初中數(shù)學反思兩則

第第頁初中數(shù)學反思兩則

田載今〔人民教育出版社〕

一、中學數(shù)學中函數(shù)概念的核心地位與概念的核心

函數(shù)是從數(shù)量關系的角度描述運動改變規(guī)律的數(shù)學概念，是從數(shù)學角度反映千變萬化的世界的重要模型。

從數(shù)學科學本身看，函數(shù)概念的產生是數(shù)學進展的重要里程碑。初等數(shù)學與高等數(shù)學的重要分界是：前者基本上是常量數(shù)學，而后者那么主要是變量數(shù)學，而變量數(shù)學的主要討論對象基本上都是以函數(shù)形式呈現(xiàn)的。綜觀今日的數(shù)學，其中一個重要的基礎分支數(shù)學分析的主要討論對象就是函數(shù)，其余眾多分支中哪一個又不是以相關函數(shù)作為重要內容呢？函數(shù)已成為整個數(shù)學的一個核心概念。

從數(shù)學教育角度看，函數(shù)無疑也是中學數(shù)學課程的一個核心概念。在學習函數(shù)概念之前，數(shù)學課程中基本是爭論靜態(tài)的數(shù)學問題，教學中引入函數(shù)概念，不僅使爭論內容增加了運動改變的問題，而且提供了居高臨下重新認識已學內容的觀點，使得中同學頭腦中的數(shù)學知識體系的得到擴大與提升；對基本初等函數(shù)的學習，使中同學的數(shù)學思維更為活躍；函數(shù)圖象是使中同學體會數(shù)形結合的思想方法的典型范例；三角函數(shù)成為中同學討論三角形以及周期改變的重要工具；解析幾何中曲線的方程f(*,y)=0事實上是隱函數(shù)，它使中同學看到解析式與幾何圖形的親密聯(lián)系；以爭論函數(shù)改變率為基礎的初等微積分使同學初步掀開高等數(shù)學的面紗；概率密度等使中同學見識到函數(shù)在討論或然性問題時的作用……綜觀中學數(shù)學內容，一個顯著的結論是：函數(shù)是個綱，綱舉目張。

同學第一次學習函數(shù)在中學階段。中學數(shù)學中要學習函數(shù)的概念、正反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)和銳角三角函數(shù)等，這些內容在中學數(shù)學中無論數(shù)量還是影響力都居于重要地位，函數(shù)概念是其中的基礎。

回顧函數(shù)概念的形成與進展歷程，可以發(fā)覺，函數(shù)的產生來自討論變量的需要。早在17世紀，伽利略、笛卡爾等科學巨匠已留意到一個變量對另一個變量的依靠關系。牛頓、萊布尼茲創(chuàng)立微積分時雖未給函數(shù)下明確的定義，但事實上已形成對變量之間的對應關系的關注。18世紀時函數(shù)被認為是由變量*和常量構成的式子。約翰?貝努利對函數(shù)概念進行了定義：“由任一變量和常數(shù)的任一形式所構成的量?！睔W拉把約翰?貝努利給出的函數(shù)定義稱為解析函數(shù)，并進一步把它根據式子中含有的運算種類區(qū)分為代數(shù)函數(shù)和超越函數(shù)。19世紀時人們對函數(shù)的認識進展到強調對應關系?？挛鹘o函數(shù)的定義是：“在某些變數(shù)間存在著肯定的關系，當一經給定其中某一變數(shù)的值，其他變數(shù)的值可隨著而確定時，那么將最初的變數(shù)叫自變量，其他各變數(shù)叫做函數(shù)?！备道锶~發(fā)覺函數(shù)也可以用曲線表示，也可以用式子表示，使對函數(shù)的認識跳出式子的限制。狄里克雷指出：“對于在某區(qū)間上的每一個確定的*值，y都有確定的值，那么y叫做*的函數(shù)?！碑敿险撛跀?shù)學中占有重要地位之后，維布倫用“集合”之間的“對應”給出了近代函數(shù)定義，使得函數(shù)概念具有三個要素即對應關系、定義域及值域。20世紀后，現(xiàn)代函數(shù)概念──“集合之間的映射”方式定義形成，即“假設存在集合M到N的一個影射f，那么稱在集合M上定義一個函數(shù)，記為y=f(*)，其中*是M的任一元素，y是*在N中的像?！痹诠诺浞治鲋械暮瘮?shù)概念是指兩個數(shù)集之間所建立的一種對應關系?，F(xiàn)代數(shù)學的進展卻要求建立兩個任意集合之間的某種對應關系。

