【壓軸專練】專題02 數(shù)軸上的三種動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題（解析版）-2021-2022學(xué)年七上壓軸題攻略

專題02數(shù)軸上的三種動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題數(shù)軸的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，無(wú)論在平時(shí)練習(xí)，還是月考，期中期末考試中屬于壓軸題的版塊，其過(guò)程復(fù)雜，情況多變。那么，本專題對(duì)其中常考的三種題型（求時(shí)間、求距離或者對(duì)應(yīng)點(diǎn)、定值問(wèn)題）做出詳細(xì)分析與梳理?！局R(shí)點(diǎn)梳理】1.數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)表示的數(shù)為分別為a、b，則A與B間的距離AB=|a－b|；2.數(shù)軸上點(diǎn)移動(dòng)規(guī)律數(shù)軸上點(diǎn)向右移動(dòng)則數(shù)變大（增加），向左移動(dòng)數(shù)變小（減?。?；當(dāng)數(shù)a表示的點(diǎn)向右移動(dòng)b個(gè)單位長(zhǎng)度后到達(dá)點(diǎn)表示的數(shù)為a+b；向左移動(dòng)b個(gè)單位長(zhǎng)度后到達(dá)點(diǎn)表示的數(shù)為a－b.類型一、求時(shí)間例1．如圖在數(shù)軸上A點(diǎn)表示數(shù)a，B點(diǎn)表示數(shù)b，a、b滿足|a+2|+|b﹣8|＝0（1）點(diǎn)A表示的數(shù)為；點(diǎn)B表示的數(shù)為；（2）若在原點(diǎn)O處放一擋板，一小球甲從點(diǎn)A處以1個(gè)單位/秒的速度向左運(yùn)動(dòng)；同時(shí)另一小球乙從點(diǎn)B處以2個(gè)單位/秒的速度也向左運(yùn)動(dòng)，在碰到擋板后（忽略球的大小，可看作一點(diǎn)）以原來(lái)的速度向相反的方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒），①當(dāng)t＝1時(shí)，甲小球到原點(diǎn)的距離＝；乙小球到原點(diǎn)的距離＝；當(dāng)t＝5時(shí)，甲小球到原點(diǎn)的距離＝；乙小球到原點(diǎn)的距離＝；②試探究：甲，乙兩小球到原點(diǎn)的距離可能相等嗎？若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．若能，請(qǐng)直接寫出甲，乙兩小球到原點(diǎn)的距離相等時(shí)經(jīng)歷的時(shí)間．【答案】（1）-2，8；（2）①3，6；7，2；②可能，2秒或10秒【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性求解即可；（2）①首先求出甲、乙兩球運(yùn)動(dòng)的路程，再根據(jù)它的初始位置求解即可；②分兩種情況：乙球碰到擋板前和乙球碰到擋板后，分別建立方程求解即可．【詳解】（1）∵|a+2|+|b﹣8|＝0，，，∴點(diǎn)A表示的數(shù)為-2；點(diǎn)B表示的數(shù)為8；（2）∵一小球甲從點(diǎn)A處以1個(gè)單位/秒的速度向左運(yùn)動(dòng)；同時(shí)另一小球乙從點(diǎn)B處以2個(gè)單位/秒的速度也向左運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)t＝1時(shí)，甲小球運(yùn)動(dòng)的路程為個(gè)單位，乙小球運(yùn)動(dòng)的路程為個(gè)單位，∴當(dāng)t＝1時(shí)，甲小球到原點(diǎn)的距離為；乙小球到原點(diǎn)的距離為；同理，當(dāng)t＝5時(shí)，甲小球運(yùn)動(dòng)的路程為個(gè)單位，乙小球運(yùn)動(dòng)的路程為個(gè)單位，此時(shí)乙小球會(huì)碰到擋板而向相反的方向運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)t＝5時(shí)，甲小球到原點(diǎn)的距離為；乙小球到原點(diǎn)的距離為；②∵點(diǎn)B表示的數(shù)為8，乙小球的速度為2個(gè)單位/秒，∴乙小球碰到擋板所用的時(shí)間為（秒），當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間小于等于4秒時(shí)，，解得；當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間大于4秒時(shí)，，解得，∴甲，乙兩小球到原點(diǎn)的距離可能相等，甲，乙兩小球到原點(diǎn)的距離相等時(shí)經(jīng)歷的時(shí)間為2秒或10秒．【變式訓(xùn)練1】如圖，有兩條線段，（單位長(zhǎng)度），（單位長(zhǎng)度）在數(shù)軸上，點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)是-12，點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)是15．（1）點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)是______，點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)是______，線段的長(zhǎng)=______；（2）若線段以1個(gè)單位長(zhǎng)度秒的速度向右勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)線段以2個(gè)單位長(zhǎng)度秒的速度向左勻速運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)是多少？（3）若線段以1個(gè)單位長(zhǎng)度秒的速度向左勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)線段以2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度也向左勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，當(dāng)為何值時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為1個(gè)單位長(zhǎng)度？【答案】-10，14，24；(2)-2；(3)t=或【分析】(1)根據(jù)AB、CD的長(zhǎng)度結(jié)合點(diǎn)A、D在數(shù)軸上表示的數(shù)，即可求出點(diǎn)B、C在數(shù)軸上表示的數(shù)，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出線段BC的長(zhǎng)度；(2)設(shè)相遇時(shí)間為a,分別用a表示出相遇時(shí)B、C兩點(diǎn)所表示的數(shù),讓其相等即可求出;(3)分線段AB與線段CD在相遇之前與相遇之后兩種情況，利用兩點(diǎn)間的距離公式結(jié)合BC=1，得出關(guān)于t的的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；【詳解】（1）∵AB=2，點(diǎn)A在數(shù)軸上表示的數(shù)是-12，∴點(diǎn)B在數(shù)軸上表示的數(shù)是-12+2=-10；

