函數(shù)的值域的求法講義-高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

函數(shù)的值域的求法總結(jié)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則確定的前提下，絕大數(shù)的函數(shù)值域是可以求的。本專題研究某幾個(gè)形式的基本初等函數(shù)的值域，講述分離常數(shù)、幾何法、換元法和單調(diào)性法這幾種普遍的方法。求函數(shù)值域的方法總結(jié)：觀察法。對(duì)于一些簡(jiǎn)單的函數(shù)，可以通過(guò)定義域及對(duì)應(yīng)關(guān)系觀察的方法來(lái)確定函數(shù)的值域。配方法。求形如的函數(shù)的值域采用配方法來(lái)解決，但要注意g（x）的范圍。三、分離常數(shù)法。求分式型函數(shù)，常用分離。常數(shù)法求值域。四、判別式法。求形如，如可將函數(shù)化為關(guān)于自變量的一元二次方程，利用判別式求函數(shù)的值域。五、反表示法。根據(jù)函數(shù)解析式反解出x，根據(jù)x的取值范圍轉(zhuǎn)化為y的不等式或者不等式組，求解。六、換元法。對(duì)于一些無(wú)理函數(shù)常通過(guò)換元的方法將其轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)，然后利用有理函數(shù)求值域的方法求出原函數(shù)的值域七、數(shù)形結(jié)合法。當(dāng)函數(shù)的圖像容易做時(shí)適用此方法八、基本不等式法。形如的值域求解，可用此法。方法舉例：簡(jiǎn)單函數(shù)的值域求法（1）分段函數(shù)例題1.已知函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)榻馕觯寒?dāng)時(shí)，的值域?yàn)?；?dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，最小值為2，無(wú)最大值，此時(shí)的值域?yàn)樗院瘮?shù)的值域?yàn)槔}2、若函數(shù)的值域是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是解、當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?；因?yàn)檎麄€(gè)函數(shù)的值域?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，函數(shù)的值域應(yīng)包含于；因?yàn)閱握{(diào)遞減，所以只需=a2,解得（2）復(fù)合函數(shù)例題3、函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ┙馕觥⒘?，則原函數(shù)化為：所以，選B例題4、已知函數(shù)，若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值。解、由且所以，即令，則在上恒成立，即例題5、已知函數(shù)則函數(shù)的值域?yàn)榻猓汉瘮?shù)的定義域?yàn)榱?，兩邊平方可得：所以，則原函數(shù)化為：，顯然：，，所以值域例題6、已知函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)榻?、令，由，則再對(duì)平方得原函數(shù)化為：，，再令，顯然在上遞增，故，，所以值域根式型值域例題7、已知函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)镽值域轉(zhuǎn)化為的最值，因?yàn)樗院瘮?shù)的值域?yàn)槔}8、已知函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)榉ㄒ?、函?shù)定義域?yàn)楹瘮?shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，，值域法二、令，則，從而在內(nèi)單調(diào)遞增，，值域例題9、已知函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)榻?、法一、已知定義域?yàn)?，兩邊平方，因?yàn)?，所以函?shù)的值域?yàn)榉ǘ?、因?yàn)榱?，原函?shù)化為：，所以例題10、已知函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)榻?、函?shù)變形為令，原函數(shù)化為：所以例題11、已知函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)榻?、令原函?shù)化為：所以例題11、已知函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)榻狻⒁阎瘮?shù)的定義域?yàn)楹瘮?shù)有理化變形為分母在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，可得函數(shù)的值域?yàn)槔}12、已知函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)榻?、易知函?shù)定義域?yàn)镽，幾何意義是動(dòng)點(diǎn)P(x,0)到兩個(gè)定點(diǎn)A(1,1),B(1,1)的距離之和。做出點(diǎn)A(1,1)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A’(1,1),A’B交x軸于點(diǎn)P(0,0)，此時(shí)A’B就是PA與PB長(zhǎng)度之和的最小值為如圖，函數(shù)的值域分式型值域分式型的常見(jiàn)形式：分子0次型，先求出分母的值域，通過(guò)取倒數(shù)就可以得到的值域。分子分母一次齊次型，先分離出一個(gè)常數(shù)，變成分子0次型，再用分子0次型方法解得值域。分子二次分母一次型，即（a為常數(shù)），當(dāng)a>0是對(duì)鉤函數(shù)，當(dāng)a<0是“飄帶”函數(shù)。例題13、已知函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)榻?、分式型函?shù)首先要確定分子與分母的次數(shù)，若是齊次性，則需要分離常數(shù)。因?yàn)椋?，所以，即函?shù)的值域?yàn)槔}14、已知函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)榻狻⒋藭r(shí)，分子分母次數(shù)不一致，分離常數(shù)失效，因此考慮分離變量是化簡(jiǎn)結(jié)果，往對(duì)勾函數(shù)靠根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的圖像可知或函數(shù)的值域?yàn)槔}15、已知函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)榉ㄒ弧⒈纠欠肿哟螖?shù)為一次，分母次數(shù)為二次，常用的辦法就是除分子使得分母變成對(duì)勾函數(shù)，需要特別注意的是要考慮分子是否為零。恒成立，所以定義域?yàn)镽。令，則，當(dāng)t=0時(shí)，當(dāng)，或所以且綜上，數(shù)的值域?yàn)榉ǘ?、恒成立，所以定義域?yàn)镽。則等價(jià)于在R上有解當(dāng)y=0時(shí)，解得x=1當(dāng)時(shí)，則解得且綜上，數(shù)的值域?yàn)槔}16、已知函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)榻馕觯悍肿优c分母的次數(shù)相同，需要先分離常數(shù)轉(zhuǎn)化為分子為一次型分母為二次函數(shù)然后按照例題15方