2019版高中全程練習(xí)方略配套資料：垂直關(guān)系

第四節(jié)垂直關(guān)系三年20考高考指數(shù):★★★★1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點，認(rèn)識和理解空間中線、面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理；2.能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的垂直關(guān)系的簡單命題.1.垂直關(guān)系的判斷多出現(xiàn)在選擇題或填空題中，主要考查對概念、公理、定理、性質(zhì)、結(jié)論的理解及運用，往往與命題及平行關(guān)系綜合在一起考查，難度較小；2.線面垂直、面面垂直的證明及運算常以解答題的形式出現(xiàn)，且常與平行關(guān)系綜合命題，難度中等.3.通過二面角的求解來考查學(xué)生的空間想象能力和運算能力，常以解答題的形式出現(xiàn)，難度中等.1.直線與平面垂直(1)定義：如果一條直線和一個平面內(nèi)的______一條直線都垂直，那么稱這條直線和這個平面垂直.任何(2)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直.性質(zhì)定理如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行.αabAlaαb?a∥ba⊥αb⊥α【即時應(yīng)用】(1)思考：能否將直線與平面垂直的定義中的“任意一條直線”改為“無數(shù)條直線”？提示：不可以.當(dāng)這無數(shù)條直線平行時，直線l有可能在平面α內(nèi)，或者l與平面α相交但不垂直.(2)直線a⊥平面α，b∥α，則a與b的位置關(guān)系是_______.【解析】由b∥α可得b平行于α內(nèi)的一條直線，設(shè)為b′.因為a⊥α，所以a⊥b′，從而a⊥b，但a與b可能相交，也可能異面.答案：垂直(3)判斷下列命題的真假.(在括號內(nèi)填“真”,“假”)①如果直線l與平面α內(nèi)的一條直線垂直，則l⊥α.()②如果直線l不垂直于α，則α內(nèi)沒有與l垂直的直線.()③如果直線l不垂直于α，則α內(nèi)也可以有無數(shù)條直線與l垂直.()【解析】當(dāng)l與α內(nèi)的一條直線垂直時，不能保證l與α垂直，故①不對；當(dāng)l與α不垂直時，l可能與α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，故②不對；③正確.答案：①假②假③真2.二面角二面角的定義二面角的度量——二面角的平面角以二面角的棱上任一點為端點，在兩個半平面內(nèi)分別作________棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫作二面角的平面角.從一條直線出發(fā)的___________所組成的圖形叫作二面角.這條直線叫作二面角的____，這兩個半平面叫作二面角的____.兩個半平面棱面垂直于平面角是_____的二面角叫作直二面角.直角【即時應(yīng)用】思考：二面角的平面角的大小與在二面角的棱上選的點的位置有關(guān)嗎？提示:如圖，用兩個垂直于棱的平面γ1,γ2去截一個二面角α—a—β,由等角定理知，所截得的兩個角θ1和θ2相等，這說明二面角的平面角與在二面角的棱上選的點的位置無關(guān).3.平面與平面垂直(1)定義:兩個平面相交，如果所成的二面角是__________，就說這兩個平面互相垂直.直二面角(2)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條_____，那么這兩個平面互相垂直.垂線αβAB?β⊥αABβAB⊥α文字語言圖形語言符號語言性質(zhì)定理如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們_____的直線垂直于另一個平面.交線βBAα?

