得點A

進而代入求解即可.

【詳解】解：連接AC,交y軸于點D如圖所示:

AAC=OB=2AD=2OD=c,ACYOB,

解得：ac——2,

故選B.

【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及正方形的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及正方形

的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分.

11.因式分解：x2—1=.

【答案】(1+1)(%—1)

【解析】

【分析】利用平方差公式進行因式分解即可得.

【詳解】解：x2-l=(x+l)(x-l),

故答案為：(%+1)(%-1).

【點睛】本題考查了利用平方差公式進行因式分解，熟記平方差公式是解題關(guān)鍵.

12.計算上.

【答案】6

【解析】

【分析】利用二次根式的乘法法則進行求解即可.

【詳解】解：6x-\/12=-\/36=6.

故答案為：6.

【點睛】本題考查了二次根式的乘法，熟練掌握二次根式的乘法法則和二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

13.某蓄電池的電壓為48V,使用此蓄電池時，電流/（單位：A）與電阻R（單位：Q）的函數(shù)表達式為

48

/=—,當尺=12。時，/的值為A.

【答案】4

【解析】

48

【分析】將尺=12。代入/中計算即可；

【詳解】解：：尺=120，

.?.T若=4（A）

故答案為:4.

【點睛】本題考查已知自變量的值求函數(shù)值，掌握代入求值的方法是解題的關(guān)鍵.

14.某商品進價4元，標價5元出售，商家準備打折銷售，但其利潤率不能少于10%,則最多可打

_______折.

【答案】8.8

【解析】

【分析】設(shè)打無折，由題意可得5x——4>4xl0%,然后求解即可.

10

【詳解】解：設(shè)打無折，由題意得5x——4>4xl0%,

10

解得：%>8.8；

故答案為8.8.

【點睛】本題主要考查一元一次不等式的應(yīng)用，熟練掌握一元一次不等式的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

15.邊長分別為10,6,4的三個正方形拼接在一起，它們的底邊在同一直線上（如圖），則圖中陰影部分

的面積為?

1()

【解析】

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)可進行求解.

【詳解】解：如圖，

由題意可知AO=。。=10,CG=CE==6,ZCEF=ZEFG=90°,GH=4,

：.CH=10=AD,

?/ND=ZDCH=90°,ZAJD=ZHJC,

.ADJ^HCJ(AAS),

：.CJ=DJ=5,

??.￡7=1,

GI//CJ,

HGSHCJ,

?G1_GH__2

??——,

CJCH5

GI=2,

:?FI=4,

+FI)-EF=15；

故答案為15.

【點睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握正方形的性質(zhì)及相似三角形的

性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

三、解答題(一)：本大題共3小題，第16題10分，第17、18題各7分，共24分.

16.(1)計算：W+|—51+(—1嚴23；

(2)已知一次函數(shù)、=履+力的圖象經(jīng)過點(0,1)與點(2,5),求該一次函數(shù)的表達式.

【答案】(1)6；(2)y=2x+l

【解析】

【分析】(1)先求出立方根及有理數(shù)的乘方運算，絕對值的化簡，然后計算加減法即可;

(2)將兩個點代入解析式求解即可.

【詳解】解：(1)通+|—5|+(旬嚴23

=2+5-1

=6；

(2).??一次函數(shù)y=履+方的圖象經(jīng)過點(0,1)與點(2,5),

l=b

，代入解析式得:

'5=2k+b

b=l

解得：《

k=2

...一次函數(shù)的解析式為：y=2x+l.

【點睛】題目主要考查實數(shù)的混合運算及待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式，熟練掌握這些基礎(chǔ)知識點是解

題關(guān)鍵.

17.某學校開展了社會實踐活動，活動地點距離學校12km,甲、乙兩同學騎自行車同時從學校出發(fā)，甲的

速度是乙的1.2倍，結(jié)果甲比乙早到lOmin,求乙同學騎自行車的速度.

【答案】乙同學騎自行車的速度為0.2千米/分鐘.

【解析】

【分析】設(shè)乙同學騎自行車的速度為x千米/分鐘，則甲同學騎自行車的速度為L2x千米/分鐘，根據(jù)時間=

路程+速度結(jié)合甲車比乙車提前10分鐘到達，即可得出關(guān)于無的分式方程，解之并檢驗后即可得出結(jié)論.

