物理學(xué)教程第二版095電勢新

物理學(xué)教程第二版095電勢新§9-5

靜電場的環(huán)路定律電勢

當(dāng)帶電體在靜電場中移動(dòng)時(shí)，靜電場力對(duì)帶電體要作功，這說明靜電場具有能量。

一.靜電場力的功WEFdq0.==dl.dlEq0=dlcosjqE0=dr=qrπ24εOqOdrdlrrjrd局部放大圖W=rbòr2qπ4εOqOdrra=()ar1qπ4εOqObr1Edlaqrbra0qbjj··對(duì)于由n個(gè)點(diǎn)電荷所組成的電場有：

試驗(yàn)電荷qo在靜電場中從一點(diǎn)沿任意路徑運(yùn)動(dòng)到另一點(diǎn)時(shí)，靜電場力對(duì)它所作的功僅與試驗(yàn)電荷qo以及路徑的起始點(diǎn)和終了點(diǎn)的位置有關(guān)，而與該路徑的形狀無關(guān)。在靜電場中，電場力對(duì)試驗(yàn)電荷作功與路徑無關(guān)是靜電場的一個(gè)重要性質(zhì),也說明了靜電場力是保守力，靜電場是保守場。(可以與重力相類比)結(jié)論Edlaqrbra0qbjj··()iar1qπ4εOqOW=Σi＝1nibr1E=.dl0lò

如果試驗(yàn)電荷從a點(diǎn)出發(fā)經(jīng)過bcd再回到a點(diǎn)則有：二.場強(qiáng)環(huán)流定律：

靜電場力的功和作功的路徑無關(guān)，

靜電力是一保守力，因此可以引入勢能的概念。

其中q0不會(huì)=0E電場強(qiáng)度環(huán)流則:在靜電場中，將單位正電荷沿任意閉合路徑繞行一周，靜電場力對(duì)它所作的功為零Eq0=.dl0lòE=.dl0lò·bcda·靜電場力對(duì)電荷qo所作的功等于靜電勢能的改變量。三.電勢能E

重要結(jié)論：靜電場力作功電勢能減少。外力克服靜電場力作功，則電勢能增加。問題：E＋－電勢能增加還是減少？·－qa·b負(fù)電荷在a移動(dòng)到b的過程中：增加W==Eaabq0EbE.dlaòbEdlaqrbra0qbjj··問題：非均勻電場E中有a、b

兩個(gè)點(diǎn)，一個(gè)正試驗(yàn)電荷q

從a

移到b

的過程中，電勢能是增加的，則:

（1）標(biāo)出電場強(qiáng)度的方向，

（2）

a、b

兩點(diǎn)哪一點(diǎn)的電勢高？

（3）a、b

兩點(diǎn)哪一點(diǎn)的電場強(qiáng)度來得強(qiáng)？左端為＋、右端為－。＋－（1）∴電場強(qiáng)度的方向向右（2）

a、b

兩點(diǎn)中b點(diǎn)的電勢高（看電場線的走向）（3）

b點(diǎn)的電場強(qiáng)度來得強(qiáng)（看電場線的疏密）E·b·qa分析：正試驗(yàn)電荷q從a移到b的過程中電勢能增加，說明在該過程中是克服電場力作功的。一般在理論計(jì)算時(shí)，取無窮遠(yuǎn)處為電勢能的零點(diǎn)在實(shí)際問題中有時(shí)選擇地球表面為零勢能點(diǎn)。a點(diǎn)的電勢能為：其中設(shè)b為零勢能點(diǎn))(或定義：電荷qo

在電場中某點(diǎn)處的電勢能在數(shù)值上等于將它從該點(diǎn)移動(dòng)到零電勢能處電場力所作的功。W==Eaaq0E.dlaò∞∞W==Eaabq0E.dlaòba

點(diǎn)的電勢在數(shù)值上等于將單位正電荷從a

點(diǎn)移到無窮遠(yuǎn)處靜電場力對(duì)它所作的功9-6.電勢1.電勢差VbVa=Edla.bò（描述靜電場的另一個(gè)重要物理量）一.電勢電勢是一個(gè)標(biāo)量電勢的物理意義Wa==Vaq0E.dla8ò=VaE.dlaò∞VbE.dlbò∞=E.dlaòb2.

