高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 函數(shù)圖象的變換

第2.6章函數(shù)的應(yīng)用

2.6.3函數(shù)圖象的變換

鱉課程要求了修?求心中有敷

高中要求掌握函數(shù)圖像的平移變換、對(duì)稱變換、翻轉(zhuǎn)變換.

11基礎(chǔ)1知識(shí)夯實(shí)基硼，.立完整知識(shí)體系

1平移變換

口訣：左加右減，上加下減

【例】y=1+W的圖像可以看成由y=|先向右平移3個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得至I」。

2對(duì)稱變換

(1)函數(shù)y=-/■(>)的圖像可看成由函數(shù)y=/(X)的圖像作關(guān)于X軸對(duì)稱得到的.

%軸

y=fw-^y=-/(%)

【例】y--e”圖像可看成y=圖像關(guān)于x軸對(duì)稱得到.

(2)函數(shù)y=f(-久)的圖像可看成由函數(shù)y=/(x)的圖像作關(guān)于x軸對(duì)稱得到的.

y=/（久）-y=/（一久）

【例】y=e-x圖像可看成y="圖像關(guān)于y軸對(duì)稱得到.

3翻轉(zhuǎn)變換

(1)函數(shù)y=/(㈤)的圖像可看成由函數(shù)y=f(x)先去掉y軸左邊圖像，保留y軸右邊圖像，并作y軸對(duì)稱得到

的.

去掉y軸左邊圖像

y=f(x)*y-/(|x|)

保留y軸右邊圖像，并作其關(guān)于y軸對(duì)稱圖像

【例】y=e3的圖像可看成由y=e，圖像對(duì)稱變換得到.

(2)函數(shù)y=|“久)|的圖像可看成由函數(shù))/=/(>)保留*軸上方圖像，并將x軸下方圖像翻折上去得到的.

保留X軸上方圖像

y=f(x)>y=|f(x)|

將x軸下方圖像翻折上去

程經(jīng)典例題從典例中見(jiàn)

【題型1】平移變換

【典題1】把函數(shù)y=-2/+4X+1的圖象向左平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，所得圖象的函數(shù)關(guān)

系式為_(kāi)________

解析y=-2x2+4x+l=-2(%-I)2+3向左平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位后得到y(tǒng)=-2(x+

I)2-6.

【典題2】求/(%)=二三的單調(diào)性，對(duì)稱中心。

解析“x)=*=2_W，它的圖像可以看成由函數(shù)f(x)=向右移1個(gè)單位，再向上移2個(gè)單位得到

的。

由圖易得/（X）=箸在（-8,1］遞增,在口,+8）遞增,對(duì)稱中心是（1,2）.

變式練習(xí)

1.將函數(shù)y=團(tuán)的圖象向平移個(gè)單位，就得到函數(shù)y=|x+2|的圖象，再將所得圖象向

平移個(gè)單位，就得到函數(shù)y=比-2|的圖象.

答案左，2；右，4.

2.若函數(shù)丫=a%+b-1（。>0且aH1）的圖象經(jīng)過(guò)一、三、四象限，則正確的是（）

A.且b<lB.0<aVl且b<0

C.0<aV1且b>0D.a>1且b<0

答案D

解析因?yàn)楹瘮?shù)丫=談+6一1（。>0且。工1）的圖象經(jīng)過(guò)一、三、四象限，所以如圖：則由圖象可知函數(shù)

為遞增函數(shù)，所以a>l.當(dāng)汽=0時(shí)，y=l+b—l=b<0.故選：D.

3.畫(huà)出函數(shù)/（%）=分圖像

【題型2】對(duì)稱變換

【典題1】當(dāng)時(shí)，在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y=。一"與y=-log。％的圖象是（）

解析由于a>l,所以y=a-，=(1)，為尺上的遞減函數(shù)，且過(guò)(0,1)；

y=-logM為(0,+為)上的單調(diào)遞減函數(shù)，且過(guò)(1,0),

故選：D.

