2024屆新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)配套練習(xí) 直線與圓的位置關(guān)系

2024屆新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)配套練習(xí)專題9.2直線與圓

的位置關(guān)系

練基礎(chǔ)

1.（福建高考真題（理））直線/丿=丘+1與圓O：/+y2=l相交于兩點(diǎn)，貝『%=1"

是“AQW的面積為丄”的（）

2

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分又不必要

條件

2.（2018?北京高考真題（理））在平面直角坐標(biāo)系中，記d為點(diǎn)P（cos8,sin。）到直線

x-甲y」2=0的距離，當(dāng)加變化時(shí)，d的最大值為（）

A.1B.2

C.3D.4

3.（2021?全國(guó)高二單元測(cè)試）已知直線/與直線y=x+l垂直，且與圓V+y2=l相切，切點(diǎn)

位于第一象限，則直線/的方程是（）.

A.x+y-y/2=0B.x+y+l=0

C.x+y-l=0D.x+y+&=0

4.（2020.北京高考真題）已知半徑為1的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3,4）,則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值

為（）.

A.4B.5C.6D.7

5.【多選題】（2021?吉林白城市?白城一中高二月考）若直線x+y+m=0上存在點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P

可作圓。：/+丫2=］的兩條切線以，pB,切點(diǎn)為A,B,且NAP8=60。，則實(shí)數(shù)機(jī)的取

值可以為（）

A.3B.2應(yīng)

C.1D.-20

6.（2022?江蘇高三專題練習(xí)）己知大圓。|與小圓。2相交于42,1）,8（1,2）兩點(diǎn)，且兩圓都

與兩坐標(biāo)軸相切，則1。?！?一

7.（江蘇高考真題）在平面直角坐標(biāo)系宜刀中，圓。的方程為V+y2-8x+15=0,若直線

丁=h-2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，則Z的最

大值為?

8.（2018?全國(guó)高考真題（文））直線y=x+l與圓X2+/+2丁-3=0交于A,B兩點(diǎn),

則|陰=________.

9.（2021.湖南高考真題）過(guò)圓爐+丫2-4》=0的圓心且與直線2x+y=0垂直的直線方程為

10.（2020?浙江省高考真題）設(shè)直線/：卜=丘+伙&>0）與圓f+y2=i和圓

（%-4）2+丁=1均相切，則a=_______；b=______.

練提升

1.（2020?全國(guó)高考真題（理））若直線/與曲線產(chǎn)厶和/+y2="都相切，則/的方程為（）

A.y=2x+1B.y=2x+JC.>,=yx+1D.產(chǎn)Jx+g

2.【多選題】（2021?全國(guó)高考真題）已知點(diǎn)P在圓（x-5）2+（y-5）2=16上，點(diǎn)4（4,0）、8（0,2）,

則（）

A.點(diǎn)P到直線的距離小于10

B.點(diǎn)尸到直線A8的距離大于2

C.當(dāng)NPBA最小時(shí)，|PB卜30

D.當(dāng)NP8A最大時(shí)，|P卻=30

3.【多選題】（2021?肥城市教學(xué)研究中心高三月考）已知圓A:X2+V-2X-3=0,則下列說(shuō)

法正確的是（）

A.圓A的半徑為4

B.圓A截y軸所得的弦長(zhǎng)為2石

C.圓A上的點(diǎn)到直線3x-4y+12=0的最小距離為1

D.圓A與圓8:x2+y2-8x-8），+23=0相離

4.（2021?全國(guó)高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為犬+/-8工+15=0,

若直線卜=依-2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，則％

的取值范圍是.

5.（2021.富川瑤族自治縣高級(jí)中學(xué)高一期中（理））直線了=履+2/>0）被圓Y+y2=4截

得的弦長(zhǎng)為26，則直線的傾斜角為.

6.（2021.昆明市.云南師大附中高三月考（文））已知圓O:N+），2=4,以41,6）為切點(diǎn)作

圓。的切線厶，點(diǎn)B是直線厶上異于點(diǎn)A的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作直線厶的垂線厶，若厶與

圓。交于力，E兩點(diǎn)，則4ED面積的最大值為.

7.（2021?全國(guó)高三專題練習(xí)）已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)滿足如下條件：向量O%=（2,0），

&7=（2,2），G4=（V2cosa,Vasina）,則厶。8的取值范圍是

8.（2021?全國(guó)高三專題練習(xí)）己知小ye/?,x2-2x+y2=31^,求國(guó)+|乂的最大值與最小

值.

9.（2021?黑龍江哈爾濱市?哈爾濱三中）已知A3C的內(nèi)切圓的圓心M在＞軸正半軸上，半

徑為1,直線x+2y-l=0截圓M所得的弦長(zhǎng)為撞.

