2024年新高考數(shù)學一輪復(fù)習知識梳理與題型歸納第22講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)學生版

第22講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)思維導圖知識梳理1．用五點法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖(1)“五點法”作圖原理：在正弦函數(shù)y＝sinx，x∈[0,2π]的圖象上，五個關(guān)鍵點是：(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．在余弦函數(shù)y＝cosx，x∈[0,2π]的圖象上，五個關(guān)鍵點是：(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1).(2)五點法作圖的三步驟：列表、描點、連線(注意光滑)．2．正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象定義域RReq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x∈R，且x≠kπ＋\f(π,2)))，k∈Z))值域[－1,1][－1,1]R奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))(k∈Z)上是遞增函數(shù)，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3π,2)＋2kπ))(k∈Z)上是遞減函數(shù)在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是遞增函數(shù)，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是遞減函數(shù)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))(k∈Z)上是遞增函數(shù)周期性周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π對稱性對稱軸是x＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)，對稱中心是(kπ，0)(k∈Z)對稱軸是x＝kπ(k∈Z)，對稱中心是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))(k∈Z)對稱中心是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))(k∈Z)題型歸納題型1三角函數(shù)的定義域【例1-1】函數(shù)的定義域為A．， B．， C．， D．，【例1-2】函數(shù)的定義域是．【跟蹤訓練1-1】函數(shù)的定義域為A． B． C． D．【跟蹤訓練1-2】函數(shù)的定義域為．【名師指導】1．三角函數(shù)定義域的求法(1)以正切函數(shù)為例，應(yīng)用正切函數(shù)y＝tanx的定義域求函數(shù)y＝Atan(ωx＋φ)的定義域轉(zhuǎn)化為求解簡單的三角不等式．(2)求復(fù)雜函數(shù)的定義域轉(zhuǎn)化為求解簡單的三角不等式．2．簡單三角不等式的解法(1)利用三角函數(shù)線求解．(2)利用三角函數(shù)的圖象求解．題型2三角函數(shù)的值域（最值）【例2-1】函數(shù)在區(qū)間上的值域為．【例2-2】函數(shù)的值域是．【跟蹤訓練2-1】函數(shù)的值域是A．， B．， C．， D．，【跟蹤訓練2-2】函數(shù)，，的值域是．【名師指導】求三角函數(shù)的值域(最值)的3種類型及解法思路(1)形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函數(shù)化為y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求值域(最值)；(2)形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函數(shù)，可先設(shè)sinx＝t，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)；(3)形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函數(shù)，可先設(shè)t＝sinx±cosx，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)；(4)對分式形式的三角函數(shù)表達式也可構(gòu)造基本不等式求最值．題型3三角函數(shù)的單調(diào)性【例3-1】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是A． B． C． D．【例3-2】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是A． B． C． D．【例3-3】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．【例3-4】已知函數(shù)在區(qū)間，（其中上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C．， D．，【跟蹤訓練3-1】函數(shù)的一個單調(diào)遞減區(qū)間是A． B． C． D．【跟蹤訓練3-2】函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是A． B． C． D．【跟蹤訓練3-3】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是A． B． C． D．【跟蹤訓練3-4】已知函數(shù)為正整數(shù)）在區(qū)間上單調(diào)，則的最大值為．【跟蹤訓練3-5】已知，函數(shù)在，上單調(diào)遞減，則的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【名師指導】1.求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法求函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間，可利用換元法轉(zhuǎn)化為兩個簡單函數(shù)(t＝ωx＋φ與y＝Asint)進行求解，應(yīng)注意ω的符號對復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的影響，牢記基本法則——同增異減．準確記憶基本結(jié)論：函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間單調(diào)遞減區(qū)間y＝sinxeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))(k∈Z)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3π,2)＋2kπ))(k∈Z)y＝cosx[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)y＝tanxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))(k∈Z)無2.已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)(1)明確一個不同：“函數(shù)f(x)在區(qū)間M上單調(diào)”與“函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間為N”兩者的含義不同，顯然M是N的子集．(2)抓住兩種方法．已知函數(shù)在區(qū)間M上單調(diào)求解參數(shù)問題，主要有兩種方法：一是利用已知區(qū)間與單調(diào)區(qū)間的子集關(guān)系建立參數(shù)所滿足的關(guān)系式求解；二是利用導數(shù)，轉(zhuǎn)化為導函數(shù)在區(qū)間M上的保號性，由此列不等式求解．題型4三角函數(shù)的周期性、奇偶性、對稱性【例4-1】函數(shù)的最小正周期是A． B． C． D．【例4-2】函數(shù)是上的偶函數(shù)，則的值是A．0 B． C． D．【例4-3】已知點為函數(shù)圖象的一個對稱中心，則實數(shù)A． B． C． D．【例4-4】已知函數(shù)，則函數(shù)的圖象的對稱軸方程為A． B． C． D．【跟蹤訓練4-1】設(shè)函數(shù)在，的圖象大致如圖，則的最小正周期為A． B． C． D．【跟蹤訓練4-2】下列函數(shù)中，周期為，且在，上單調(diào)遞減的是A． B． C． D．【跟蹤訓練4-3】函數(shù)的最小正周期為．【跟蹤訓練4-4】函數(shù)是A．最小正周期為的奇函數(shù) B．最小正周期為的奇函數(shù) C．最小正周期為的偶函數(shù) D．最小正周期為的偶函數(shù)【跟蹤訓練4-5】已知函數(shù)，是偶函數(shù)，且在，上是減函數(shù)，則，的最大值是．【跟蹤訓練4-6】已知函數(shù)是偶函數(shù)，則的最小值是．【跟蹤訓練4-7】已知函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，則函數(shù)在區(qū)間，上零點的個數(shù)為A．1 B．2 C．3 D．4【跟蹤訓練4-8】下列是函數(shù)圖象的對稱軸方程的是A． B． C． D．【名師指導】1．三角函數(shù)最小正周期的求解方法(1)定義法；(2)公式法：函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期T＝eq\f(2π,|ω|)，函數(shù)y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝eq\f(π,|ω|)；(3)圖象法：求含有絕對值符號的三角函數(shù)的周期時可畫出函數(shù)的圖象，通過觀察圖象得出周期．2．有關(guān)周期的2個結(jié)論(1)函數(shù)y＝|Asin(ωx＋φ)|，y＝|Acos(ωx＋φ)|，y＝|Atan(ωx＋φ)|的周期均為T＝eq\f(π,|ω|).(2)函數(shù)y＝|Asin(ωx＋φ)＋b|(b≠0)，y＝|Acos(ωx＋φ)＋b|(b≠0)的周期均為T＝eq\f(2π,|ω|).3．若y＝f(ωx＋φ)為奇函數(shù)，則當x＝0時，y＝0；若y＝f(ωx＋φ)為偶函數(shù)，則當x＝0時，y取最大值或最小值．4.求對稱軸方程(對稱中心坐標)的方法(1)求f(x)＝Asin(ωx＋φ)圖象的對稱軸方程，只需對ωx＋φ＝eq\