AB⊥αMNα⊥βα∩β=MNABβAB⊥MN于點B【即時應(yīng)用】(1)思考：垂直于同一平面的兩平面是否平行？提示：不一定.兩平面可能平行，也可能相交.(2)已知α,β表示兩個不同的平面，m為平面α內(nèi)的一條直線，則“α⊥β”是“m⊥β”的________條件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”)【解析】由條件知，當(dāng)m⊥β時，一定有α⊥β；但反之不一定成立.故填必要不充分.答案：必要不充分(3)將正方形ABCD沿AC折成直二面角后，∠DAB=_______.【解析】如圖,取AC的中點O，連接DO，BO，則DO⊥AC，BO⊥AC，故∠DOB為二面角的平面角，從而∠DOB=90°.設(shè)正方形邊長為1，則所以DB=1，故△ADB為等邊三角形，所以∠DAB=60°.答案：60°直線與平面垂直的判定和性質(zhì)【方法點睛】1.證明線面垂直的常用方法方法一利用線面垂直的判定定理方法二利用“兩平行線中的一條與平面垂直，則另一條也與這個平面垂直”.方法三利用“一條直線垂直于兩平行平面中的一個，則與另一個也垂直”.方法四利用面面垂直的性質(zhì)2.線面垂直性質(zhì)的應(yīng)用當(dāng)直線和平面垂直時，則直線與平面內(nèi)的所有直線都垂直，體現(xiàn)了“線線垂直”與“線面垂直”的相互轉(zhuǎn)化.【提醒】解題時一定要嚴(yán)格按照定理成立的條件規(guī)范書寫過程.如用判定定理證明線面垂直時，一定要體現(xiàn)出“平面中的兩條相交直線”這一條件.

【例1】(1)(2012·北京模擬)已知如圖，六棱錐P-ABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC.則下列結(jié)論不正確的是()(A)CD∥平面PAF(B)DF⊥平面PAF(C)CF∥平面PAB(D)CF⊥平面PAD(2)(2012·南昌模擬)如圖，三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分線段PC，且分別交AC、PC于D、E兩點,又PB=BC，PA=AB.①求證：PC⊥平面BDE；②若點Q是線段PA上任一點，判斷BD、DQ的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；③若AB=2,求三棱錐B-CED的體積.CPEQABD···【解題指南】(1)根據(jù)線面平行、垂直的判定定理來判斷.(2)①利用線面垂直的判定定理證明；②證明BD⊥平面PAC即可；③根據(jù)VB-CED=VC-BDE，轉(zhuǎn)化為求S△BDE及CE的長度.【規(guī)范解答】(1)選D.由正六邊形的性質(zhì)得CD∥AF，CF∥AB，故A、C正確；因為PA⊥平面ABC，所以PA⊥DF，又DF⊥AF，PA∩AF=A，故DF⊥平面PAF，即B正確.故選D.(2)①由等腰三角形PBC，得BE⊥PC，∵DE垂直平分PC，∴DE⊥PC，又BE∩DE=E，∴PC⊥平面BDE.②由①得，PC⊥BD，∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BD.又PC∩PA=P，∴BD⊥平面PAC.∴當(dāng)點Q是線段PA上任一點時都有BD⊥DQ.③∵PA=AB=2,∴PB=BC=

∵AB⊥BC,∴∴PC=4，CE=2，且∵△CDE∽△CPA，∴∴由②知：BD⊥DE.∴【互動探究】本例(2)②若改為“設(shè)Q是線段PA上任意一點，求證：平面BDQ⊥平面PAC.”則如何求解？【證明】由(2)②的解法可知BD⊥平面PAC.又BD

平面BDQ,∴平面BDQ⊥平面PAC.【反思·感悟】1.在證明垂直關(guān)系時，要注意線面垂直與面面垂直間的相互轉(zhuǎn)化，同時要注意通過作輔助線進行這種轉(zhuǎn)化.2.解答與垂直有關(guān)的問題時要重視對圖形的觀察與分析，從中找到線線垂直往往是解題的關(guān)鍵，因為所有的垂直問題都可轉(zhuǎn)化為線線垂直來處理.【變式備選】1.(2012·延安模擬)已知△ABC中，∠ACB=90°，SA⊥平面ABC，AD⊥SC，求證：AD⊥平面SBC.【證明】∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC，又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC，SA∩AC=A，∴BC⊥平面SAC，∴BC⊥AD，又SC⊥AD，SC∩BC=C，∴AD⊥平面SBC.2.如圖所示，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，E是側(cè)棱BB1的中點.(1)求證：A1E⊥平面ADE；(2)求三棱錐A1－ADE的體積.【解析】(1)由勾股定理得：∴A1A2＝A1E2＋AE2，∴∠AEA1=90°，∴A1E⊥AE.∵AD⊥平面AA1B1B，A1E

