2021年中考三輪沖刺復(fù)習 同步練習圓的相關(guān)證明與計算

培優(yōu)同步練習：圓的相關(guān)證明與計算

1.如圖，已知AB是。0的直徑，AB=4,點C是AB延長線上一

點，且BC=2,點D是半圓的中點，點P是。。上任意一點.

(1)當PD與AB交于點E且PC=CE時，求證：PC與。。相切;

(2)在(1)的條件下,求PC的長;

(3)點P是。0上動點，當PD+PC的值最小時，求PC的長.

解：（1）證明：如圖1,

???點D是半圓的中點，

.?.zAPD=45°,

連接0P,

/.OA=OP,

.,.zOAP=zOPA,

?.NPEC=NOAP+NAPE=zOPA+zAPE=zAPE-zOPE+zAPE

=2zAPE-zOPE=90°-zOPE,

.PC=EC,

.?.zCPE=zPEC=90°-zAPE,

.-.zOPC=zOPE+zCPE=zOPE+90°-zOPE=90°,

1/55

..點P在。。上,

??.PC是。。的切線；

(2)解：由(1)知，NOPC=90°,

.AB=4,

.-.OP=OB=1AB=2,

2

?/BC=2,

.-.0C=0B+BC=4,

根據(jù)勾股定理得，CP=^oc2_op2=2”；

(3)解：連接0D,如圖2,

.」D是半圓。的中點，

/.zBOD=90°,要使PD+PC的值最小，則連接CD交。。于P',

即點P在P'的位置時，PD+PC最小,

由(2)知，OC=4,

在RNCOD中,OD=OB=2,

根據(jù)勾股定理得，CD=6020c2=2后,

連接BP,AD,則四邊形ADP'B是。0的內(nèi)接四邊形，

.?.zCBP'=zCDA,

,/zBCP=zDCA,

??.△CBP'iCDA,

?_CPy-BC,

ACCD，

2/55

■CPJ2

.-.CP'=675.

圖2

圖1

2.如圖，已知AB是。0的弦，點C是弧AB的中點，D是弦AB

上一動點，且不與A、B重合，CD的延長線交于。。點E,連接

AE、BE,過點A作AF_LBC,垂足為F,zABC=30°.

(1)求證：AF是。。的切線；

(2)若BC=6,CD=3,貝UDE的長為9;

(3)當點D在弦AB上運動時，口_的值是否發(fā)生變化？如果變

AE+BE

化，請寫出其變化范圍；如果不變，請求出其值.

3/55

三

§(1)證明：如圖1中,連接AC,OC,OA.

1

圖3

?/zAOC=2zABC=60',OA=OC,

??.△AOC是等邊三角形,

/.zCAO=60°,

?—

.BC-AC，

/.AB±OC,

.-.zOAD=lzOAC=3C)°,

2

?.zABC=30°,

/.zABC=zOAD,

.,.OAllBF,

/AF±BF,

/.OA±AF,

4/55

??.AF是。0的切線.

(/)解??Be一AC，

/.zCBD=zBEC,

,.zBCD=zBCE,

.,.△BCDs^ECB,

,-.BC=CD

ECCB'

??.A=3,

EC6

/.EC=12,

???DE:EC-CD=12-3=9.

故答案為9.

(3)解：結(jié)論：二返,工^的值不變.

AE+BE3AE+BE

理由：如圖2中，連接AC,0C,0C交AB于H,作ANIIEC交

,BC-AC'

.'.OC±AB,CB=CA,

5/55

.-.BH=AH=1AB,

2

?.zABC=30°,

?.BH=通BC,

2

..AC二通AB,

3

?/CEllAN,

?.NN=zCEB=30°,zEAN=zAEC=zABC=30°,

/.zCEA=zABC=30°,zEAN=zN,

.-.zN=zAEC,AE=EN,

/zACE=zABN,

?.△ACEiABN,

,-.CE=AC=V3_,

BNABV7

二比二相,

AE+BE3

的值不變.

AE+BE

3.如圖1所示，以點M(-1,0)為圓心的圓與y軸，x軸分別交

于點A,B,C,D,與OM相切于點H的直線EF交x軸于點E

(-5,0),交y軸于點F(0,/逅).