現(xiàn)在中學所學的函數(shù)定義為：“在一個改變過程中，假如有兩個變量*和y，并且對于*的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與它對應，那么稱*為自變量，y為*的函數(shù)。”分析這個定義對函數(shù)概念內涵的文字描述，可以發(fā)覺它強調了近代函數(shù)定義中的“對應”，并且明確是“y對*是單值對應”，這又是汲取了現(xiàn)代函數(shù)概念中對“映射”的要求，但是沒有從“集合”角度描述函數(shù)，因而未明確涉及定義域及值域。由此可知，現(xiàn)在中學數(shù)學中的函數(shù)定義的核心，是函數(shù)概念三個要素中的對應關系，并且明確其為“單值對應”關系。

函數(shù)是一個抽象概括程度很高的概念，學習它需要一個逐步深入的理解過程，中學階段對它的認識是初步的。在沒有“集合”“映射”這些知識基礎時，對于函數(shù)的認識應當是通過一些詳細例子，重點體會變量間的“單值對應”關系。例如，運用y=2*，y=3*+1，y=*2等正例，以及如這樣的反例。要以正例為主，反例是少量而典型的，起對比反襯作用。對于自變量的取值范圍〔定義域〕、值域等應先不作過多爭論，以免分散對概念的核心的認識。由于初步學習函數(shù)概念時強調的是改變中的對應，所以對于常值函數(shù)y=f(*)=c〔常數(shù)〕，似也不必過早涉及，由于同學剛接觸常量與變量的概念，往往不易理解常值函數(shù)y是非常的變量，更不可能在映射的高度上認識函數(shù)概念中的“對應”可以是“多對一”的形式〔這時并不強調y肯定是變量〕。這些問題都可以在以后的學習中間續(xù)解決，不宜操之過急。追求一步到位，反而會干擾本階段的主攻方向，造成欲速那么不達的后果。

本次研討活動中，與會者對“函數(shù)是中學數(shù)學課程中的核心概念”和“中學數(shù)學中函數(shù)概念的核心是‘單值對應’”取得基本全都的看法，至于在教學中如何使同學學好函數(shù)概念，那么需要設計適合同學實際的方案，這將是不拘一格、見仁見智的。

二、信息技術工具的運用提高函數(shù)圖象的教學效果

利用函數(shù)圖象的直觀性，認識函數(shù)的性質，是討論函數(shù)的一種途徑，它表達了數(shù)形結合這一重要的數(shù)學思想和方法。

正比例函數(shù)y=k*〔k是常數(shù)，〕，是中同學正式學習的第一類詳細函數(shù)，如何引導同學認識它的圖象呢？人教版教科書的做法是；先用描點法畫函數(shù)y=2*和y=-2*的圖象，再引導同學從中發(fā)覺規(guī)律，即正比例函數(shù)的圖象是一條過原點的直線，當k0時，直線從左向右經過第三、一象限；當k0時，直線從左向右經過第二、四象限。這個規(guī)律中包含了兩個內容：①正比例函數(shù)圖象的外形〔一條直線〕；②正比例函數(shù)圖象的位置〔經過原點和兩個象限〕。

