湛江市重點(diǎn)名校2022年中考沖刺卷數(shù)學(xué)試題含解析

湛江市重點(diǎn)名校2022年中考沖刺卷數(shù)學(xué)試題

請考生注意：

1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）

1.用圓心角為120。，半徑為&機(jī)的扇形紙片卷成一個(gè)圓錐形無底紙帽（如圖所示），則這個(gè)紙帽的高是（）

2.下列二次函數(shù)的圖象，不能通過函數(shù)y=3x2的圖象平移得到的是（）

A.J=3X2+2B.y=3（x-1）2C.y=3（x-1）2+2D.y=2x2

2

3.反比例函數(shù)是丫=一的圖象在（）

x

A.第一、二象限B.第一、三象限C.第二、三象限D(zhuǎn).第二、四象限

4.如圖，在△ABC中，AB=5,AC=4,ZA=60°,若邊AC的垂直平分線DE交AB于點(diǎn)D,連接CD,則△BDC的

A.8B.9C.5+721D.5+VT7

5.小剛從家去學(xué)校，先勻速步行到車站，等了幾分鐘后坐上了公交車，公交車勻速行駛一段時(shí)后到達(dá)學(xué)校，小剛從家

到學(xué)校行駛路程s（單位：m）與時(shí)間r（單位：min）之間函數(shù)關(guān)系的大致圖象是（）

6.下列安全標(biāo)志圖中，是中心對稱圖形的是（

AB*C^Z

7.在一個(gè)不透明的袋中裝有10個(gè)只有顏色不同的球，其中5個(gè)紅球、3個(gè)黃球和2個(gè)白球.從袋中任意摸出一個(gè)球,

是白球的概率為（）

11

A.-B.-

23

8.下列命題是真命題的是（）

A.如果。+》=0,那么。=。=0B.J西的平方根是±4

C,有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)角是對頂角D.等腰三角形兩底角相等

9.一列快車從甲地駛往乙地，一列特快車從乙地駛往甲地，快車的速度為100千米/小時(shí)，特快車的速度為150千米/

小時(shí)，甲乙兩地之間的距離為1000千米，兩車同時(shí)出發(fā)，則圖中折線大致表示兩車之間的距離丫（千米）與快車行駛

時(shí)間t（小時(shí)）之間的函數(shù)圖象是

k

10.如圖，4（4,0）,B（1,3）,以。4、。8為邊作□CMC5,反比例函數(shù)》=一（的第）的圖象經(jīng)過點(diǎn)C.則下列結(jié)

X

論不正確的是（）

B.若”3,則x>5

C.將口。/。？向上平移12個(gè)單位長度，點(diǎn)8落在反比例函數(shù)的圖象上.

D.將口QNC5繞點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)180。，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)落在反比例函數(shù)圖象的另一分支上.

二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分）

11.在某一時(shí)刻，測得一根高為2m的竹竿的影長為1m,同時(shí)測得一棟建筑物的影長為9m,那么這棟建筑物的高度

為m.

12.已知A="—QT,8=（?>3）,請用計(jì)算器計(jì)算當(dāng)〃？3時(shí)，A、B的若干個(gè)值，并由此

歸納出當(dāng)〃23時(shí)，A、8間的大小關(guān)系為.

13.如圖，在邊長為1的小正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、D都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，AB、CD相交于點(diǎn)O,則

14.如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是邊CD的中點(diǎn)，將^ADE沿AE折疊后得到△AFE,且點(diǎn)F在矩形ABCD內(nèi)部.將

AF延長交邊BC于點(diǎn)G.若￡9=2，則竺=（用含k的代數(shù)式表示）.

GBkAB-------

4B

15.在平面直角坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)，邊長為1的正方形ABCD的邊均平行于坐標(biāo)軸，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（a,a）.如圖,

若曲線y=±（x>o）與此正方形的邊有交點(diǎn)，則a的取值范圍是.

x

16.如圖，當(dāng)半徑為30cm的轉(zhuǎn)動(dòng)輪轉(zhuǎn)過120。角時(shí)，傳送帶上的物體A平移的距離為cm.

m

三、解答題（共8題，共72分）

17.(8分)如圖，已知一次函數(shù)k外+。的圖象與反比例函數(shù)y=§的圖象交于點(diǎn)A(Tm),且與，軸交于點(diǎn)5；

點(diǎn)c在反比例函數(shù)y=幺的圖象上，以點(diǎn)。為圓心，半徑為2的作圓c與x軸，y軸分別相切于點(diǎn)。、B.