5

（1）求圓M方程；

（2）若點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2,4）,求直線AC和BC的斜率；

（3）若A,B兩點(diǎn)在X軸上移動(dòng)，且|AB|=4,求A8C面積的最小值.

10.（2021?新疆烏魯木齊市?烏市八中高二期末（文））已知直線/：4x+35-+10=0,半徑為

2的圓C與/相切，圓心C在x軸上且在直線/的上方

（1）求圓C的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)M（l,0）的直線與圓C交于A,B兩點(diǎn)（A在x軸上方），問(wèn)在x軸正半軸上是否存

在點(diǎn)N,使得x軸平分NAM3?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

練真題

1.（2021?山東高考真題）“圓心到直線的距離等于圓的半徑”是“直線與圓相切”的（）

A.充分沒(méi)必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也沒(méi)必要條件

2.（2021?北京高考真題）已知直線＞="+，”（，”為常數(shù)）與圓x?+y2=4交于點(diǎn)N,

當(dāng)A變化時(shí)，若IAWI的最小值為2,則機(jī)=

A.+1B.±y/2C.+y/iD.±2

3.（2020?全國(guó)高考真題（理））已知。朋丁+/一2%—2）,一2=0,直線/：2x+y+2=（）,

P為/上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作。"的切線PAP3,切點(diǎn)為A,B,當(dāng)最小時(shí)，直

線的方程為（）

A.2x-y—l=OB.2x+y-1=0C.2x-y+l=OD.2x+y+l=0

4.【多選題】（2021?全國(guó)高考真題）已知直線/:依+切-/=0與圓。:—+丫2=產(chǎn)，點(diǎn)441），

則下列說(shuō)法正確的是（）

A.若點(diǎn)A在圓C上，則直線/與圓C相切B.若點(diǎn)4在圓C內(nèi)，則直線/與圓C相離

C.若點(diǎn)A在圓C外，則直線/與圓C相離D.若點(diǎn)A在直線/上，則直線/與圓C相切

5.（2021?山東高考真題）已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，右焦點(diǎn)與圓/+，"）產(chǎn)-6機(jī)-7=0的圓

心重合，長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于圓的直徑，那么短軸長(zhǎng)等于.

6.（2019?北京高考真題（文））設(shè)拋物線/=4x的焦點(diǎn)為E準(zhǔn)線為，.則以尸為圓心，且

與/相切的圓的方程為一一專題9.2直線與圓的位置關(guān)系

練基礎(chǔ)

,-丿

1.（福建高考真題（理））直線/：y=厶+1與圓O:/+y2=i相交于A,8兩點(diǎn)，則県=1"

是“AQ4B的面積為丄”的（）

2

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分又不必要

條件

【答案】A

【解析】

由女=1時(shí)，圓心到直線/：y=x+l的距離4=與.所以弦長(zhǎng)為逝.所以

S"=-xy[2x—=-.所以充分性成立，由圖形的對(duì)成性當(dāng)左=一1時(shí)，\OAB的面積為

A。"222

丄.所以不要性不成立.故選A.

2

2.（2018?北京高考真題（理））在平面直角坐標(biāo)系中，記d為點(diǎn)尸（cosdsin。）到直線

%一利-2=（）的距離，當(dāng)6、加變化時(shí)，d的最大值為（）

A.1B.2

C.3D.4

【答案】C

【解析】

Qcos20+sin28=1,P為單位圓上一點(diǎn)，而直線x—沖一2=0過(guò)點(diǎn)A（2,0）,

所以d的最大值為。4+1=2+1=3,選C.

3.（2021?全國(guó)高二單元測(cè)試）己知直線/與直線y=x+l垂直，且與圓x?+y2=l相切，切點(diǎn)

位于第一象限，則直線/的方程是().

A.x+y--s/2=0B.x+y+l=O

C.x+y-1=0D.x+y+&=0

【答案】A

【分析】

根據(jù)垂直關(guān)系，設(shè)設(shè)直線/的方程為x+y+c=o(c<o),利用直線與圓相切得到參數(shù)值即可.

【詳解】

由題意，設(shè)直線/的方程為x+y+c=0(c<0).

圓心(0,0)到直線X+y+C=0的距離為裳=

1,

得。=-&或c=0(舍去)，故直線/的方程為x+y-&=0.

故選：A

4.(2020?北京高考真題)已知半徑為1的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,4),則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值

為().

A.4B.5C.6D.7

【答案】A

【分析】

求出圓心C的軌跡方程后，根據(jù)圓心M到原點(diǎn)。的距離減去半徑1可得答案.

