湖北云學(xué)名校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二年級(jí)上冊12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含答案

湖北云學(xué)名校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

2023年云學(xué)名校聯(lián)盟高二年級(jí)12月聯(lián)考

數(shù)學(xué)試卷

考試時(shí)間：2023年12月21日14:3076:30時(shí)長：120分鐘滿分：150

分一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

個(gè)選項(xiàng)符合題目要求.

22

1.已知雙曲線匕-二=1的漸近線方程為了=±2》，則實(shí)數(shù)加=

16m

A.4B.8C.32D.64

2.已知/、加、〃是不同的直線，。、/?、/是不同的平面，貝?。?〃冽的一個(gè)充分條件是

A.IIIa,muaB.Illa,milB，allp

C.aC\/3=1,=m,-nD.11B，a工回0=m

3.已知點(diǎn)2（1,2）、B（0,-呵,若經(jīng)過點(diǎn)M（-1,0）的直線/與線段48有公共點(diǎn)，則直線/的傾

斜角的取值范圍為

n2TT

A.

75TB?,州

7171712萬

c-D.u

4.我國經(jīng)濟(jì)的迅速發(fā)展使得對(duì)能源的需求增加，常規(guī)的化石能源供應(yīng)不足的矛盾日益突出.能

源安全成為我國必須解決的戰(zhàn)略問題.發(fā)展新能源和可再生能源有利于改善我國能源結(jié)構(gòu),

保障能源安全，保護(hù)環(huán)境，走可持續(xù)發(fā)展之路.為響應(yīng)國家號(hào)召，甲、乙兩公司在某小區(qū)

設(shè)置電動(dòng)汽車充電樁.某一天，甲公司設(shè)置的10組充電樁被使用的平均時(shí)間為。，方差為

2；乙公司設(shè)置的30組充電樁被使用的平均時(shí)間為6,方差為1吆2.若a=b,則該小區(qū)這40

5

組充電樁被使用時(shí)間的方差為

A.°B."C.竺D.H

5102010

5.下列有關(guān)事件與概率的說法錯(cuò)誤的是

A.若ZqB,則尸（2）4尸（8）B.若尸（28）0尸（2）尸（8）,則Z與3不獨(dú)立

二-注々J-rzTT孥日日-1C口TTV3^-石上心注」＞步石、輅d右

C.若Z與8對(duì)立，則Z與8互斥D.若p(z)=l-P(8),則Z與8對(duì)立

6.已知0(0,0),2(-3,0),直線/:y=fcc上存在點(diǎn)尸，且點(diǎn)尸關(guān)于直線/':y=x的對(duì)稱點(diǎn)P'滿

足尸0|=2尸』，則實(shí)數(shù)左的取值范圍是

A.(-?,-73]U[V3,+?)B.[-V3,V3]

22

7.已知2、尸分別為橢圓二+白=1(?！?〉0)的左頂點(diǎn)和左焦點(diǎn)，B、。是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)

ab

對(duì)稱的點(diǎn)，若直線CF平分線段28,則橢圓的離心率為

8.如圖所示，兩個(gè)不同的平面a、[J,A,8兩點(diǎn)在兩平面的交線上，48=18,以48為直

徑的圓G在平面a內(nèi)，以48為長軸，F(xiàn)、尸為焦點(diǎn)的橢圓。2在平面力內(nèi)?過圓G上一點(diǎn)尸

向平面0作垂線，垂足為笈，已知HF'<印"且ZHFF'=-.若射線FH與橢圓相交于點(diǎn)。，

且FH<FQ,在平面夕內(nèi),以點(diǎn)〃為圓心，半徑為4的圓經(jīng)過點(diǎn)。，且圓笈與直線28相

切.則平面a、力所成的角的余弦值為

、2766n4769

A.---B.----------

3369

02V78八V2

393

共20分.全部血的得5分，選對(duì)但不全的得

二、多選題：本大題共4小題，每小題5分,

2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知圓。:丁+產(chǎn)=i和圓c：x2+「—4》=：0相交于48兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是

A.兩圓的公共弦28的長為運(yùn)

B.四邊形CMC3的面積為其

2

C.兩圓的公切線相交于點(diǎn)(-2,0)D.兩圓的公切線相交所成角的大小嗎

二注々J-rzTT孥日日-1C口TTV3^-吉—/Z-注空

10.設(shè)甲袋中有2個(gè)紅球和1個(gè)白球，乙袋中有1個(gè)紅球和2個(gè)白球，現(xiàn)從甲袋中任取1球

放入乙袋，再從乙袋中任取1球，記事件/="從甲袋中任取1球是紅球”，記事件8=

“從乙袋中任取1球是白球”，貝U

A.尸⑷3B.尸⑻=[C.P(刖)=5D.尸(前)=；

11.如圖，在棱長為2的正方體4BCD-481GA中，E、尸分別是棱4用、上的動(dòng)點(diǎn)，且

A.E=BF,則下列說法正確的是'