【詳解】解：設(shè)乙同學騎自行車的速度為尤千米/分鐘，則甲同學騎自行車的速度為1.2九千米/分鐘，

根據(jù)題意得：—--=10,

x1.2x

解得：x=0.2.

經(jīng)檢驗，％=0.2是原方程的解，且符合題意,

答：乙同學騎自行車的速度為02千米/分鐘.

【點睛】題目主要考查分式方程的應(yīng)用，理解題意列出分式方程是解題的關(guān)鍵.

18.2023年5月30日，神舟十六號載人飛船發(fā)射取得圓滿成功，3名航天員順利進駐中國空間站，如圖中

的照片展示了中國空間站上機械臂的一種工作狀態(tài)，當兩臂AC=BC=10m,兩臂夾角NACB=100°

時，求A,B兩點間的距離.（結(jié)果精確到0.1m,參考數(shù)據(jù)sin50。70.766,cos50°?0.643,

tan50°~1.192）

【答案】15.3m

【解析】

【分析】連接A5,作作于。，由等腰三角形“三線合一”性質(zhì)可知，AB=2AD,

1

ZACD=-ZACB=5Q°,在Rtz\ACD中利用sinNACO=—求出繼而求出A3即可.

2AC

【詳解】解：連接AB,作CDLAB于。，

VAC=BC,CD±AB,

???CD是邊A3邊上的中線，也是NACB的角平分線，

：.AB=2AD,ZACD=-ZACB=5Q°,

2

AT)

在Rtz^ACZ)中，AC=10m,ZACD=50°,sinZACD=—

AC

sin50°=—

10

AD=10sin50°710x0.766=7.66

AB=2ADx2x7.66=15.32工15.3（m）

答：A,8兩點間的距離為15.3m.

【點睛】本題考查等腰三角的性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用等知識，掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

四、解答題（二）：本大題共3小題，每小題9分，共27分.

19.如圖，YABC。中，ZDAB=30°.

A

B

（1）實踐與操作：用尺規(guī)作圖法過點。作AB邊上的高OE；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）

（2）應(yīng)用與計算：在（1）的條件下，AD=4,AB=6,求助的長.

【答案】（1）見解析（2）6-273

【解析】

【分析】（D根據(jù)過直線外一點作已知直線的垂線的方法作圖即可，可用圓規(guī)以點。為圓心，在A3上找

到兩個點到點。的距離相等，再分別以這兩個點為圓心，相等且大于這兩點距離的一半為半徑畫弧，再找

到一個到這兩個點的距離相等的點，連接最后得到的點與點。所得線段所在的直線就是高DE所在的直線,

據(jù)此畫圖即可；

（2）先利用30度角余弦值求出AE,再由3石=A3—AE計算即可.

【小問1詳解】

解：依題意作圖如下，則OE即為所求作的高：

【小問2詳解】

*

VAD=4,ZDAB=30°,。石是A3邊上的高,

：.cosZDAB=—,即整=cos300=走

AD42

AE=4義顯=2日

2

又■:AB=6,

?*-BE=AB-AE=6-2y/3，

即BE的長為6-26.

【點睛】本題考查尺規(guī)作圖一作垂線，30度角的余弦值，掌握過直線外一點作垂線的方法和30度角的余

弦值是解題的關(guān)鍵.

20.綜合與實踐

主題：制作無蓋正方體形紙盒

素材：一張正方形紙板.

步驟1:如圖1,將正方形紙板的邊長三等分，畫出九個相同的小正方形，并剪去四個角上的小正方形;

步驟2：如圖2,把剪好的紙板折成無蓋正方體形紙盒.

猜想與證明：

圖1圖2

（1）直接寫出紙板上/A3C與紙盒上幺用，的大小關(guān)系；

（2）證明（1）中你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.

【答案】（1）NABC=NABG

（2）證明見解析.

【解析】

【分析】（1）一ABC和AA4G均是等腰直角三角形，NABC=NA4G=45。；

（2）證明一ABC是等腰直角三角形即可.