【詳解】

設(shè)圓心C(x,y),則J(x-3『+(y_4)2=1,

化簡(jiǎn)得(x—3y+(y-4)2=l,

所以圓心C的軌跡是以M(3,4)為圓心，1為半徑的圓，

所以|OC|+12|OM1=7?7^=5,所以|OC|25-1=4,

當(dāng)且僅當(dāng)C在線段QM上時(shí)取得等號(hào),

故選：A.

5.【多選題】（2021.吉林白城市.白城一中高二月考）若直線x+y+，〃=0上存在點(diǎn)人過(guò)點(diǎn)尸

可作圓。：/+丁=1的兩條切線小，PB,切點(diǎn)為A,B,且NAPB=60。，則實(shí)數(shù)機(jī)的取

值可以為（）

A.3B.242

C.1D.-2叵

【答案】BCD

【分析】

先由題意判斷點(diǎn)P在圓F+y2=4上，再聯(lián)立直線方程使判別式ANO解得參數(shù)范圍，即得

結(jié)果.

【詳解】

點(diǎn)尸在直線x+y+”，=O上，ZAPB=60°,則ZAFO=NOP8=30°,

X2+=4

故聯(lián)立方程丿一八，得2/+2g+〃-4=0,有判別式ANO,

x+y+m-Q

即4病-4X2（〃-4）20,解得_2&4加42血，故A錯(cuò)誤，BCD正確.

故選：BCD.

6.（2022?江蘇高三專題練習(xí)）已知大圓。|與小圓O?相交于42,1）,8（1,2）兩點(diǎn)，且兩圓都

與兩坐標(biāo)軸相切，則|。。|=一

【答案】4拒

【分析】

由題意可知大圓Oi與小圓。2都在第一象限，進(jìn)而設(shè)圓的圓心為3a）（。＞0）,待定系數(shù)得

”=5或4=1,再結(jié)合兩點(diǎn)間的距離求解即可.

【詳解】

由題知，大圓。I與小圓。2都在第一象限，設(shè)與兩坐標(biāo)軸都相切的圓的圓心為3幻（。＞0）,

其方程為(x-a)2+(y-a)2=/,將點(diǎn)程為或(2,1)代入,解得”=5或4=1,

22

所以?:(x-5)2+(y-5)2=25,02:U-l)+(j-l)=1,可得旦(5,5),。式1,1),

所以10021="+4、=40.

故答案為：4拒

7.(江蘇高考真題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓。的方程為/+/一8》+15=(),若直線

y="-2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，則女的最

大值為.

4

【答案】-

3

【解析】

:圓C的方程為x2+y2-8x+15=0,整理得：(x-4)2+y2=l,即圓C是以(4,0)為圓心，1為

半徑的圓；又直線y=kx-2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公

共點(diǎn)，???只需圓C'：(x-4)?+y2=4與直線y=kx-2有公共點(diǎn)即可.設(shè)圓心C(4,0)到直線

第一2|44

y=kx-2的距離為d,d=匕=丄?2即3kW4k,；.0WkW—,故可知參數(shù)k的最大值為一.

V1+F33

8.(2018?全國(guó)高考真題(文))直線y=x+l與圓d+y2+2y—3=0交于A,B兩點(diǎn),

則|蝴=.

【答案】2&

【解析】

根據(jù)題意，圓的方程可化為V+(>+1)2=4,

所以圓的圓心為(0,-1),且半徑是2,

!0+1+”-Q

根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可以求得“=

結(jié)合圓中的特殊三角形，可知|AB|=2"^=2jL故答案為

9.(2021?湖南高考真題)過(guò)圓Y+y2-4x=0的圓心且與直線2x+y=0垂直的直線方程為

【答案】x-2y-2=0

【分析】

根據(jù)圓的方程求出圓心坐標(biāo)，再根據(jù)兩直線垂直斜率乘積為-1求出所求直線的斜率，再由

點(diǎn)斜式即可得所求直線的方程.

【詳解】

由*2+'2_4乂=0可得(1_2)2+；/=4,

所以圓心為（2,0）,

由2x+y=0可得y=-2x,所以直線2x+y=0的斜率為一2,

所以與直線2x+y=0垂直的直線的斜率為3，

所以所求直線的方程為：y-0=i（x-2）,即x-2y-2=0,

故答案為：x-2y-2=0.

10.（2020?浙江省高考真題）設(shè)直線/：y=H+b（k>0）與圓f+y2=i和圓

（%-4）2+丁=1均相切，則“=_______；b=______.