變式練習(xí)

1.在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y=3%與y=3-%的圖象關(guān)于()

A.直線t=1對(duì)稱B.X軸對(duì)稱

C.直線y=%對(duì)稱D.y軸對(duì)稱

答案D

解析???y=3"與y=3r=5的縱坐標(biāo)相等時(shí),橫坐標(biāo)相反，

???在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)丁y=3%與y=3-％=/的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，

故選：D.

1

2.已知函數(shù)y=ax(a>0且aW1)是增函數(shù)，那么函數(shù)/(%)=/。為至二江的圖象大致是()

解析函數(shù)/(%)的定義域?yàn)閧%|%>1},故排除CD；

?.?函數(shù)y=ax(a>0且aW1)是增函數(shù)，a>1,

由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)/(%)在定義域上為減函數(shù)，故排除4

故選：B.

3.函數(shù)/(%)的圖象向左平移2個(gè)單位，所得圖象與y=匈》的圖象關(guān)于%軸對(duì)稱，則fQ)=

答案—lg(x—2)

解析與y=國(guó)X的圖象關(guān)于%軸對(duì)稱的函數(shù)為-y=/gx,即了=-匈x,

然后將y=-匈x的圖象向右平移2個(gè)單位得到/'(久),

即/'(x)=-ig(x-2).

【題型3】翻轉(zhuǎn)變換

【典題1】畫(huà)出下列函數(shù)的圖像

(1)汽久)=+2,(2)/(%)=\lg(1+%)|

解析

【典題2】若函數(shù)fO)=|log2%|的定義域?yàn)榭谇?，值域?yàn)椋?,2］,則b-a的最小值為()

33

A.-B.3C.2D.-

42

解析函數(shù)/(%)=|log2%|的定義域?yàn)椋垡?jiàn)川，值域?yàn)椋?,2］,

由/⑴=0"(4)=/(3=2,

11Q

可得a=Z，b=l時(shí)，b—a取得最小值1一%=五.

變式練習(xí)

1.如下圖①對(duì)應(yīng)于函數(shù)/(久),則在下列給出的四個(gè)函數(shù)中，圖②對(duì)應(yīng)的函數(shù)只能是()

Ky=f(|x|)B.y=|f(x)|C.y=/(-|%|)D.y=-/(|x|)

答案C

解析圖②對(duì)應(yīng)的函數(shù)可看成將圖①中的圖象y軸右側(cè)擦去，將左側(cè)圖象對(duì)稱到右側(cè),

故選C.

2.函數(shù)y=(2)閉的圖象是()

解析令x=0,則y=(4)o=l,即圖象過(guò)(0,1)點(diǎn)，排除C、D；

11

令x=1,則y=(2)i=z<l，故排除4

故選：B.

3.函數(shù)y=2-因的大致圖象是()

答案C

解析函數(shù)y=2Txi=(Q)"20,...2>1,1且圖象關(guān)于y軸對(duì)稱

I2\x<02

???函數(shù)圖象在y軸右側(cè)為減函數(shù)，y<1；左側(cè)為增函數(shù)，y<1

故選：C.

4.設(shè)偶函數(shù)/(%)=log(d%-b|在(一8,0)上是增函數(shù)，則f(a+1)與f(b+2)的大小關(guān)系是(

A.f(a+1)=/(b+2)B.f(a+1)>/(b+2)

C./(Q+1)Vf<+2)D.不能確定

答案B

解析??,/(%)=loga\x-b|為偶函數(shù)，b=0

/(%)=loga\x-加在(一8,0)上是增函數(shù)，...0va<1

???/(%)=log。\x-在(0,+河上單調(diào)遞減，...ova+。v、+2

???/(a+1)>f(b+2).

故選：B.