3

(1)求。171的半徑。

(2)如圖2所示，連接CH,弦HQ交x軸于點P,若COSNQHC

=3，砂的值；

4PD

(3)如圖3所示，點P為。M上的一個動點，連接PE,PF,求

PF+1PE的最小值.

2

6/55

???E(-5,0),F(0,-阻),M(-1,0),

3

.-.OE=5,OF=左，EM=4,

.?在Rt^OEF中,tanzOEF=0fl=-|V3，

0E〒下

/.zOEF=30°,

.」EF是。M的切線，

/.zEHM=90°,

/.sinzMEH=sin30°=,

ME2

.-.MH=1ME=2,

2

即r=2;

7/55

(2)如圖2,連接DQ、CQ,MH.

?/zQHC=zQDC,zCPH=zQPD,

??.△PCH-WQD,

.-.PHCH

PD=DO，

由(1)可知，NHEM=30°,

.-.zEMH=60°,

?/MC=MH=2,

」.△CMH為等邊三角形，

.CH=2,

〈CD是。M的直徑，

/.zCQD=90°,CD=4,

?.在RbCDQ中,COSNQHC=COSNQDC二毀工

CD-4

.-.QD=2CD=3,

4

.".PHCH2?

雨而方，

(3)連MP,取CM的點G,連接PG，則MP=2,G(-2,0),

8/55

圖3

.-.MG=2CM=1,

2

?MGMP1

MP-ME"2

又.NPMG=NEMP,

.-.△MPG-AMEP,

.-.PG_MG_1,

閑話而，

.?.PG=1PE,

2

.?.PF+1PE=PF+PG,

2

當F,P,G三點共線時，PF+PG最小，連接FG,即PF+1PE有

2

最小值=FG,

在RNOGF中,OG=2,OF=^V3,

_________3

「?FG=而中=舊+半2=駕1?

VS3

.?.PF+1PE的最小值為迎.

23

4.如圖，OO的直徑AB=10,弦BC=2擊，點P是。。上的一動

點（不與點A、B重合，且與點C分別位于直徑AB的異側(cè)），連

接PA,PC,過點C作PC的垂線交PB的延長線于點D.

(1)求tan/BPC的值;

9/55

(2)隨著點P的運動，毀的值是否會發(fā)生變化？若變化，請說明

AP

理由，若不變，則求出它的值；

(3)運動過程中，AP+2BP的最大值是多少？請你直接寫出它來.

.「AB是。。的直徑，

/.zACB=90°,

在RNABC中，AB=10,BC:2后,

??A。-VAB2-BC2二，

/.tanzBPC=tanzBAC=BC=A;

AC2

(2)驗的值不會發(fā)生變化，理由如下：

AP

?.zPCD=zACB=90°,

.,.zl+zPCB=z2+zPCB,

/.zl=z2,

??N3是圓內(nèi)接四邊形APBC的一個外角,

/.z3=zPAC,

10/55

..△CBDs^CAP,

,-.BD=CD

AFCP'

在RbPCD中，CD=tanzBPC=l,

CP2

/.BD=CD=1；

APCP2

(3)由(2)知BD=1AP,

2

.?.AP+2BP

=2(1AP+BP)

2

=2(BD+BP)

=2PD

二2PC,

cos/BPC

由tanzBPC=±，得:coszBPC=_2_,

2V5

??.AP+2BP=^PCK^AB=1(^，

「.AP+2BP的最大值為10而.

5.在圖1至圖3中，OO的直徑BC=30,AC切。。于點C,AC

二40,連接AB交。。于點D,連接CD,P是線段CD上一點，

連接PB.

11/55

(1)如圖1,當點P,0的距離最小時，求PD的長；

(2)如圖2,若射線AP過圓心O,交。O于點E,F,求tanF

的值；

(3)如圖3,作DH±PB于點H,連接CH,直接寫出CH的最

小值.

解：(1)如圖1,連接OP,

.AC切。O于點C,

/.AC±BC.

?/BC=3O,AC=40,

/.AB=50.

即2x50XCD^X40X30,

解得CD=24,

當OP±CD時，點P,O的距離最小，此時m*D=12

(2)如圖2,連接CE,

12/55

守

圖2

.」EF為。。的直徑，

/.zECF=90°.

