2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（全國版文） 第10章 算法與程序框圖

§10.1算法與程序框圖

【考試要求】1.了解算法的含義，了解算法的思想2理解程序框圖的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)：順序

結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu).

【知識梳理】

1.算法與程序框圖

⑴算法

①定義：算法通常是指按照一定規(guī)則解決某一類問題的明確和有限的步驟.

②應(yīng)用：算法通?？梢跃幊捎嬎銠C程序，讓計算機執(zhí)行并解決問題.

(2)程序框圖

定義：程序框圖又稱流程圖，是一種用程序框、流程線及文字說明來表示算法的圖形.

2.三種基本邏輯結(jié)構(gòu)

內(nèi)容

定義程序框圖

名稱

由若干個依次執(zhí)行的步驟組

順序結(jié)構(gòu)成，這是任何一個算法都離

不開的基本結(jié)構(gòu)

算法的流程根據(jù)給定的條件

是否成立有不同的流向，條

條件結(jié)構(gòu)

件結(jié)構(gòu)就是處理這種過程的

結(jié)構(gòu)

從某處開始，按照一定的條

件反復(fù)執(zhí)行某些步驟的結(jié)

循環(huán)結(jié)構(gòu)

構(gòu)，反復(fù)執(zhí)行的步驟稱為循

環(huán)體

【常用結(jié)論】

直到型循環(huán)是“先循環(huán)，后判斷，條件滿足時終止循環(huán)”；當(dāng)型循環(huán)則是“先判斷，后循環(huán),

條件滿足時執(zhí)行循環(huán)”；兩者的判斷框內(nèi)的條件表述在解決同一問題時是不同的，它們恰好

相反.

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“J”或“X”)

(1)算法只能解決一個問題，不能重復(fù)使用.(X)

(2)程序框圖中的圖形符號可以由個人來確定.(X)

（3）輸入框只能緊接開始框，輸出框只能緊接結(jié)束框.（X）

（4）條件結(jié)構(gòu)中判斷框的出口有兩個，但在執(zhí)行時，每次只有一個出口是有效的.（V）

【教材改編題】

1.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出S的值為（）

A.一坐B.坐C.—D.J

答案D

解析按照程序框圖依次循環(huán)運算，當(dāng)女=5時，停止循環(huán)，S=siny=1.

2.當(dāng)〃=4時，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的S的值為（）

A.9B.15C.31D.63

答案C

解析由程序框圖可知，k=l,S=\,S=l+2=3,k=2,S=3+4=7,k=3,S=7+23=

15,Jt=4,S=15+24=31,k=5,退出循環(huán)，輸出的S的值為31.

3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的m匕的值分別為。和9,則輸出的，的值為.

答案3

解析第1次循環(huán)：i=l,。=1,匕=8,a<b；

第2次循環(huán)：i=2,〃=3,b=6,a<b；

第3次循環(huán)：i=3,。=6,b=3,a>b,輸出i的值為3.

題型一程序框圖

命題點1由程序框圖求輸出結(jié)果項

例1（1）（2022?馬鞍山質(zhì)檢）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出S的結(jié)果為（）

A.16B.25

C.36D.49

答案B

解析程序運行時變量值在循環(huán)體中變化如下：

〃=1,5=1,n=l,判斷不滿足〃>4；

〃=3,S=4,〃=2,判斷不滿足心4；

〃=5,5=9,幾=3,判斷不滿足心4；

a=7,S=16,〃=4,判斷不滿足〃>4；

。=9,5=25,n=5,滿足心4,輸出S=25.

⑵執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的左=3,則輸出的S等于（）

C.7D.0

答案B

解析設(shè)第〃次循環(huán)后輸出，仁3+4〃》2023,

解得心505,

可知第505次循環(huán)后結(jié)束循環(huán),

此時jl=3+4X505=2023,

2023TT（337兀邦）

5=cos-^=COS

兀

=_cos不

2'

命題點2完善程序框圖

例2（1）（2022?河南六市模擬）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出i的值為7,則框圖中①處可

以填入（）

A.S>7?B.S>21?

