運籌學LP第2講-例子

運籌學lp第2講-例子目錄CONTENCT引言線性規(guī)劃問題建模單純形法求解線性規(guī)劃問題對偶理論與靈敏度分析運輸問題及其求解方法整數(shù)規(guī)劃問題簡介與求解方法01引言運籌學定義運籌學應用領域運籌學方法運籌學是一門應用數(shù)學學科，主要研究如何在有限資源下做出最優(yōu)決策，以最大化效益或最小化成本。廣泛應用于軍事、經(jīng)濟、工程、管理等領域，如物流配送、生產(chǎn)計劃、資源分配等問題。主要包括線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、動態(tài)規(guī)劃等多種方法，用于解決不同類型的優(yōu)化問題。運籌學簡介80%80%100%線性規(guī)劃概述線性規(guī)劃是一種數(shù)學優(yōu)化技術(shù)，用于優(yōu)化一組線性不等式約束下的線性目標函數(shù)。包括決策變量、目標函數(shù)和約束條件三部分，其中目標函數(shù)和約束條件均為線性表達式。主要有單純形法、內(nèi)點法等，通過迭代計算尋找最優(yōu)解。線性規(guī)劃定義線性規(guī)劃標準形式線性規(guī)劃求解方法講座主題講座內(nèi)容講座目標本次講座內(nèi)容安排包括線性規(guī)劃的數(shù)學模型、求解方法、應用案例等。使聽眾了解線性規(guī)劃的基本思想和方法，掌握運用線性規(guī)劃解決實際問題的能力。介紹線性規(guī)劃的基本概念、原理和應用，并通過實例演示如何運用線性規(guī)劃解決實際問題。02線性規(guī)劃問題建模線性規(guī)劃問題的實際背景線性規(guī)劃問題的描述問題背景與描述生產(chǎn)、運輸、資源分配等問題中，經(jīng)常需要在滿足一定約束條件下，最大化或最小化某個線性目標函數(shù)。通常包括決策變量、目標函數(shù)和約束條件三部分。決策變量是需要優(yōu)化的未知量；目標函數(shù)是決策變量的線性函數(shù)，表示優(yōu)化目標；約束條件是決策變量需要滿足的線性等式或不等式。決策變量的確定根據(jù)問題背景，確定需要優(yōu)化的未知量作為決策變量。目標函數(shù)的構(gòu)建根據(jù)優(yōu)化目標，構(gòu)建決策變量的線性函數(shù)作為目標函數(shù)。約束條件的列出根據(jù)問題背景和實際情況，列出決策變量需要滿足的線性等式或不等式作為約束條件。數(shù)學模型建立圖形解法的適用范圍01適用于只有兩個決策變量的線性規(guī)劃問題。圖形解法的步驟02首先，在坐標系中畫出約束條件所確定的可行域；然后，在可行域內(nèi)作出目標函數(shù)的等值線；最后，根據(jù)目標函數(shù)的性質(zhì)（最大化或最小化），確定最優(yōu)解的位置。圖形解法的優(yōu)缺點03優(yōu)點是可以直觀地看出可行域和最優(yōu)解的位置；缺點是只適用于兩個決策變量的情況，對于多個決策變量的問題無能為力。圖形解法示例03單純形法求解線性規(guī)劃問題單純形法基本原理通過比較目標函數(shù)值，判斷當前基本可行解是否為最優(yōu)解。若不是最優(yōu)解，則按照一定的規(guī)則進行迭代，直到找到最優(yōu)解或確定問題無解。最優(yōu)性檢驗與迭代過程將線性規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為標準形式，即目標函數(shù)為最大化或最小化一個線性表達式，約束條件為一系列線性不等式或等式。線性規(guī)劃問題的標準形式滿足所有約束條件的解稱為可行解，其中一組線性無關(guān)的約束條件所確定的解稱為基本可行解。可行解與基本可行解01020304初始基可行解的確定最優(yōu)性檢驗進基與出基操作迭代過程單純形法計算步驟根據(jù)一定的規(guī)則選擇一個非基變量進入基，同時選擇一個基變量退出基，使得新的基可行解更優(yōu)。計算目標函數(shù)在初始基可行解處的值，若已達到最優(yōu)，則停止計算；否則，進入下一步。從約束條件中選取一組線性無關(guān)的等式作為初始基，通過求解這組等式得到初始基可行解。重復進行最優(yōu)性檢驗、進基與出基操作，直到找到最優(yōu)解或確定問題無解。實例描述以一個具體的線性規(guī)劃問題為例，展示單純形法的計算過程。將實際問題抽象為線性規(guī)劃模型，包括目標函數(shù)和約束條件。從約束條件中選取一組線性無關(guān)的等式作為初始基，求解得到初始基可行解。計算目標函數(shù)在初始基可行解處的值，進行最優(yōu)性檢驗。若不滿足最優(yōu)性條件，則進行進基與出基操作，得到新的基可行解，并繼續(xù)迭代。展示單純形法求解該實例的詳細計算過程及最終結(jié)果。