4第四講直線二平面11級環(huán)境8解析

4.第四講直線(二)、平面11級環(huán)境8解析4.第四講直線(二)、平面11級環(huán)境8解析4.第四講直線(二)、平面11級環(huán)境8解析熟練掌握直線與直線的相對位置關(guān)系。上講要點回顧:兩直線有平行、相交、交叉三種情況交叉兩直線可見性的判斷4.第四講直線(二)、平面11級環(huán)境8解析4.第四講直線(二1熟練掌握直線與直線的相對位置關(guān)系。上講要點回顧:兩直線有平行、相交、交叉三種情況交叉兩直線可見性的判斷上講要點回顧:兩直線有平行、相交、交叉三種情況交叉兩直線可見2充分理解空間相互垂直的兩直線的投影特征，能靈活運(yùn)用直角投影定理。(a)(b)(c)不垂直上講要點回顧:充分理解空間相互垂直的兩直線的投影特征，能靈活運(yùn)用直角投影定3a′b′ab20c′c習(xí)題評講a′b′ab20c′c習(xí)題評講4a′b′abc′cm′m(M)習(xí)題評講a′b′abc′cm′m(M)習(xí)題評講5a′b′abc′cnn′(N)習(xí)題評講a′b′abc′cnn′(N)習(xí)題評講6a′b′abc′ca〞b〞n〞n′(N)nm〞m(M)m′習(xí)題評講a′b′abc′ca〞b〞n〞n′(N)nm〞m(M)m′7oYWYHz復(fù)習(xí)題：判斷兩直線AB和CD是否平行。Xa

ac

d

dcbb

a

b

c

d

主要方法補(bǔ)W投影定比利用相交、平行直線均共面首先觀看兩側(cè)平線各投影字母順序是否一致，不一致者肯定是交叉二線，一致者再作圖判斷。不平行oYWYHz復(fù)習(xí)題：判斷兩直線AB和CD是否平行。Xaac8（）（）復(fù)習(xí)題：判斷兩直線的相對位置。判別重影點的可見性。方法Ⅱ：定比判斷ba

ac

d

dcb

XO1′3′122

3判別前后判別上下方法Ⅰ：補(bǔ)第三投影（）（）復(fù)習(xí)題：判斷兩直線的相對位置。判別重影點9ABb

復(fù)習(xí)題：作三角形ABC，

ABC為直角，使BC在MN上，且BC

AB=2

3。bcb

c

=BCnm

a

aXmn

c

兩解ABb復(fù)習(xí)題：作三角形ABC，ABC為直角，使BC在MN10習(xí)題3-22：已知等邊三角形ABC，邊BC屬于MN，完成此三角形的V、H投影?！飊′m′a′amnd′dADsc30°bcb′c′DB或DC的實長30°ADBC分析正三角形ABC的邊BC之高即其中線，已知高可以完全確定正三角形。空間作圖步驟求作BC的高AD以高求正三角形ABC的邊長。⑵用直角三角形法求高AD的實長。⑶以AD的實長為直角邊，夾角為⑷以d為中心，在mn上量取上述⑸完成三角形的V、H投影。⑴自A向MN作垂線AD即BC的高。投影作圖步驟30°作直角三角形直角三角形中30°角所對邊長。習(xí)題3-22：已知等邊三角形ABC，邊BC屬于MN，完成此11復(fù)習(xí)題：已知等腰三角形ABC，邊BC屬于MN，且高AD=底邊BC,完成此三角形的V、H投影?！飊′m′a′amnd′dADscbcb′c′ADBC分析等腰三角形ABC的邊BC之高即其中線，由高可以完全確定該三角形?？臻g作圖步驟求作BC的高AD以高求該三角形ABC的邊長。⑵用直角三角形法求高AD的實長。⑶高實長=底邊長，得bc=SCAD⑷以d為中心，在mn上量取上述⑸完成三角形的V、H投影。⑴自A向MN作垂線AD即BC的高。投影作圖步驟bc/2=SCAD/2。

復(fù)習(xí)題：已知等腰三角形ABC，邊BC屬于MN，且高AD=底12n′m′a′amnb′復(fù)習(xí)題：已知等腰三角形ABC，底邊BC屬于MN，且AD：=2:3,完成此三角形的V、H投影?！飀′dADscbc′ADBC