靜電場力的功和電勢差的關(guān)系在原子、核子物理中，電子、質(zhì)子的能量常用電子伏特為單位：1eV＝1.602×10－19

(J)WabVbVa=q()VaVb=q()－關(guān)系式很重要是計(jì)算題目的依據(jù).

定義：靜電場中a、b兩點(diǎn)的電勢差Vab在數(shù)值上等于把單位正試驗(yàn)電荷從a點(diǎn)移到b點(diǎn)時(shí)靜電場力所作的功。Ur+Ur1.

點(diǎn)電荷的電勢二、電勢的計(jì)算電勢的高低看電場線的走向

越靠近正電荷電勢越高、越靠近負(fù)電荷電勢越低(也是計(jì)算大塊連續(xù)帶電體電勢的基礎(chǔ)工具)q·rp點(diǎn)電荷考察點(diǎn)=VpE.dl8pò=επ2r4q8p0drcos00òV=επr4q0對(duì)于點(diǎn)電荷系：2.

點(diǎn)電荷系的電勢電勢疊加原理物理量電勢是標(biāo)量,只要代數(shù)和.=VpE.dl8pò.dl8pò=E1E2(+)+8pò.dl=E1E2+.dl8pò+V1=Vi+=ΣV2+V3+V=επr4q011+επr4q022+V=επr4q0ΣiiPr2q2.r1q13.

連續(xù)帶電體的電勢帶電體上的電荷是連續(xù)分布的，可以無限細(xì)分為無限多個(gè)電荷元，視為點(diǎn)電荷，每個(gè)點(diǎn)電荷在電場中某一處的電勢為：然后將無限多個(gè)點(diǎn)電荷在電場中某一處的電勢貢獻(xiàn)加以求積分，進(jìn)行電勢的疊加（標(biāo)量疊加）V=επr4q0dd·dqPrqV=επr4q0dò10×=2.463(v)3××=9109×0.101(4.04.0)108C=18=4.0×0

例題:

已知q2q1r=0.10

m=試求：將電荷q0從a點(diǎn)移到b點(diǎn)靜電場力所作的功。

，q0C184.0×0abq12q0qrrr·=Va+=0Vq1Vq2V=επr4q0b31επr4q02+=επr40q11q23)(+由前面得到：=×2.46105(J)由靜電場力的功和電勢差的關(guān)系式=Va+=0Vq1Vq210×=2.463(v)VbWabVbVa=q()WabVbVa=q()0VbVa()=1.0×10

－8×2.46103=1.0×10

－8×abq12q0qrrr·

例題：四個(gè)+q

的點(diǎn)電荷，分別在邊長為a

的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，對(duì)角線相交于0點(diǎn)，P點(diǎn)在0點(diǎn)的正上方，它們相距為a

，求：（1）0點(diǎn)的電場強(qiáng)度

（2）0點(diǎn)的電勢（5）P

點(diǎn)的電勢是多少？（4）在這個(gè)過程中，電勢能是增加還是減少？（3）將試驗(yàn)電荷qo從無窮遠(yuǎn)處移到0點(diǎn)，則電場力作功是多少？（設(shè)無窮遠(yuǎn)處的電勢為零)opqaqqqa····0Eo=（1）0點(diǎn)的電場強(qiáng)度在0點(diǎn)各個(gè)電荷的電場強(qiáng)度疊加，相互抵消（2）0點(diǎn)的電勢電勢是標(biāo)量。在0點(diǎn)各個(gè)電荷的電勢疊加為它們量值的代數(shù)和a22Vo＝4×q4πεo（3）將試驗(yàn)電荷qo從無窮遠(yuǎn)處移到0點(diǎn)，則電場力作功是多少？（設(shè)無窮遠(yuǎn)處的電勢為零)opqaqqqa····＝2πεoaq∵電場力作負(fù)功，∴電勢能是增加的。其量值為：

（4）在這個(gè)過程中，電勢能是增加還是減少？（3）將試驗(yàn)電荷qo從無窮遠(yuǎn)處移到0點(diǎn)，則電場力作功是多少？（設(shè)無窮遠(yuǎn)處的電勢為零)opqaqqqa····WV0V∞=q()0-=qo2πεoaq-=qo2πεoaq△E＋=qo2πεoaq（5）P點(diǎn)的電勢是多少？aa2222+=r()qUP44×=ε0πaa2222+()aq6=3ε0π先計(jì)算出連接q

