2024年新高考數學一輪復習題型歸納與達標檢測第30講平面向量的數量積（講）（原卷版）

第30講平面向量的數量積（講）思維導圖知識梳理1．向量的夾角(1)定義：已知兩個非零向量a和b，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB就是向量a與b的夾角．(2)范圍：設θ是向量a與b的夾角，則0°≤θ≤180°.(3)共線與垂直：若θ＝0°，則a與b同向；若θ＝180°，則a與b反向；若θ＝90°，則a與b垂直．2．平面向量的數量積定義設兩個非零向量a，b的夾角為θ，則|a||b|·cos_θ叫做a與b的數量積，記作a·b投影|a|cos_θ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos_θ叫做向量b在a方向上的投影幾何意義數量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos_θ的乘積3.向量數量積的運算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.4．平面向量數量積的有關結論已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ.結論幾何表示坐標表示模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))夾角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)))a⊥b的充要條件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0題型歸納題型1平面向量數量積的運算【例11】（2020春?南崗區(qū)校級期末）已知向量，滿足，，則A．0 B．2 C．3 D．4【例12】（2020春?臨渭區(qū)期末）在中，為線段的中點，，，則A． B． C．3 D．4【跟蹤訓練11】（2020春?泉州期末）平行四邊形中，，，，是線段的中點，則A．0 B．2 C．4 D．【跟蹤訓練12】（2020春?道里區(qū)校級期末）已知，滿足，，的夾角為，則．【名師指導】求非零向量a，b的數量積的3種方法方法適用范圍定義法已知或可求兩個向量的模和夾角基底法直接利用定義法求數量積不可行時，可選取合適的一組基底，利用平面向量基本定理將待求數量積的兩個向量分別表示出來，進而根據數量積的運算律和定義求解坐標法①已知或可求兩個向量的坐標；②已知條件中有(或隱含)正交基底，優(yōu)先考慮建立平面直角坐標系，使用坐標法求數量積題型2平面向量數量積的應用【例21】（2020春?北海期末）已知向量，的夾角為，，，則A．1 B． C．3 D．2【例22】（2020春?廣東期末）已知平面向量，，，則與的夾角為A． B． C． D．【例23】（2020?太原二模）已知是兩個非零向量，其夾角為，若，且，則A． B． C． D．【跟蹤訓練21】（2020春?黔南州期末）已知向量，滿足，，，，則A．2 B．3 C．4 D．6【跟蹤訓練22】（2020春?赤峰期末）已知，是單位向量，若，則與的夾角為A． B． C． D．【跟蹤訓練23】（2020春?新余期末）已知向量、滿足，，向量，的夾角為，則的值為A．4 B．3 C．2 D．【跟蹤訓練24】（2020春?廣州期末）已知，，若，則．【跟蹤訓練25】（2020春?金安區(qū)校級期末）已知向量，，且，則A． B． C．6 D．8【跟蹤訓練26】（2020?臨汾模擬）已知向量，，向量在向量方向上的投影為．若，則實數的值為A． B． C． D．【跟蹤訓練27】（2020春?咸陽期末）已知向量，，若，則實數的值為A． B．1 C． D．2【跟蹤訓練28】（2020春?密云區(qū)期末）已知向量與的夾角為，，，當時，實數為A．1 B．2 C． D．【跟蹤訓練29】（2020春?墊江縣校級期末）已知，，且，則．【跟蹤訓練210】（2020?徐州模擬）已知，，若，則實數的值為．【跟蹤訓練211】（2020?江蘇模擬）在中，，若角的最大值為，則實數的值是．【名師指導】1.求平面向量模的2種方法公式法利用|a|＝eq\r(a·a)及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量模的運算轉化為數量積運算幾何法利用向量的幾何意義，即利用向量加、減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利用余弦定理等方法求解2.求平面向量夾角的2種方法定義法當a，b是非坐標形式，求a與b的夾角θ時，需求出a·b及|a|，|b|或得出它們之間的關系，由cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)求得坐標法若已知a＝(x1，y1)與b＝(x2，y2)，則cos〈a，b〉＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))，〈a，b〉∈[0，π]3．利用坐標運算證明兩個向量的垂直問題若證明兩個向量垂直，先根據共線、夾角等條件計算出這兩個向量的坐標；然后根據數量積的坐標運算公式，計算出這兩個向量的數量積為0即可．4．已知兩個向量的垂直關系，求解相關參數的值根據兩個向量垂直的充要條件，列出相應的關系式，進而求解參數．題型3平面向量與三角函數的綜合問題【例31】（2020春?遼陽期末）已知向量，，向量，，函數．（1）求的最大值；（2）若，是關于的方程的兩根，且，求及的值．【例32】（2020春?北海期末）已知向量，，函數．（1）求函數的單調遞增區(qū)間；（2）若，，時，求函數的最值．【跟蹤訓練31】（2020春?湛江期末）已知向量，，，．（1）若，求的值；（2）若，則函數的值域．【跟蹤訓練32】（2020春?沈陽期末）已知，．（1）若，求向量在向量方向的投影的數量．（2）若，且，求向量的坐標．【名師指導】向量與三角函數綜合問題的特點與解題策略(1)以向量為載體考查三角函數的綜合應