由（1）知,zACB=90°,

由A02=AC2+OC2，彳導(dǎo)（AE+15）2=402+152,

解得皿=5/河-15?

?.zACB=zECF=90°,

.-.zACE=zBCF=zAFC.

又NCAE二NFAC,

??.△ACEiAFC,

?CEAE

FC-AC

.CEAE153

t海^而■記F-飛飛-萬,

（3）CH的最小值為紂/g.

解：如圖3,以BD為直徑作。G，則G為BD的中點,DG=9,

-/DH±PB,

???點H總在。G上，GH=9,

」?當點C,H,G在一條直線上時，CH最小，

止匕時,CG=\/CD2+DG2=V242+92=3\/73ZCH=3幃-9，

13/55

即CH的最小值為對兩一9.

A

圖3

6.如圖，在RfABC中，NC=90°,AD平分NBAC交BC于點D,

。為AB上一點，經(jīng)過點A,D的。O分別交AB,AC于點E,F,

連接OF交AD于點G.

(1)求證：BC是。。的切線；

(2)^iiE:AD2=AB?AF;

(3)若BE=8,sinB二旦，求AD的長，

解：（1）如圖1,連接0D，則0A=0D,

/.zODA=zOAD,

?.AD是NBAC的平分線,

..zOAD=zCAD,

/.zODA=zCAD,

.'.ODllAC,

/.zODB=zC=90°,

14/55

,.點D在。。上,

??.BC是。。的切線；

(2)如圖2,

連接0D,DF,EF,

??.AE是。。的直徑，

/.zAFE=90°=zC,

.'.EFIIBC,

/.zB=zAEF,

?/zAEF=zADF,

/.zB=zADF,

由(1)知，zBAD=zDAF,

.'.△ABD^AADF,

?ABAD

AD-AF

.-.AD2=AB?AF;

(3)如圖3,

連接OD,由(1)知，OD_LBC,

.-.zBDO=90°,

設(shè)。。的半徑為R,則OA=OD=OE=R,

/BE=8,

/.OB=BE+OE=8+R,

15/55

在RtABDO中,sinB=_L,

13

,-.sinB=OP=R=,

OB8+R13

.,.R=5,

/.AE=2OE=10,AB=BE+2OE=18,

連接EF,由（2）知，NAEF=NB,NAFE二=90°,

/.sinzAEF=sinB=A,

13

在RbAFE中,sinzAEF=AF=AF=_L,

AE1013

.-.AF=50

13

由（2）知，AD2=AB?AF=18x50=900,

1313

.-.AD=[900=30^13.

V1313

圖2

圖1

7.如圖，AB為圓O的直徑，C為圓。上一點,D為BC延長線一

16/55

點，且BC=CD,CE_LAD于點E.

(1)求證：直線EC為圓0的切線;

(2)設(shè)BE與圓0交于點F,AF的延長線與CE交于點P,

①求證：PC2=PF?PA

②若PC=5,PF=4,求sin/PEF的值.

證明：(1):CE_LAD于點E,

/.zDEC=90°,

?/BC=CD,

-C是BD的中點,

又丁。是AB的中點，

???0C是YDA的中位線，

.,.OCllAD,

/.zOCE=zCED=90°,

/.OC±CE,

又二點C在圓上，

「?CE是圓。的切線；

(2)①連接AC,

17/55

D

B

-.OC±CE,

/.zECO=90°,

/AB是直徑，

.-.zACB=90°=zECO,

/.zECA=zOCB,

-/OC=OB,

.-.zOCB=zOBC=zACE,

?/zABF=zACF,

.-.zOBC-zABF=zACE-zACF,

.?.NEBC=NECF,且NEBC二/CAP,

/.zECF=zCAP,且NCPF二/CPA,

??.△PCiPAC,

,??PC—,PF—

PA-PC

..PC2=PF-PA

@-.AB是直徑，點F在圓上，

.-.zAFB=zPFE=90o=zCEA,

?.zEPF=zEPA,

??.△PE—PAE,

.-.PE_PF

PA-PE

18/55

..PE2=PF?PA

..PE=PC

在直角APEF中，sinzPEF=PL4

PE5

8.如圖1,在平面直角坐標系內(nèi)，A,B為x軸上兩點,以AB為直

徑的。M交y軸于C,D兩點，C為標的中點，弦AE交y軸于點

F,且點A的坐標為(-2,0),CD=8.