(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；

(2)請連結(jié)并求出AA03的面積；

k

(3)直接寫出當(dāng)尤<0時(shí)，+―>0的解集.

?x

1

18.(8分)如圖，分別以線段AB兩端點(diǎn)A,B為圓心，以大于2AB長為半徑畫弧，兩弧交于C,D兩點(diǎn)，作直線

CD交AB于點(diǎn)M,DE〃AB,BE〃CD.

(1)判斷四邊形ACBD的形狀，并說明理由;

19.(8分)如圖，△ABC內(nèi)接與。O,AB是直徑，OO的切線PC交BA的延長線于點(diǎn)P,OF〃BC交AC于AC點(diǎn)

若。O的半徑為4,AF=3,求AC

20.(8分)某校園圖書館添置新書，用240元購進(jìn)一種科普書，同時(shí)用200元購進(jìn)一種文學(xué)書，由于科普書的單價(jià)比

文學(xué)書的價(jià)格高出一半，因此，學(xué)校所購文學(xué)書比科普書多4本，求：

(1)這兩種書的單價(jià).

(2)若兩種書籍共買56本，總費(fèi)用不超過696元，則最多買科普書多少本？

21.(8分)如圖1,已知△ABC是等腰直角三角形，NBAC=90。，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn).作正方形DEFG,使點(diǎn)A、

C分別在DG和DE上，連接AE,BG.試猜想線段BG和AE的數(shù)量關(guān)系是_____；將正方形DEFG繞點(diǎn)D逆時(shí)針

方向旋轉(zhuǎn)a(00<a<360°),

①判斷(1)中的結(jié)論是否仍然成立？請利用圖2證明你的結(jié)論；

②若BC=DE=4,當(dāng)AE取最大值時(shí)，求AF的值.

Y2—2光+1X2-4I

22.(10分)先化簡，再求值：-——：——+———十一，且x為滿足-3<xV2的整數(shù).

X2-xX2+2xx

a

23.(12分)在△ABC中，AB=AC,NBAC=a,點(diǎn)P是AABC內(nèi)一點(diǎn)，且/PAC+/PCA=亍，連接PB,試探究PA、

PB、PC滿足的等量關(guān)系.

(1)當(dāng)a=60。時(shí)，將△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到△ACP，，連接PP，，如圖1所示.由△ABP絲AACP，可以證

得小APP，是等邊三角形，再由/PAC+NPCA=30?？傻?APC的大小為度，進(jìn)而得到^CPP，是直角三角形，

這樣可以得到PA、PB、PC滿足的等量關(guān)系為；

(2)如圖2,當(dāng)a=120。時(shí)，參考(1)中的方法，探究PA、PB、PC滿足的等量關(guān)系，并給出證明；

(3)PA、PB、PC滿足的等量關(guān)系為.

24.已知拋物線y=a(x+3)(x-1)(a,0),與x軸從左至右依次相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C,經(jīng)過點(diǎn)A的

直線y=-v7x+b與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D.

(1)若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為2,求拋物線的函數(shù)解析式；

(2)若在第三象限內(nèi)的拋物線上有點(diǎn)P,使得以A、B、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)在(1)的條件下，設(shè)點(diǎn)E是線段AD上的一點(diǎn)(不含端點(diǎn))，連接BE.一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BE以每

秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E,再沿線段ED以每秒亍個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D后停止，問當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)是多少時(shí),

點(diǎn)Q在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中所用時(shí)間最少？

參考答案

一、選擇題(共10小題，每小題3分，共30分)

1、C

【解析】

利用扇形的弧長公式可得扇形的弧長；讓扇形的弧長除以In即為圓錐的底面半徑，利用勾股定理可得圓錐形筒的高.

【詳解】

120Kx6

L=R-=4兀廝)；

圓錐的底面半徑為4冗+2元=2(.cm),

這個(gè)圓錐形筒的高為J62-22=4＞歷(cm).