到P

點(diǎn)的距離rr0pqaqqqa·····V=επr4q0由：πε4o=R2x2+()12q

例題：求一均勻帶電圓環(huán)軸線上一點(diǎn)的電勢。已知：q

、

R

、

x

。RdqxPr0··xV=επr4q0dd分析：無限細(xì)分為無限多個(gè)電荷元，視為點(diǎn)電荷，每個(gè)點(diǎn)電荷在電場中P點(diǎn)處的電勢為：然后將無限多個(gè)點(diǎn)電荷在電場中P點(diǎn)處的電勢貢獻(xiàn)加以求積分，進(jìn)行電勢的疊加（標(biāo)量疊加）。V=επr4q0dòP

1.rR≤注意：積分要一段一段進(jìn)行例題：求一均勻帶電球面內(nèi)外的電勢。已知：q、

R

。=VpE.dl8rò0R+qP.r+++++++=E.dlRrò內(nèi)+E.dR∞ò外l（均勻帶電球面內(nèi)部）=επ2r4q8Rdr0ò0+=επR4q02.rR≥（均勻帶電球面外部任一點(diǎn)）=VE.dr∞ò外rP=επ2r4q8rdr0ò=επr4q0場強(qiáng)分布曲線ERr02r1∝

結(jié)論：均勻帶電球面，球內(nèi)的電勢等于球表面的電勢，球外的電勢等效于將電荷集中于球心的點(diǎn)電荷的電勢。電勢分布曲線VRr0r1∝選擇題：（1）電場強(qiáng)度為零的點(diǎn)，電勢也一定為零。（2）電場強(qiáng)度不為零的點(diǎn)，電勢也一定不為零。

（3）電勢為零的點(diǎn)，電場強(qiáng)度也一定為零。

（4）電勢在某一區(qū)域內(nèi)為常數(shù)，則電場強(qiáng)度在該區(qū)域內(nèi)必定為零。（1）均勻帶電為Q的空心球面：球面內(nèi)的電場強(qiáng)度E處處為零球面內(nèi)的電勢V等于球表面的電勢而不是等于零的。0RQE＝0×V=επR4Q0（2）電場強(qiáng)度不為零的點(diǎn)，電勢也一定不為零。而在兩個(gè)異性點(diǎn)電荷中間P點(diǎn)的電勢（3）電勢為零的點(diǎn)，電場強(qiáng)度也一定為零?！痢粒ɡ碛赏希蹋?）電勢在某一區(qū)域內(nèi)為常數(shù)則電場強(qiáng)度在該區(qū)域內(nèi)必定為零。·PLq+q－Eq－Eq+P點(diǎn)在兩個(gè)異性點(diǎn)電荷的中間EP則：＝＋E+E-≠0＋＝0V=επL4q0επL4q0－例題：如圖所示，有一個(gè)點(diǎn)電荷q＝10-9C，A、B、C三點(diǎn)分別距該點(diǎn)電荷10cm、20cm、30cm若選B點(diǎn)的電勢為零，則分別求出A點(diǎn)和C點(diǎn)的電勢。解：V=επr4q0由：可以求出：A點(diǎn)電勢V＝90VB點(diǎn)電勢V＝45VC點(diǎn)電勢V＝30V＋···qABC∵選B點(diǎn)的電勢為零所以：A點(diǎn)電勢V＝90V－45V＝45VC點(diǎn)電勢V＝30V－45V＝－15V（練習(xí)冊(cè)P2填充題3）例題：電量Q

均勻地分布在長為L

的細(xì)棒上如圖示，求：距離細(xì)棒一端a

處P點(diǎn)的電場強(qiáng)度和電勢。分析：在細(xì)棒上無限細(xì)分帶電長度且電荷元在P點(diǎn)的場強(qiáng)方向均相同。解：P點(diǎn)的電場強(qiáng)度沿x軸負(fù)向·PdEdqdxxxaQπEε=x241q0dd=πεx24Qx0dLπεx24Qx0dL=òaaL＋EdòE=P=πε4Q01L（aa＋L1)－=πε4Q0（aa＋L)ddxλQdxLldq