描點法作函數(shù)y=k*的圖象的步驟是：先描出假設干個點；再將描出的點連成平滑曲線。實際作圖中，無論描出多少個點，點的個數(shù)都是有限多的。這就產生了一個疑問：僅由有限多個描出的點在同一貫線上，就能確定全部點都在這一貫線上嗎？要解答這個問題，顯著不能靠實際畫圖，而要靠規(guī)律推理。推理的過程大體為：先過點O(0,0)和P(l,k)作直線l，再進行兩方面的推導，即①l上的任意一點Q的坐標(*,y)滿意關系y=k*；②坐標滿意關系y=k*的任意一點M(*,y)在l上。

為什么人教版教科書沒有對正比例函數(shù)圖象的外形進行嚴格的推理呢？可以看出：第一，這樣的推理涉及曲線與方程關系中的純粹性和完備性兩個方面，而對于中學同學來說這些較難理解；第二，這樣的推理要利用相像形的知識，而相像形是中學幾何中靠后面的內容，如把正比例函數(shù)安排在相像形后面，那么在中學數(shù)學教材體系中函數(shù)內容的涌現(xiàn)有些過遲。因此，教科書采納了前面所說的用不完全歸納法引出正比例函數(shù)圖象的外形。這種不完全歸納法包括兩重意思：①由描出的滿意y=2*〔或y=-2*〕的某些〔非常〕點在同一貫線上，引出滿意y=2*〔或y=-2*〕的全部〔一般〕點在同一貫線上；②由y=2*和y=-2*這些的詳細〔非?！车恼壤瘮?shù)的圖象是直線，引出抽象〔一般〕的正比例函數(shù)y=k*的圖象是直線。很明顯，這種歸納雖是一種認識方式，但不是嚴謹?shù)耐评矸绞?。在當前的中學實際教學中，要提高同學對正比例函數(shù)圖象是直線的信度，就要增加所觀測的非常對象的數(shù)量，即對詳細函數(shù)y=2*〔或y=-2*〕要盡可能多描出一些點，對y=k*中的k要盡可能多取一些詳細值并作相應函數(shù)的圖象。但是，這樣做無疑在教學過程中又會占用較多時間和精力，影響教學效率。如何解決這個沖突呢？

本次課題討論活動中，授課老師的做法啟發(fā)我們：利用信息技術工具，可以較為有效地解決上述問題。利用計算機的計算和作圖功能，不占用許多時間就可以做到：①描出許多滿意某個正比例函數(shù)的離散的點，使這些點排列得很稠密，從而提高對這個函數(shù)的圖象是一條直線的信度；②對變換多個詳細取值，得出多條直線，從而提高對每個正比例函數(shù)的圖象都是一條直線的信度。借助計算機提高同學認識正比例函數(shù)的圖象的效果，這種做法又一次說明，現(xiàn)代信息技術可以改進教學手段，更快、更多、更活、更好地展示課程學習內容，為提高教學效率提供了更寬闊的空間。為此，我們還需要結合學科特點與教學內容，對如何充分發(fā)揮計算機的作用，進行更深入的研討。

計算機幫助教學的一個突出優(yōu)點是加強了直觀性，這對于學習抽象內容有很大援助。然而，培育抽象思維技能也是數(shù)學學習的一項任務。數(shù)學教學中并非只要直觀，不要抽象。雖然，利用計算機可以更有效地引導同學認識正比例函數(shù)圖象的外形及位置，使同學能一目了然地看到詳細的正比例函數(shù)圖象；但是，教學中不應讓同學的認識僅僅停留在觀測、猜想階段，還應適當上升到推理的層次，當然這種推理需要是同學可接受的。例如，關于正比例函數(shù)圖象的位置，雖然可以從詳細函數(shù)的圖象中觀測，但是仍有須要讓同學考慮這樣的問題：為什么正比例函數(shù)的圖象肯定經過原點？當k0時，為什么函數(shù)y=k*的圖象只經過第三、一