∵CD=1，點(diǎn)D在數(shù)軸上表示的數(shù)是15，∴點(diǎn)C在數(shù)軸上表示的數(shù)是15-1=14．∴BC=14-（-10）=24．

故答案為：-10，14，24；

（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為a秒時(shí)B、C相遇，此時(shí)點(diǎn)B在數(shù)軸上表示的數(shù)為-10+a，點(diǎn)C在數(shù)軸上表示的數(shù)為14-2a∵B、C重合，∴-10+a=14-2a，解得a=8此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)是-10+a=-10+8=-2；故答案為：-2(3)當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，點(diǎn)B在數(shù)軸上表示的數(shù)為-10+t，點(diǎn)C在數(shù)軸上表示的數(shù)為14-2t∴BC==∵BC=1，∴=1，∴t1=，t2=，綜上所述：當(dāng)BC=1時(shí)，t=或；【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，兩點(diǎn)間的距離，數(shù)軸等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)點(diǎn)與點(diǎn)之間的位置關(guān)系求出點(diǎn)B、C在數(shù)軸上表示的數(shù)．【變式訓(xùn)練2】如圖，A，B兩點(diǎn)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為a，b，且點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，|a|＝10，a＋b＝60，ab＜0．（1）求出a，b的值；（2）現(xiàn)有一只螞蟻P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)另一只螞蟻Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng)．①兩只螞蟻經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間相遇？②設(shè)兩只螞蟻在數(shù)軸上的點(diǎn)C處相遇，求點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的數(shù)；③經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，兩只螞蟻在數(shù)軸上相距30個(gè)單位長(zhǎng)度？【答案】（1）a＝﹣10，b＝70；（2）①兩只螞蟻經(jīng)過(guò)40秒長(zhǎng)時(shí)間相遇；②點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的數(shù)為150；③經(jīng)過(guò)25秒或55秒長(zhǎng)時(shí)間，兩只螞蟻在數(shù)軸上相距30個(gè)單位長(zhǎng)度．【分析】（1）根據(jù)兩個(gè)數(shù)乘積小于0說(shuō)明兩數(shù)異號(hào)即可求解；