平面AA1B1B，∴A1E⊥AD，又AD∩AE＝A，∴A1E⊥平面ADE.(2)由題意得平面與平面垂直的判定和性質(zhì)【方法點睛】1.證明面面垂直的方法面面垂直的證明綜合性強，可通過轉(zhuǎn)化使問題得以解決，“線線垂直”、“線面垂直”、“面面垂直”間的關(guān)系如下圖，線線垂直線面垂直面面垂直判定性質(zhì)判定性質(zhì)判定性質(zhì)其中線線垂直是基礎(chǔ)，線面垂直是核心.解決這類問題時要善于挖掘題目中隱含著的線線垂直、線面垂直的條件.2.面面垂直性質(zhì)的應(yīng)用(1)兩平面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù)，運用時要注意“平面內(nèi)的直線”.(2)兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線也垂直于第三個平面.【例2】如圖，在△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E、F分別是AC、AD上的動點，且

(1)判斷EF與平面ABC的位置關(guān)系并給予證明；(2)是否存在λ，使得平面BEF⊥平面ACD，如果存在，求出λ的值，如果不存在，說明理由.【解題指南】(1)結(jié)合圖形猜測EF與平面ABC垂直.由知EF∥CD，由∠BCD＝90°及AB⊥平面BCD可證得結(jié)論成立.(2)由CD⊥平面ABC得出BE⊥CD,可知,要想平面BEF⊥平面ACD,只需BE⊥AC,即尋求此時滿足條件的λ的值是否存在.【規(guī)范解答】(1)EF⊥平面ABC.證明：∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD，在△BCD中，∠BCD＝90°，∴BC⊥CD，又AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC，在△ACD中=λ(0<λ<1)，∴EF∥CD，∴EF⊥平面ABC.(2)∵CD⊥平面ABC，BE平面ABC，∴BE⊥CD，故要使平面BEF⊥平面ACD，只需證BE⊥AC.在Rt△ABD中，∠ADB＝60°，∴AB＝BDtan60°＝則當(dāng)BE⊥AC時，則時，BE⊥AC，又BE⊥CD，AC∩CD＝C，∴BE⊥平面ACD，∵BE

平面BEF，∴平面BEF⊥平面ACD.所以存在時，平面BEF⊥平面ACD.【反思·感悟】證明面面垂直時一般先證線面垂直，確定這條直線時可從圖中現(xiàn)有的直線中去尋找，若圖中不存在這樣的直線，則應(yīng)通過添加輔助線來構(gòu)造.【變式訓(xùn)練】(2012·?？谀M)正方形ABCD的邊長為1，分別取邊BC、CD的中點E、F，連接AE、EF、AF，以AE、EF、AF為折痕，折疊這個正方形，使點B、C、D重合于一點P，得到一個四面體，如圖所示.(1)求證：AP⊥EF；(2)求證：平面APE⊥平面APF.【證明】(1)由ABCD是正方形，所以在原圖中AB⊥BE，AD⊥DF，折疊后有AP⊥PE，AP⊥PF，PE∩PF=P，所以AP⊥平面PEF，EF

