2024年蘇錫常鎮(zhèn)四市高三數(shù)學(xué)3月教學(xué)情況調(diào)研試卷附答案解析

年蘇錫常鎮(zhèn)四市高三數(shù)學(xué)3月教學(xué)情況調(diào)研試卷（試卷滿分150分考試時(shí)間120分鐘）2024.03注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知集合，集合，則（

）A． B． C． D．2．設(shè)，則（

）A． B． C． D．3．已知平面向量滿足，則與的夾角為（

）A． B． C． D．4．青少年的身高一直是家長和社會(huì)關(guān)注的重點(diǎn)，它不僅關(guān)乎個(gè)體成長，也是社會(huì)健康素養(yǎng)發(fā)展水平的體現(xiàn).某市教育部門為了解本市高三學(xué)生的身高狀況，從本市全體高三學(xué)生中隨機(jī)抽查了1200人，經(jīng)統(tǒng)計(jì)后發(fā)現(xiàn)樣本的身高（單位：）近似服從正態(tài)分布，且身高在到之間的人數(shù)占樣本量的，則樣本中身高不低于的約有（

）A．150人 B．300人 C．600人 D．900人5．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．56．在平面直角坐標(biāo)系中，已知為雙曲線的右頂點(diǎn)，以為直徑的圓與的一條漸近線交于另一點(diǎn)，若，則的離心率為（

）A． B．2 C． D．47．萊莫恩定理指出：過的三個(gè)頂點(diǎn)作它的外接圓的切線，分別和所在直線交于點(diǎn)，則三點(diǎn)在同一條直線上，這條直線被稱為三角形的線.在平面直角坐標(biāo)系中，若三角形的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，則該三角形的線的方程為（

）A． B．C． D．8．已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，若，則（

）A． B．1 C． D．2二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．已知復(fù)數(shù)，下列說法正確的有（

）A．若，則 B．若，則C．若，則或 D．若，則10．已知函數(shù)，則（

）A．的最小正周期為 B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．不等式無解 D．的最大值為11．如圖，在棱長為2的正方體中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則（

）A．當(dāng)時(shí)，平面B．任意，三棱錐的體積是定值C．存在，使得與平面所成的角為D．當(dāng)時(shí)，平面截該正方體的外接球所得截面的面積為三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知變量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表，對(duì)表中數(shù)據(jù)作分析，發(fā)現(xiàn)與之間具有線性相關(guān)關(guān)系，利用最小二乘法，計(jì)算得到經(jīng)驗(yàn)回歸直線方程為，據(jù)此模型預(yù)測(cè)當(dāng)時(shí)的值為.567893.54566.513．已知，，則的最小值為.14．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)和拋物線，過的焦點(diǎn)且斜率為的直線與交于兩點(diǎn).記線段的中點(diǎn)為，若線段的中點(diǎn)在上，則的值為；的值為.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15．記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.(1)證明：；(2)若，求的周長.16．如圖，在四棱錐中，平面，，，，，點(diǎn)在棱上，且.

