新教材高中數(shù)學人教A版學案6-4-2向量在物理中的應用舉例

6.4.2向量在物理中的應用舉例[目標]1.通過力的合成與分解模型、速度的合成與分解模型，掌握利用向量方法研究物理中相關問題的步驟；2.明了向量在物理中應用的基本題型，進一步加深對所學向量的概念和向量運算的認識．[重點]運用向量的有關知識對物理中的力的作用、速度分解進行相關分析來計算．[難點]將物理中有關矢量的問題轉化為數(shù)學中向量的問題．要點整合夯基礎知識點一向量在物理中的應用[填一填]1．物理學中的許多量，如力、速度、加速度、位移都是向量．2．物理學中的力、速度、加速度、位移的合成與分解就是向量的加減法運算．用向量解決速度、加速度、位移等問題，用的知識主要是向量的線性運算，有時也用坐標運算．3．力所做的功是力在物體前進方向上的分力與物體位移的乘積，它的實質是力和位移兩個向量的數(shù)量積，即W＝F·s＝|F||s|cosθ(θ為F和s的夾角)．[答一答]1．利用向量解決物理中的問題的實質是什么？提示：向量在物理中的應用，實際上是把物理問題轉化為向量問題，然后通過向量運算解決向量問題，最后用所獲得的結果解釋物理現(xiàn)象．2．利用向量解決物理問題時應注意什么？提示：在用向量解決物理問題時，應作出相應的圖形，以幫助建立數(shù)學模型，分析解題思路．在解題過程中要注意兩方面的問題：一方面是如何把物理問題轉化成數(shù)學問題，也就是將物理量之間的關系抽象成數(shù)學模型；另一方面是如何利用建立起來的數(shù)學模型解釋和回答相關的物理現(xiàn)象．知識點二用向量討論物理中相關問題的步驟[填一填]用向量討論物理中相關問題，一般來說分為四步：(1)問題的轉化，把物理問題轉化成數(shù)學問題；(2)模型的建立，建立以向量為主體的數(shù)學模型；(3)參數(shù)的獲取，求出數(shù)學模型的相關解；(4)問題的答案，回到物理現(xiàn)象中，用已經獲取的數(shù)值去解釋一些物理現(xiàn)象．[答一答]3.用兩條成120°角的等長的繩子懸掛一個燈具，如圖所示，已知燈具重10N，則每根繩子的拉力大小為10N.解析：設重力為G，每根繩的拉力分別為F1、F2，則由題意得F1，F(xiàn)2與－G都成60°角，且|F1|＝|F2|，∴|F1|＝|F2|＝|G|＝10N，∴每根繩子的拉力都為10N.典例講練破題型類型一向量的線性運算在物理中的應用[例1]在重300N的物體上系兩根繩子，這兩根繩子在鉛垂線的兩側，與鉛垂線的夾角分別為30°，60°(如圖)，求重物平衡時，兩根繩子拉力的大小．[解]如圖，兩根繩子的拉力之和eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OB,\s\up16(→))＝eq\o(OC,\s\up16(→))，且|eq\o(OC,\s\up16(→))|＝|eq\o(OG,\s\up16(→))|＝300N，∠AOC＝30°，∠BOC＝60°，在△OAC中，∠ACO＝∠BOC＝60°，∠AOC＝30°，則∠OAC＝90°，從而|eq\o(OA,\s\up16(→))|＝|eq\o(OC,\s\up16(→))|·cos30°＝150eq\r(3)N.|eq\o(AC,\s\up16(→))|＝|eq\o(OC,\s\up16(→))|·sin30°＝150N.所以|eq\o(OB,\s\up16(→))|＝|eq\o(AC,\s\up16(→))|＝150N.利用向量法解決物理問題有兩種思路，第一種是幾何法，選取適當?shù)幕?，將題中涉及的向量用基底表示，利用向量運算法則，運算律或性質計算.第二種是坐標法，通過建立平面直角坐標系，實現(xiàn)向量的坐標化，轉化為代數(shù)運算.[變式訓練1]帆船比賽是借助風帆推動船只在規(guī)定距離內競速的一項水上運動，如果一帆船所受的風力方向為北偏東30°，速度為20km/h，此時水的流向是正東，流速為20km/h，若不考慮其他因素，求帆船的速度與方向．解：建立如圖所示的直角坐標系，風的方向為北偏東30°，速度為|v1|＝20km/h，水流的方向為正東，速度為|v2|＝20km/h，該帆船行駛的速度為v，則v＝v1＋v2，由題意，可得向量v1＝(20cos60°，20sin60°)＝(10,10eq\r(3))，向量v2＝(20,0)，則帆船的行駛速度v＝v1＋v2＝(10，10eq\r(3))＋(20,0)＝(30,10eq\r(3))，所以|v|＝eq\r(302＋10\r(3)2)＝20eq\r(3)(km/h)．