【小問1詳解】

解：ZABC=

【小問2詳解】

證明：連接AC,

設(shè)小正方形邊長為1,則AC=BC=S=由，AB=712+32=V10>

QAC2+BC2=5+5=Ag2,

ABC為等腰直角三角形,

A1cl=B]C]=1,4G-LB[G,

???4與。]為等腰直角三角形，

NABC=NA4C1=45。，

故/45。=/4用￡

【點睛】此題考查了勾股定理及其逆定理的應(yīng)用和等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握其性質(zhì)是解答此題的關(guān)

鍵.

21.小紅家到學校有兩條公共汽車線路，為了解兩條線路的乘車所用時間，小紅做了試驗，第一周（5個工

作日）選擇A線路，第二周（5個工作日）選擇B線路，每天在固定時間段內(nèi)乘車2次并分別記錄所用時間，

數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：（單位：min）

數(shù)據(jù)統(tǒng)計表

試驗序號12345678910

A線路所用時間15321516341821143520

B線路所用時間25292325272631283024

數(shù)據(jù)折線統(tǒng)計圖

'時間/min

OI234567X910號

根據(jù)以上信息解答下列問題：

平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差

A線路所用時間22a1563.2

B線路所用時間b26.5C6.36

(1)填空：a=；b=；c=:

(2)應(yīng)用你所學的統(tǒng)計知識，幫助小紅分析如何選擇乘車線路.

【答案】(1)19,26.8,25

(2)見解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)中位數(shù)定義將A線路所用時間按從小到大的順序排列，求中間兩個數(shù)的平均數(shù)即為A線

路所用時間的中位數(shù)m利用平均數(shù)的定義求出B線路所用時間的平均數(shù)6,找出B線路所用時間中出現(xiàn)次

數(shù)最多的數(shù)據(jù)即為B線路所用時間的眾數(shù)c,從而得解；

(2)根據(jù)四個統(tǒng)計量分析，然后根據(jù)分析結(jié)果提出建議即可.

【小問1詳解】

解：將A線路所用時間按從小到大順序排列得：14,15,15,16,18,20,21,32,34,35,中間兩個數(shù)

是18,20,

1QIof)

???A線路所用時間的中位數(shù)為：~-=19,

2

,25+29+23+25+27+26+31+28+30+24…

由題意可知B線路所用時間得平均數(shù)為:b=----------------------------------------------------------=26.8,

10

線路所用時間中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)是25,有兩次，其他數(shù)據(jù)都是一次，

???B線路所用時間的眾數(shù)為：c=25

故答案為：19,26.8,25；

【小問2詳解】

根據(jù)統(tǒng)計量上來分析可知，A線路所用時間平均數(shù)小于B線路所用時間平均數(shù)線路，A線路所用時間中位

數(shù)也小于B線路所用時間中位數(shù)，但A線路所用時間的方差比較大，說明A線路比較短，但容易出現(xiàn)擁

堵情況，B線路比較長，但交通暢通，總體上來講A路線優(yōu)于B路線.

因此，我的建議是：根據(jù)上學到校剩余時間而定，如果上學到校剩余時間比較短，比如剩余時間是21分

鐘，則選擇A路線，因為A路線的時間不大于21分鐘的次數(shù)有7次，而B路線的時間都大于21分鐘；如

果剩余時間不短也不長，比如剩余時間是31分鐘，則選擇B路線，因為B路線的時間都不大于31分鐘，

而A路線的時間大于31分鐘有3次，選擇B路線可以確保不遲到；如果剩余時間足夠長，比如剩余時間

是36分鐘，則選擇A路線，在保證不遲到的情況，選擇平均時間更少，中位數(shù)更小的路線.

【點睛】本題考查求平均數(shù)，中位數(shù)和眾數(shù)，以及根據(jù)統(tǒng)計量做決策等知識，掌握統(tǒng)計量的求法是解題的

關(guān)鍵.

五、解答題(三)：本大題共2小題，每小題12分，共24分.

22綜合探究

如圖1,在矩形A3CD中(A3>AD),對角線AC,班>相交于點。，點A關(guān)于班)的對稱點為A',連接

AA交BD于點E,連接C4'.