（2）①根據(jù)相遇問(wèn)題列一元一次方程即可求解；

②根據(jù)路程=速度×?xí)r間，列出算式計(jì)算即可求解；

③分兩種情況討論：相遇前相距和相遇后相距30個(gè)單位長(zhǎng)度列一元一次方程即可求解．【詳解】解：（1）∵|a|＝10，∴a＝10或﹣10，∵ab＜0，∴a，b異號(hào)，∵a＋b＝60，當(dāng)a＝10時(shí)，b＝50，不合題意，舍去．當(dāng)a＝﹣10時(shí)，b＝70，符合題意．答：a＝﹣10，b＝70．（2）①設(shè)Q從B出發(fā)t秒與P相遇．根據(jù)題意得4t﹣2t＝80，解得t＝40．故兩只螞蟻經(jīng)過(guò)40秒長(zhǎng)時(shí)間相遇；②設(shè)兩只螞蟻在數(shù)軸上的點(diǎn)C處相遇，則點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的數(shù)為70+40×2＝150；③根據(jù)題意，得相遇前：4t﹣2t＝80﹣30，解得t＝25；相遇后：4t﹣2t＝80+30，解得t＝55．故經(jīng)過(guò)25秒或55秒長(zhǎng)時(shí)間，兩只螞蟻在數(shù)軸上相距30個(gè)單位長(zhǎng)度．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用、數(shù)軸以及絕對(duì)值的非負(fù)性，解題的關(guān)鍵是：（1）利用絕對(duì)值的非負(fù)性，求出a，b的值；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，分情況討論相遇前后的距離變化正確列出一元一次方程．【變式訓(xùn)練3】在數(shù)軸上，點(diǎn)A表示的數(shù)為a，點(diǎn)B表示的數(shù)為b，且|a+2|+（b﹣3）2＝0．（1）a＝，b＝；（2）在（1）的條件下，點(diǎn)A以每秒0.5個(gè)單位長(zhǎng)度沿?cái)?shù)軸向左移動(dòng)，點(diǎn)B以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度沿?cái)?shù)軸向右移動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到﹣4所在的點(diǎn)處時(shí)，求A、B兩點(diǎn)間距離；（3）在（2）的條件下，現(xiàn)A點(diǎn)靜止不動(dòng)，B點(diǎn)沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間A、B兩點(diǎn)相距3個(gè)單位長(zhǎng)度？【答案】（1）；（2）11；（3）經(jīng)過(guò)或時(shí)，A、B兩點(diǎn)相距3個(gè)單位長(zhǎng)度【分析】（1）利用非負(fù)性即可求解；（2）設(shè)秒時(shí)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到，求出所需時(shí)間，4秒后，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到，即求出兩點(diǎn)間距離；（3）分兩種情況進(jìn)行討論，即點(diǎn)需要運(yùn)動(dòng)到或處．【詳解】解：（1）根據(jù)絕對(duì)值與平方的非負(fù)性得，，，故答案是：；（2）設(shè)秒時(shí)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到，則，解得：，4秒后，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到，，即兩點(diǎn)間的距離為；（3）分別位于，要使A、B兩點(diǎn)相距3個(gè)單位長(zhǎng)度，則點(diǎn)需要運(yùn)動(dòng)到或處，設(shè)經(jīng)過(guò)秒，當(dāng)，解得：，當(dāng)，解得：，經(jīng)過(guò)或秒，A、B兩點(diǎn)相距3個(gè)單位長(zhǎng)度．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值和完全平方公式的非負(fù)性、數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題、數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行解答．類型二、求距離或?qū)?yīng)點(diǎn)例.如圖所示，在數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)是4，點(diǎn)位于點(diǎn)的左側(cè)，與點(diǎn)的距離是10個(gè)單位長(zhǎng)度．（1）點(diǎn)表示的數(shù)是，并在數(shù)軸上將點(diǎn)表示出來(lái)．（2）動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿著數(shù)軸的正方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)．經(jīng)過(guò)多少秒點(diǎn)與點(diǎn)的距離是2個(gè)單位長(zhǎng)度？（3）在（2）的條件下，點(diǎn)出發(fā)的同時(shí)，點(diǎn)也從點(diǎn)出發(fā)，沿著數(shù)軸的負(fù)方向，以1個(gè)單位每秒的速度運(yùn)動(dòng)．經(jīng)過(guò)多少秒，點(diǎn)到點(diǎn)的距離是點(diǎn)到點(diǎn)的距離的2倍？【答案】（1）-6，見(jiàn)解析；（2）經(jīng)過(guò)4秒或6秒點(diǎn)P與點(diǎn)A的距離是2個(gè)單位長(zhǎng)度；（3）經(jīng)過(guò)秒或6秒，點(diǎn)Q到點(diǎn)B的距離是點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離的2倍．【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離為10，計(jì)算后即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)題意可由點(diǎn)P在A點(diǎn)的左側(cè)和右側(cè)可列方程，求解后即可得到結(jié)論；