A.所與CQ的夾角取值范圍是「工，工

42_

B.平面JEF與正方體ABCD-4與4。1的截面為梯形

C.三棱錐G-加4的體積為定值

D.當(dāng)E、尸分別是棱4用、5c的中點(diǎn)時(shí)，三棱錐G-屏耳的外接球的表面積為亍萬

12.已知曲線Ci/cosa+V=1,其中ae[0,?],則下列結(jié)論正確的是

A.方程表示的曲線是橢圓或雙曲線

B.若a=。，則曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0)和(1,0)

C.若則曲線的離心率ej亙土正

_63J\_22

D.若方程表示的曲線是雙曲線，則其焦距的最小值為2人

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.直線/經(jīng)過點(diǎn)尸(3,6),且與圓。:/+/_2》—外+1=0相切，則直線/的方程

為;

14.已知直線/的方向向量為2=(1,-2,2),則向量1=(-1,1,2)在直線/上的投影向量的坐標(biāo)

為;

15.如圖，直線28在平面o內(nèi)，點(diǎn)C在平面a外，直線28與ZC的

夾角為6,直線ZC與平面a所成的角為工-6.若平面4BC與平面

2

。所成角的大小為0，且COS0=彳，則cos。的值為；

二-注々J-rzTT孥日日-1C口TTV3^-石上心注石、輅C看

16.過焦點(diǎn)為E的拋物線/=4x上一點(diǎn)/作其準(zhǔn)線的垂線，垂足為8,直線與拋物線相

交于C、。兩點(diǎn)，當(dāng)8C=CD時(shí)，三角形48E的面積為.

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(本小題滿分10分)

已知直線4:加x+y-l=0,直線：2x—〃y—4=0,其中%〃eR.

⑴若直線4經(jīng)過點(diǎn)(1,2),H41/2＞求加,〃；

(2)若直線/J4,當(dāng)4與4之間的距離取最大值時(shí)，求直線4的方程.

18.(本小題滿分12分)

2023年9月3日是中國人民抗日戰(zhàn)爭暨世界反法西斯戰(zhàn)爭勝利78周年紀(jì)念日，某市宣傳

部組織市民積極參加“學(xué)習(xí)黨史”知識(shí)競賽，并從所有參賽市民中隨機(jī)抽取了50人，統(tǒng)計(jì)

了他們的競賽成績加(504比4100),制成了如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求出圖中X的值；

⑵求這50位市民競賽成績的平均數(shù)和上四分位數(shù)；

⑶若成績不低于80分的評(píng)為“優(yōu)秀市民”，從這50名市民中的“優(yōu)秀市民”中任選兩名

參加座談會(huì)，求這兩名市民至少有一人獲得90分以上的概率.

二-注々J-rzTT孥日日-1C口TTV3^-石

19.(本小題滿分12分)

如圖，等腰梯形/BCD中，ADIIBC,AB=BC=CD=2,2。=4,現(xiàn)以ZC為折痕把

折起，使點(diǎn)3到達(dá)點(diǎn)尸的位置，且"LCD.

⑴證明：平面B4C，平面NCZ)；

⑵M為尸。上的一點(diǎn)，若平面/CM與平面ZCZ)的夾角的余弦值為二匚，求點(diǎn)尸到平面

5

ACM的距離.

20.(本小題滿分12分)

已知曲線G上的點(diǎn)P(x,y)到直線/:x=4的距離是點(diǎn)尸到點(diǎn)F(l,0)的距離的2倍，曲線。2是

頂點(diǎn)為原點(diǎn)，焦點(diǎn)為少的拋物線.

(1)求曲線G、G的方程；

(2)經(jīng)過點(diǎn)尸的直線r,與曲線G相交于2、8兩點(diǎn)，與曲線。2相交于M、N兩點(diǎn)，若

\MN\=I\AB\,求直線r的方程.

二-注々J-rzTT孥日日-1C口TTV3^-石上心注二＞亞看、輅C1右

21.(本小題滿分12分)

如圖，在直三棱柱48C-48c中，ABLBC,M、N分別是441、8片的中點(diǎn)，

BB]=2AB=2.

⑴在平面"3C內(nèi)找一點(diǎn)尸，使得直線B4"/平面"NC,并說明理由；

⑵若二面角C-4片-3的大小為7，求直線8C與平面所成角的正弦值.

22.(本小題滿分12分)

雙曲線的左右焦點(diǎn)為片(-c,0),工(c,0),實(shí)軸長為6,點(diǎn)尸在雙曲線的右支上,直線尸片交雙

曲線于另一點(diǎn)。，滿足|尸局=|片可，且APQK的周長為32.