C.5>28?D.5>36?

答案B

解析由程序流程圖，其執(zhí)行邏輯及對應(yīng)輸出如下：

i=1?S=0：輸出S=1,執(zhí)行循環(huán)，貝!Ii=2；

i=2,S=l：輸出S=3,執(zhí)行循環(huán)，則i=3；

/—3,S=3：輸出S=6,執(zhí)行循環(huán)，貝!Ii=4；

i=4,S=6：輸出S—10,執(zhí)行循環(huán)，則i=5；

i=5,5=10：輸出S=15,執(zhí)行循環(huán)，貝!]i=6；

i=6,5=15：輸出5=21,執(zhí)行循環(huán)，則i=7；

i=7,5=21：輸出5=28,此時根據(jù)條件跳出循環(huán)，輸出i=7.

...只有當(dāng)S>21時符合要求.

（2）（2022.東三省四市聯(lián)考）如圖所示，流程圖所給的程序運行結(jié)果為S=840,那么判斷框中所

填入的關(guān)于/的條件是（）

A.R5?B.k<4?

C.k<3?D.k<2?

答案B

解析由程序流程的輸出結(jié)果，知

S=l,k—7：執(zhí)行循環(huán)，S=7,k—6；

5=7,k=6：執(zhí)行循環(huán)，S=42,k=5；

S=42,k=5：執(zhí)行循環(huán)，S=210,Z=4；

5=210,k=4：執(zhí)行循環(huán)，5=840,k=3,

由題設(shè)輸出結(jié)果為S=840,

故第5步輸出結(jié)果，此時％=3<4.

命題點3由程序框圖逆求參數(shù)

例3(1)在如圖所示的程序框圖中，輸出值是輸入值的盤則輸入的x等于()

答案C

解析依題意，令x=xo,

則i—\時，X—2XQ—\,

此時i=2<3,則x-2(2xo-1)-1=4%0-3,

i=3W3,則》=2(4助-3)—1=8刈-7,，=4>3,退出循環(huán)體，

此時8xo—7=]xo,

21

解得xo=方，

所以輸入的尸翁

(2)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的S滿足1<5<2,則輸入的整數(shù)N的取值范圍是()

A.(1,100)B.[1,100]

C.19.99JD.(9,99)

答案D

解析當(dāng)N=9時，

310

S=lg2+lg----Mgy

=lg(2x|x…X?)=lg10=1,

當(dāng)N=99時，

S=lg2+lg----Fig揩

=lg(2X,義…X賢)=lg100=2,

即Nd(9,99).

【教師備選】

1.執(zhí)行程序框圖，則輸出的S的值為()

A.31B.32C.63D.64

答案C

解析模擬程序的運行，

S=0,i=0.

S=0+2°=l,滿足條件i<5,i=l,

5=l+2'=3,滿足條件i<5,i=2,

S=3+22=7,滿足條件，<5,i=3,

5=7+23=15,滿足條件i<5,i=4,

5=15+24=31,滿足條件i<5,i=5,

S=31+25=63,此時，不滿足條件i<5,退出循環(huán)，輸出S的值為63.

2.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的b的值為63,則圖中判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件為()

A.心6?B.a<5?C.”<6?D.”<6?

答案C

解析第一次運算為6=3,。=2,

第二次運算為b=7,a=3,

第三次運算為6=15,4=4,

第四次運算為6=31,4=5,

第五次運算為6=63,a=6.

思維升華(1)已知程序框圖，求輸出的結(jié)果，可按程序框圖的流程依次執(zhí)行，最后得出結(jié)果.

(2)完善程序框圖問題，結(jié)合初始條件和輸出結(jié)果，分析控制循環(huán)的變量應(yīng)滿足的條件或累加、

累乘的變量的表達式.