建立數(shù)學模型最優(yōu)性檢驗與迭代過程計算結(jié)果展示初始基可行解的確定實例分析與計算過程展示04對偶理論與靈敏度分析對偶問題定義及性質(zhì)對于一個線性規(guī)劃問題，可以構(gòu)造另一個與之對應的線性規(guī)劃問題，使得兩者的最優(yōu)解存在某種關(guān)系。這個對應的問題就稱為原問題的對偶問題。弱對偶性對于任意可行解，其對偶問題的目標函數(shù)值總是不大于原問題的目標函數(shù)值。強對偶性當原問題存在最優(yōu)解時，其對偶問題也存在最優(yōu)解，且兩者目標函數(shù)值相等。對偶問題定義123根據(jù)原問題的約束條件，構(gòu)造一個初始的對偶可行解。初始對偶可行解通過不斷更新對偶變量和原變量，使得目標函數(shù)值不斷減小，直到找到最優(yōu)解。迭代過程當所有檢驗數(shù)均非正時，算法終止，當前解即為最優(yōu)解。終止條件對偶單純形法求解過程靈敏度分析概念靈敏度分析是研究線性規(guī)劃問題中參數(shù)變化對最優(yōu)解影響的一種方法。通過靈敏度分析，可以了解參數(shù)在多大范圍內(nèi)變化時，最優(yōu)解保持不變。應用舉例假設一個線性規(guī)劃問題中某個資源的可用量發(fā)生了變化，通過靈敏度分析可以確定這個變化對最優(yōu)解的影響程度。如果影響較小，可以不必重新求解；如果影響較大，則需要重新求解以獲取新的最優(yōu)解。靈敏度分析概念及應用舉例05運輸問題及其求解方法運輸問題是一類特殊的線性規(guī)劃問題，主要研究如何將有限資源從供應地運送到需求地，以最小化總運輸成本或最大化總收益。運輸問題背景運輸問題的數(shù)學模型通常包括決策變量、目標函數(shù)和約束條件三部分。決策變量表示各供應地到需求地的運輸量；目標函數(shù)是總運輸成本或總收益的函數(shù)；約束條件包括供應能力限制、需求滿足限制以及非負限制等。數(shù)學模型建立運輸問題背景及數(shù)學模型初始基可行解確定在表上作業(yè)法中，首先需要找到一個初始基可行解。這可以通過最小元素法或伏格爾法等方法實現(xiàn)。最優(yōu)性檢驗與調(diào)整得到初始基可行解后，需要進行最優(yōu)性檢驗。如果檢驗通過，則該解即為最優(yōu)解；否則，需要進行調(diào)整。調(diào)整方法包括閉回路法和位勢法等。迭代求解過程如果初始基可行解不是最優(yōu)解，則需要通過迭代求解過程不斷改進解的質(zhì)量。每次迭代中，需要選擇一個非基變量進入基，并同時讓一個基變量離開基，以保證解的可行性。表上作業(yè)法求解步驟假設有三個供應地和四個需求地，各供應地的供應量、各需求地的需求量以及單位運輸成本已知。目標是找到一種運輸方案，使得在滿足所有需求和供應限制的前提下，總運輸成本最小。實例描述首先，根據(jù)已知條件建立運輸問題的數(shù)學模型。然后，利用表上作業(yè)法求解該模型。具體步驟包括確定初始基可行解、進行最優(yōu)性檢驗與調(diào)整以及迭代求解過程等。最終得到最優(yōu)運輸方案，并計算出最小總運輸成本。計算過程講解實例演示與計算過程講解06整數(shù)規(guī)劃問題簡介與求解方法整數(shù)規(guī)劃問題背景及數(shù)學模型整數(shù)規(guī)劃問題背景在實際問題中，很多決策變量的取值必須是整數(shù)，如生產(chǎn)設備的數(shù)量、運輸車輛的數(shù)量等。這類問題被稱為整數(shù)規(guī)劃問題。整數(shù)規(guī)劃數(shù)學模型整數(shù)規(guī)劃問題的數(shù)學模型與線性規(guī)劃相似，但需要增加整數(shù)約束條件。即，部分或全部決策變量必須取整數(shù)值。分支將原問題分解為若干個子問題，每個子問題對應原問題的一個子集。通過不斷分支，可以逐步縮小問題的范圍。定界對每個子問題計算目標函數(shù)的上界或下界，用于評估該子問題的優(yōu)劣。通過比較不同子問題的界，可以逐步排除不可能得到最優(yōu)解的子問題。剪枝在分支過程中，如果發(fā)現(xiàn)某個子問題的界已經(jīng)不可能優(yōu)于當前最優(yōu)解，則可以提前終止該子問題的分支過程，從而節(jié)省計算資源。分支定界法求解思路實例描述：假設有一個簡單的整數(shù)規(guī)劃問題，目標函數(shù)為最大化z=2x1+3x2，約束條件為x1+x2<=5,x1,x2>=0且為整數(shù)。實例演示與計算過程講解123計算過程1.首先將問題松弛為線性規(guī)劃問題，求解得到最優(yōu)解為(x1,x2)=(3,2)，此時目標函數(shù)值為z=12。2.由于x1和x2必須為整數(shù)，因此考慮分支。以x1=3為界，將問題分為兩個子問題：x1<=2和x1>=4。實例演示與計算過程講解010203043.對于子問題x1<=2，求解得到最優(yōu)解為(x1,x2)=(2,3)，此時目標函數(shù)值為z=13。實例演示與計算過程講解3.對于子問題x1<=2，