【答案】昱一空

33

【解析】

2

設(shè)a:丁+y2=1,C2:（X-4）+/=1,由題意，G，G到直線的距離等于半徑，即

宀=1,總

所以|川=|4%+4，所以左=0（舍）或者厶=一2厶，

解得％=^-,b26)

3

故答案為：立.「空

33

練提升

一-

1.（2020?全國(guó)高考真題（理））若直線/與曲線產(chǎn)厶和*2+y2=:都相切，則/的方程為（

)

A.y=2r+lB.y=2x+；C.y-^x+\D.尸

【答案】D

【分析】

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義設(shè)出直線/的方程，再由直線與圓相切的性質(zhì)，即可得出答案.

【詳解】

設(shè)直線/在曲線y=?上的切點(diǎn)為卜。,"），則%>0,

函數(shù)y=?的導(dǎo)數(shù)為）'=*,則直線/的斜率氏=去，

設(shè)直線/的方程為y—寓=萬(wàn)友(x—x°),即x-2爲(wèi)y+%=0,

1JV1

由于直線/與圓Y+y2=?相切，則［°丁=~^,

5，1+4%。5

兩邊平方并整理得54-4%-1=0,解得%=1,x0=-1(舍)，

則直線/的方程為x-2y+l=0,即y=gx+；.

故選：D.

2.【多選題】(2021?全國(guó)高考真題)已知點(diǎn)尸在圓(x-5y+(y-5)2=16上，點(diǎn)4(4,0)、8(0,2),

則()

A.點(diǎn)P到直線A3的距離小于10

B.點(diǎn)尸到直線A8的距離大于2

C.當(dāng)NPBA最小時(shí)，|尸卻=3竝

D.當(dāng)NPBA最大時(shí)，|即=30

【答案】ACD

【分析】

計(jì)算出圓心到直線4B的距離，可得出點(diǎn)尸到直線AB的距離的取值范圍，可判斷AB選項(xiàng)

的正誤；分析可知，當(dāng)NP8A最大或最小時(shí)，P8與圓M相切，利用勾股定理可判斷CD選

項(xiàng)的正誤.

【詳解】

圓(x-5)2+(y-5)2=16的圓心為M(5,5),半徑為4,

直線AB的方程為［+］=］,即x+2y-4=0,

圓心M到直線AB的距離為［5,2x5^=J1=>4,

#+22V55

所以，點(diǎn)尸到直線AB的距離的最小值為丄6-4<2,最大值為生6+4<10,A選項(xiàng)正確，

55

B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

如下圖所示：

~0-----------K--------------*8

當(dāng)NPH4最大或最小時(shí)，P8與圓M相切，連接VP、BM,可知丄P8,

\BM\=^（0-5）2+（2-5）2=>/34,\MF\=4,由勾股定理可得忸P|=_|朋評(píng)=34,

CD選項(xiàng)正確.

故選：ACD.

3.【多選題】（2021?肥城市教學(xué)研究中心高三月考）己知圓A:/+y2-2x-3=0,則下列說(shuō)

法正確的是（）

A.圓A的半徑為4

B.圓A截》軸所得的弦長(zhǎng)為26

C.圓A上的點(diǎn)到直線%-4），+12=0的最小距離為1

D.圓A與圓與：/+/—8x-8y+23=0相離

【答案】BC

【分析】

將圓的一般方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程即可得半徑可判斷A；利用幾何法求出弦長(zhǎng)可判斷B；求出

圓心A到直線的距離再減去半徑可判斷C；求出圓B的圓心和半徑，比較圓心距與半徑之和

的大小可判斷D,進(jìn)而可得正確選項(xiàng).

【詳解】

對(duì)于A：由V+y2-2x_3=0可得（x-iy+y2=4,所以A的半徑為r=2,故選項(xiàng)A不正

確；

對(duì)于民圓心為（i,o）到y(tǒng)軸的距離為d=i,所以圓A截y軸所得的弦長(zhǎng)為

2\lr2-d2=2物_『=2>/3>故選項(xiàng)B正確：

對(duì)于C：圓心（1,0）到直線3x-4y+12=0的距離為巖爭(zhēng)=3,所以圓A上的點(diǎn)到直線

3x-4），+12=0的最小距離為3—r=3—2=1,故選項(xiàng)C正確；

對(duì)于D：由丁+丁-8尤一8》+23=（）可得（了-4）2+（丫-4）2=9,所以圓心3（4,4）,半徑/?=3,

因?yàn)?8=，（4-1）2+（4-0）2=5=，+/?,所以兩圓相外切，故選項(xiàng)D不正確；

故選：BC.

4.（2021?全國(guó)高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xQv中，圓C的方程為『+9-8*+15=0,

若直線y=^-2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，則k

的取值范圍是.

4

【答案】0<^<|

【分析】

求出圓C的圓心和半徑，由題意可得圓心到直線的距離小于或等于兩圓的半徑之和即可求

解.

