湖南省邵陽(yáng)市新寧縣新寧縣3鄉(xiāng)鎮(zhèn)聯(lián)考2023-2024學(xué)年下學(xué)期3月月考九年級(jí)數(shù)學(xué)試題

2024年九年級(jí)數(shù)學(xué)第一次月考試卷一、選擇題(共10題；共0.0分)1．(0分)如圖，已知矩形ABCD中，點(diǎn)E是BC邊上的點(diǎn)，BE=2，EC=1，AE=BC，DF⊥AE，垂足為F．下列結(jié)論：①△ADF≌△EAB；②AF=BE；③DF平分∠ADC；④sin∠CDF=．其中正確的結(jié)論有（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)2．(0分)如圖，在△ABC中，∠ACB=2∠B，CD平分∠ACB，AD=2，BD=3，則AC的長(zhǎng)為（）A.3 B.

C.4 D.3．(0分)《幾何原本》里有一個(gè)圖形：在△ABC中，D，E是邊AB上的兩點(diǎn)（AD＜AE），且滿足AD=BE．過(guò)點(diǎn)D，E分別作BC的平行線，過(guò)點(diǎn)D作AC的平行線，它們將△ABC分成如圖的5個(gè)部分，其面積依次記為S1，S2，S3，S4，S5．若S2=18，S3=6，則S4的值為（）A.9 B.18 C.27 D.544．(0分)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CE是斜邊AB上的中線，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB交AC于點(diǎn)F．若BC=4，△AEF的面積為5，則sin∠CEF的值為（）A. B.

C. D.5．(0分)如圖，在正方形ABCD中，E是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，且滿足BE=BC．連接CE并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)F，連接AE，過(guò)B點(diǎn)作BG⊥AE于點(diǎn)G，延長(zhǎng)BG交AD于點(diǎn)H．在下列結(jié)論中：①BH垂直平分AE；②AH=DF；③DF=DE；④∠AEF=45°；⑤S四邊形EFHG=S△DEF+S△AGH，其中正確的結(jié)論有（）個(gè)．A.2 B.3 C.4 D.56．(0分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形AOBD的邊OB與x軸的正半軸重合，AD∥OB，DB⊥x軸，對(duì)角線AB，OD交于點(diǎn)M．已知AD：OB=2：3，△AMD的面積為4．若反比例函數(shù)y=的圖象恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，則k的值為（）A. B.

C. D.127．(0分)已知A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點(diǎn)在反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象上，下列三個(gè)命題：其中真命題個(gè)數(shù)是（）

①若x1=y2，則y1=x2；

②若x1=2019，x2=2020，則y1＞y2；

③過(guò)A、B兩點(diǎn)的直線與x軸、y軸分別交于C、D兩點(diǎn)，連接OA、OB，則S△AOC=S△BOD，A.0 B.1 C.2 D.38．(0分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABOC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，邊BO在x軸的負(fù)半軸上，∠BOC=60°，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m，3），反比例函數(shù)y=的圖象與菱形對(duì)角線AO交于D點(diǎn)，連接BD，當(dāng)DB⊥x軸時(shí)，k的值是（）A.6 B.-6

C.12 D.-129．(0分)商家通常依據(jù)“樂(lè)觀系數(shù)準(zhǔn)則”確定商品銷(xiāo)售價(jià)格，即根據(jù)商品的最低銷(xiāo)售限價(jià)a,最高銷(xiāo)售限價(jià)b（b＞a）

以及實(shí)數(shù)x（0＜x＜1）確定實(shí)際銷(xiāo)售價(jià)格c=a+x（b-a），這里x被稱(chēng)為樂(lè)觀系數(shù)．經(jīng)驗(yàn)表明，最佳樂(lè)觀系數(shù)x恰好使得，據(jù)此可得，最佳樂(lè)觀系數(shù)x的值等于（）A. B.