23ADsccBC/2=bc/2n′m′a′amnb′復(fù)習(xí)題：已知等腰三角形ABC，底邊B13復(fù)習(xí)題：已知BC與AB垂直，BC等于定長L，點C屬于H面，a′b′∥ox，求作BC的V、H投影。同習(xí)題3-19aba′b′LLZB-ZCcc′cc′分析由已知條件可知：

AB∥H面，H投影中反映直角。又點C屬于H面，即ZC=0，則ZB-ZC能確定，以實長L作直角三角形求得BC的H投影長。投影作圖

過b作ab的垂線以定長L為斜邊，以ZB-ZC為直角邊作直角三角形，求出bc長度完成BC的V、H投影。兩解復(fù)習(xí)題：已知BC與AB垂直，BC等于定長L，點C屬于H面，14復(fù)習(xí)題：求作AB、CD間的公垂線的投影及實長。分析：AB、CD都為水平線。根據(jù)直角投影定理，水平線在H面上能反映直角。因此公垂線的水平投影能直接求出。由于公垂線MN為一般位置直線，所以還應(yīng)用直角△法求實長。d′c′b′a′abcdmnm′n′Nz–MzSc復(fù)習(xí)題：求作AB、CD間的公垂線的投影及實長。分析：15第一章平面的投影基本內(nèi)容一、平面的表示法二、各種位置平面的投影特性三、屬于平面的點和直線四、平面傾角的求解★★第一章平面的投影基本內(nèi)容一、平面的表示法★★16基本要求一、掌握平面的幾何元素表示法和特殊位置平面的跡線表示法。二、熟練掌握各種位置平面的投影特性及作圖方法，能由已知平面的兩個投影求作其第三投影。三、熟練掌握平面內(nèi)的點和直線的幾何條件及作圖方法。

熟練掌握平面內(nèi)投影面平行線、投影面最大斜度線的投影特性?！钏摹⑹炀氄莆涨笃矫鎸ν队懊鎯A角的作圖方法。（最大斜度線法）☆基本要求17二、平面的表示法幾何元素表示法平面的跡線表示法a

ab

c

bcb

a

ac

bcb

a

ac

bca

b

c

abcd

d用幾何元素表示平面有五種形式：不在一直線上的三個點；一直線和直線外一點；相交二直線；平行二直線；任意平面圖形。a

ab

c

bc二、平面的表示法幾何元素表示法平面的跡線表示法aabc18平面的跡線表示法VHPPVPHPVPH1、平面跡線的定義

平面的跡線是平面與投影面的交線。平面P與H投影面的交線稱作平面的水平跡線，用PH表示；平面P與V投影面的交線稱作平面的正面跡線，用PV表示。（平面名稱的大寫字母加右下標(biāo)注相應(yīng)投影面名稱）。PH、PV是平面P的兩條直線，不是一直線的兩投影。2、跡線的空間位置特點

平面跡線既屬于平面，又屬于投影面。3、跡線的投影特點

跡線的一個投影即其本身，其余投影在投影軸上。4、平面跡線的作圖

先作出平面內(nèi)任意兩直線的跡點，再連接其同名跡點即平面的同面跡線，注意利用跡線共點。特殊位置平面用具有積聚性的跡線表示。

平面的跡線表示法VHPPVPHPVPH1、平面跡線的定義平19PVPHa′ab′bc′cm1m2n1n2一般位置平面的跡線求法PVPHa′ab′bc′cm1m2n1n2一般位置平面的跡線20三、各種平面對投影面的相對位置一、特殊位置平面1、投影面垂直面—垂直于一個投影面