【詳解】

由爐+V-8x+15=0可得（X-4。+y：=1,

因此圓C的圓心為C（4,0）,半徑為1,

若直線^=履-2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，

14A：-21

只需點(diǎn)C（4,0）到直線廣質(zhì)―2的距離1=第溟^1+1=2,

即（2&-1）241+公,所以次2.4ZV0,解得0J彳,

4

所以A的取值范圍是

4

故答案為：0<^<-.

5.（2021?富川瑤族自治縣高級(jí)中學(xué)高一期中（理））直線了=履+2/>0）被圓x?+y2=4截

得的弦長(zhǎng)為26,則直線的傾斜角為.

【答案】60

【分析】

由已知求得圓心到直線的距離，再由點(diǎn)到直線的距離公式列式求得女,然后利用斜率等于傾

斜角的正切值求解.

【詳解】

,直線y=h+2仏>0）被圓f+V=4截得的弦長(zhǎng)為2g,

所以，圓心0（0,0）到直線依一y+2=0的距離d=J?一（6）2=1,

解得k=百任>0）.

設(shè)直線的傾斜角為。（04"180）,則tand=6,則。=60.

因此，直線y=Ax+2伏>0）的傾斜角為60.

故答案為：60.

6.（2021?昆明市?云南師大附中高三月考（文））已知圓O:N+），2=4,以A（l,石）為切點(diǎn)作

圓。的切線厶，點(diǎn)B是直線厶上異于點(diǎn)A的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作直線厶的垂線厶，若，2與

圓。交于。，E兩點(diǎn)，則.,.4E￡>面積的最大值為.

【答案】2

【分析】

由切線性質(zhì)得OA〃/2，。到直線4的距離等于A到4的距離，因此岳，比=$8￡,設(shè)。到厶

距離為d,把面積用d表示，然后利用導(dǎo)數(shù)可得最大值.

【詳解】

根據(jù)題意可得圖，OA丄4,所以。4〃厶，因此O到直線&的距離等于A到4的距離，

S：ADE=5ODE>

過(guò)點(diǎn)。（0,0）作直線4的垂線，垂足為F,記|OF|=d（2>d>0）,則弦|￡>E|=2x/4-d2，設(shè)三

角形ADE的面積為S,所以S=q".2^/Z彳，

____114-2d2

將S視為d的函數(shù)，則工戸+5”,//"-24）=萬(wàn)K，當(dāng)0<“<友時(shí)，￡>（）,

函數(shù)S（d）單調(diào)遞增；當(dāng)&<d<2時(shí)，S'<0,函數(shù)S3）單調(diào)遞減，所以函數(shù)S3）有最大值，

當(dāng)"=友時(shí)取到最大值，S（d）a=2,故.AED面積的最大值為2.

故答案為：2.

7.（2021?全國(guó)高三專題練習(xí)）已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)滿足如下條件：向量d=（2,0），

OC=(2,2)'8=(0cosa,夜sina),則厶03的取值范圍是

7C5乃

【答案】

【分析】

先求出點(diǎn)A的軌跡是以C(2,2)為圓心，加為半徑的圓.過(guò)原點(diǎn)。作此圓的切線，切點(diǎn)分別

為M、N,如圖所示，連接CM,CN,得到(煙船ZNOB.所以NBOM=15°,NBON=75。,

即得解.

【詳解】

由題得|4|=/礪cosa)2+(Vasina)2=0

所以點(diǎn)A的軌跡是以CQ2)為圓心，血為半徑的圓.

過(guò)原點(diǎn)。作此圓的切線，切點(diǎn)分別為M、N,

如圖所示，連接CM,CN,

則向量&與方的夾角。的范圍是NM。磁BNNOB.

—>—>1—>

???Iob|=2夜，由ICM1=1CN1=/1OCI知NCOM=NCON=30°，

N3OM=45°-30°=15°,ABON=45O+30°=75°.\5°^075°.

故ZAOB的取值范圍為｛附5?！?75。｝.

故答案為:"5。4。475。｝或有豊

8.(2021?全國(guó)高三專題練習(xí))已知x、yeR,f_2x+y2=3時(shí)，求同+|乂的最大值與最小

值.

【答案】最小值是1,最大值是1+2行

【分析】

根據(jù)V—2x+V=3表示圓(x-iy+y2=4,設(shè)可+|乂表示關(guān)于原點(diǎn)、x軸、y軸均對(duì)稱的

正方形，然后由直線與圓的位置關(guān)系求解.

【詳解】

Y-2x+y2=3的圖形是圓(x-l)2+)a=4,既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形.

設(shè)W+|y|=b,由式子W+例的對(duì)稱性得知N+|y|=b的圖形是關(guān)于原點(diǎn)、x軸、y軸均對(duì)稱

的正方形.