(1)求。M的半徑；

(2)動點P在。M的圓周上運動.

①如圖1,當EP平分NAEB時，求PN-EP的值；

②如圖2,過點D作。M的切線交x軸于點Q,當點P與點A,B

不重合時，生是否為定值？若是，請求出其值；若不是，請說明理

PQ

由.

解：(1)如圖1中，連接CM.

19/55

,-.0C=0D=4,

設(shè)CM=AM=r,

在Rt△CMO中，.CM2=OC2+OM2,

.-.r2=42+(r-2)2,

解得r=5,

???OM的半徑為5.

(2)①如圖2中，連接AP,BP.

20/55

.?.zAPB=zAEB=90°,

/PE平分NAEP,

.?.zAEP=zPEB=45°,

,

,TA-PB'

?.PA=PB,

/AB=10,zAPB=90°,

.?.PA=PB哼xAB=5、丐，

./PAN=zAEP=45°,zAPN=zAPE,

?.△APNiEPA,

,-.PA=PN

PEPA'

.?.PN-PE=PA2=50.

②如圖3中，連接PM,DM.

.」DQ是。M的切線，

/.DQ±DM,

/.zMDQ=zMOD=90°,

21/55

/zDMO=zQMD,

..△DMOiQMD,

.-.DM=OM,

QMDM'

..DM2=MO?MQ,

.MP=MD,

?.MP2=MO?MQ,

.?里=螞，//PMO=NPMQ,

MOMP

」.△PMOSAQMP,

*?*OP二PM,,

PQQM

.DM2=MO?MQ,

?.25=3MQ,

/.MQ=25,

3

■.0P=5^=3.

PQ等5

9.如圖，已知AB,CD為。O的直徑，過點A作弦AE垂直于直徑

CD于F,點B恰好為近的中點，連接BC,BE.

(1)求證：AE=BC;

(2)若AE=2愿，求。。的半徑；

(3)在(2)的條件下，求陰影部分的面積.

22/55

(1)證明：連接BD,

.AB,CD為。。的直徑，

.-.zCBD=zAEB=90°,

丁點B恰好為正的中點，

‘麗二五，

/.zA=zC,

?/zABE=90°-NA,zCDB=90°-zC,

/.zABE=zCDB,

,.—,,—

一皿一BC，

.-.AE=BC;

(2)解：???過點A作弦AE垂直于直徑CD于F,

,—

,AC-EC'

.*---**?.-

?AE_BC，

,AC-BE--gAE，

.-.zA=lzABE,

2

/.zA=30°,

在RtAABE中,COSNA二迪,

AB

23/55

???AB二AE

cos300

2

.??。0的半徑為2.

(3)連接OE,

?.zA=30°,

/.zEOB=60°,

??.△EOB是等邊三角形，

?/OB=OE=2,

.,.SAEOB=±X2XV1=^3,

2X242"J

???S陰二S扇形-S^EOB二空*1-6二空-

-360733

10.如圖，AB為。O的直徑，CD±AB于點G,E是CD上一點，

且BE=DE,延長EB至點P,連接CP,使PC=PE,延長BE與

。。交于點F,連結(jié)BD,FD.

(1)連結(jié)BC,求證：WCD%DFB;

(2)求證：PC是。。的切線；

(3)若tanF=1.,AG-BG=.y,求ED的值.

24/55

解：(1)證明:因為BE=DE,

所以NFBD=NCDB,

在ABCD和ADFB中:

zBCD=zDFB

zCDB=zFBD

BD=DB

所以ABCD當DFB(AAS).

(2)證明：連接OC.

因為NPEC=NEDB+NEBD=2NEDB,

zCOB=2zEDB,

所以NCOB=NPEC,

因為PE=PC,

所以/PEC二NPCE,

所以NPCE二NCOB,

25/55

因為AB_LCD于G,

所以NCOB+NOCG=90。，

所以NOCG+NPEC=90°,

gPzOCP=90°,

所以O(shè)C_LPC,

所以PC是圓O的切線.

