九年級(jí)數(shù)學(xué)講義-2213二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

九年級(jí)數(shù)學(xué)講義-2213二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)目錄contents二次函數(shù)基本概念與性質(zhì)二次函數(shù)圖象變換規(guī)律二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系二次函數(shù)在實(shí)際問題中應(yīng)用舉例典型例題解析及思路拓展課堂小結(jié)與課后作業(yè)布置01二次函數(shù)基本概念與性質(zhì)形如$y=ax^2+bx+c$（$aneq0$）的函數(shù)稱為二次函數(shù)。二次函數(shù)定義二次函數(shù)的一般表達(dá)式為$y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、$c$為常數(shù)，且$aneq0$。二次函數(shù)表達(dá)式在二次函數(shù)中，$a$稱為二次項(xiàng)系數(shù)，$b$稱為一次項(xiàng)系數(shù)，$c$稱為常數(shù)項(xiàng)。二次函數(shù)系數(shù)二次函數(shù)定義及表達(dá)式對(duì)稱軸二次函數(shù)的圖象關(guān)于直線$x=-frac{2a}$對(duì)稱，該直線稱為拋物線的對(duì)稱軸。拋物線形狀二次函數(shù)的圖象是一條拋物線，其開口方向由二次項(xiàng)系數(shù)$a$決定。當(dāng)$a>0$時(shí)，拋物線開口向上；當(dāng)$a<0$時(shí)，拋物線開口向下。頂點(diǎn)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為$left(-frac{2a},c-frac{b^2}{4a}right)$，該點(diǎn)也是拋物線的最值點(diǎn)。二次函數(shù)圖象特征單調(diào)性當(dāng)$a>0$時(shí)，二次函數(shù)在區(qū)間$(-infty,-frac{2a}]$上單調(diào)遞減，在區(qū)間$[-frac{2a},+infty)$上單調(diào)遞增；當(dāng)$a<0$時(shí)，二次函數(shù)在區(qū)間$(-infty,-frac{2a}]$上單調(diào)遞增，在區(qū)間$[-frac{2a},+infty)$上單調(diào)遞減。最值當(dāng)$a>0$時(shí)，二次函數(shù)有最小值$c-frac{b^2}{4a}$，無最大值；當(dāng)$a<0$時(shí)，二次函數(shù)有最大值$c-frac{b^2}{4a}$，無最小值。零點(diǎn)二次函數(shù)的零點(diǎn)即為一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根。根據(jù)判別式$Delta=b^2-4ac$的大小關(guān)系，可以確定二次函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)及分布情況。二次函數(shù)性質(zhì)總結(jié)02二次函數(shù)圖象變換規(guī)律0102平移變換規(guī)律當(dāng)二次函數(shù)的圖象沿y軸向上（下）平移h個(gè)單位時(shí)，其函數(shù)表達(dá)式中的y替換為y+h（y-h）。當(dāng)二次函數(shù)的圖象沿x軸向左（右）平移k個(gè)單位時(shí)，其函數(shù)表達(dá)式中的x替換為x+k（x-k）。當(dāng)二次函數(shù)的圖象在x軸方向上伸縮a倍時(shí)，其函數(shù)表達(dá)式中的x替換為ax。當(dāng)二次函數(shù)的圖象在y軸方向上伸縮b倍時(shí)，其函數(shù)表達(dá)式中的y替換為by。伸縮變換規(guī)律二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，即當(dāng)x取相反數(shù)時(shí)，函數(shù)值不變。二次函數(shù)y=a(x-h)^2+k的圖象關(guān)于直線x=h對(duì)稱，即當(dāng)x=h時(shí)，函數(shù)取得最值k。若二次函數(shù)的圖象既關(guān)于y軸對(duì)稱又關(guān)于直線x=h對(duì)稱，則該函數(shù)為偶函數(shù)，且對(duì)稱軸為y軸。對(duì)稱變換規(guī)律03二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系通過配方將一元二次方程轉(zhuǎn)化為完全平方形式，進(jìn)而求解。配方法公式法因式分解法利用一元二次方程的求根公式直接求解。將一元二次方程進(jìn)行因式分解，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程求解。030201一元二次方程求解方法回顧當(dāng)$b^2-4ac>0$時(shí)，二次函數(shù)圖象與$x$軸有兩個(gè)交點(diǎn)，對(duì)應(yīng)一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)$b^2-4ac=0$時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn)（重根），對(duì)應(yīng)一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)$b^2-4ac<0$時(shí)，無交點(diǎn)，對(duì)應(yīng)一元二次方程無實(shí)數(shù)根。