(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過點(diǎn)G(1,l)作直線/與雙曲線的右支相交于/、N兩點(diǎn)，在線段W上取點(diǎn)笈，滿足

嗎=當(dāng)，點(diǎn)笈是否恒在一條定直線上？若是，求出這條直線的方程；若不是，請(qǐng)說明

|GN|阿

理由.

二-注々J-rzTT孥日日-1C口TTV3^-石

2023年云學(xué)名校聯(lián)盟高二年級(jí)12月聯(lián)考

數(shù)學(xué)評(píng)分細(xì)則

二選擇題

題號(hào)123456789101112

答案ADCBDAACACDABDACDBCD

三、填空題

122

13.x=3或3x—4y+15=014.

15.-16.18A/2

5

四、解答題

17.解：（1）因?yàn)橹本€人經(jīng)過點(diǎn)（1,2）,將點(diǎn)（1,2）帶入直線八的方程可得

m+2-1=0,解得m=-1,.......2分

又因?yàn)榘?，?/p>

所以2m—n=0,解得n=2m=_2........4分

綜上所述，m=-1,n=-2........5分

（2）根據(jù)題意，直線八過定點(diǎn)4（0,1）,直線%過定點(diǎn)8（2,0）........6分

因?yàn)長II/、,所以八與八之間的距離d&\AB\

當(dāng)d=A班寸，11與心之間的距離取得最大值........8分

此時(shí)481",

又因?yàn)橹本€A5的斜率=-t直線h的斜率為一m,

所以一；（_m）=_1,解得m=-2,.......9分

所以直線心的方程為2x-y+1=0........10分

題目簡單評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)很細(xì)，嚴(yán)格按評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給分。

18.解：（1）由頻率分布直方圖可知：

0.004x10+10x+0.04x10+0.016x10+0.008x10=1

x=0.032.......2分

(2)由元=12七夕,,得:

；=|

x=0.04x55+0.32x65+0.4x75+0.16x85+0.08x95=74.2...............4分

設(shè)市民競賽成績的上四分位數(shù)為明則

0.08+0.16<0.25,0.08+0.16+0.4>0,25

70<a<80

(80-?)x0.04+0.08+0.16=0.25

Aa=79.75...............7分

(3)由頻率分布直方圖可知：50名市民中有“優(yōu)秀市民”12人，其中8人成績在不高于90

分，記為4,4,&4,4,4,4,4,有4人成績在90分以上,記為51，2,鳥，當(dāng)?從“優(yōu)秀

市民”中任選兩名參加座談會(huì)，用集合{掰,〃}表示這個(gè)試驗(yàn)的一個(gè)樣本點(diǎn)，因此該試驗(yàn)的樣

本空間為

Q={{m,n}|m,ne{A1,A2,A3,A4,A5,A6,A1,As,Bl,B2,B3,B4}},

其中〃(Q)=66...............9分

事件/="兩名市民至少有一人獲得90分以上”，則

M={{m,n]|m,ne{A1,A2,A3,A4,A5,A6,A1,Ai}},其中〃(Af)=28...............10分

本題沒有其他解題方法，評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)很細(xì)，嚴(yán)格按照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給分。

、

2,——38——19

第三問如果學(xué)生沒有過程只有概率結(jié)果6633,建議扣一分

19.(1)在梯形45co中，取4D的中點(diǎn)N,連接CN

?：BC//4D,8C=ZN=LA。..四邊形/SON為平行四邊形，/.AB=CN,

2

■.CN=-AD,:.CDLAC...............2分

2

■：PALCD,PAr\AC=A,PA,ACu平面K4C,r.CO，平面F4C,

?/CDczACD,：.PAC±ACD................4分

(2)分別取ZC,Z￡>中點(diǎn)O,連接PO,=PC,0為NC中點(diǎn),.,.POLZC,

又平面K4C，平面ZCD,平面K4C口平面/CD=ZC,尸Ou平面HC,

平面ZCD,?.?0,^^分別為2。,40中點(diǎn)，；.9〃。。，，狽，平面必。，

則以。為坐標(biāo)原點(diǎn),C%,ON,O0正方向?yàn)閤,y,z軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則

