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文檔簡介
第1講數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)中的應用我們在解決函數(shù)問題的過程中,經(jīng)常會遇到這樣的一種困境:做題時總是感覺看到的式子比較抽象,不容易理解,想來想去總是沒有頭緒。此時便需要我們將其具象化,而具體化最好的途徑便是借助圖象?!皵?shù)缺形時少直觀,形少數(shù)時難入微”,利用數(shù)形結(jié)合可使所要研究的問題化難為易、化繁為簡。把代數(shù)和幾何相結(jié)合,它能促進代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化,通過改變思維的角度,使我們較快地從所給問題的情境中探究出符合命題目標的某個熟悉的模型,從而迅速、準確、科學地解決問題。【應用一】利用數(shù)形結(jié)合判斷大小在做題的過程中,我們經(jīng)常會遇到比大小問題,遇到這類題,我們的想法往往是先算出所有數(shù)的大小,然后放在一起比較,但有的時候,題目中出現(xiàn)的數(shù)字我們難以計算,例如:、等,我們沒有學過一個數(shù)的0.7次方如何計算,此時便需要借助函數(shù)圖象的性質(zhì)來輔助我們進行求解,例如下面這道小題:【例1】(2022?天津)已知,,,則A. B. C. D.本題要研究和的大小,但是我們很難去計算一個數(shù)字的次方,所以可以借助指數(shù)函數(shù)和的圖象的單調(diào)性解決問題;對于則可以借助對數(shù)函數(shù)的圖象的單調(diào)性進行判斷.
【思維升華】通過本題不難發(fā)現(xiàn),對于一個確定的指數(shù)、對數(shù),我們都可以借助指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象來確定他們的大致范圍從而比較大小、不僅對指數(shù)與對數(shù),未來我們也可以用相同的方法研究一些難以計算的三角函數(shù)值等。【變式1.1】已知正實數(shù)滿足,,則()A. B. C. D.【變式1.2】(2020?榆林模擬)設(shè),,均為實數(shù),且,則A.B.C.D.【應用二】利用數(shù)形結(jié)合處理抽象函數(shù)取值問題抽象函數(shù)的取值問題是一類??碱}型,而抽象函數(shù)的難點也在于它的抽象,所以解決此類問題,化抽象為具體是關(guān)鍵,而具象化最好的方法便是結(jié)合圖象進行判斷,根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的特點,結(jié)合題目信息易畫出函數(shù)圖像,觀察圖象在取不同數(shù)值時的正負,便能很快使問題得到解決,比如下面這道題:【例2】(2020?新高考Ⅱ)若定義在的奇函數(shù)在單調(diào)遞減,且(2),則滿足的的取值范圍是A.,,B.,,C.,,D.,,根據(jù)題目所給的的單調(diào)性和奇偶性,可以做出和的大致圖象如圖:結(jié)合上面兩個圖象,便能很快得到的方位,然后求得時x的取值范圍.
【思維升華】通過此類問題可以發(fā)現(xiàn),如果已知一個抽象函數(shù)沒有給我們解析式,只知道它的奇偶性和單調(diào)性等性質(zhì),我們就可以通過函數(shù)性質(zhì)得到函數(shù)的大致圖像,從而解決問題,不僅對抽象函數(shù),我們也可以借助相同的方法研究分段函數(shù)等其他函數(shù)的問題。【變式2.1】(2022秋·上海虹口·高三上外附中??茧A段練習)已知函數(shù),若存在,使得,則的最小值為__________.【變式2.2】(2017秋?雅安期末)已知定義在上的函數(shù)在上是減函數(shù),若是奇函數(shù),且(2),則不等式的解集是A.,, B.,, C.,, D.,,【應用三】數(shù)形結(jié)合研究函數(shù)的極值函數(shù)的極值問題,既是重點題型又是難點題型,遇到此類題,我們一般的想法是進行求導,實際上,對于已知的基本初等函數(shù)求極值的問題,也可以直接做出基本初等函數(shù)的圖象,結(jié)合函數(shù)圖象使問題得到解決,比如下面這道題:【例3】(2021?乙卷)設(shè),若為函數(shù)的極大值點,則A. B. C. D.看到求極大值點的問題,我們很有可能條件反射就是“求導”,但是你會發(fā)現(xiàn)本題中有兩個變量求導并不簡單,所以對于一個極值問題,我們除了求導之外,還可以嘗試畫出他的草圖,尤其是像二次函數(shù)、三次函數(shù)這種我們比較熟悉的函數(shù),我們可以借助函數(shù)圖像進行求解!令,解得或,即及是的兩個零點,當a范圍不同時,根據(jù)三次函數(shù)的性質(zhì)可以做出的大致圖象如下圖所示,通過圖象便可很快得到答案?!舅季S升華】本題也是一個運用數(shù)形結(jié)合簡化運算的典型例題,但是我們進行畫圖時要注意既要進行幾何直觀分析,又要進行相應的代數(shù)抽象探求。例如在本題中,如果對變號零點和不變號零點時的特點了解不清楚,在作圖時很容易出錯。通過本題可以看出,對于函數(shù)的極值問題,除了求導之外,我們也可以借助題目信息和基本初等函數(shù)的性質(zhì)作出大致圖象,借助函數(shù)圖象的單調(diào)性和極值便可以使問題得到解決?!咀兪?.1】已知函數(shù)有且只有一個極值點,則實數(shù)的取值范圍為() B. C. D.【變式3.2】已知函數(shù)的導函數(shù)的圖象如圖所示,則函數(shù)的圖象可能是A. B. C. D.