(3)因為直徑AB_L弦CD于G,

所以BC=BD,CG=DG,

所以/BCD二NBDC,

因為NF=/BCD,tanF=Z,

3

所以Ntan/BCD=Z坦，

3CG

設(shè)BG=2x,則CG=3x.

連接AC,則NACB=90。，

由射影定理可知：CG2=AG-BG,

所以AG=述=211衛(wèi),

BG-2x-2

因為AG-BG=5隗,

3

所嶼一2x*，

23

解得X=2區(qū)，

3

所以BG=2X=￥，CG=3x=2好

所以K;而肅誓，

所以BD二BC二晅，

3

因為NEBD=NEDB=/BCD,

26/55

所以ADEBADBC,

所以理旦

DCDB

因為CD=2CG=4、a

所以DE二處一強.

CD-9

11.如圖1,在直角坐標系中，直線I與X、V軸分別交于點A(2,

01B(0,1)兩點，zBAO的角平分線交V軸于點D.點C為

直線I上一點，以AC為直徑的OG經(jīng)過點D,且與x軸交于另一

點E.

(1)求出。G的半徑r,并直接寫出點C的坐標;

(2)如圖2,若點F為。G上的一點，連接AF,且滿足NFEA二

45°,請求出EF的長？

解：（1）連接GD,EC.

??2OAB的角平分線交y軸于點D,

/.zGAD=zDAO,

?/GD=GA,

/.zGDA=zGAD,

/.zGDA=zDAO,

.".GDIIOA,

27/55

/.zBDG=zBOA=90°,

.」GD為半徑，

??.y軸是。G的切線；

?.A(2,0),B(0,國)，

3

.-.OA=2,OB=8.,

3

在RfAOB中,由勾股定理可得:AB=，A2制82=荷吟2寸

設(shè)半徑GD=r,則BG=12.-r,

3

,.GDllOA,

.".△BDG^ABOA,

,-.DG=BG

0AAB'

/.>r=2O-r),

33

/.r=i.,

4

/AC是直徑,

/.zAEC=zAOB=90°,

/.ECIIOB,

.-.EC=AC=AE

OBABAOZ

V102

3T

/.EC=2,AE=2,

2

/.OE=2-3.=!,

22

??.C的坐標為(1,2);

2

28/55

(2)過點A作AH_LEF于H,連接CE、CF,

/AC是直徑,

..AC=2x且二旦

42

/.zAEC=zAFC=90°

?.zFEA=45°

/.zFCA=45°

??在RbAEH中，

由勾股定理可知：AF二CF二星反，

4

設(shè)OE=a

.-.AE=2-a

?.CEllOB

」.△ACEs△ABO

,-.AE=CE

OAOB/

.-.CE=2,

.CE2+AE2=AC2,

.-.22+(2-a)2=25

4

??a=1Ma=Z(不合題意，舍去)

22

.-.AE=2

2

???在RbAEH中,

由勾股定理可得，AH=EH二還，

4

??在RbAEH中,

由勾月殳定理可知：FH2=AF2-AH2=(h<2)2-(隹)2=2,

44

29/55

.-.FH=

.-.EF=EH+FH=±/2.

12.如圖，在平面直角坐標系中，0為坐標原點，點A的坐標為（0,

4）,點B的坐標為（4,0）,點C的坐標為（-4,0）,點P在

AB±,連結(jié)CP與y軸交于點D,連結(jié)BD.過P,D,B三點作

OQ與y軸的另一個交點為E,延長DQ交。Q于點F,連結(jié)EF,

30/55

(2)求證:zBDE=zADP;

(3)設(shè)DE=x,DF二y.請求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式.

解：(1)設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為y=kx+4,

將點B(4,0)代入y=kx+4,

得：4k+4=0,

解得：k=-1,

則直線AB的函數(shù)解析式為y=-x+4;

(2)由已知彳導(dǎo)：OB=OC,zBOD=zCOD=90°,

X/OD=OD,

??.△BOD^COD(SAS),

/.zBDO=zCDO,

,.zCDO=zADP,

/.zBDE=zADP;

(3)如圖2,連結(jié)PE,

?.?NADP是^DPE的一個夕卜角,

?.NADP=NDEP+NDPE,

■「NBDE是AABD的一個夕卜角,

/.zBDE=zABD+zOAB,

?/zADP=zBDE,zDEP=zABD,

/.zDPE=zOAB,

31/55

-，0A=0B=4,zAOB=90°,

/.zOAB=45°,

??.NDPE=45°,

.?.zDFE=zDPE=45°,

?.DF是CQ的直徑,

?.NDEF=90°,

「.△DEF是等腰直角三角形，

「.DF=,

即y=?x.