(1)證明：平面；(2)當(dāng)二面角為時(shí)，求.17．我國無人機(jī)發(fā)展迅猛，在全球具有領(lǐng)先優(yōu)勢(shì)，已經(jīng)成為“中國制造”一張靚麗的新名片，并廣泛用于森林消防?搶險(xiǎn)救災(zāi)?環(huán)境監(jiān)測(cè)等領(lǐng)域.某森林消防支隊(duì)在一次消防演練中利用無人機(jī)進(jìn)行投彈滅火試驗(yàn)，消防員甲操控?zé)o人機(jī)對(duì)同一目標(biāo)起火點(diǎn)進(jìn)行了三次投彈試驗(yàn)，已知無人機(jī)每次投彈時(shí)擊中目標(biāo)的概率都為，每次投彈是否擊中目標(biāo)相互獨(dú)立.無人機(jī)擊中目標(biāo)一次起火點(diǎn)被撲滅的概率為，擊中目標(biāo)兩次起火點(diǎn)被撲滅的概率為，擊中目標(biāo)三次起火點(diǎn)必定被撲滅.(1)求起火點(diǎn)被無人機(jī)擊中次數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)求起火點(diǎn)被無人機(jī)擊中且被撲滅的概率.18．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，過橢圓的上頂點(diǎn)作兩條動(dòng)直線分別與交于另外兩點(diǎn).當(dāng)時(shí)，.(1)求的值；(2)若，求和的值.19．已知函數(shù)，函數(shù).(1)若過點(diǎn)的直線與曲線相切于點(diǎn)，與曲線相切于點(diǎn).①求的值；②當(dāng)兩點(diǎn)不重合時(shí)，求線段的長；(2)若，使得不等式成立，求的最小值.1．D【分析】求出集合，利用集合間的關(guān)系即可判斷.【詳解】由題可得：或，則.故選：D.2．C【分析】利用賦值法，分別令可得.【詳解】令，則，；令，則；.故選：C.3．B【分析】根據(jù)向量的加減運(yùn)算以及數(shù)量積的運(yùn)算律求出，繼而利用向量的夾角公式，即可求得答案.【詳解】由題意知平面向量滿足，故，所以，所以，所以，則，，故，故選：B.4．A【分析】利用正態(tài)分布的性質(zhì)，計(jì)算出和即可求解.【詳解】因?yàn)?，，所以則，所以樣本中身高不低于的約有人.故選：A.5．C【分析】利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】令，得，則；故，，所以在共有4個(gè)零點(diǎn)，故選：C.6．B【分析】由漸近線方程和⊥求出，由勾股定理得到，從而求出離心率.【詳解】由題意得，⊥，雙曲線的一條漸近線方程為，故，即，又，所以，由勾股定理得，即，解得，,故選：B.7．B【分析】待定系數(shù)法求出外接圓方程，從而得到外接圓在處的切線方程，進(jìn)而求出的坐標(biāo)，得到答案.【詳解】的外接圓設(shè)為，，解得，外接圓方程為，即，易知外接圓在處切線方程為，又，令得，，，在處切線方程為，又，令得，，則三角形的線的方程為，即故選：B.8．D【分析】由已知和式求出通項(xiàng)的通項(xiàng)，從而得出，再由已知條件，從而求出，類似的往前推，求出即可.【詳解】時(shí)，時(shí)，，故選：D.9．AC【分析】A項(xiàng)，由復(fù)數(shù)的性質(zhì)可得；BD項(xiàng)，舉特例即可判斷；C項(xiàng)，先證明命題“若，則，或”成立，再應(yīng)用所證結(jié)論推證可得.【詳解】選項(xiàng)A，，則，故A正確；選項(xiàng)B，令，滿足條件，但，且均不為，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，下面先證明命題“若，則，或”成立.證明：設(shè)，，若，則有，故有，即，兩式相乘變形得，，則有，或，或，①當(dāng)時(shí)，，即；②當(dāng)，且時(shí)，則，又因?yàn)椴煌瑫r(shí)為，所以，即；③當(dāng)，且時(shí)，則，同理可得，故；綜上所述，命題“若，則，或”成立.下面我們應(yīng)用剛證明的結(jié)論推證選項(xiàng)C，，，，或，即或，故C正確；選項(xiàng)D，令，則，但，不為，故D錯(cuò)誤.故選：.10．BD【分析】對(duì)于選項(xiàng)A:驗(yàn)證是否成立即可判斷；對(duì)于選項(xiàng)B:驗(yàn)證是否成立即可判斷；對(duì)于選項(xiàng)C:利用即可驗(yàn)證有解；對(duì)于選項(xiàng)D:利用二倍角公式，結(jié)合基本不等式即可判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A:不是的周期，故A錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)B:關(guān)于對(duì)稱，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C:有解，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D:，若，則，若則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，原式取等，故D正確.故選:BD.11．ACD【分析】建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，對(duì)于A，時(shí)，與重合，故只需驗(yàn)證面是否成立即可，對(duì)于B，由不與平面平行，即點(diǎn)到面的距離不為定值，由此即可推翻B，對(duì)于C，考慮兩種極端情況的線面角，由于是連續(xù)變化的，故與平面所成的角也是連續(xù)變化的，由此即可判斷；對(duì)于D，求出平面的法向量，而顯然球心坐標(biāo)為，求出球心到平面的距離，然后結(jié)合球的半徑、勾股定理可得截面圓的半徑，進(jìn)一步可得截面圓的面積.