(3)把參數(shù)看成常數(shù)，運算程序直到輸出已知的結(jié)果，列出含有參數(shù)的等式或不等式，解出參

數(shù)的值(或范圍).

跟蹤訓(xùn)練1(1)(2022?資陽模擬)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入N=6,則輸出的5等于

()

,5二6

A6B7

C.1D.|

答案B

解析初始值N=6,S=0,k=\,

第一步：S=0+T^T=1-1,k<6,進入循環(huán)；

1AZ乙

第二步：攵=1+1=2,S=(l—；)+￡}=1—^+3—￡=1一/k=2<6,進入循環(huán)；

第三步：左=2+1=3,S=(l—§+￡^=1—k=3<6,進入循環(huán)；

第四步：％=3+1=4,S=(l—％=4<6,進入循環(huán)；

第五步：攵=4+1=5,S=(l—/)+^^=1—:，&=5<6,進入循環(huán)；

116

--~

第六步：A=5+l=6,5=(1—56X777k=6,結(jié)束循環(huán)，輸出S=￥

⑵（2022?鄭州質(zhì)檢）運行如圖所示的程序框圖，若輸入的a的值為2時，輸出的S的值為12,

則判斷框中可以填（）

A.R3?B.R4?C.R5?D./<6?

答案B

解析運行該程序：

輸入”=2,

第一次循環(huán)：5=0+2X]2=2,a=~2,

無=1+1=2；

第二次循環(huán)：S=2-2X22=-6,a=2,

—2+1=3；

第三次循環(huán)：$=-6+2X32=12,a=~2,

-3+1=4,

因為輸出的S的值為12,

所以判斷框中可以填z<4.

題型二數(shù)學(xué)文化與程序框圖

例4（1）（2022.上饒模擬）秦九韶是我國南宋時期的數(shù)學(xué)家，普州（現(xiàn)四川省安岳縣）人，他在所

著的《數(shù)書九章》中提出的多項式求值的秦九韶算法，至今仍是比較先進的算法.如圖所示

的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項式值的一個實例，若輸入〃，x的值分別為4,3,

則輸出。的值為（）

A.61B.183C.18D.9

答案B

解析"=4,x—3,V—1,i—3,是，

v=1X3+3=6,z=2,是，

@=6X3+2=20,i=l,是，

0=20X3+1=61,z=0,是，

0=61X3+0=183,i=-1,否，

終止循環(huán)，輸出。=183.

（2）（2022?開封模擬）下面程序框圖的算法思想源于數(shù)學(xué)名著《幾何原本》中“輾轉(zhuǎn)相除法”，

執(zhí)行該程序框圖（圖中表示m除以n的余數(shù)），若輸入的m,n分別為272,153,

則輸出的，“等于（）

A.15B.17

C.27D.34

答案B

解析因為輸入的根，"分別為272,153,

第一次循環(huán)r=119,機=153,n=119,

第二次循環(huán)r=34,/M=119,〃=34,

第三次循環(huán)r=17,/"=34,〃=17,

第四次循環(huán)r=0,m=\l.

【教師備選】

1.馬林梅森（MarinMersenne,1588—1648）是17世紀(jì)法國著名的數(shù)學(xué)家和修道士.他在歐幾里

得、費馬等人研究的基礎(chǔ)上，對2〃一1做了大量的計算、驗證工作.人們?yōu)榱思o(jì)念梅森在數(shù)

論方面的這一貢獻，把形如2。一1（其中p是素數(shù)）的素數(shù)，稱為梅森素數(shù).若執(zhí)行如圖所示的

程序框圖，則輸出的所有梅森素數(shù)的和為（）

A.676B.165

C.158D.2212

答案D

解析由題意，模擬程序的運行，可得

p=3,5=23-1=7,輸出7,滿足pW9,

p=3+2=5,5是素數(shù)，S=25-l=31,輸出31,滿足pW9,

p=5+2=7,7是素數(shù)，5=27-1=127,輸出127,滿足pW9,

p=7+2=9,9不是素數(shù)，

p=9+2=ll,ll是素數(shù)，5=2"-1=2047,輸出2047,11不滿足pW9,結(jié)束循環(huán)，

所以輸出梅森素數(shù)和為7+31+127+2047=2212.