故選C

【點(diǎn)睛】

n7ir2

此題考查了圓錐的計(jì)算，用到的知識點(diǎn)為：圓錐側(cè)面展開圖的弧長=不行；圓錐的底面周長等于側(cè)面展開圖的弧長;

180

圓錐的底面半徑，母線長，高組成以母線長為斜邊的直角三角形.

2、D

【解析】

分析：根據(jù)平移變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小對各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解:

A、y=3x2的圖象向上平移2個(gè)單位得到y(tǒng)=3x2+2,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、y=3x2的圖象向右平移1個(gè)單位得到y(tǒng)=3(x-1)2,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、y=3x2的圖象向右平移1個(gè)單位，向上平移2個(gè)單位得到y(tǒng)=3(x-1)2+2,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、y=3x2的圖象平移不能得到y(tǒng)=2x2,故本選項(xiàng)正確.

故選D.

3、B

【解析】

2

解：?.?反比例函數(shù)是丫=一中，

xk=2>0,

.?.此函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別位于一、三象限.

故選B.

4、C

【解析】

過點(diǎn)C作CMJ_AB,垂足為M,根據(jù)勾股定理求出BC的長，再根據(jù)DE是線段AC的垂直平分線可得△ADC等邊

三角形，則CD=AD=AC=4,代入數(shù)值計(jì)算即可.

【詳解】

過點(diǎn)C作CMJ_AB,垂足為M,

在RSAMC中，

VZA=60°,AC=4,

；.AM=2,MC=2y/3,

；.BM=AB-AM=3,

在RtABMC中，

BC=《BM2+CM2=卜+以1)=萬,

「DE是線段AC的垂直平分線，

.\AD=DC,

,/ZA=60°,

..△ADC等邊三角形，

..CD=AD=AC=4,

ABDC的周K=DB+DC+BC=AD+DB+BC=AB+BC=5+0.

故答案選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握勾股定理的運(yùn)算.

5、B

【解析】

【分析】根據(jù)小剛行駛的路程與時(shí)間的關(guān)系，確定出圖象即可.

【詳解】小剛從家到學(xué)校，先勻速步行到車站，因此S隨時(shí)間t的增長而增長，等了幾分鐘后坐上了公交車,

因此時(shí)間在增加，S不增長，坐上了公交車，公交車沿著公路勻速行駛一段時(shí)間后到達(dá)學(xué)校，因此S又隨時(shí)

間t的增長而增長，

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的圖象，認(rèn)真分析，理解題意，確定出函數(shù)圖象是解題的關(guān)鍵.

6、B

【解析】

試題分析：A.不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

B.是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；

C.不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；

D.不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

故選B.

考點(diǎn)：中心對稱圖形.

7、D

【解析】

一個(gè)不透明的袋中裝有10個(gè)只有顏色不同的球，其中5個(gè)紅球、3個(gè)黃球和2個(gè)白球.從袋中任意摸出一個(gè)球，共有

10種等可能的結(jié)果，其中摸出白球的所有等可能結(jié)果共有2種，根據(jù)概率公式即可得出答案.

【詳解】

21

根據(jù)題意：從袋中任意摸出一個(gè)球，是白球的概率為=m=5.

故答案為D

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了概率的求法，如果一個(gè)事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，

m

那么事件A的概率P(A)=—.

n

8、D

【解析】

解：A^如果。+4=0,那么或。=-從錯(cuò)誤，為假命題；

B、，話=4的平方根是±2,錯(cuò)誤，為假命題；

C、有公共頂點(diǎn)且相等的兩個(gè)角是對頂角，錯(cuò)誤，為假命題；

D、等腰三角形兩底角相等，正確，為真命題；

故選D.

9、C

【解析】

分三段討論：

①兩車從開始到相遇，這段時(shí)間兩車距迅速減小；

②相遇后向相反方向行駛至特快到達(dá)甲地，這段時(shí)間兩車距迅速增加；

③特快到達(dá)甲地至快車到達(dá)乙地，這段時(shí)間兩車距緩慢增大；

結(jié)合圖象可得C選項(xiàng)符合題意.故選C.