0(0,0,1),A(V3,0,0),C(-V3,0,0),￡?(-V3,2,0),............6分

￡>P=(V3-2,1),AC=(-2^3,0,0),CD=(0,2,0),AD=(-26,2,0),PA=(拒,0,-1),

設(shè)DM=WP=(V32-22,2)(0<2<1)，貝!IAM=AD+DM=(V32-273,2-22,2),

設(shè)平面ZCA/的法向量￡=(X,y,Z),1=(0,422—2)................8分

2A/5一

?；平面ACM與平面ACD夾角的余弦值為二，又平面ACD的一個(gè)法向量m=(0,0,1),

竿=*±二拽,.……1。分

加〃V52*2-82+452

PA-n

_______2亞

...點(diǎn)尸到平面ZCA/的距離d=-M—...........12分

\n\5

(2)另：以C點(diǎn)建系：則Z(2G,0,0),D(0,2,0),P(^,0,l),PD=(-^2,-1)............6分

令兩=2而且0W2W1,CA/=(73-732,22,1-2).................8分

可得平面的法向量3=(0,1-4-22),平面ZCD的法向量而=(0,0,1),有:

|-22|_275

4=—?jiǎng)tM為中點(diǎn)10分

V(l-2)2+(-22)252.

一1一>lZP“2r、

〃二(0,彳，-1)貝UAP=(一百,0,1)d==—亞.............12分

2\n\5

20.解：(1)記點(diǎn)尸到直線/的距離為d,由題知d=2|尸刊

所以H=2j(x_iy+/,化簡為[+[=1.................4分

22

2

Cj:=1C2:y=4x................5分

(2)由題意可知，直線/'的斜率不為0

22

設(shè)直線/':x=（y+l,由曲線C］：（+q=l,聯(lián)立方程有

（4+3r2）v2+6（y-9=0

6t

…二一3所以|48|=Jl+/|必-%|=）■

8分

9

“一石獷

聯(lián)立直線:x="+1與曲線G：V=4x,有y?-4ty-4=0

丫3+%-"所以河=^^卜_司=4（］+產(chǎn)）

?io分

y3y4=-4

12（l+r2）

又同=2朋所以4（1+『）=2.解得T即

4+3/

所以直線/'的方程為l=《-?+1或X=--—y+1................12分

另解：當(dāng)斜率不存在時(shí)，代入計(jì)算不符題意

22

當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線Jy—［曲曲線q：亍+/=1,聯(lián)立方程有

（4k2+3k2-8k2x+秋2-12=0

得與小^^所以認(rèn)用二標(biāo)目小一與卜喘詈.....8分

X】XZ=HT

聯(lián)立直線y=k（x一1）與曲線。2：/=4x,有僅2）*2-（42+4）x+K=0

2k2+4

,M+Xz=-p—

、”】xz=1

所以|MN|=+的勺-孫1=...............10分

5L\MN\-^\AB\所以立尹=2x莖型解得』理

1111k29.32

所以直線/'的方程為y-\"（.r1）...............12分

21.解：（1）延長8加、區(qū)4交于點(diǎn)尸，

???點(diǎn)》;^^為441，8片的中點(diǎn)，

:.MA\HNB\,即四邊形四N是平行四邊形3分

A[B]MN4分

1/BMnBM=P,：.PGBXAX

：.PAJ/MN,又???Wu平面①平面MAC

???%〃平面TWC5分

故在平面AfflC內(nèi)可以找一點(diǎn)尸（尸=,使得直線弘"/平面7WC.（點(diǎn)尸不唯

一）6分

（2）如圖所示，連接C5]

ABIBC,AB±BB,,BCcBB、=B

：.AB1平面BCC\B[即AB1平面BCC出1

：.AB1B[C

ZCB.B是二面角C-4國-B的平面角，

Be

即tan/C8]_5-........-1

BB、

：.BB]=BC8分

以因?yàn)樽鴺?biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則

8(0,0,2),C(0,2,2),M(l,0,1)與(0,0,0)

/.SC=(0,2,0),而=(1,0,1),麻=(0,2,2)

設(shè)平面Affi。的法向量為〃=(x,y,z),則

r--rrz,.,.令x=l,可取〃=(1,1,-1)

n-B[M=x+z=n0''''

n-BXC=2y+2z=0

設(shè)直線BC與平面MBe所成角為內(nèi)

則sin6=|cos<BC,n>|=|整"—\=,

\BC\-\n\2xj33

直線5c與平面MBXC所成角的正弦值為當(dāng)12分

第一問：延長BC至點(diǎn)G使BC=CG,延長B1A1至點(diǎn)H使B1A1=A1H,則直線GH上任意一點(diǎn)都可

以是點(diǎn)P。第一問找出p點(diǎn)沒有證明的扣一分，把圖形補(bǔ)成長方體，之后找的p點(diǎn)，參照參

考答案給分，第二問就按參考答案給分。

22.解：(1)由|尸閭=閨閭=2c,

則歸周=2c+6,\PQ\=2c+6-\QFi\,\QF2\=\QFX\+62分

所以有2c+6—周+2c+|QG|+6=32

解得，c=5

22

所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為土-上=14分

916

⑵因?yàn)槲逃?/p>

設(shè)MG=2GN,則必f=—X/W