如圖所示：

當(dāng)。變化時(shí)，圖形是一個(gè)正方形系，每個(gè)正方形四個(gè)頂點(diǎn)均在坐標(biāo)軸上,

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為正方形系中的正方形與圓有公共點(diǎn)時(shí)，求b的最值問(wèn)題.

當(dāng)力＜1時(shí)，正方形與圓沒(méi)有公共點(diǎn)；

當(dāng)6=1時(shí)，正方形與圓相交于點(diǎn)(TO),

若令直線)，=—+〃與圓(x—庁+9=4相切，

則＞?=2,解得/,=]+2\f2，

所以當(dāng)b=l+2&時(shí)，正方形與圓相切；

當(dāng)1+20時(shí)，正方形與圓沒(méi)有公共點(diǎn)，

故W+|y|的最小值是1,最大值是1+2收.

9.(2021?黑龍江哈爾濱市?哈爾濱三中)已知A3C的內(nèi)切圓的圓心M在＞軸正半軸上，半

徑為1,直線x+2y-l=0截圓M所得的弦長(zhǎng)為述.

5

(1)求圓M方程；

(2)若點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,4),求直線AC和8c的斜率；

(3)若A,8兩點(diǎn)在X軸上移動(dòng)，且|AB|=4,求,A8c面積的最小值.

【答案】⑴x2+(y-l)2=l；(2)2土|百;(3)y.

【分析】

(1)設(shè)A8C的內(nèi)切圓的圓心M(0,。)，先求得圓心到直線x+2y-1=0的距離，再根據(jù)直

線截圓M所得的弦長(zhǎng)為逑求解；

5

(2)當(dāng)直線AC和BC的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線方程為x=2,易知不成立；當(dāng)直線AC和BC

的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y-4=z(x-2),然后由圓心到直線的距離等于半徑求解；

(3)根據(jù)|AB|=4,設(shè)A(r,0),B(t+4⑼(-4<r<0),進(jìn)而得到直線AC和直線BC的斜率，寫

出直線AC和BC的方程，聯(lián)立求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，進(jìn)而得到坐標(biāo)系的最小值求解.

【詳解】

(1)設(shè)A8C的內(nèi)切圓的圓心M(0,b),b>0,

圓心到直線x+2y-l=0的距離為“=口”，

>/5

又因?yàn)橹本€截圓M所得的弦長(zhǎng)為拽，

解得匕=1，

所以圓M方程—+(k1)2=1；

(2)當(dāng)直線AC和BC的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線方程為x=2,

則圓心到直線的距離J=|0-2|=2^r=l,不成立，

當(dāng)直線AC和BC的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y-4=Z(x-2),

即依一〉一2%+4=0,

圓心到直線的距離丑

解得k=2±;

3

(3)因?yàn)閨AB|=4,設(shè)A&0)I(i+4,0)(-4</<0),

2

—?/

所以直線AC的斜率為：k=tan2ZMAO=-L-=,

AC11t-1

1一戸

_2

同理直線BC的斜率為：県=~,

1-1(，+4-1

r

2/

所以直線AC的方程為：y=-^-(x-t)f

r-1

-2(r+4)/、

直線BC的方程為：y=7--4),

(r+%4)-1丿；。

2f+4

x=

/+41+1

由，,解得■

-2(f+4)2r2+8r

y=(x-/-4)y=

(r+4『-1Z2+4Z+1

即d2+4-+82

即1+4，+17+務(wù)+1丿’

2r+8/_2c2

又y=---------=2—；------=2----------—

人'f2+4/+1「+4，+1（,+2）2-3'

Q

當(dāng)r=-2時(shí)，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)取得最小值：，

所以說(shuō)面積的最小值.S"=34x|號(hào).

10.（2021?新疆烏魯木齊市?烏市八中高二期末（文））已知直線/：4x+3y+10=0,半徑為

2的圓C與/相切，圓心C在x軸上且在直線/的上方

（1）求圓C的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)M（l,0）的直線與圓C交于A,8兩點(diǎn)（A在X軸上方），問(wèn)在X軸正半軸上是否存

在點(diǎn)N,使得x軸平分厶N(yùn)8?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）x2+y2=4；（2）存在,N（4,0）.

【分析】

（1）設(shè)出圓心坐標(biāo)C（a,0）,根據(jù)直線與圓相切可得圓心到直線的距離等于半徑，由此求解

出。的值（注意范圍），則圓C的方程可求；

（2）當(dāng)直線A2的斜率不存在時(shí)，直接根據(jù)位置關(guān)系分析即可，當(dāng)直線A3的斜率存在時(shí)，

設(shè)出直線方程并聯(lián)立圓的方程，由此可得48坐標(biāo)的韋達(dá)定理形式，根據(jù)以結(jié)合韋

達(dá)定理可求點(diǎn)N的坐標(biāo).