（3）根據(jù)題意列方程即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）10-4=6，

∵點(diǎn)B位于點(diǎn)A的左側(cè)，∴點(diǎn)B表示的數(shù)是-6，故答案為：-6．

在數(shù)軸上將點(diǎn)B表示如圖所示：

（2）設(shè)經(jīng)過(guò)t秒點(diǎn)P與點(diǎn)A的距離是2個(gè)單位長(zhǎng)度，

∴當(dāng)點(diǎn)P在A點(diǎn)左側(cè)時(shí)，可得2t+2=10，則t=4，當(dāng)點(diǎn)P在A點(diǎn)右側(cè)時(shí)，可得2t-2=10，則t=6，

∴經(jīng)過(guò)4秒或6秒點(diǎn)P與點(diǎn)A的距離是2個(gè)單位長(zhǎng)度；

（3）設(shè)經(jīng)過(guò)t秒，點(diǎn)Q到點(diǎn)B的距離是點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離的2倍，

∴當(dāng)點(diǎn)P在A點(diǎn)左側(cè)時(shí)，可得2（10-2t）=10-t，則t=，當(dāng)點(diǎn)P在A點(diǎn)右側(cè)時(shí)，可得2（2t-10）=|10-t|，則t=6或t=（舍），

∴經(jīng)過(guò)秒或6秒，點(diǎn)Q到點(diǎn)B的距離是點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離的2倍．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用、數(shù)軸等知識(shí)，根據(jù)數(shù)量關(guān)系得到一元一次方程是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】（知識(shí)儲(chǔ)備）（1）數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為a，若向右移動(dòng)m個(gè)長(zhǎng)度單位后表示的數(shù)是；若向左移動(dòng)n個(gè)長(zhǎng)度單位后表示的數(shù)是．（2）在數(shù)軸上A點(diǎn)表示數(shù)a，B點(diǎn)示數(shù)b，A在B的右邊，A、B兩點(diǎn)間的距離等于a-b．（解決問(wèn)題）已知數(shù)軸上兩點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為﹣3、1，點(diǎn)P為數(shù)軸上一動(dòng)點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的數(shù)為x．（1）若點(diǎn)P到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離相等，求點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)；（2）數(shù)軸上是否存在點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離之和為10？若存在，請(qǐng)求出x的值；若不存在，說(shuō)明理由；（3）現(xiàn)在點(diǎn)A、點(diǎn)B分別以2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒和0.5個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度同時(shí)向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P以6個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度同時(shí)從原點(diǎn)向左運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離為3個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，求點(diǎn)P所對(duì)應(yīng)的數(shù)是多少？【答案】【知識(shí)儲(chǔ)備】（1）a+m；a-n；【解決問(wèn)題】（1）點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)-1；（2）存在，x的值為4或-6；（3）點(diǎn)P所對(duì)應(yīng)的數(shù)是-4或-28．【詳解】解：知識(shí)儲(chǔ)備（1）根據(jù)向右移為加，向左移為減，得：a+m；a-n；解決問(wèn)題（1）如圖：∵點(diǎn)P到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離相等，∴，∵（點(diǎn)P在點(diǎn)A右邊），（點(diǎn)B在點(diǎn)P右邊），∴，解得：，∴點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)為.解決問(wèn)題（2）如圖：點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離為PA，點(diǎn)P到點(diǎn)B的距離為PB，依題意：，∵點(diǎn)P在點(diǎn)A和點(diǎn)B之間時(shí)，∴點(diǎn)P不在點(diǎn)A和點(diǎn)B之間，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A左邊時(shí)：，∵，∴，解得：，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右邊時(shí)：，∵，∴，解得：．綜上，存在點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離之和為10．或．