10、B

【解析】

k

先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到點(diǎn)。的坐標(biāo)，再代入反比例函數(shù)丁=一(4邦)求出其解析式，再根據(jù)反比例函數(shù)的圖

x

象與性質(zhì)對選項(xiàng)進(jìn)行判斷.

【詳解】

解：；4(4,0),B(1,3),BC=OA=4,

C(5,3),

k-

?.?反比例函數(shù)y=—(ARO)的圖象經(jīng)過點(diǎn)c,

X

k=5x3=15,

15

?二反比例函數(shù)解析式為y=一.

X

口O4C5的面積為。4xy=4x3=12,正確；

h

當(dāng)），<0時(shí)，X<Q,故錯(cuò)誤；

將口。4方向上平移12個(gè)單位長度，點(diǎn)5的坐標(biāo)變?yōu)椋?,15）,在反比例函數(shù)圖象上，故正確；

因?yàn)榉幢壤瘮?shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，故將口。4。5繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)180。，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)落在反比例函數(shù)圖象的另一

分支上，正確.

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題綜合考查了平行四邊形的性質(zhì)和反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合圖形，熟練掌握和運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)定理是解答關(guān)鍵.

二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分）

11,1

【解析】

分析：根據(jù)同時(shí)同地的物高與影長成正比列式計(jì)算即可得解.

詳解：設(shè)這棟建筑物的高度為xm,

2x

由題意得，

19

解得X=l,

即這棟建筑物的高度為1m.

故答案為1.

點(diǎn)睛：同時(shí)同地的物高與影長成正比，利用相似三角形的相似比，列出方程，通過解方程求出這棟高樓的高度，體現(xiàn)

了方程的思想.

12、A<B

【解析】

試題分析：當(dāng)n=3時(shí)，A=>/3-72=0.3178,B=LA<B；

當(dāng)n=4時(shí)，A=2-^/3-0.2679,B="—1M.4142,A<B；

當(dāng)n=5時(shí)，A=V5-2-0.2631,B=>/3-72?0.3178,A<B；

當(dāng)n=6時(shí)，A="-游HO.2134,B=2-/9.2679,A<B；

以此類推，隨著n的增大，a在不斷變小，而b的變化比a慢兩個(gè)數(shù)，所以可知當(dāng)n23時(shí)，A、B的關(guān)系始終是A<

B.

13、1

【解析】

首先連接BE,由題意易得BF=CF,△ACO^ABKO,然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，易得KO：CO=1：3,即

可得OF：CF=OF：BF=1：1,在RtaOBF中，即可求得tan/BOF的值，繼而求得答案.

【詳解】

如圖，連接BE,

；四邊形BCEK是正方形，

11

.,.KF=CF=-CK,BF=-BE,CK=BE,BE±CK,

22

..BF=CF,

根據(jù)題意得：AC〃BK,

.".△ACO^ABKO,

AKO：CO=BK：AC=1：3,

AKO：KF=1：1,

11

.".KO=OF=-CF=-BF,

22

BF

在RtAPBF中，tanZBOF=—=1,

■:ZAOD=ZBOF,

tanZAOD=l.

故答案為1

【點(diǎn)睛】

此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)的定義.此題難度適中，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線，注意轉(zhuǎn)化思

想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

14、0

2

【解析】

試題分析：如圖，連接EG,

---=—］,?,?設(shè)CG=m,GB=mk（m>0）,則AD=BC=m+mk。

GBk

??,點(diǎn)E是邊CD的中點(diǎn)，ADE=CE=1DC=1AB,

22

,/△ADE沿AE折疊后得到△AFE,

EF=DE=—AB,AF=AD=m+mk。

易證AEFGgZ\ECG（HL）,FG=CG=m?AG=2m+mk。

...在RSABG中，由勾股定理得：AB2+BG2=AG2,即AB2+（mk>=（2m+mk）。

AB?=（2m+mk?-（mk>=［（2m+mk）-（mk）］［（2m+mk）+（mk）］=4m2（1+k）。

AB=2m+k（只取正值）。

ADm+mkm（l+k）Jl+k°

AB2mJl+k2mdi+k2

15、^/3—l<a<y/3

【解析】

根據(jù)題意得出C點(diǎn)的坐標(biāo)（a-1,a-1）,然后分別把A、C的坐標(biāo)代入求得a的值，即可求得a的取值范圍.