【應用四】數(shù)形結(jié)合研究函數(shù)的切線過某點作已知曲線的切線問題一直時常考題目,也是難點問題,遇到此類方法,我們最直接的想法是利用求導法,此類問題中,我們做的比較多的是過某已知的點求已知曲線的切線方程,但有的時候,題目中給的點并非定點,此時也可以借助函數(shù)圖象進行討論。比如下面這道例題:【例4】(2021?新高考Ⅰ)若過點可以作曲線的兩條切線,則A. B. C. D.解決此類問題,一般從2個方面突破,一種是數(shù)形結(jié)合,一種是求導法,在求解的時候,可以兩種方法都嘗試一下,進行計算量的評估,再決定選哪條路。大家可以對比以下兩種方法,觀察兩種方法的特點:解:法一:根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象性質(zhì)可作圖如下:由圖象可知:在軸下方,或沒有切線.在曲線上、軸或軸下方時,只有一條切線.在圖象的下方,并且在軸上方時,有兩條切線,可知.故選:.法二:設(shè)過點的切線橫坐標為,則切線方程為,可得,設(shè),可得,,,是增函數(shù),,,是減函數(shù),因此當且僅當時,上述關(guān)于的方程有兩個實數(shù)解,對應兩條切線.故選:.【思維升華】本題中共提供了兩種方法,法一是數(shù)形結(jié)合法,法二是代數(shù)法,但是其實在真正計算之前我們可以預見到這個方法的計算量是很大的,對比兩種方法,容易看出法二相對而言不夠直接且不易理解,而數(shù)形結(jié)合法既直觀又清晰易懂。通過本題不難發(fā)現(xiàn),對于過某點做已知曲線的切線問題,可以借助函數(shù)圖像判斷切線方程的的大致位置,通過分類討論一一排除不符合要求的部分,最終得到需要的答案。此類方法對于解決解析幾何問題同樣適用?!咀兪?.1】(2022?南京模擬)若過點可以作曲線的兩條切線,則A. B. C. D.【變式4.2】若過點可作出曲線的三條切線,則實數(shù)的取值范圍是(
)A. B. C. D.【應用五】利用數(shù)形結(jié)合,解決函數(shù)零點問題函數(shù)零點問題是我們在做題過程中常見的問題,但是往往在解決函數(shù)零點問題時會發(fā)現(xiàn),函數(shù)解析式總是十分復雜,比如:,所以為了研究較復雜函數(shù)的零點問題,我們一般會通過函數(shù)的單調(diào)性、極值、圖象的變化趨勢等求解;根據(jù)題目要求畫出函數(shù)圖象,通過數(shù)形結(jié)合思想分析問題。破解此類題的關(guān)鍵:一是會轉(zhuǎn)化,把函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點問題;二是會借形解題,即做出函數(shù)圖像,觀察圖象與軸的交點,通過分類討論和數(shù)形結(jié)合可快速找到參數(shù)所滿足的范圍?!纠?】(2022·天津·統(tǒng)考高考真題)設(shè),對任意實數(shù)x,記.若至少有3個零點,則實數(shù)的取值范圍為______.本題實際上主要研究兩個函數(shù):和,這兩個函數(shù)都是熟悉的函數(shù),所以我們可根據(jù)二次函數(shù)和絕對值函數(shù)的圖像特點先作出兩個函數(shù)的大致圖象,根據(jù)參數(shù)不同,分析圖象的可能變化,利用數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化將函數(shù)零點問題變?yōu)楹瘮?shù)圖象的交點問題:先由題意做出兩個函數(shù)的大致圖象如圖所示,再通過討論在不同取值時圖象的特點,最終得到有3個零點時的取值范圍。【思維升華】通常研究函數(shù)零點問題,如果我們發(fā)現(xiàn)函數(shù)值得零很難解,我們就可以把它轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點問題,接著通過數(shù)形結(jié)合思想分析問題使問題的求解有一個更清晰、直觀的整體展現(xiàn)。解決此類問題,一般先作出函數(shù)的大致圖象,利用數(shù)形結(jié)合和分類討論,即可確定的取值范圍?!咀兪?.1】(2023?新鄉(xiāng)三模)已知函數(shù),若函數(shù)有3個不同的零點,則實數(shù)的取值范圍為A. B. C. D.【變式5.2】(2023?湖南模擬)已知定義在上的函數(shù)滿足,,且當時,,則函數(shù)在,上的零點個數(shù)為A.9 B.11 C.13 D.15
鞏固練習1.已知函數(shù),,的圖象如圖所示,則、、的大小關(guān)系為A.c<b<aB.a(chǎn)<b<cC.b<c<aD.c<a<b2.(2023·全國甲卷)函數(shù)的圖象由函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到,則的圖象與直線的交點個數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.43.如果設(shè)奇函數(shù)在上為增函數(shù),且(2),則不等式的解集為A.,, B
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