解決問(wèn)題（3）設(shè)經(jīng)過(guò)t秒，點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離為3個(gè)單位長(zhǎng)度，此時(shí)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn),點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到,∴經(jīng)過(guò)t秒，，此時(shí)的對(duì)應(yīng)的數(shù)為，，此時(shí)的對(duì)應(yīng)的數(shù)為，，此時(shí)對(duì)應(yīng)的數(shù)為，∵t秒后點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離為3個(gè)單位長(zhǎng)度，∴,當(dāng)在右邊時(shí)：∴，∴，∴，∵，∴P所對(duì)應(yīng)的數(shù)為．當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右邊時(shí)：∴，∴，∴，∵，∴P所對(duì)應(yīng)的數(shù)為，綜上，點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)為或．【點(diǎn)睛】本題考查的是列代數(shù)式，數(shù)軸的定義及數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式，弄清題意并列式是解本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】我們知道，在數(shù)軸上，|a|表示數(shù)a表示的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，這是絕對(duì)值的幾何意義．進(jìn)一步地，數(shù)軸上兩個(gè)點(diǎn)A、B，分別用a，b表示，那么A、B兩點(diǎn)之間的距離為：AB＝|a﹣b|．利用此結(jié)論，回答以下問(wèn)題：（1）數(shù)軸上表示1和4的兩點(diǎn)的距離是，數(shù)軸上表示﹣1和﹣4的兩點(diǎn)之間的距離是．（2）|a﹣1|＝2，則a＝，|a﹣1|+|a+3|＝6，則a＝．（3）當(dāng)|a﹣1|+|a+3|取最小值時(shí)，此時(shí)符合條件的非負(fù)整數(shù)a是．（4）如圖，已知A，B分別為數(shù)軸上的兩點(diǎn)，點(diǎn)A表示的數(shù)是﹣30，點(diǎn)B表示的數(shù)是50；現(xiàn)有一只螞蟻P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左移動(dòng)，同時(shí)另一只螞蟻Q恰好從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向右移動(dòng)，設(shè)t秒后兩只螞蟻相距10個(gè)單位長(zhǎng)度，求此時(shí)點(diǎn)P表示的數(shù)是多少？【答案】（1）3，3；（2）3或－1，2或－4；（3）0和1；（4）8或－4．【分析】（1）利用兩點(diǎn)之間的距離公式列式計(jì)算即可；（2）利用絕對(duì)值定義知，分別求解即可，由，分和兩種情況進(jìn)行討論即可求出答案；（3）表示數(shù)軸到表示1和表示的點(diǎn)的距離之和，由兩點(diǎn)之間線段最短可知：當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為4，即可得符合條件的非負(fù)整數(shù)a的值；（4）分情況討論：相遇前兩只螞蟻所走總路程等于，相遇后兩只螞蟻所走總路程等于，求出所用時(shí)間t，在進(jìn)行求解即可．【詳解】解：（1）數(shù)軸上表示1和4的兩點(diǎn)的距離為，數(shù)軸上表示和的兩點(diǎn)之間的距離為；（2）∵，∴，∴或，即a為3或；∵，∴當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，∴a為2或；（3）當(dāng)a在數(shù)軸上表示1和之間時(shí)，此時(shí)的最小值為4，此時(shí)，∴符合條件的非負(fù)整數(shù)a是0和1；（4）①相遇前兩只螞蟻相距10個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，得：，解得：，∴，∴點(diǎn)P表示的數(shù)是8；②相遇后兩只螞蟻相距10個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，得：，解得：；∴，∴點(diǎn)P表示的數(shù)是；綜上所述：此時(shí)點(diǎn)P表示的數(shù)是8或；【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)軸，涉及絕對(duì)值、解方程的知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是對(duì)絕對(duì)值意義的掌握．類型三、求定值例.已知若數(shù)軸上點(diǎn)、點(diǎn)表示的數(shù)分別為，則，線段的中點(diǎn)表示的數(shù)為．如圖，數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為8，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．（1）填空：①兩點(diǎn)間的距離______，線段的中點(diǎn)表示的數(shù)為_(kāi)____；②用含的代數(shù)式表示：秒后，點(diǎn)表示的數(shù)為_(kāi)______；點(diǎn)表示的數(shù)為_(kāi)_____．（2）求當(dāng)為何值時(shí)，兩點(diǎn)相遇，并寫出相遇點(diǎn)所表示的數(shù)．（3）若點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，請(qǐng)求出線段的長(zhǎng)．