(1)鉛垂面⊥H(2)正垂面⊥V(3)側(cè)垂面⊥W2、投影面平行面—垂直于兩個投影面

(1)水平面∥H(2)正平面∥V(3)側(cè)平面∥W二、一般位置平面平面對H面的傾角為α，對V為β，對W為γ

a

b

a

b

bacc

c

αa

b

a

b

bac

c

ca

b

b

baa

αβcc

c

c

a

b

b

a

c

bca實形a

b

b

ba

c

c

ca實形ca

b

b

baa

c

c

實形a

b

b

a

c

c

bac三、各種平面對投影面的相對位置一、特殊位置平面ab21特殊位置平面小結(jié)投影面垂直面空間位置垂直于一個投影面，傾斜于另兩個投影面。投影特點在所垂直的投影面的投影積聚為一條傾斜于投影軸的直線，此具有積聚性的直線與相應(yīng)的投影軸（該投影面反映的兩投影軸）的夾角反映平面對其它兩個投影面的傾角。另外兩個投影與空間平面圖形均為類似形（若為多邊形，邊數(shù)相等）。讀圖判斷只要有一個投影積聚為傾斜于投影軸的直線，便可判斷該平面垂直于積聚投影所在的投影面。投影面平行面空間位置平行于一個投影面，同時垂直于另外兩個投影面。或者說平面上所有的點到同一個投影面的距離均相等。投影特點在所平行的投影面的投影反映其實形，另兩個投影積聚為平行于相應(yīng)的投影軸的直線（所平行的投影面反映的那兩個投影軸）。讀圖判斷只要有一個投影積聚為平行于投影軸的直線，便可判斷為投影面平行面。它一定平行于非直線投影所在的那個投影面。特殊位置平面小結(jié)投影面垂直面22特殊位置平面的跡線表示法UHUVPVQHRVSHTVTH正垂面P正平面Q水平面R鉛垂面S側(cè)垂面U側(cè)平面T特殊位置平面的跡線表示法UHUVPVQHRVSHTVTH正垂23三角形ABC為：例題1：a′b′a〞b〞c′c〞﹙1﹚一般位置平面﹙2﹚過Z軸的平面﹙3﹚正平面﹙4﹚鉛垂面判斷題：指出正確答案。1.B點是Z軸上的點;2.AB是鉛垂線!三角形ABC為：例題1：a′b′a〞b〞c′c〞﹙24四、屬于平面的點和直線（一）屬于一般位置平面的點和直線（二)屬于特殊位置平面的點和直線(三)屬于平面的投影面平行線(四)屬于平面的最大斜度線及一般位置平面對投影面的傾角

四、屬于平面的點和直線25（一）屬于平面的點和直線1幾何條件⑴直線屬于平面的幾何條件（二者之一）

①通過平面上的兩點；②通過平面上的一點且平行于平面上的一條直線。⑵點屬于平面的幾何條件點在平面內(nèi)的某一直線上。2投影作圖或判斷⑴在一般位置平面上取點和直線的作圖或判斷，實質(zhì)上就是在平面內(nèi)作輔助線的問題。⑵在特殊位置平面上取點和直線的作圖或判斷,實質(zhì)上就是看點和直線的投影,是否在平面的積聚投影上。⑶利用在平面上取點和直線的作圖，可解決以下三類問題:

①判別已知點、線是否屬于已知平面；②完成已知平面上的點和直線的投影；③完成平面的投影。(本講難點之一)（一）屬于平面的點和直線1幾何條件261.取屬于一般位置平面的直線