==以上求出了P點(diǎn)的電場強(qiáng)度，現(xiàn)再求離距離細(xì)棒一端a

處P點(diǎn)的電勢：解：·PdEdqdxxxaQddxλQdxLldq

==V=επx4q0ddV=επx4q0dòPπεx4Qx0dL=πεx4Qx0dL=òaaL＋=πε4Q0Llnaa＋L例題：電場強(qiáng)度為E

的均勻電場中，有一個(gè)半徑為R

的半球封閉面S，如圖所示。求：通過半球面的電場強(qiáng)度通量。如果沿著半球面的底面將電荷q從A移到B，則電場力作的功是多少？分析：由高斯定理=E－πR2cos600=－21－EπR2=半球面+E.dSsòòE.dSòò圓面E.dSòò=0j半球面=j－圓面=E－·S通過半球面的電場強(qiáng)度通量ES600AB如果沿著半球面的底面將電荷q

從A

移到B，則電場力作的功是多少？因?yàn)殪o電場力作功與路徑無關(guān)，所以有：Sdl600AB=－√3qERqW==ABEq.dlABòWAB弧=EqABòcos（900＋600）dl=Eqsin600AB－QR0·例題：電荷Q

均勻分布在半徑為R

的球體內(nèi)，試求：球體內(nèi)外的電場強(qiáng)度和電勢的分布。分析：因?yàn)殡姾煞植季哂星驅(qū)ΨQ性，所以求電場強(qiáng)度分布用高斯定理；電勢分布則用電勢的定義來求。求：場強(qiáng)分布由高斯定理：（在球體內(nèi)作高斯面）r＜R=E.dSsòòqε0r高斯面Er24π＝ε01Q43πR343πr3＝Qr3R3ε0高斯定理等式的左邊高斯定理等式的右邊QRor高斯面Er24π＝ε01Q43πR343πr3＝Qr3R3ε0E=等式左右兩邊相等得：Qε0rπ24E=等式左右兩邊相等得：Qε0Rπ34r（在球體外作高斯面）＜RrEr24π＝Qε01再由電勢的定義求：球體內(nèi)外的電勢分布E=Qε0Rπ34rE=Qε0rπ24由：＜＜RRrr=VpE.dl8Pò電勢定義：（其中V∞＝0）r＜R:=E.drRrò1+E.dR∞ò2r=VpE.dl8ròRQP·r·0=drRrò+dR∞òrQε0Rπ34rQε0rπ24=Qε0Rπ8Rr22（)3-r＞R：例題：如圖所示，BCD

是以R

為半徑的半圓弧。已知：AB=R。在A處放置點(diǎn)電荷＋q，在0

處放置點(diǎn)電荷－3q

求（1）若把電荷Q從點(diǎn)B經(jīng)C（沿半圓）移至D，電場力對(duì)它作的功（2）將電荷－Q從D點(diǎn)沿直線DE移到無限遠(yuǎn)處，外力所作的功。RQP·r·0=VpE.dr8ròE.dr8rò=2=rd∞òrQε0rπ24Qε0rπ4=（此題和練習(xí)冊(cè)P2計(jì)算題2類似，在數(shù)據(jù)上有所改變，解題的思路完全相同）求：（1）若把電荷Q從點(diǎn)B經(jīng)C（沿半圓）移至D電場力對(duì)它作的功（2）將電荷－Q從D點(diǎn)沿直線DE移到無限遠(yuǎn)處，外力所作的功。解：（1）根據(jù)電場力的功和電勢差的關(guān)系式W＝Q（VB－VD）根據(jù)點(diǎn)電荷電勢的結(jié)論公式和電勢的疊加原理···A0BDERC＋q－3q600επR4q0由：V=B－επR4q03=－επR2q0（2）將電荷－Q從D點(diǎn)沿直線DE

移到無限遠(yuǎn)處，外力所作的功。επR4q0V=B－επR4q03=－επR2q0qεπR40V=D－επR4q03=3q－επR203W＝Q（VB－VD）將VB和VD的量值代入W中：=επR6q0Q電荷Q從點(diǎn)B經(jīng)C（沿半圓）移至D電場力對(duì)它作的功?！ぁぁ0BDERC＋q－3q600RW＝Q（VD－V∞）Q（－0）q－επR203==q－επR203Q例題：有一半徑為R的均勻帶電球面，帶電量是Q，沿半徑方向上有一條均勻帶電的細(xì)棒，電荷線密度為λ、長度為L，細(xì)棒的近端離球心的距離是L，如圖所示。設(shè)球和細(xì)棒上的電荷分布固定，求：細(xì)棒在電場中的電勢能。解：建坐標(biāo)、取長度元（電荷元dq＝λdx）帶電量Q