【詳解】

解:反比例函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)C.

當(dāng)反比例函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)A時(shí);即42=3,

解得…=±萬（負(fù)根舍去）；

當(dāng)反比例函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，即（。一1）2=3,

解得：a=l土邪（負(fù)根舍去），

則

故答案為：>/3-l<a<,/3.

【點(diǎn)睛】

k

本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)y=-(k為常數(shù)，呼0)的圖象上的點(diǎn)(x,y)

X

的橫縱坐標(biāo)的積是定值k,即xy=k.

16、207r

【解析】

12011x30

解：——Ton——=20ncm.故答案為20ncm.

1oU

三、解答題(共8題，共72分)

43

17、(1)y=—，y=-x+2.(2)4；(3)-4<X<O.

x4

【解析】

(1)連接CB,CD,依據(jù)四邊形BODC是正方形，即可得到B(1,2),點(diǎn)C(2,2),利用待定系數(shù)法即可得到反

比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；

1

(2)依據(jù)OB=2,點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4即可得到△AOB的面積為：2x4x2=4；

k

(3)依據(jù)數(shù)形結(jié)合思想，可得當(dāng)xVl時(shí)，Kx+b-j>1的解集為：

1x

【詳解】

解：(1)如圖，連接C8,CD,

???OC與X軸，y軸相切于點(diǎn)D,8,且半徑為2,

ZCBO=ZCDO=90°=ZBOD,BC=CD,

,四邊形BODC是正方形，

：.BO=OD=DC=CB=2,

點(diǎn)。(2,2),

把點(diǎn)。(2,2)代入反比例函數(shù))，=幺中，

X

解得：勺=4,

4

...反比例函數(shù)解析式為：y=—,

X

???點(diǎn)A（T，M）在反比例函數(shù)y=f上，

把A（-4,m）代入y=W中，可得m=二=-1,

x-4

A（-4,-1）,

把點(diǎn)8（0,2）和A（-4,—l）分別代入一次函數(shù)y=勺X+〃中，

-4k+/?=-1

得出：t,

b=2

3

解得：\'-4.

b=2

...一次函數(shù)的表達(dá)式為：y=；x+2；

（2）如圖，連接

?1,0B=2,點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-4,

.?.△A08的面積為：2x4xl=4;

（3）由4（-4,-1）,根據(jù)圖象可知：當(dāng)尤<0時(shí)，4》+沙一攵>0的解集為：-4<x<0.

1x

【點(diǎn)睛】

本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)依據(jù)待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是求出C,B點(diǎn)坐標(biāo).

18、（1）四邊形ACBD是菱形；理由見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）根據(jù)題意得出AC=BC=8D=A。，即可得出結(jié)論；

（2）先證明四邊形8EDM是平行四邊形，再由菱形的性質(zhì)得出=90。，證明四邊形ACB。是矩形，得出對

角線相等ME=8。，即可得出結(jié)論.

【詳解】

（1）解：四邊形ACBD是菱形；理由如下：

根據(jù)題意得：AC=BC=BD=AD,

.?.四邊形ACBD是菱形（四條邊相等的四邊形是菱形）；

（2）證明：VDE/7AB,BE〃CD,

四邊形BEDM是平行四邊形，

?.?四邊形ACBD是菱形，

AABICD,

.\ZBMD=90°,

四邊形ACBD是矩形，

；.ME=BD,

?AD=BD,

.\ME=AD.

【點(diǎn)睛】

本題考查了菱形的判定、矩形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定，熟練掌握菱形的判定和矩形的判定與性質(zhì)，并能進(jìn)

行推理結(jié)論是解決問題的關(guān)鍵.

19、解：（1）AF與圓O的相切.理由為：

如圖，連接OC,

：PC為圓O切線，ACP1OC.

/.ZOCP=90°.

?.OF〃BC,

.".ZAOF=ZB,ZCOF=ZOCB.

VOC=OB,AZOCB=ZB.AZAOF=ZCOF.