2.德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲于1674年得到了第一個關(guān)于兀的級數(shù)展開式，該公式于明朝初年傳

入我國.我國數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家明安圖為提高我國的數(shù)學(xué)研究水平，從乾隆初年（1736年）開

始，歷時近30年，證明了包括這個公式在內(nèi)的三個公式，同時求得了展開三角函數(shù)和反三角

函數(shù)的6個新級數(shù)公式，著有《割圓密率捷法》一書，為我國用級數(shù)計算開創(chuàng)先河.如圖所

示的程序框圖可以用萊布尼茲“關(guān)于71的級數(shù)展開式計算亢的近似值（其中P表示兀的近似

值）”,若輸入〃=9,則輸出的結(jié)果P可以表示為（）

A.P=40

B.P=4（l-|+1-1+-+^）

c-P=464+5-7+"-15）

D-P=4（T+H+…+?

答案D

解析由題意，執(zhí)行給定的程序框圖，輸入"=9,可得

第1次循環(huán)：S=l,i=2；

第2次循環(huán)：S=l—/=3；

第3次循環(huán)：S=l—i—4；

第9次循環(huán)：S=l—---Fyy,z—10,

此時滿足判定條件，輸出結(jié)果

P=4S=4（1—1+1—----

思維升華中國古代數(shù)學(xué)長期領(lǐng)先于世界其他國家，有著豐富的數(shù)學(xué)文化，算法與中國古代

數(shù)學(xué)文化的結(jié)合也是高考中的新寵兒！

跟蹤訓(xùn)練2（1）（2022?桂林模擬）元朝著名數(shù)學(xué)家朱世杰在《四元玉鑒》中有一首詩：“我有

一壺酒，攜著游春走，遇店添一倍，逢友飲一斗，店友經(jīng)三處，沒了壺中酒，借問此壺中，

當(dāng)原多少酒？”用程序框圖表達如圖所示，即最終輸出的x=0,則一開始輸入的x的值為

（）

3八7

A-4B8

c15-31

CU6D32

答案B

解析本題由于已知輸出時x的值，因此可以逆向求解：

輸出x=0,此時i=4；

上一步：2x—1=0,x=；,此時i=3；

上一步：2x—1=；,此時i=2；

37

上一步：2x-1=彳，x—o,此時，=1.

,4O

⑵公元263年左右，我國數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)現(xiàn)當(dāng)圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時，多邊形面積

可無限逼近圓的面積，并創(chuàng)立了“割圓術(shù)”.利用“割圓術(shù)”劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)

點后兩位的近似值，這就是著名的“徽率”，如圖是利用劉徽的“割圓術(shù)”思想設(shè)計的一個

程序框圖，則輸出"的值為（）

（參考數(shù)據(jù)：也知，S七，sin15°?=8,sin七5）

A.12B.24C.36D.48

答案B

解析執(zhí)行程序，n=6,S=/x6sin60。=￥^打，

則〃=12,S=1xi2sin30°=,

則〃=24,S=1x24sin15。=

則輸出〃=24.

課時精練

1.（2022?池州模擬）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的i的值為（）

A.5B.6

C.4D.3

答案A

解析依次執(zhí)行如下：

5=12-2X1=10,i=2；

5=10-2X2=6,i=3；

S=6—2X3=0,z=4；

S=0-2X4=-8,i=5,

滿足條件S〈0,退出循環(huán)體，輸出i=5.