的球面，在x處產(chǎn)生的電勢為：所以dq在Q的電場中具有的電勢能為：RQLx·0LλxdxV=επx4Q0d=dqV=λdxWεπx4Q0所以，整條帶電細(xì)棒在Q產(chǎn)生的電場中的電勢能為：如果細(xì)棒的電量為q＝λL

，則上述的結(jié)果為：d=dqV=λdxWεπx4Q0W=ò=LλdxdWò2Lεπx4Q0ln2LL=επ4Q0λRQLx·0Lλxdxln2=επ4Q0λWln2=επ4Q0qL····q－q－q2aarP例題：

如圖所示，電荷分布為一種電四極子，(1)證明在電四極子軸線的延長線上，離中心為r的P點(diǎn)處的電場強(qiáng)度的大小為：Eε43=π0rQ4式中的Q＝2qa2稱為電四極子（練習(xí)冊(cè)P2計(jì)算題1）(2)P的電勢為：Vε4－=π0rQ3分析：本題的第一個(gè)證明已在《電場強(qiáng)度》的章節(jié)中證畢，在此證明（2）可以有二種解題方法。第一種解題方法：按電勢的物理定義來求解=VpE.dl8rò····q－q－q2aarPEε43=π0rQ4其中已證畢=Vpdròε43π0rQ4=ε43π0Qr4－dròε43π0Q=3－1r3－ε4－=π0rQ3證畢第二種解題方法：按電勢的疊加原理來求解V1=Vi+=ΣV2+V3+V=επr4q011+επr4q022+VΣV1=i+V2+V3+V1=V2=V3=2επr410q－επr410＋aq－επr410－aqViΣV=V1=+V2+V3+····q－q－q2aarP=－επr420－q（）1a2r2－r=－επr420q（）a2r2－a2∵r＜＜a∴=2επr40q3a2=επr40Q3－式中的Q＝2qa2稱為電四極子證畢例題：已知有一均勻帶電＋Q的四分之一圓環(huán)，其半徑為R，另有一個(gè)點(diǎn)電荷＋Q置于A點(diǎn)，如圖所示，求（1）0處的電場強(qiáng)度矢量（2）0處的電勢。（練習(xí)冊(cè)P4計(jì)算題1）分析：（1）0處的電場強(qiáng)度矢量，已經(jīng)在前一章計(jì)算了，其結(jié)果如下：ε42=π01RQE總iε22π0RQ2－）（ε22π0RQ2－j··RRRA＋Q＋Q0yxdq＝λdlθdθ·（2）0處的電勢VA=+V0V41圓弧VA其中=επR4Q0VA其中=επR4Q0··RRRA＋Q＋Q0yxdq＝λdlθdθ·V41圓弧=επR4q0dò02πR4d

＝λdlq=ò0πR2επR40λdl=ò02πR4επR40λdlλ＝πR2Q2πR4Q＝=επR4Q0VA=+V0V41圓弧=επR4Q0+επR4Q0=επR2Q00處的電勢例題：已知電荷均勻分布在半徑為R的圓弧上，如圖所示，電荷線密度為λ，圓弧對(duì)圓心所張的圓心角是α，求（1）圓心0處的電場強(qiáng)度矢量（2）圓心0處的電勢。（練習(xí)冊(cè)P35計(jì)算題1）yxdExdEyR0α2α2·dq＝λdldθθθdE分析：（1）0處的電場強(qiáng)度矢量，已經(jīng)在前一章計(jì)算了，其結(jié)果如下：ε=π0Rsinλ2α2Ei（2）圓心0處的電勢。V=επR4q0ddV=επR40θdòRλα2α2d