二次函數(shù)$y=ax^2+bx+c$（$aneq0$）與對(duì)應(yīng)的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有密切關(guān)系。二次函數(shù)的圖象與$x$軸的交點(diǎn)即為對(duì)應(yīng)一元二次方程的根。二次函數(shù)與一元二次方程對(duì)應(yīng)關(guān)系通過觀察二次函數(shù)的圖象，可以直接得到對(duì)應(yīng)一元二次方程的根的情況。當(dāng)圖象與$x$軸有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，該交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的重根。當(dāng)圖象與$x$軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可以通過測量或計(jì)算得到兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根。當(dāng)圖象與$x$軸無交點(diǎn)時(shí)，說明方程無實(shí)數(shù)根。利用二次函數(shù)圖象解一元二次方程04二次函數(shù)在實(shí)際問題中應(yīng)用舉例建模步驟確定自變量和因變量，通常自變量為時(shí)間、數(shù)量等，因變量為利潤。根據(jù)題意列出二次函數(shù)關(guān)系式，通常利潤與自變量之間存在二次函數(shù)關(guān)系。利潤最大化問題建模與求解利用二次函數(shù)的性質(zhì)，找到最大值點(diǎn)，即利潤最大化點(diǎn)。利潤最大化問題建模與求解將二次函數(shù)關(guān)系式配方成頂點(diǎn)式，直接讀出頂點(diǎn)坐標(biāo)，得到最大值。配方法利用二次函數(shù)的頂點(diǎn)公式，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，得到最大值。公式法利潤最大化問題建模與求解建模步驟確定自變量和因變量，通常自變量為長度、寬度等，因變量為面積。根據(jù)題意列出二次函數(shù)關(guān)系式，通常面積與自變量之間存在二次函數(shù)關(guān)系。面積最大化問題建模與求解利用二次函數(shù)的性質(zhì)，找到最大值點(diǎn)，即面積最大化點(diǎn)。面積最大化問題建模與求解將二次函數(shù)關(guān)系式配方成頂點(diǎn)式，直接讀出頂點(diǎn)坐標(biāo)，得到最大值。利用二次函數(shù)的頂點(diǎn)公式，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，得到最大值。面積最大化問題建模與求解公式法配方法建模步驟仔細(xì)閱讀題目，理解題意，確定自變量和因變量。根據(jù)題意列出二次函數(shù)關(guān)系式。其他實(shí)際問題建模與求解利用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解。求解方法根據(jù)具體問題選擇合適的求解方法，如配方法、公式法等。注意實(shí)際問題中自變量的取值范圍，確保解符合實(shí)際情況。01020304其他實(shí)際問題建模與求解05典型例題解析及思路拓展第二季度第一季度第四季度第三季度例題1解析例題2解析典型例題解析已知二次函數(shù)$y=ax^2+bx+c$的圖象經(jīng)過點(diǎn)$A(1,0)$，$B(2,0)$，$C(3,4)$，求該二次函數(shù)的解析式。根據(jù)已知條件，可以設(shè)該二次函數(shù)的解析式為$y=a(x-1)(x-2)$。將點(diǎn)$C(3,4)$的坐標(biāo)代入解析式，得到$4=a(3-1)(3-2)$，解得$a=2$。因此，該二次函數(shù)的解析式為$y=2(x-1)(x-2)$。已知二次函數(shù)$y=x^2-2x-3$，求該函數(shù)在區(qū)間$[-1,4]$上的最大值和最小值。首先，將該二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式$y=(x-1)^2-4$。由此可知，該函數(shù)的對(duì)稱軸為直線$x=1$，頂點(diǎn)坐標(biāo)為$(1,-4)$。在區(qū)間$[-1,4]$上，當(dāng)$x=1$時(shí)，函數(shù)取得最小值$y_{text{min}}=-4$；當(dāng)$x=4$時(shí)，函數(shù)取得最大值$y_{text{max}}=5$。思路拓展與舉一反三對(duì)于一般形式的二次函數(shù)$y=ax^2+bx+c$，我們可以通過配方的方法將其化為頂點(diǎn)式$y=a(x-h)^2+k$，從而更容易地找出函數(shù)的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)。這對(duì)于解決與二次函數(shù)圖象和性質(zhì)相關(guān)的問題非常有幫助。拓展1在解決二次函數(shù)的最值問題時(shí)，我們需要注意函數(shù)的定義域和值域。如果函數(shù)的定義域受到限制（例如在一個(gè)特定的區(qū)間內(nèi)），則我們需要考慮端點(diǎn)處的函數(shù)值以及對(duì)稱軸上的函數(shù)值來確定最值。此外，我們還需要注意二次函數(shù)的開口方向（由系數(shù)$a$決定），以確定函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性。拓展206課堂小結(jié)與課后作業(yè)布置010204課堂小結(jié)回顧本節(jié)課重點(diǎn)內(nèi)容二次函數(shù)的定義和一般形式二次函數(shù)的圖象：拋物線拋物線的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)