2.執(zhí)行如圖的程序框圖，則輸出的結(jié)果是（）

?4Z

A,60B

16-37

C2iD60

答案D

解析執(zhí)行程序框圖中的程序，如下所示：

第一次循環(huán)，5=1,77=1+1=2,不滿足〃>6；

第二次循環(huán)，5=1—〃=2+1=3,不滿足他>6；

第三次循環(huán)，S=1+|=|,雇=3+1=4,不滿足心6；

517

第四次循環(huán)，S=5一彳=五，〃=4+1=5,不滿足〃>6；

7I47

第五次循環(huán)，5=茂+§=而，〃=5+1=6,不滿足〃>6；

第六次循環(huán),5=若一卷=嗇，〃=6+1=7,滿足心6.

跳出循環(huán)體，輸出s=U

3.（2022?焦作模擬）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的結(jié)果是（）

A.15B.29C.72D.185

答案C

解析第一次執(zhí)行循環(huán)，a=2X1+1=3,b=3X1—1=2,不滿足i23,貝！|i=0+l=l,

第二次執(zhí)行循環(huán)，”=2X3+1=7,6=3X2—1=5,不滿足i23,則，=1+1=2,

第三次執(zhí)行循環(huán)，“=2X7+1=15,6=3X5—1=14,不滿足i>3,則i=2+l=3,

第四次執(zhí)行循環(huán)，0=2X15+1=31,6=3X14-1=41,滿足i23,輸出。+方=31+41=72.

4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的。值為（）

A.1B.—3

C.~2D.2

答案C

解析初始值。=2,i=l,

1+2

第一步：。=丁方=-3,i=l+l=2<2022,進入循環(huán)；

1—2

1—31

第二步：-一5,i=2+l=3<2022,進入循環(huán)；

1IJ乙

1-21

第三步：a=-7=^,?=3+1=4<2022,進入循環(huán)；

1+1

1+|

第四步：a=-j-=2,,=4+1=5<2022,進入循環(huán)，

1-3

因此a的取值情況以4為周期，

又2023除以4余3,當(dāng)i=2023時，結(jié)束循環(huán)，此時對應(yīng)的a的值為a=-今

即輸出。的值為一/

5.（2022.寶雞模擬）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的S等于（）

A.501B.642

C.645D.896

答案B

解析S=0,m=］；

5=O+1X2*=2,加=1+1=2,SW500；

5=2+2X22=10,m=2+1=3,SW500；

5=10+3X23=34,機=3+1=4,SW500；

5=34+4X24=98,m=4+1=5,SW500；

S=98+5X2$=258,m=5+l=6,SW500；

5=258+6X26=642,根=6+1=7,5>500,

結(jié)束循環(huán)，輸出S=642.

6.（2022?駐馬店模擬）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的x=12,則輸出y的值為（）

93

--

A.-82

13

C-

4--2

答案A

解析當(dāng)x=12時,y=5,|5-12|=7>1,此時x=5；

3373

時

-5比-

=一--

當(dāng)x=5時,22

2?F1

311371

當(dāng)x=5時，y=一7~4~2此時*=一不

199179

當(dāng)x=-］時，y=_g，—g+w=W<i，輸出y=_g.

7.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出S的值為，則判斷框內(nèi)可填入的條件是（）

A.i<100?B.>100?

C.z<99?D.z<98?

答案A

解析由程序框圖知，5==+七+…+不匕=1一；+*—/+…+}—士=1一七=，

1X22X3!（z+1）223I/+1/十1

解得i=99,

由于是計算S后，賦值i=i+l,因此循環(huán)條件是i<100.

8.（2022?長春質(zhì)檢）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的結(jié)果為126,則判斷框內(nèi)的條件可以

為（）

A.〃W5?B."W6?

C.〃W7?D."W8?

答案B

解析根據(jù)框圖，執(zhí)行程序，

S=2'，〃=2；

S=2'+22,〃=3；

S=2,+22+*-+2/；H=/+1,

令S=21+22+-+2/=126,

解得，=6,即〃=7時結(jié)束程序，

所以〃W6.