取屬于定平面的直線，要經(jīng)過屬于該平面的已知兩點；或經(jīng)過屬于該平面的一已知點，且平行于屬于該平面的一已知直線。ABCEDa

b

c

abcd

de

eFff

1.取屬于一般位置平面的直線取屬于定平面的直線，要272.取屬于一般位置平面的點如要取屬于平面的點，必須要取自屬于該平面的已知直線ABCDEa

b

c

abcd

de

e2.取屬于一般位置平面的點如要取屬于平面的點，必須28d

d44

33

例題1：已知

ABC給定一平面，試判斷點D是否屬于該平面。a

b

c

abcee

點D不屬于平面,判斷直線ⅠⅡ是否屬于平面?21

12

直線ⅠⅡ?qū)儆谄矫鎑d4433例題1：已知ABC給定一平面，試判斷點29例題2：已知點D在

ABC上，試求點D的水平投影。dd

a

b

c

abcee

例題2：已知點D在ABC上，試求點D的水平投影。d303

d例題3：已知點E在

ABC上，試求點E的正面投影。e

d

a

b

c

abce判斷直線ⅠⅡ是否屬于平面?21

12

3

直線ⅠⅡ不屬于平面3d例題3：已知點E在ABC上，試求點E的正面投影313.取屬于垂直面（幾何元素表示法）的點和直線a

b

c

abc關(guān)鍵是看點和直線的投影是否在平面的積聚投影上kk

1

2

3

123gg

fe

ef

nm

mn

EF屬于ABCK屬于ABCG不屬于ⅠⅡⅢMN不屬于ⅠⅡⅢ3.取屬于垂直面（幾何元素表示法）的點和直線abcab32平面內(nèi)的點和直線判斷點和直線是否屬于平面或在平面內(nèi)取點和直線一般位置平面需作平面內(nèi)的輔助線特殊位置平面不需作平面內(nèi)的輔助線，只要確保點和直線的投影屬于平面的同名積聚投影即可。平面內(nèi)的點和直線小結(jié):平面內(nèi)的點和直線一般位置平面特殊位置平面平面內(nèi)的點和直線小結(jié)33（二）屬于平面的投影面平行線屬于平面的投影面平行線是既在平面上又平行于投影面的直線。在一個平面上對V、H、W投影面分別有三組投影面平行線。平面上的投影面平行線既具有投影面平行線的投影性質(zhì)，又與所屬平面保持從屬關(guān)系。（二）屬于平面的投影面平行線屬于平面的投影面平行線是34VHP屬于平面的水平線和正平線PVPHPX同一個一般位置平面的水平線相互平行，均平行于該平面的水平跡線PH同一個一般位置平面的正平線相互平行，均平行于該平面的正面跡線PVVHP屬于平面的水平線和正平線PVPHPX同一個一般位置平面35a

b

c

bac例題4：已知

ABC給定一平面，試過點C作屬于該平面的正平線，過點A作屬于該平面的水平線。m

n

nm注意同一平面的水平線和正平線是一對相交直線abcbac例題4：已知ABC給定一平面，試過點C36

例題5：已知點E

在△ABC平面上，且點E在B點的前方15、B點的下方10，試求點E的投影。Xa

b

c

bacmnm

n

rsr

s

e

e1015ee

例題5：已知點E在△ABC平面上，且點E在B點的前方1537

例題5：已知點E

在△ABC平面上，且點E距離H面15，距離V面10，試求點E的投影。Xa

b

c

bacmnm

n

rsr

s

1015e

e例題5：已知點E在△ABC平面上，且點E距離H面15，距38三角形ABC為：例題6：﹙1﹚一般位置平面﹙2﹚過X軸的平面﹙3﹚正平面﹙4﹚側(cè)垂面判斷題：指出正確答案。a′b′abc′cOXd

d三角形ABC為：例題6：﹙1﹚一般位置平面﹙2﹚過39a

abb

c

c不補(bǔ)畫W投影，只利用V、H投影區(qū)分一般位置平面與側(cè)垂面。abca

b

c

一般位置平面?zhèn)却姑鎮(zhèn)却姑鎐a

b

c

ab平面中存在一條側(cè)垂線aabbcc不補(bǔ)畫W投影，只利用V、H投影401、定義屬于定平面并垂直于該平面的投影面平行線的直線，稱為該平面的最大斜度線。平面上的最大斜度線有三組，即分別對水平投影面的最大斜度線、對正立投影面的最大斜度線及對側(cè)立投影面的最大斜度線。2、特性

（1）平面上對某投影面的最大斜度線與該平面上同名投影面的平行線相互垂直。對H面的最大斜度線的H投影⊥平面水平線的H投影；對V面的最大斜度線的V投影⊥平面正平線的V投影；對W面的最大斜度線的W投影⊥平面?zhèn)绕骄€的W投影。（2）屬于平面的最大斜度線是平面上對某個投影面傾角最大的直線。3、幾何意義屬于平面的最大斜度線與投影面的傾角反映該平面對同一投影面的傾角。對H面的最大斜度線的α等于平面的α；對V面的最大斜度線的β等于平面的β。(三)屬于平面的最大斜度線★1、定義屬于定平面并垂直于該平面的投影面平行線的直線，稱41VHWPBA（1）平面上對水平投影面的最大斜度線EF