【詳解】

解：⑴設(shè)圓心c（“,o）,

?.,圓心C在/的上方，

?*.4（7+10>0>BP6!>——,

2

?.?直線/：4x+3y+10=0,半徑為2的圓C與/相切,

：.d=r,即色誓=2,

解得：〃=0或。=—5（舍去），

則圓C方程為一+丁=4；

（2）當(dāng)直線45丄x軸，貝！］x軸平分NANB,

當(dāng)直線A3的斜率存在時(shí)，設(shè)A8的方程為丫=耳%-1）,N?,（））,A&，X），e（x,,y2）,

由卜+「=4得，（公+1卜2-2/彳+公一4=0,所以為+%=￥-,x門

j=Z（x-l）'丿1-k2+\-k2+l

若x軸平分NAA?,則3v=-&班，即"火（％一|）=0,

王一￡9一/

整理得：2Al々-。+1）&+々）+2/=0,即2儼二4）_2.（r+l）+2,=0,解得：,=4,

k2+\k2+l

當(dāng)點(diǎn)N（4,0）,能使得厶N(yùn)M=N&VM總成立.

練真題

1.（2021?山東高考真題）“圓心到直線的距離等于圓的半徑”是“直線與圓相切”的（）

A.充分沒(méi)必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也沒(méi)必要條件

【答案】C

【分析】

由直線與圓相切的等價(jià)條件，易判斷

【詳解】

由于“圓心到直線的距離等于圓的半徑"直線與圓相切”，因此充分性成立；

“直線與圓相切”n“圓心到直線的距離等于圓的半徑”，故必要性成立；

可得“圓心到直線的距離等于圓的半徑”是“直線與圓相切”的充要條件

故選：C

2.（2021?北京高考真題）已知直線）=履+加（”?為常數(shù)）與圓x?+y2=4交于點(diǎn)〃，N,

當(dāng)％變化時(shí)，若IMNI的最小值為2,則機(jī)=

A.±1B.士近C.±6D.±2

【答案】C

【分析】

先求得圓心到直線距離，即可表示出弦長(zhǎng)，根據(jù)弦長(zhǎng)最小值得出機(jī)

【詳解】

由題可得圓心為（0,0）,半徑為2,

則圓心到直線的距離d

則弦長(zhǎng)為|MN|=2

則當(dāng)％=0時(shí)，弦長(zhǎng)MM取得最小值為27?二U=2,解得機(jī)=±6.

故選：C.

3.(2020?全國(guó)高考真題(理))已知。M丁+/一2%一2,一2=0,直線/：2x+y+2=0,

產(chǎn)為/上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作。."的切線PA,PB,切點(diǎn)為A,B,當(dāng)IPMHABI最小時(shí)，直

線AB的方程為()

A.2x—y-1—()B.2,x+y—1—0C.2x—y+1=()D.2x+y+1=0

【答案】D

【解析】

，點(diǎn)”到直線/的距離為。=B42］二石〉2,

圓的方程可化為(x—I)?+(y—I)?=4

722+12

所以直線/與圓相離.

依圓的知識(shí)可知，四點(diǎn)AP,民"四點(diǎn)共圓，且A3丄兒廬，所以

\PM\-\AB\=4SPAM=4x|x|PA|x|AM|=4|PA|,而歸川=,

當(dāng)直線MP丄/時(shí)，|班仆=6，|尸4而=1,it匕時(shí)最小.

=11

MP:y-l=即y=gx+g,由＜y-x4—x=-l

22解得,

y=0

2x+y+2=0

所以以MP為直徑的圓的方程為(x-l)(x+l)+y(y—l)=0,即x2+y2_y—i=o,

兩圓的方程相減可得：2x+y+l=0,即為直線AB的方程.

故選：D.

4.【多選題】(202卜全國(guó)高考真題)己知直線/:以+歷，-產(chǎn)=0與圓。：/+>)2=/，點(diǎn)43加，

則下列說(shuō)法正確的是()

A.若點(diǎn)A在圓C上，則直線/與圓C相切B.若點(diǎn)4在圓C內(nèi)，則直線/與圓C相離

C.若點(diǎn)A在圓C外，則直線/與圓C相離D.若點(diǎn)A在直線/上，則直線/與圓C相切

【答案】ABD

【分析】

轉(zhuǎn)化點(diǎn)與圓、點(diǎn)與直線的位置關(guān)系為的大小關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離及直線與

圓的位置關(guān)系即可得解.