圖i

13.如圖，在平面直角坐標系中,A(0,4),B(3,4),P為線段

0A上一動點，過0,P,B三點的圓交x軸正半軸于點C,連結(jié)

AB,PC,BC,設(shè)0P=m.

32/55

(1)求證：當P與A重合時，四邊形POCB是矩形.

(2)連結(jié)PB,求tan/BPC的值.

(3)記該圓的圓心為M,連結(jié)0M,BM,當四邊形POMB中有

一組對邊平行時，求所有滿足條件的m的值.

(4)作點0關(guān)于PC的對稱點0,，在點P的整個運動過程中，當

點0'落在MPB的內(nèi)部(含邊界)時，請寫出m的取值范圍.

W：(l)vzCOA=90°

??.PC是直徑,

.?.zPBC=90°

.A(0,4)B(3,4)

軸

.?.當A與P重合時，NOPB=90°

???四邊開?POCB是矩開?

(2)連結(jié)0B,(如圖1)

/.zBPC=zBOC

/ABHOC

/.zAB0=zB0C

/.zBPC=zBOC=zABO

33/55

/.tanzBPC=tanzABO=

AB-3

(3)/PC為直徑

??.M為PC中點

①如圖2,當OPllBM時，延長BM交x軸于點N

,/OPllBM

??.BN_LOC于N

.?.ON=NC,四邊形OABN是矩形

.-.NC=ON=AB=3,BN=OA=4

設(shè)0M半徑為r,則BM=CM=PM=r

?.MN=BN-BM=4-r

-/MN2+NC2=CM2

/.(4-r)2+32=r2

解得：r=生

8

/.MN=4-25.J.

8-8

.」M、N分別為PC、OC中點

.?.m=0P=2MN=Z

4

34/55

②如圖3,當OMIIPB時，zBOM=zPBO

?.zPBO=zPCO,zPCO=zMOC

??.NOBM=zBOM=zMOC=zMCO

在ABOM與ACOM中

-ZOBW-ZOCM

?.△BOM2coM(AAS)

OC=OB=22=5

?■?VOA+AB

■/AP=4-m

.?.BP2=AP2+AB2=(4-m)2+32

?/zABO=zBOC=zBPC,zBAO=zPBC=90°

..△ABOSABPC

.-.OB_AB

PC=BP

■-.PC=OB>BP_5

AB-3即

.-.PC2=25BP2=25[(4-m)2+32]

9q

又PC2=OP2+OC2=m2+52

.-.25[(4-)2+32]=m2+52

9m

35/55

解得：m=皿m=10(舍去)

(4)???點0與點0’關(guān)于直線對稱

.?.zPO'C=zPOC=90°,即點0'在圓上

當0,與0重合時，得m=0

當0'落在AB上時，則m2=4+(4-m)2,得m二旦

2

當0與點B重合時，得m二至

8

.,.0<m<^6m=絲

28

14.已知在平面直角坐標系中，點A(3,0),B(-3,0),C(-

3,8),以線段BC為直徑作圓，圓心為E,直線AC交。E于點D,

連接0D.

(1)求證：直線0D是OE的切線；

(2)點F為x軸上任意一動點，連接CF交。E于點G,連接BG;

①當tan/ACF=J時，求所有F點的坐標立肆&，F(xiàn)2(5,0)

(直接寫出)；

②求眠的最大值.

CF

36/55

解：(1)證明：如圖1,連接DE,/BC為圓的直徑，

/.zBDC=90°,

/.zBDA=90°

?/OA=OB

.-.OD=OB=OA

/.zOBD=zODB

/EB=ED

?.NEBD=NEDB

「.EBD+NOBD=NEDB+NODB

即：zEBO=zEDO

,.?CB_l_x軸

/.zEBO=90°

.-.zEDO=90°

..點D在。E上

「?直線OD為OE的切線.