【答案】（1）①10，3；②-2+3t，8-2t；（2）t=2，4；（3）5【解析】（1）①AB=8-（-2）=10，AB中點(diǎn)為=3，故答案為：10，3；②t秒后，點(diǎn)P表示的數(shù)為-2+3t，點(diǎn)Q表示的數(shù)為8-2t，故答案為：-2+3t，8-2t；（2）∵當(dāng)P、Q兩點(diǎn)相遇時(shí)，P、Q表示的數(shù)相等∴-2+3t=8-2t，解得：t=2，∴當(dāng)t=2時(shí)，P、Q相遇，此時(shí)，-2+3t=-2+3×2=4，∴相遇點(diǎn)表示的數(shù)為4；（3）∵點(diǎn)M表示的數(shù)為，點(diǎn)N表示的數(shù)為，∴MN==5．故答案為：（1）①10，3；②-2+3t，8-2t；（2）t=2，4；（3）5【變式訓(xùn)練1】如圖，數(shù)軸上原點(diǎn)為O，A，B是數(shù)軸上的兩點(diǎn)，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)是a，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)是b，且a，b滿足，動(dòng)點(diǎn)M，N同時(shí)從A，B出發(fā)，分別以1個(gè)單位/秒和3個(gè)單位/秒的速度沿著數(shù)軸正方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒（x＞0）．（1）A、B兩點(diǎn)間的距離是；動(dòng)點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的數(shù)是（用含x的代數(shù)式表示）；動(dòng)點(diǎn)N對(duì)應(yīng)的數(shù)是；（用含x的代數(shù)式表示）（2）幾秒后，線段OM與線段ON恰好滿足3OM＝2ON？（3）若M，N開(kāi)始運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，R從﹣1出發(fā)以2個(gè)單位/秒的速度沿著數(shù)軸正方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)R與M不重合時(shí)，求的值．【答案】（1），，；（2）秒或秒；（3）或【解析】（1）∵a，b滿足，∴a﹣2＝0，b+4＝0，∴a＝2，b＝﹣4，∵點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)是a，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)是b，AB＝2﹣（﹣4）＝6．當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的數(shù)是x+2，動(dòng)點(diǎn)N對(duì)應(yīng)的數(shù)是3x﹣4．故答案為：6；x+2；3x﹣4．（2）由（1）中M，N所對(duì)的數(shù)得OM＝x+2，ON＝3x﹣4，∵3OM＝2ON，∴，①3（2+x）＝2（3x﹣4），解得x＝；②3（2+x）＝﹣2（3x﹣4），解得x＝；綜上，或秒后，線段OM與線段ON恰好滿足3OM＝2ON；（3）由題意得動(dòng)點(diǎn)R所對(duì)的數(shù)為﹣1+2x，，，∴MB﹣NB＝6+x﹣3x＝6﹣2x，∵2+x＝﹣4+3x，解得x＝3，∴M與N相遇時(shí)時(shí)間為3s，N與M相遇前，x＜3s時(shí)，＝＝2，N與M相遇后，x＞3s時(shí)，＝＝＝﹣2，綜上所述的值為2或﹣2．故答案為：（1），，；（2）秒或秒；（3）或【變式訓(xùn)練2】已知：b是最小的正整數(shù)，且a、b滿足，請(qǐng)回答問(wèn)題：（1）請(qǐng)直接寫出a、b、c的值：a=，b=，c=．（2）在（1）的條件下數(shù)a，b，c分別在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A，C有兩只電子螞蟻甲、乙分別從A，C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)相向而行，甲的速度為2個(gè)單位/秒，乙的速度為4個(gè)單位/秒點(diǎn)，當(dāng)兩只電子螞蟻在數(shù)軸上點(diǎn)M處相遇時(shí)，求點(diǎn)M表示的數(shù)．（3）在（1）的條件下，點(diǎn)a，b，c分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)A、B、C開(kāi)始在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)動(dòng)．同時(shí)，點(diǎn)B和點(diǎn)C分別以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度和5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng)，假設(shè)t秒鐘過(guò)后，若點(diǎn)B與點(diǎn)C之間的距離表示為BC，點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離表示為AB．請(qǐng)問(wèn)：BC-AB的值是否隨著時(shí)間t的變化而改變？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，請(qǐng)求其值．【答案】（1）﹣1；1；5；（2）1；（3）不變，2【分析】（1）先根據(jù)b是最小的正整數(shù)，求出b，再根據(jù)，即可求出a、c；（2）設(shè)經(jīng)過(guò)秒，甲，乙在數(shù)軸上點(diǎn)M處相遇，根據(jù)題意表示出甲，乙分別走的路程，根據(jù)路程之和等于列出方程，解方程即可．（3）先求出BC=3t+4，AB=3t+2，從而得出BC﹣AB=2．【詳解】解：（1）∵b是最小的正整數(shù)，∴b=1．