【詳解】如圖所示建系，，所以，從而，所以，又面，所以面，時(shí)，與重合，平面為平面，因?yàn)槊?，平面，A對(duì).不與平面平行，到面的距離不為定值，三棱錐的體積不為定值，B錯(cuò).設(shè)面的法向量為，則，令，解得，即可取，而，所以與平面所成角的正弦值為，又，所以，所以，又面，所以面，當(dāng)在時(shí)，與平面所成角的正弦值為，此時(shí)與平面所成角小于，當(dāng)在時(shí)，與平面所成角為，所以存在使與平面所成角為，C正確.，設(shè)平面的法向量為，不妨設(shè)，則.，則，平面的法向量，顯然球心，到面的距離，外接球半徑，截面圓半徑的平方為，所以，D對(duì).故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：判斷D選項(xiàng)的關(guān)鍵是利用向量法求出球心到截面的距離，由此即可順利得解.12．7.4【分析】經(jīng)驗(yàn)回歸直線方程過樣本點(diǎn)的中心，所以把代入求得的值，再代入求解即可.【詳解】由已知得，即樣本點(diǎn)中心，因?yàn)榻?jīng)驗(yàn)回歸直線方程過樣本點(diǎn)的中心，所以，解得.所以，當(dāng)時(shí)，.故答案為：.13．##【分析】依題意可得，則，令，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值，即可得解.【詳解】，，，，，即，所以，令，，則，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得.故答案為：14．25【分析】設(shè)，與拋物線聯(lián)立，由韋達(dá)定理得，，從而得到的坐標(biāo)，以及線段的中點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線方程，即可求出的值，得到的值.【詳解】令，，，線段的中點(diǎn)為聯(lián)立，消可得，則，,所以，即，所以線段的中點(diǎn)，由于線段的中點(diǎn)在拋物線上，則，解得或（舍去），即，由于在拋物線中，，所以.故答案為：2；5.15．(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用正弦定理邊化角結(jié)合角范圍可證；（2）利用倍角公式求得，然后利用正弦定理可得【詳解】（1）因?yàn)榛颍ㄉ幔?（2）由，結(jié)合（1）知，則，得，，，由正弦定理得的周長為.16．(1)證明見解析(2)【分析】（1）由線面垂直得到線線垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，根據(jù)得到證明；（2）求出平面的法向量，根據(jù)二面角的大小列出方程，求出.【詳解】（1）因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，以為坐?biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，∵，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令得，故，故平面；（2）平面的一個(gè)法向量，，.17．(1)分布列見解析，(2)【分析】（1）由二項(xiàng)分布概率公式求概率即可得分布列，再由二項(xiàng)分布期望公式可得；（2）根據(jù)條件概率以及全概率公式求解可得【詳解】（1）起火點(diǎn)被無人機(jī)擊中次數(shù)的所有可能取值為，.的分布列如下：0123.（2）擊中一次被撲滅的概率為擊中兩次被火撲滅的概率為擊中三次被火撲滅的概率為所求概率.18．(1)2(2)，【分析】（1）聯(lián)立直線直線和橢圓的方程，求出M點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)列出關(guān)于a的方程，即可求得答案.（2）聯(lián)立直線和橢圓方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)的表達(dá)式，即可求得，的表達(dá)式，結(jié)合，可推出，即三點(diǎn)共線，結(jié)合，可得，由此即可取得答案.【詳解】（1）由題意得，直線的方程為，聯(lián)立，解得或，代入，得，由得，，解得，；（2）由（1）知橢圓方程為，聯(lián)立，得，解得或，即，則，即，同理可得，則，，由于，故，故，即三點(diǎn)共線，

又，故，又，，故，解得，由于，故.【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了直線和橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用問題，解答的難點(diǎn)在于計(jì)算比較復(fù)雜，并且都是有關(guān)字母參數(shù)的運(yùn)算，計(jì)算量較大，需要有較強(qiáng)的計(jì)算能力..19．(1)①或1；②(2)1【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求的切線，再由切線與也相切，利用判別式即可求出；根據(jù)確定點(diǎn)，即可求；（2）轉(zhuǎn)化為原命題的非命題，利用單調(diào)性及恒成立探索時(shí)非命題成立，可得當(dāng)時(shí)原命題成立，再驗(yàn)證能取得即可得解.【詳解】（1）①，設(shè)，切點(diǎn).方程，即，聯(lián)立，由，可得或1；②當(dāng)時(shí)，，此時(shí)重合，舍去.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，此時(shí).（2