(2)①如圖2,當F位于AB上時，過F作F1N_LAC于N,

37/55

/F1N±AC

.-.zANFl=zABC=90°

.?.△ANiABC

」.ANJFi_AFI

AB^BC-=-A^

,.AB=6,BC=8,

二?AC={/齪2=十=10,即AB:BC:AC=6:8:10=3:

4:5

「?設(shè)AN=3k,貝UNFl=4k,AFl=5k

.-.CN=CA-AN=10-3k

.?.tanNACF=F3=4k=1,解彳導(dǎo)：|<=>

CN10-3k731

???AFi=5k=1^

叫=3號號

即Fl(絲，0)

31

如圖3,當F位于BA的延長線上時，過F2作F2M_LCA于M,

?.△AMF2sAABC

???設(shè)AM=3k,則MF2=4k,AF2=5k

/.CM=CA+AM=10+3k

/.tanzACF=卜21_A_1

CM-10+3k-7

解得：k=f

/.AF2=5k=2

OF2=3+2=5

即F2(5,0)

38/55

故答案為：Fl(絲，0),F2(5,0).

31

②方法1:如圖4,過G作GH_LBC于H,

?.CB為直徑

/.zCGB=zCBF=90°

.".△CBG^ACFB

,-.BGBCCG

BF'CF"BC

/.BC2=CG<F

」.BG=BG?CG=GH?BC-里

CFCF-CGBC2BC~2

???當H為BC中點，即GH=1BC時，毀的最大值二上.

2CF2

方法2:設(shè)NBCG=a,貝Usina二股,cosa二毀,

BCCF

.,.sinacosa=BG

CF

(sina-cosa)2>0,即：sin2a+cos2a>2sinacosa

,.sin2a+cos2a=1,

/.sinacosa<A,即幽V」

2CF2

???地的最大值;上.

39/55

15.如圖F為。。上的一點，過點F作。0的切線與直徑AC的延

長線交于點D,過圓上的另一點B作A0的垂線，交DF的延長

線于點M,交。。于點E,垂足為H,連接AF,交BM于點G.

(1)求證：AMFG為等腰三角形.

(2)若人811171口,求證：FG2=EG?MF.

⑶在(2)的條件下，若DF=6,tanNM力求AG的長.

B

40/55

(1)證明：連接OF.

:DM是O。的切線,

.-.DM±OF,

.?.zMFG+zOFA=90°,

/BM±AD,

/.zAHG=90°,

/.zOAF+zAGH=90°,

/OF=OA,

.'.zOFA=zOAF,

.NMGF=NAGH,

.-.zMFG=zAGF,

?.MF=MG,

??.△MFG是等腰三角形.

(2)證明：連接EF.

,/ABllDM,

/.zMFA=zFAB,

?/zFAB=zFEG,zMFG=zMGF,

.-.zFEG=zMFG,

.NEGF=NMGF,

.△EGF-AFGM,

.-.EG-FG,

FG贏'

41/55

/.FG2=EG?GM,

.MF=MG,

??.FG2:EG?MF.

(3)解：連接OB.

,/zM+zD=90°,zFOD+zD=90°,

/.zM=zFOD,

/.tanM=tanzFOD=DL=3.,

OP4

?/DF=6,

「.OF=8,

,/DMIIAB,

.-.zM=zABH,

/.tanM=tanzABH==M,

4BH

..可以彳取設(shè)AH=3k,BH=4k,貝UAB=BG=5k,GH=k,AG=

而匕

在RNOHB中，.OH2+BH2=OB2,

/.(8-3k)2+(4k)2=82,

解得k=型,

25

,-.AG=48^10.

25

42/55

16.如圖，AB是。0的直徑，弦CD±AB于點H連接AC,過弧

BD上一點E作EGIIAC交CD的延長線于點G連接AE交CD

于點F,且EG=FG,連接CE.

(1)求證:AECF-AGCE;

(2)求證：EG是。。的切線;

(3)延長AB交GE的延長線于點M,若tmG=±業(yè)=3?，求EM

4

的值.