?.在△AOF和ACOF中，OA=OC,ZAOF=ZCOF,OF=OF,

/?△AOF^ACOF(SAS).AZOAF=ZOCF=90°.

；.AF為圓O的切線，即AF與。O的位置關(guān)系是相切.

(2),.△AOF^ACOF,AZAOF=ZCOF.

；OA=OC,E為AC中點(diǎn)，即AE=CE=1AC,OE±AC.

VOA1AF,...在RSAOF中,OA=4,AF=3,根據(jù)勾股定理得:OF=1.

1124

,-,S=-?OA?AF=-?OF*AE,，AE=——.

AAAOF225

..AC=2AE=—.

5

【解析】

試題分析：（1）連接OC,先證出N3=N2,由SAS證明△OAF之△OCF,得對應(yīng)角相等NOAF=NOCF,再根據(jù)切線

的性質(zhì)得出/OCF=90。，證出/OAF=90。，即可得出結(jié)論；

（2）先由勾股定理求出OF,再由三角形的面積求出AE,根據(jù)垂徑定理得出AC=2AE.

試題解析：（1）連接OC,如圖所示：

VAB是。O直徑，

ZBCA=90°,

VOF/7BC,

/.ZAEO=90°,Z1=Z2,ZB=Z3,

AOF1AC,

VOC=OA,

/.ZB=Z1,

Z3=Z2,

在4OAF和△OCF中，

OA=OC

{N3=N2,

OF=OF

..△OAF^AOCF(SAS),

ZOAF=ZOCF,

：PC是。o的切線，

...ZOCF=90°,

ZOAF=90°,

AFA1OA,

；.AF是。O的切線；

(2)：。0的半徑為4,AF=3,ZOAF=90°,

，OF=IOF2+OA2=J32+42=1

VFA1OA,OF±AC,

11

；.AC=2AE,△OAFK?^R=-AF?OA=-OF?AE,

.'.3x4=lxAE,

12

解得：AE=5,

24

AAC=2AE=—.

考點(diǎn)：1.切線的判定與性質(zhì)；2.勾股定理；3.相似三角形的判定與性質(zhì).

20、(1)文學(xué)書的單價(jià)為10元，則科普書的單價(jià)為15元；(2)27本

【解析】

(1)根據(jù)等量關(guān)系：文學(xué)書數(shù)量-科普書數(shù)量=4本可以列出方程，解方程即可.

(2)根據(jù)題意列出不等式解答即可.

【詳解】

(1)設(shè)文學(xué)書的單價(jià)為x元，則科普書的單價(jià)為L5x元，根據(jù)題意得：

200240

-----"i—~c-=4,

x1.5x

解得：x=10,

經(jīng)檢驗(yàn)：x=10是原方程的解，

.,.1.5x=15,

答：文學(xué)書的單價(jià)為10元，則科普書的單價(jià)為15元.

(2)設(shè)最多買科普書機(jī)本，可得：15m+10(56/n)<696,

解得:m<27.2,

,最多買科普書27本.

【點(diǎn)睛】

此題考查分式方程的實(shí)際應(yīng)用，不等式的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意列出方程或是不等式是解題的關(guān)鍵.

21、(1)BG=AE.(2)①成立BG=AE.證明見解析.②AF=27T3.

【解析】

(1)由等腰直角三角形的性質(zhì)及正方形的性質(zhì)就可以得出AADE會(huì)4BDG就可以得出結(jié)論；

(2)①如圖2,連接AD,由等腰直角三角形的性質(zhì)及正方形的性質(zhì)就可以得出AADE絲4BDG就可以得出結(jié)論;

②由①可知BG=AE,當(dāng)BG取得最大值時(shí)，AE取得最大值，由勾股定理就可以得出結(jié)論.

【詳解】

(1)BG=AE.

理由：如圖1「.?△ABC是等腰直角三角形,/BAC=90。，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),

AAD1BC,BD=CD,

.\ZADB=ZADC=90o.

?.?四邊形DEFG是正方形，

/.DE=DG

在^BDGADE中，

BD=AD,ZBDG=ZADE,GD=ED,

ZXADE段△BDG(SAS),

；.BG=AE.

故答案為BG=AE；

(2)①成立BG=AE.