【詳解】

2

圓心c(o,o)到直線/的距離〃=

yla2+b2

若點(diǎn)A?b)在圓C上,則所以d=

y/a'+b-

則直線/與圓C相切，故A正確;

2

若點(diǎn)在圓C內(nèi)，則/+從<戸，所以d=:>內(nèi)

yja'+b-

則直線/與圓C相離，故B正確；

若點(diǎn)A(a㈤在圓C外,則/+厶2>/，所以d=

y]a2+h2

則直線/與圓C相交，故C錯(cuò)誤;

若點(diǎn)A(a,b)在直線/上，貝I」/+〃一/=o即“2+〃=產(chǎn),

所以d=//,=卜|,直線/與圓C相切，故D正確.

yla2+b2

故選：ABD.

5.(2021.山東高考真題)已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，右焦點(diǎn)與圓/+機(jī))產(chǎn)-6機(jī)-7=()的圓

心重合，長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于圓的直徑，那么短軸長(zhǎng)等于.

【答案】2幣

【分析】

由于丁+啊2-6%-7=0是圓,可得〃?=1,通過(guò)圓心和半徑計(jì)算a,b,c,即得解

【詳解】

由于x?+〃?)>2-6m-7=0是圓，m=1

即：圓X?+丁-6x-7=0

其中圓心為(3,0),半徑為4

那么橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8,即c=3,a=4,%=_。2=翅,

那么短軸長(zhǎng)為2近

故答案為：2近

6.(2019?北京高考真題(文))設(shè)拋物線，=4x的焦點(diǎn)為此準(zhǔn)線為，則以廠為圓心，且

與丿相切的圓的方程為.

【答案】(^-1)V=4.

【解析】

拋物線”=4*中，2尸4,片2,

焦點(diǎn)尸（1,0）,準(zhǔn)線/的方程為產(chǎn)T,

以尸為圓心，

且與/相切的圓的方程為（尸1）2+4=2；即為（『11+"=4.

專題9.3橢圓

練基礎(chǔ)

一浙江高考真題）橢圓不小1的離心率是‘）

好25

氏--

A.3C.3D.9

X~v~1

2.（2019?北京高考真題）已知橢圓j+'=l（a>6>0）的離心率為一，則（）

a~b~2

A.界26B.3^=4Z?2C.a=2bD.3寸46

22

3.（上海高考真題）設(shè)。是橢圓三+2=1上的點(diǎn).若6，鳥是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則

2516

|P￡|+|P閭等于（）

A.4B.5C.8D.10

22

4.（2020?四川資陽(yáng)。高三其他（理））已知橢圓C：0+3=1（。>。>0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1,

且。的離心率叫，則。的方程是（）

22

A.+—B.

~4386

222

X~+￡

C.=1D.—*?.—y_—i1

~4284

r2v2

5.（2020?河北棗強(qiáng)中學(xué)高三月考（文））已知橢圓C的方程為T+方=1（。>6>0）,焦

距為2c,直線/：y=與x與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn)，若|AB|=2c,則橢圓C的離心率

為（）

J3311

A.—B.-C.-D.-

2424

6.（2021.全國(guó)高三專題練習(xí)）已知K，乃分別是橢圓$+《=1的上、下焦點(diǎn)，在橢圓上

111,,,,

是否存在點(diǎn)P,使西，兩，兩成等差數(shù)列？若存在求出歸用和P目的值；若不存

在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22

7.（2021?全國(guó)高三專題練習(xí)）設(shè)尸是橢圓三+二=1的右焦點(diǎn)，且橢圓上至少有21個(gè)不同

76

的點(diǎn)a（i=l,2,...）,使|3|,尸耳，|F用，…組成公差為4的等差數(shù)列，求a的取值

范圍.

8.（2021?全國(guó)高三專題練習(xí)）已知定點(diǎn)4（-2,2）,點(diǎn)F?為橢圓[+卷=1的右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在

橢圓上移動(dòng)時(shí)，求|A"|+|M閭的最大值；

9.（2021?云南師大附中高三月考（理））橢圓C:「+馬=1（。>6>0）的離心率是巫，且

Q-h-2

點(diǎn)A（2,1）在橢圓C上，O是坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求橢圓C的方程；

（2）直線/過(guò)原點(diǎn)，且/丄。4,若/與橢圓C交于B,力兩點(diǎn)，求弦8。的長(zhǎng)度.

10.（2021.南昌大學(xué)附屬中學(xué)髙二月考）已知月（-2,0"（2,0）是橢圓力方=1（°”>0）

兩個(gè)焦點(diǎn),且5巒=9乩

（1）求此橢圓的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)P在橢圓上，且/耳尸鳥=5，求的面積.

練提升

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