(1)證明：如圖1中，

/.zG=zACG,

43/55

/AB±CD,

,,---J—,----

一&一AC，

/.zCEF=zACD,

/.zG=zCEF,

/zECF=zECG,

.△ECF-AGCE;

(2)證明：如圖2中，連接OE,

圖2

.GF=GE,

.-.zGFE=zGEF=zAFH,

/OA=OE,

/.zOAE=zOEA,

?.zAFH+zFAH=90°,

.?.zGEF+zAEO=90°,

/.zGEO=90°,

.-.GE±OE,

「?EG是。。的切線.

44/55

(3)解：如圖3中，連接OC.設(shè)。O的半徑為r.

在Rt^AHC中,tanzACH=tanzG二旦,

4

.AH=3g,

二.HC=4代,

在RbHOC中，/OC=r,OH=r-3,HC=4日，

???(—36)2+(4退)2=r2,

.j二25點,

6

,/GMIIAC,

/.zCAH=zM,

/zOEM=zAHC,

?.△AHJMEO,

,-.AH=HC,

EMOE'

??普二器，

EH

.-.EM=2^3.

8

17.如圖，AB為。O的直徑,CD±AB于點E,F是CD上一點，

且BF=DF,延長FB至點P,連接CP,使PC=PF,延長BF與

45/55

。。交于點G,連結(jié)BD,GD.

(1)連結(jié)BC,求證：CD二GB;

(2)求證：PC是。。的切線；

(3)若tanG=」，且AE-BE=年，求FD的值.

33

/.zBDF=zDBF,

在ABCD與^DGB中，

2BCD=/G

<ZDBF=ZBDF/

,BD=DB

..△BCD%DGB(AAS),

/.CD=GB;

圖i

?/zC0B=2zCDB,zCFB=zCDB+zDBF=2zCDB,

/.zCOB=zCFB,

.PC=PF,

46/55

.-.zCOB=zCFB=zPCF,

,.AB±CD,

/.zCOB+zOCE=90°,

.?.zPCF+zOCE=zPCO=90°,

/.OC±CP,

?.OC是半徑,

??.PC是。。的切線；

(3)如圖2,連接AD,

圖2

:AB是。。的直徑，

/.zADB=90°,

/AB±CD,

-,BD=BC'

/.zBDE=zA=zG,

/tanG,

3

.?.tanA=DLJ,,即AE=3DE,

AE-3

同理可得：DE=3BE,

/.AE-BE=3DE-1DE=8V3,

33

解得：DE=?,

47/55

.,.CD=2DE=2M,

.-.BE=1DE=V3,

33

BD=22=

?■?VDE+BE^F^

?/zBCD=zFDB,zBDC=zFBD,

/.△BCD^AFDB,

?CDBC

BD-FD

.BC=BD,

.?.FD="=(等產(chǎn)=殳3

CD2a9

18.如圖，。0是3BC的外接圓，AB為。0的直徑，過點A作

AD平分NBAC交。。于點D過點D作BC的平行線分別交AC、

AB的延長線于點E、F,DG±AB于點G,連接BD.

(1)求證：SEDSADGB;

(2)求證：EF是。。的切線;

(3)若黑《,OAF’求劣弧麗的長度(結(jié)果保留口).

(1)證明：:AB為。。的直徑,

/.zACB=zADB=90°,

???BCllEF,

/.zAED=zACB=90°,

48/55

/AD平分NBAC,

/.zEAD=zDAB,

/.zADE=zABD,

,.DG±AB,

/.zBGD=zAED=90°,

.,.AAED^ADGB;

(2)證明：連接OD,

/OA=OD,

/.zOAD=zADO,

?./DOF=zOAD+zADO=2zDAF,

?/zEAF=2zDAF,

??.NEAF=NDOF,

/.AEllOD,

/AE±EF,

.-.OD±EF,

??.EF是。。的切線；

(3)解：?.NEAD+NADE=90°,

/.zDAF+zADE=90°,

?.zBDF+zADE=90°,

.'.zDAF=zBDF,

.'.△ADF^ADBF,

..迪二空二更二，

DBDFBF",

49/55

-/AD2+BD2=AB2=64,

.-.AD2+（返A(chǔ)D）2=64,

3

/.AD=4^3,

.-.BD=4,

.,.tanzDAB=M=,^,