∵（c﹣5）2+|a+b|=0，∴a=﹣1，c=5；故答案為﹣1；1；5；（2）設(shè)經(jīng)過(guò)秒，甲，乙在數(shù)軸上點(diǎn)M處相遇，則，解得則甲螞蟻經(jīng)過(guò)1秒到達(dá)點(diǎn)，點(diǎn)表示的數(shù)為:（3）BC﹣AB的值不隨著時(shí)間t的變化而改變，其值是2，理由如下：∵點(diǎn)A都以每秒1個(gè)單位的速度向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B和點(diǎn)C分別以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度和5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng)，∴BC=3t+4，AB=3t+2，∴BC﹣AB=（3t+4）﹣（3t+2）=2．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸與整式的加減，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．課后訓(xùn)練1．?dāng)?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室：點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，A、B兩點(diǎn)之間的距離表示為AB，在數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離AB=|a﹣b|．利用數(shù)形結(jié)合思想回答下列問(wèn)題：（1）數(shù)軸上表示2和5的兩點(diǎn)之間的距離是_____，數(shù)軸上表示1和－3的兩點(diǎn)之間的距離是；（2）數(shù)軸上若點(diǎn)A表示的數(shù)是x，點(diǎn)B表示的數(shù)是－2，若AB＝2，那么x為；（3）當(dāng)x是時(shí)，代數(shù)式；（4）若點(diǎn)A表示的數(shù)－1，點(diǎn)B與點(diǎn)A的距離是10，且點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B出發(fā)沿?cái)?shù)軸正方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P的速度是每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)Q的速度是每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，求運(yùn)動(dòng)幾秒后，PQ＝1？（請(qǐng)寫出必要的求解過(guò)程）【答案】（1）3，4；（2）0或-4；（3）-3或2；（4）4.5或5.5【分析】（1）直接利用題干兩點(diǎn)的距離公式計(jì)算即可；（2）根據(jù)題意可列出關(guān)于x的絕對(duì)值方程，解出x即可．（3）分類討論①當(dāng)時(shí)；②當(dāng)時(shí)；③當(dāng)時(shí)，去絕對(duì)值，解出方程即可．（4）設(shè)運(yùn)動(dòng)x秒后，PQ＝1，分類討論：①當(dāng)點(diǎn)P未超過(guò)點(diǎn)Q時(shí)；②當(dāng)點(diǎn)P超過(guò)點(diǎn)Q時(shí)，根據(jù)數(shù)軸列出方程，解出x即可．【詳解】（1）根據(jù)題意可知數(shù)軸上表示2和5的兩點(diǎn)之間的距離是，數(shù)軸上表示1和-3的兩點(diǎn)之間的距離是；故答案為：3，4．（2）由題意可知：∴解得：或；故答案為：0或-4．（3）∵，即可表示為點(diǎn)A（表示有理數(shù)x）到點(diǎn)B（表示有理數(shù)-2）的距離與點(diǎn)A到點(diǎn)C（表示有理數(shù)1）的距離的和是5，如圖：故分類討論：①當(dāng)點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，即，此時(shí)有，解得：，符合題意；②當(dāng)點(diǎn)A在點(diǎn)B和點(diǎn)C中間時(shí)，即，此時(shí)有，方程無(wú)解；當(dāng)點(diǎn)A在點(diǎn)C右側(cè)時(shí)，即，此時(shí)有，解得：，符合題意；綜上，或，故答案為：-3或2．（4）設(shè)運(yùn)動(dòng)x秒后，PQ＝1，分類討論：①當(dāng)點(diǎn)P未超過(guò)點(diǎn)Q時(shí)，根據(jù)數(shù)軸可列方程：解得：②當(dāng)當(dāng)點(diǎn)P超過(guò)點(diǎn)Q時(shí)，根據(jù)數(shù)軸可列方程：，解得：故運(yùn)動(dòng)4.5或5.5秒后，PQ＝1．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，實(shí)數(shù)與數(shù)軸，數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離．利用分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想是解答本題的關(guān)鍵．2．已知數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)表示的數(shù)分別為a，b，且a，b滿足|a+20|+(b-13)2=0，點(diǎn)C表示的數(shù)為16，點(diǎn)D表示的數(shù)為-7．（1）A，C兩點(diǎn)之間的距離為_(kāi)_________；（2）已知|m－n|可理解為數(shù)軸上表示數(shù)m、n的兩點(diǎn)之間的距離．若點(diǎn)P在數(shù)軸上表示的數(shù)為x，則滿足|x+2|+|x-3|=5的所有的整數(shù)x的和為_(kāi)______________；滿