平面PEF，所以AP⊥EF.(2)由原圖可知，折疊后EP⊥AP，EP⊥PF，AP∩PF=P，所以EP⊥平面APF，又EP

平面APE，所以平面APE⊥平面APF.【變式備選】如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°的菱形，側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)求證：AD⊥PB;(2)若E為BC邊的中點，能否在棱PC上找到一點F，使平面DEF⊥平面ABCD，并證明你的結(jié)論.【解析】(1)如圖，取AD的中點G，連接PG，BG，BD.∵△PAD為等邊三角形，∴PG⊥AD,又∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PG⊥平面ABCD.在△ABD中，∠DAB=60°,AD=AB,∴△ABD為等邊三角形，∴BG⊥AD,且BG∩PG=G,∴AD⊥平面PBG,∴AD⊥PB.(2)連接CG,DE,且CG與DE相交于H點，在△PGC中作HF∥PG，交PC于F點，連接DF，∴FH⊥平面ABCD,∴平面DEF⊥平面ABCD.∵菱形ABCD中，G、E分別為AD、BC的中點，即得知H是CG的中點，∴F是PC的中點，∴在PC上存在一點F，即為PC的中點，使得平面DEF⊥平面ABCD.垂直關(guān)系的綜合問題【方法點睛】垂直關(guān)系綜合題的解題思路(1)對于三種垂直的綜合問題，要注意通過作輔助線進行線線、線面、面面垂直間的轉(zhuǎn)化.(2)對于垂直與平行結(jié)合的問題，應(yīng)注意平行、垂直的性質(zhì)及判定的綜合應(yīng)用.(3)對于垂直與體積結(jié)合的問題，在求棱錐的體積時，可根據(jù)線面垂直得到表示棱錐高的線段，進而求得體積.

【例3】(2012·唐山模擬)如圖，已知三棱錐A－BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M為AB的中點，D為PB的中點，且△PMB為正三角形.(1)求證：DM∥平面APC；(2)求證：平面ABC⊥平面APC；(3)若BC＝4，AB＝20，求三棱錐D－BCM的體積.【解題指南】(1)要證DM∥平面APC,只需證明DM∥AP；(2)證BC⊥平面APC；(3)通過VD－BCM＝VM－BCD求體積.【規(guī)范解答】(1)∵M為AB中點，D為PB中點，∴DM∥AP，又DM平面APC，AP平面APC.∴DM∥平面APC.(2)∵△PMB為正三角形，且D為PB中點，∴MD⊥PB，又由(1)知MD∥AP，∴AP⊥PB又AP⊥PC，PB∩PC=P，∴AP⊥平面PBC，∴AP⊥BC，又∵AC⊥BC，AP∩AC=A，∴BC⊥平面APC.又BC

平面ABC,∴平面ABC⊥平面APC.(3)∵AB＝20，∴MP＝10，PB＝10又BC＝4，PC＝∴又∴VD－BCM＝VM－BCD＝【反思·感悟】1.本題體現(xiàn)了“轉(zhuǎn)化”思想在立體幾何中的應(yīng)用，解題中要注意利用“平行”、“垂直”間的轉(zhuǎn)化.2.解答題中要注重關(guān)鍵步驟的敘述與體現(xiàn)，以做到規(guī)范解題.【變式訓(xùn)練】1.如圖，在正四面體P－ABC中，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點，下面四個結(jié)論不成立的是()(A)BC∥平面PDF(B)DF⊥平面PAE(C)平面PDF⊥平面PAE(D)平面PDE⊥平面ABC【解析】選D.因BC∥DF，所以BC∥平面PDF，A成立；易證BC⊥平面PAE，BC∥DF，所以結(jié)論B、C均成立；點P在底面ABC內(nèi)的射影為△ABC的中心，不在中位線DE上，故結(jié)論D不成立.2.(2012·宜春模擬)如圖甲，直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，F(xiàn)為AD的中點，E在BC上，且EF∥AB，已知AB=AD=CE=2，現(xiàn)沿EF把四邊形CDFE折起如圖乙，使平面CDFE⊥平面ABEF.(1)求證：AD∥平面BCE；(2)求證：AB⊥平面BCE；(3)求三棱錐C-ADE的體積.【解析】(1)由題意知AF∥BE，∴AF∥平面BCE，同理，∵DF∥CE，∴DF∥平面BCE.AF∩DF=F，AF