5.函數(shù)/(%)=|x2-2x-3|,則/(%)在(一1,+8)上的減區(qū)間為

答案[1,3]

解析函數(shù)/(%)=|如一2%-3|的圖象如下圖所示：

由圖可得：/(%)在(-1,+叼上的減區(qū)間為口3],

故答案為：[1,3]

1

6.若函數(shù)/(%)=(可)因+m-1的圖象與汽軸有公共點(diǎn)，則ni的取值范圍為.

答案[0,1)

解析函數(shù)f(x)=+m-1的圖象與X軸有公共點(diǎn)，即m-1=-弓)因有交點(diǎn),

由于一14一(W)因V0,故一lWzn-lVO,解得04THV1.

7.直線y=1與函數(shù)y=x2~2\x\+。的圖象有四個(gè)不同交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

答案(1,2)

解析由于直線y=1與函數(shù)y=/-2|萬(wàn)+a的圖象有四個(gè)不同交點(diǎn)，如圖所示：

故且函數(shù)的最小值a-1V1,求得l<a<2,

故答案為：(L2).

(—x2+a,x<0

8.已知函數(shù)f(%)=I1—x-n若函數(shù)g(%)=/(%)-%恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)Q的取值范圍是.

J2(x+1)>u?

答案(0,+8)U{—上}

—x2-Fa,x<0

解析函數(shù)/(%)=?1-x?的圖象如下圖所示:

J2(x+l)>出

當(dāng)%>0時(shí)，函數(shù)/(%)的圖象與函數(shù)y=%的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn),

即函數(shù)g(%)=/(%)-%恰有一個(gè)零點(diǎn)，

故》4。時(shí)，函數(shù)g(%)=/(%)-%也恰有一個(gè)零點(diǎn)，

即％<0時(shí)，函數(shù)/(%)的圖象與函數(shù)y=%的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn),

1

故a>0,y=%與y=-，+。相切，解得：a=~^

故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,+8)u{-9，

輕松訓(xùn)練通過(guò)1K習(xí)，艱事第力

1

1.已知1<2。<2,那么函數(shù)/(久)=log。冊(cè)的圖象大致是()

答案D

解析vl<2a<2,0<a<1.

那么函數(shù)f（x）=/?；驌舻亩x域?yàn)椋?1,+8）,且單調(diào)遞增.

圖象大致是￡>.

故選：D.

2.函數(shù)〃>）=等的圖象是（）

答案B

if,%>1

解析y==

ex~r,x<1

.??函數(shù)函數(shù)y=eTx-il的圖象大致形狀是:

故選：B.

4.函數(shù)y=\lg(x+1)|的圖象是(

A.B.C.D.

答案A

解析由于函數(shù)y=匈(久+1)的圖象可由函數(shù)y=/gx的圖象左移一個(gè)單位而得至!l,

函數(shù)y=切%的圖象與x軸的交點(diǎn)是(1,0),

故函數(shù)y=lg(x+1)的圖象與x軸的交點(diǎn)是(。,0),

即函數(shù)y=|S(久+1)|的圖象與x軸的公共點(diǎn)是(0,0),

考察四個(gè)選項(xiàng)中的圖象只有4選項(xiàng)符合題意

故選：A.

5.函數(shù)y=1g|x|()

A.是偶函數(shù)，在區(qū)間(一8,0)上單調(diào)遞增

B.是偶函數(shù)，在區(qū)間(一8,0)上單調(diào)遞減

C.是奇函數(shù)，在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增

D.是奇函數(shù)，在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞減

答案B

解析?函數(shù)y=匈因，

?1?/(-%)=lg\-x\-lg\x\=/(%),且x豐0,

二函數(shù)y=匈|(zhì)x|是偶函數(shù)，

在(-8,0)上，y隨x的增大而減小，

二函數(shù)y=匈|(zhì)x|在區(qū)間(-叼。)上單調(diào)遞減.

故選：B.

6.函數(shù)/(x)的圖象向左平移一個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象與y=〃關(guān)于x軸對(duì)稱，則/'“)=

答案一廿-1

解析y=關(guān)于x軸對(duì)稱的函數(shù)為-y=