因為tanα＝eq\f(10\r(3),30)＝eq\f(\r(3),3)(α為v和v2的夾角，α為銳角)，所以α＝30°，所以帆船向北偏東60°的方向行駛，速度為20eq\類型二向量的數(shù)量積在物理中的應用[例2]已知力F(斜向上)與水平方向的夾角為30°，大小為50N，一個質量為8kg的木塊受力F的作用在動摩擦因數(shù)μ＝0.02的水平面上運動了20m．問力F和摩擦力f所做的功分別為多少？(g＝10m/s2)[解]如圖所示，設木塊的位移為s，則WF＝F·s＝|F||s|cos30°＝50×20×eq\f(\r(3),2)＝500eq\r(3)(J)．將力F分解，它的鉛垂方向上的分力F1的大小為|F1|＝|F|sin30°＝50×eq\f(1,2)＝25(N)．所以摩擦力f的大小為|f|＝|μ(G－F1)|＝(80－25)×0.02＝1.1(N)．因此Wf＝f·s＝|f||s|cos180°＝1.1×20×(－1)＝－22(J)．即F和f所做的功分別為500eq\r(3)J和－22J.物理中力F所做功W問題常運用向量的數(shù)量積解決．[變式訓練2]一個物體受到同一平面內的三個力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3的作用，沿北偏東45°的方向移動了8m，其中|F1|＝2N，方向為北偏東30°，|F2|＝4N，方向為北偏東60°，|F3|＝6N，方向為北偏西30°，求合力F所做的功．解：以物體上的一點O為原點，正東方向為x軸的正方向建立平面直角坐標系，如圖所示．則F1＝(1，eq\r(3))，F(xiàn)2＝(2eq\r(3)，2)，F(xiàn)3＝(－3,3eq\r(3))，所以F＝F1＋F2＋F3＝(2eq\r(3)－2,2＋4eq\r(3))．又因為位移s＝(4eq\r(2)，4eq\r(2))．所以合力F所做的功為W＝F·s＝(2eq\r(3)－2)×4eq\r(2)＋(2＋4eq\r(3))×4eq\r(2)＝4eq\r(2)×6eq\r(3)＝24eq\r(6)(J)．即合力F所做的功為24eq\r(6)J.課堂達標練經典1．如圖所示，一力作用在小車上，其中力F的大小為10N，方向與水平面成60°角，當小車向前運動10m，則力F做的功為(B)A．100J B．50JC．50eq\r(3)J D．200J解析：設小車位移為s，則|s|＝10m，WF＝F·s＝|F||s|·cos60°＝10×10×eq\f(1,2)＝50J.2．坐標平面內一只小螞蟻以速度ν＝(1,2)從點A(4,6)處移動到點B(7,12)處，其所用時間長短為(B)A．2 B．3C．4 D．8解析：|ν|＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，又|eq\o(AB,\s\up16(→))|＝eq\r(7－42＋12－62)＝eq\r(45)，∴時間t＝eq\f(\r(45),\r(5))＝3.3．已知力F＝(2,3)作用于一物體，使物體從A(2,0)移動到B(－2,3)，則力F對物體所做的功為1.解析：W＝F·s＝F·eq\o(AB,\s\up16(→))＝(2,3)×(－4,3)＝－8＋9＝1.4．如圖所示，小船被繩索拉向岸邊，船在水中運動時設水的阻力大小不變，那么小船勻速靠岸過程中，下列說法中正確的是①③(寫出正確的所有序號)．①繩子的拉力不斷增大；②繩子的拉力不斷減??；③船的浮力不斷變??；④船的浮力保持不變．解析：設水的阻力為f，繩的拉力為F，F(xiàn)與水平方向夾角為θ(0<θ<eq\f(π,2))．則|F|cosθ＝|f|，∴|F|＝eq\f(|f|,cosθ)，∵θ增大，cosθ減小，∴|F|增大，∵|F|sinθ增大，∴船的浮力減?。?．一輛汽車在平直公路上向西行駛，車上裝著風速計和風向標，測得風往東偏南30°方向吹，風速為4米/秒，這時氣象臺報告實際風速為2米/秒．試求風的實際方向和汽車的速度大?。猓阂罁?jù)物理知識，有三對相對速度，汽車對地的速度為ν車地，風對車的速度為ν風車、風對地的速度為ν風地，風對地的速度可以看成車對地與風對車的速度的合速度，即ν風地＝ν風車＋ν車地．如圖，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則可知，表示向量ν風地的有向線段eq\o(AD,\s\up16(→))是平行四邊形ABDC的對角線．因為|eq\o(AC,\s\up16(→))|＝4，∠ACD＝30°，|eq\o(AD,\s\up16(→))|＝2，所以∠ADC＝90°，在Rt△ADC中，|eq\o(DC,\s\up16(→))|＝|eq\o(AC,\s\up16(→))|cos30°＝2eq\r(3)，即風的實際方向是由正北向正南方向，汽車速度的大小為2eq\r(3)米/秒．——本課須掌握的