平面ADF，DF

平面ADF，∴平面ADF∥平面BCE.∵AD

平面ADF，∴AD∥平面BCE.(2)在圖甲中，EF∥AB，AB⊥AD，∴EF⊥AD，∴在圖乙中CE⊥EF.∵平面CDFE⊥平面ABEF，平面CDFE∩平面ABEF=EF，∴CE⊥平面ABEF，∴CE⊥AB，又AB⊥BE，∴AB⊥平面BCE.(3)∵平面CDFE⊥平面ABEF，AF⊥EF，∴AF⊥平面CDFE，AF為三棱錐A-CDE的高，且AF=1，又AB=CE=2，∴【滿分指導(dǎo)】垂直關(guān)系綜合問題的規(guī)范解答【典例】(12分)(2011·遼寧高考)如圖，四邊形ABCD為正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA,(1)證明：PQ⊥平面DCQ；(2)求棱錐Q-ABCD的體積與棱錐P-DCQ的體積的比值.【解題指南】(1)證明PQ⊥DC，PQ⊥QD，進而可得PQ⊥平面DCQ；(2)設(shè)出正方形的邊長為a，分別計算兩個棱錐的體積，再求體積的比值.【規(guī)范解答】(1)由條件知PDAQ為直角梯形.因為QA⊥平面ABCD，QA

平面PDAQ，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交線為AD.又四邊形ABCD為正方形，DC⊥AD，所以DC⊥平面PDAQ，…………2分又PQ

平面PDAQ，所以PQ⊥DC.在直角梯形PDAQ中可得則PQ⊥QD.……………………5分又DC∩QD=D,所以PQ⊥平面DCQ.……………6分(2)設(shè)AB=a.由題設(shè)知AQ為棱錐Q-ABCD的高，所以棱錐Q-ABCD的體積…………8分由(1)知PQ為棱錐P-DCQ的高，而PQ=△DCQ的面積為所以棱錐P-DCQ的體積…………11分故棱錐Q-ABCD的體積與棱錐P-DCQ的體積的比值為1.……12分【閱卷人點撥】通過高考中的閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié)，我們可以得到以下失分警示和備考建議：失分警示在解答本題時有兩點容易造成失分：(1)解題時忽視各種垂直間的轉(zhuǎn)化，從而造成思路受阻；(2)答題過程書寫不規(guī)范，如在證明線面垂直時忽視了對“平面內(nèi)兩條相交直線”的敘述.

備考建議解決垂直問題時，還有以下幾點容易造成失分，在備考時要高度關(guān)注：(1)缺乏空間想象能力，找不出應(yīng)該垂直的線和面；(2)對幾何體體積、面積及線面角的計算不準(zhǔn)確；(3)不善于挖掘圖形中存在的關(guān)系，缺乏通過添加輔助線解題的能力.另外要重視對基礎(chǔ)知識的積累、解題過程的規(guī)范，并且要善于使用數(shù)學(xué)符號進行表達.

1.(2012·泉州模擬)已知兩條不同的直線m，n，兩個不同的平面α，β，則下列命題中的真命題是()(A)若m⊥α，n⊥β，α⊥β，則m⊥n(B)若m∥α，n∥β，α∥β，則m∥n(C)若m⊥α，n∥β，α⊥β，則m⊥n(D)若m∥α，n⊥β，α⊥β，則m∥n【解析】選A.由m⊥α,α⊥β可得m∥β或mβ，又n⊥β，故m⊥n，即A正確；如圖(1)，m⊥α,n∥β,α⊥β,但m∥n，故C錯；如圖(2)知B錯；如圖(3)正方體中，m∥α,n⊥β,α⊥β，但m,n相交，故D錯.2.(2012·沈陽模擬)已知直線l、m，平面α、β，且l⊥α,mβ,則“α∥β”是“l(fā)⊥m”的()(A)充要條件(B)充分不必要條件(C)必要不充分條件(D)既不充分也不必要條件【解析】選B.當(dāng)α∥β,l⊥α?xí)r，有l(wèi)⊥β,又mβ,故l⊥m.反之，當(dāng)l⊥m