圖1圖2圖3

(1)求證：AA

(2)以點。為圓心，0E為半徑作圓.

①如圖2,。與CD相切，求證：A4'=gCA;

②如圖3,。與CA'相切，AD=1，求,。的面積.

【答案】(1)見解析(2)①見解析；②士區(qū)兀

4

【解析】

【分析】(1)由點A關(guān)于3D的對稱點為A'可知點E是的中點，ZAEO=90°,從而得到0E是.ACA1

的中位線，繼而得到O石〃AC,從而證明A4'，C4'；

(2)①過點。作OE,AB于點孔延長/。交CD于點G,先證明，。CGgqQ4尸(AAS)得到OG=OF,

由。與CD相切，得到OG=OE,繼而得到OE=O/，從而證明AO是ZE4廣的角平分線，即

ZOAE=ZOAF,ZOAE=ZOAF=x,求得NAOE=2x,利用直角三角形兩銳角互余得到

ZAOE+ZOAE=90°,從而得到NQ4E=30°,即NA'AC=30°,最后利用含30度角的直角三角形的

性質(zhì)得出AA=布CA1;

②先證明四邊形AEOH是正方形，得到OE=OH=AH,再利用OE是.AG4'的中位線得到

OE=-A!C,從而得到OH=CH,ZOCH=45°,再利用平行線的性質(zhì)得到NAOE=45°,從而證明

2

△AEO是等腰直角三角形，AE=OE,設(shè)AE=OE=r,求得DE=(行—1)，在Rtz\ADE中，

AE2+DE2=AD2即r2+(V2-l)2r2=l2,解得產(chǎn)=2乎，從而得到.。的面積為

a22+A/2

8-nr=--------7i-

4

【小問1詳解】

,/點A關(guān)于3D的對稱點為N,

...點E是AA的中點，ZAEO=90°,

又?.?四邊形A3CD是矩形，

是AC的中點，

...0￡是_4。4'的中位線，

OE//AC

：.ZAAC=ZAEO=90°,

：.AA±CA;

【小問2詳解】

①過點。作OELAB于點E延長尸。交CD于點G,則NOE4=90。,

?.?四邊形A3CD是矩形,

ABCD,AO=BO=CO=DO,

Z.OCG=ZOAF,ZOGC=ZOFA=90°.

VZOCG=ZOAF,ZOGC=ZOFA=90°,AO=CO,

OCG^OAF(AAS),

：.OG=OF.

?/。與CD相切，OE為半徑，ZOGC=90°,

OG=OE,

：.OE=OF

又???ZAEOugO。即OELAE,OFLAB,

???AO是/E4戶的角平分線，即NQ4E=NQ4P,

設(shè)==則NOCG=N(MF=x,

又；CO=DO

/.ZOCG=ZODG^x

；?ZAOE=ZOCG+ZODG=2x

又?/ZAEO=90°，即△AEO是直角三角形，

/.ZAOE+ZOAE^90°,即2x+x=90。

解得：x=30°,

AZOAE=3Q°,即ZA'AC=30°,

在Rt^A'AC中，ZArAC=30°,ZAArC=90°,

AC=2CA,

A4f=VAC2-CA,2=Q（2CA）2-CA。=6c屈;

②過點。作OH_LAC于點H,

V。與C4'相切，

：.OE=OH,ZAHO=9Q°

'：ZAAC=ZAEO=ZAEO=ZAHO=90°

四邊形A'EOH是矩形，

又,:OE=OH,

四邊形A'成汨是正方形，

:.OE=OH=AH,

又是、AC4'的中位線，

OE=-AC

2

A!H=CH=-A!C

2

OH=CH

又,:ZAHO=9Q0,

/.ZOCH=45°

又：OE//AC,

NAOE=45°

又：NAEO=90°,

...△AEO是等腰直角三角形，AE=OE,

設(shè)AE=OE=r,則AO=DO=，4￡2+。石2=技

DE=DO-OE=B-r=(g-，r

在中，AE2+DE2=AD2>AD=1

即r2+(72-l)2r2=l2

2_]_]_2+?

=]+(后—1)”"2及一^-

。的面積為：S=%>=2+C兀

4

【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，圓的切線的性質(zhì)，含30度角的直角三角