AB平行于

H，EF垂直于

ABEFVHWPBA（1）平面上對水平投影面的最大斜度線EFAB42VHW（2）平面上對正立投影面的最大斜度線CD

AB平行于V，CD垂直于

ABPCDBAVHW（2）平面上對正立投影面的最大斜度線CDAB平行43VHW（3）平面上對側(cè)立投影面的最大斜度線MN

AB平行于W，MN垂直于ABPBAMNVHW（3）平面上對側(cè)立投影面的最大斜度線MN44H屬于平面且對投影面所成傾角為最大的直線稱為平面的最大斜度線；平面對某投影面的最大斜度線垂直于該平面的同面跡線或同面的投影面平行線。最大斜度線的幾何意義:用來測定平面對投影面的角度PCD

aE1

S

過點A作最大斜度線以外的屬于平面P的任意直線AS。它對H面的角度為。證明＜。因AE⊥CD，且SE∥CD，故AE⊥SE。根據(jù)直角投影定理，aE⊥SE則aS(斜邊)＞aE(直角邊)，兩個直角△ASa和AEa，有相等的直角邊Aa，而另一對直角邊aS＞aE，故相應(yīng)的銳角＜AEPHH屬于平面且對投影面所成傾角為最大的直線稱為平面的45例題7：求作

ABC平面上對水平面的最大斜度線BE。d

de

ea

b

c

abc作圖步驟作平面上的水平線過平面上任意點作與平面上水平線垂直相交的直線例題7：求作ABC平面上對水平面的最大斜度線BE。d46a

bacb

c

α

例題8：求

ABC平面與水平投影面的夾角α

。作平面的水平線作平面對H面的最大斜度線求對H面最大斜度線的αabacbcα例題8：求ABC平面與水平投影面47a

bacb

c

例題9：求

ABC平面與正面投影面的夾角β。作平面的正平線作平面對V面的最大斜度線求對V面最大斜度線的ββabacbc例題9：求ABC平面與正面投影面的夾48例題10：過正平線作平面與正立投影面的夾角成30°。eff

e

30°a′b

a△YAB△YAB△YABbb與習(xí)題相似!例題10：過正平線作平面與正立投影面的夾角成30°。ef49β例題11：已知直線EF為某平面對H的最大斜度線，試作出該平面。ff

ee

aa

并且求出該平面的β=?β例題11：已知直線EF為某平面對H的最大斜度線，試作出50c′例題12：已知△ABC對H面的最大斜度線AD和BC邊的H投影，完成△ABC的V、H投影。a′d′badcb′c′例題12：已知△ABC對H面的最大斜度線AD和BC邊的51例題13：已知BC為正平線，完成平面四邊形ABCD的水平投影。

a′b′ac′dOXd′cbe′e例題13：已知BC為正平線，完成平面四邊形ABCD的水平52例題14：已知BC為正平線，完成平面四邊形ABCD的水平投影。

a′b′ac′dOXd′cbe′ef′f（另一種方法）如果圖形沒有特殊形狀,創(chuàng)造出一個特殊形狀來方便解題.通常是用平行線的投影特性來創(chuàng)造特殊圖形.例題14：已知BC為正平線，完成平面四邊形ABCD的水平5311′d1例題15:已知平面ABCD的正投影如圖,其中BC的α=β,AC是正平線,完成平面ABCD的水平投影.a′b′ac′Xd′cb2b1d2b″βαOc″b″11′d1例題15:已知平面ABCD的正投影如圖,其中BC的54dd

abb

a

△△△△c

例題16：以水平線AB為邊作正三角形與水平投影面H的夾角成30°。1.以ab=AB為邊作正三角形c′30°與習(xí)題4-13相似!2.高CD是正三角形的最大斜度線高的實長有四解cd△ZCDddabba△△△△c例題155

cdabb

a

△△△△c

例題17：以水平線AB為邊作正三角形與水平投影面H的夾角成30°。1.以ab為邊作正三角形c′30°45°高的實長45°dd

c′

△ZDCc改在45°的情況下,有△ZDC=cd此題還可改為60°2.高CD是正三角形的最大斜度線有四解以水平線AB為邊作正方形與水平投影面H的夾角成30°以水平線AB為邊作長方形ABCD且它與水平投影面H的夾角成30°,AB:BC=3:2。以水平線AB為對角線作菱形ABCD,它與水平投影面H的夾角成30°且AC=BD。cdabba△△△△c例題17：56本講重、難點熟練掌握平面的空間七種位置及其投影特征。充分理解平面的跡線概念，了解平面的跡線作法。熟練掌握平面上的各種直線的概念、求法。有關(guān)最大斜度線的問題為本講的難點之一。熟練掌握平面上取點