9.（2022?蓉城名校聯(lián)考）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的結(jié)果〃=

答案6

49

解析〃=1,S=02而不成立，

可得S=.y9=7,

一。__1__1^49^.、

『2,5=必=，2而不成立，

可得s=」一+」一=2

,傳31X2十2X33,

249

〃=3,S=]2而不成立，

113

可得s==2X33X4-4-

IK/

349

H=4,S=w2而不成立，

司/曰11114

口」何3一1X2+,2義3+?3X4+I4X5_—5'

449

5>--

一

〃=5\60

可得q=--—+—-—+—-—+—-—+—--=-

J1X22X33X44X55X66'

549

〃=6,S=d2而成立，

故輸出n=6.

10.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的S的值是

答案4

解析第一次循環(huán)，i=l<9成立，

2

"7=—1,i=1+1=2；

214

第二次循環(huán)，j=2<9成立,

22

S=2+]=]，，=2+1=3；

第三次循環(huán)，i=3<9成立,

23

S~^=5，i=3+l=4；

第四次循環(huán)，i=4v9成立，

2

S=---7=4,i=4+l=5；

2-2

第五次循環(huán)，i=5<9成5L,

2

S-7=-1?i=5+l=6；

2—4T

第六次循環(huán)，i=6<9成口，

22,

S=2+]=亨/=6+1=7；

第七次循環(huán)，i=7<9成立，

23

S-

-2-2

2-

-3

第八次循環(huán)，i=8<9成立,

2

S

-3i=8+1=9.

2-

-2

i=9<9不成立，跳出循環(huán)體，輸出S的值為4.

11.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的6的值為16,則圖中判斷框內(nèi)①處應(yīng)填的最大整數(shù)

為.

答案3

解析第一次循環(huán)結(jié)果為方=2,。=2,

第二次循環(huán)結(jié)果為匕=4,a=3,

第三次循環(huán)結(jié)果為b=16,a=4,不滿足判斷框中的條件，輸出的結(jié)果是16滿足已知條件，

所以①處應(yīng)填的數(shù)字的取值范圍是[3,4）,所以最大整數(shù)是3.

12.中國的太極圖是由黑白兩個魚形圖案拼成的一個完整的圓形，喻示著陰陽相互轉(zhuǎn)化又相

互對立的基本道理，是反映我國傳統(tǒng)哲學(xué)中辯證思想的一種象征性符號.若陰表示數(shù)字1,

陽表示數(shù)字0,這蘊含了二進制的思想.圖中的程序框圖的算法思路就源于我國古代的哲學(xué)

辯證思想.執(zhí)行該程序框圖，若輸入。=10101Oil,k=2,"=8,則輸出的6=.

答案43

解析按照程序框圖執(zhí)行，匕依次為0,1,3,3,11,11,43,43.

當(dāng)6=43時，i=7+l=8,跳出循環(huán)，故輸出6=43.

13.在程序框圖中，程序運行輸出S的值為1,那么判斷框中應(yīng)填入（）

A.K9?B.Q9?C.RIO?D.Q10?

答案c

解析：1gw2=lg(A+l)—lg比

...根據(jù)程序圖的執(zhí)行可得S=(lg100-lg99)+(lg99-lg98)+-+[lg(fc+l)-lgk]

=2-lgk=l,解得&=10,

...判斷框中應(yīng)填入的關(guān)于k的判斷條件是^<10.

14.我國南北朝時期的數(shù)學(xué)家張丘建是世界數(shù)學(xué)史上解決不定方程的第一人，他在《張丘建

算經(jīng)》中給出一個解不定方程的百雞問題，問題如下：雞翁一，值錢五，雞母一，值錢三，

雞雛三，值錢一.百錢買百雞，問雞翁母雛各幾何？用代數(shù)方法表述為：設(shè)雞翁、雞母、雞

[5x+3y+g=100,

雛的數(shù)量分別為x,y,z,則雞翁、雞母、雞雛的數(shù)量即為方程組J3的解.其

〔x+y+z=100

解題過程可用程序框圖表示，如圖所示，則程序框圖中正整數(shù)機的值為.

答案4

7

5X