＝λdlq＝λRθd=επ40αλ圓心0處的電勢ⅠⅡⅢ例題：如圖所示，一均勻帶電Q

的球形膜,在它的半徑從R1擴(kuò)大到R2的過程中,距球?yàn)镽

的一點(diǎn)的場強(qiáng)將由____________變?yōu)開______電勢由_________變?yōu)開________,通過以為半徑R的球面的電通量由________變?yōu)開_____。RR2R1（練習(xí)冊(cè)P3：填充題1）QRπ24εOQRπ24εO0QRπ4εOOεQ0分析：根據(jù)高斯定理，在距球?yàn)镽處建立高斯面，其內(nèi)含有Q。所以場強(qiáng)是：半徑擴(kuò)大到R2則高斯面內(nèi)無電荷，所以場強(qiáng)變?yōu)榱愀咚姑媲騼?nèi)的電勢＝球面的電勢（等勢體）Q例題:一個(gè)半徑為R的無限長均勻帶電圓柱面，電荷面密度為σ，求：圓柱面內(nèi)、外電場強(qiáng)度的分布和電勢的分布。（設(shè)中心軸為電勢零點(diǎn)）解：電荷分布軸對(duì)稱，取柱面為高斯面后來求：電場強(qiáng)度。由高斯定理可知：E1=0（理由：電荷分布在圓柱面上）2πrh=ε01σ2πRhE2R0·=E.dSsòòqε0高斯面rr＜R（高斯面作在圓柱面內(nèi)）r＞R（高斯面作在圓柱面外）rhh等式左邊等式右邊E20ε=rσR得：求電勢的分布：R0·高斯面rrhE1=0（r＜R）E20ε=rσR（r＞R）電場強(qiáng)度的分布：（r＜R）=V1E.drR0ò1=0因?yàn)轭}設(shè)中心軸為電勢零點(diǎn)所以積分從R積到0=·òrREdr2＋·òR0E1drV=2·òrREdr（r＞R）20ε=òrRdrrσRln=rσR0εR例題：真空中有一段帶電的導(dǎo)線，如圖所示,已知電荷線密度為λ，求該帶電導(dǎo)線對(duì)圓心0

的電場強(qiáng)度的貢獻(xiàn)和電勢的大小。已知：AB的長度＝DE的長度解：建立坐標(biāo)和作圖分析∵AB、DE帶電直線對(duì)0點(diǎn)對(duì)稱又∵BCD帶電部分相對(duì)于y軸對(duì)稱RABCDE0·RABCDE0·yx＝E0＋EABEBCDEDE＋∴EABEDE＋＝0EABEDE∴Ex＝0x軸方向抵消∴E0＝Eydòy軸方向疊加dlθdEdEydExdθ再求帶電導(dǎo)線對(duì)圓心0的電勢：πEε=R241q0ddπεR24θ0dRλ=∵E0＝Eydòy軸方向疊加sinθ＝Eydò＝òdE-πεR24θ0dRλsinθ＝ò-π0πεR20λ=－RABCDE0·yxdlθdEdEydExdθEABEDEπεR20λ=－E0j帶電導(dǎo)線對(duì)圓心0的電場強(qiáng)度的貢獻(xiàn)電荷元對(duì)圓心0的電場強(qiáng)度的貢獻(xiàn)：d

λdlq＝λRθd＝BCD帶電部分的電勢=4ε0λddxλldq

=V=επx4q0ddVVAB=òdVDE=l2ε04λn=òR2R=επx4x0dλπddlλldq

=V=επR4q0dd=επR4l0dλVòdVBCD=επR4l0dλ=ò0πRRABCDE0·xxdxVBCD2VDE=V0＋根據(jù)電勢的疊加原理=＋ε2l20λnπ4ε0λ例題：如圖所示，一個(gè)帶有－q的點(diǎn)電荷，位于半徑是R的帶有＋Q電量的球面中心0處，試求（1）電場強(qiáng)度的分布（2）電勢的分布情況。（練習(xí)冊(cè)P4計(jì)算題3）＋＋＋＋＋Q·－qR0＋＋＋分析：此類題目要用高斯定理和電勢的定義來做。設(shè)：帶電球面內(nèi)部為1區(qū)，帶電球面外部為2區(qū)求：（1）場強(qiáng)分布由高斯定理：=E.dSsòòqε0（在球面內(nèi)1區(qū)作高斯面）r＜Rr高斯面Er24π＝ε0－q1r24πE1=ε0－q再由