理由：如圖2,連接AD,

BDC

圉2

?.?在RSBAC中，D為斜邊BC中點(diǎn)，

.".AD=BD,AD1BC,

二ZADG+ZGDB=90°.

???四邊形EFGD為正方形，

；.DE=DG且/GDE=90。，

.,.ZADG+ZADE=90°,

.*.ZBDG=ZADE.

在^BDG和4ADE中，

BD=AD,ZBDG=ZADE,GD=ED,

二ABDG^AADE(SAS),

，BG=AE；

②：BG=AE,

當(dāng)BG取得最大值時(shí)，AE取得最大值.

如圖3,當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為270。時(shí)，BG=AE.

VBC=DE=4,

/.BG=2+4=6.

AAE=6.

在RtAAEF中，由勾股定理，得

AF=j4E2+"2=736+16,

.?.AF=2/.

本題考查的知識點(diǎn)是全等三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理及正方形的性質(zhì)和等腰直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練的掌

握全等三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理以及正方形的性質(zhì)和等腰直角三角形.

22、-5

【解析】

根據(jù)分式的運(yùn)算法則即可求出答案.

【詳解】

(1)2(x-2)(x+2)1x-1X-2

原式=[^---rr+/c、]+—=(----+----

x(x-l)x(x+2)xxx)*x=x-1+x-2=2x-3

由于x=0且x/l且x豐-2,

所以x=T,

原式=-2-3=-5

【點(diǎn)睛】

本題考查分式的運(yùn)算法則，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式的運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型.

a

23、(1)150,PA2+PC”PB2(1)證明見解析(3)4PA2siiv爹+PC2=P&

【解析】

(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)得到△B4P'為等邊三角形，得到NPPC=90。，根據(jù)勾股定理解答即可；

(1)如圖I,作將△A8P繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)110。得到△ACP,連接PP,作于。，根據(jù)余弦的定義得到尸產(chǎn)

=^PA,根據(jù)勾股定理解答即可；

(3)與(1)類似，根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、勾股定理和余弦、正弦的關(guān)系計(jì)算即可.

試題解析：

【詳解】

解：(1):△ABP絲△ACP',

：.AP=AP',

由旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可知，ZPAP'=60°,P'C=PB,

.?.△P4尸為等邊三角形，

.?.NAP產(chǎn)=60。，

1

VZPAC+ZPCA=-x60°=30°,

2

ZAPC=150°,

ZPTC=90°,

：.PP'i+PCi=P'Ci,

：.PAi+PCi=PBi,

故答案為150,PAi+Pd=PBi；

(1)如圖，作ZPAP=120。，使"，=”，連接PP',CP'.過點(diǎn)A作尸'于。點(diǎn).

ZR4C=Zft4P'=120。，

即ZBAP+ZPAC=ZPAC+ZCAP',

：.ZBAP=ZCAP'.

：AB=AC,AP=AP',

：.^BAP^CAP'.

180-/P"'=3。

：.P'C=PB,ZAPD=ZAP'D=Q

2

,"ADI.PP',

：,ZADP=90°.

：.在Rt△APO中，PD=AP-cos/APO=木AP.

2

/.PP0PD=#AP.

-：ZR4C+NPC4=60。，

ZAPC=180-APAC-ZPCA=U0

ZP'PC=ZAPC-ZAPD=90。.

.?.在Rt/'PC中，P'P2+PC2=P'C2.

：.3PA2+PC2=PB2；

(3)如圖1,與(1)的方法類似，

作將△A8P繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得到△ACP',連接PP',

作ADJLPP，于D,

由旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可知，ZPAP'=a,FC=PB,

a

/.ZAPP'=90°-—,

2

a

：APAC+APCA=—,

a

：.ZAPC=\80°--,

2

aa

:?/P'PC=(180°--)-(90°--)=90。，

22

：.PPfi+PCi=PfCi,

a

???ZAPPr=90°~—,

2

aa

.\PD=PA9COS(90°---)=B4*sin—,

22

a

f

：.PP=iPA^in—9

a

.\4B4isini—+PCi=PBi,

2

a

故答案為4R4isim豆+PCi=PB\.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，掌握等邊三角形的性質(zhì)、旋