C. D.10．(0分)某校每位學(xué)生上、下學(xué)期各選擇一個(gè)社團(tuán)，下表為該校學(xué)生上、下學(xué)期各社團(tuán)的人數(shù)比例．若該校上、下學(xué)期的學(xué)生人數(shù)不變，相較于上學(xué)期，下學(xué)期各社團(tuán)的學(xué)生人數(shù)變化，下列敘述何者正確？（）舞蹈社溜冰社魔術(shù)社上學(xué)期345下學(xué)期432A.舞蹈社不變，溜冰社減少

B.舞蹈社不變，溜冰社不變

C.舞蹈社增加，溜冰社減少

D.舞蹈社增加，溜冰社不變二、填空題(共7題；共0.0分)11．(0分)如圖，在菱形中，過(guò)點(diǎn)作交對(duì)角線于點(diǎn)，連接，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，作關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，連接，．若，，則的最大值為_(kāi)________．12．(0分)將矩形進(jìn)行如圖所示的折疊，使得點(diǎn)恰好落在的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)處，點(diǎn)落在點(diǎn)處，折痕分別與邊、對(duì)角線交于點(diǎn)、，連接交邊于點(diǎn)．若，，，則的長(zhǎng)度為_(kāi)_______．13．(0分)如圖1，在線段AB上有一點(diǎn)E，若=，則我們稱(chēng)E為AB的黃金分割點(diǎn)．如圖2，正方形PQMN的邊PQ上有一點(diǎn)O，連接ON，延長(zhǎng)OP至點(diǎn)G，使得OG=ON，以PG為邊在正方形PQMN的上方作正方形PGKH，若PQ=4，H是PN的黃金分割點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作OI⊥ON交QM于點(diǎn)I，則S△NOI的值為_(kāi)____．14．(0分)如圖，在正方形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD上一點(diǎn)，AE⊥EF．有下列結(jié)論：

①∠BAE=30°；②射線FE是∠AFC的角平分線；③AE2=AD?AF；④AF=AB+CF．其中正確結(jié)論為是_____．（填寫(xiě)所有正確結(jié)論的序號(hào)）15．(0分)如圖，兩個(gè)大小不同的三角板放在同一平面內(nèi)，直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)C，點(diǎn)D在AB上，

∠BAC=∠DEC=30°，AC與DE交于點(diǎn)F，連接AE，若BD=1，AD=5，則=_____．16．(0分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC，點(diǎn)P（1，2），作△PQR，使△PQR與△ABC相似，以Q、R點(diǎn)必須要格點(diǎn)上_____．（不寫(xiě)作法）17．(0分)若線段a,b,c滿足關(guān)系=，=，則a：b：c=_____．三、解答題(共5題；共0.0分)18．(0分)在如圖的方格紙中，△OAB的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為O（0，0）、A（-2，-1）、B（-1，-3），△O1A1B1與△OAB是關(guān)于點(diǎn)P為位似中心的位似圖形．

（1）在圖中標(biāo)出位似中心P的位置，并寫(xiě)出點(diǎn)P及點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B1的坐標(biāo)；

（2）以原點(diǎn)O為位似中心，在位似中心的同側(cè)畫(huà)出△OAB的一個(gè)位似△OA2B2，使它與△OAB的位似比為2：1，并寫(xiě)出點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B2的坐標(biāo)；

（3）△OAB的內(nèi)部一點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a,b），寫(xiě)出M在△OA2B2中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M2的坐標(biāo)．19．(0分)如圖，為的直徑，C是圓上一點(diǎn)，D是的中點(diǎn)，弦，垂足為點(diǎn)F．（1）求證：；（2）P上一點(diǎn)，，求；（3）在（2）的條件下，當(dāng)是的平分線時(shí)，求的長(zhǎng)．20．(0分)在矩形中，，，點(diǎn)在邊上，將射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，以線段，為鄰邊作矩形．

（1）如圖1，連接，求的度數(shù)和的值；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在射線上時(shí)，求線段的長(zhǎng)；（3）如圖3，當(dāng)時(shí)，在平面內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)，滿足，連接，，求的最小值．21．(0分)問(wèn)題提出：如圖（1），中，，是的中點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，探究的值．（1）先將問(wèn)題特殊化．如圖（2），當(dāng)時(shí)，直接寫(xiě)出的值；（2）再探究一般情形．如圖（1），證明（1）中的結(jié)論仍然成立．問(wèn)題拓展：如圖（3），在中，，是的中點(diǎn)，是邊上一點(diǎn)，，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．直接寫(xiě)出的值（用含的式子表示）．22．(0分)如圖1，在等腰中，，是的中點(diǎn)，為邊上任意一點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，交于點(diǎn)．（1）若，，求的長(zhǎng)；（2）如圖2，點(diǎn)恰好是的中點(diǎn)，連接，求證：．

試卷答案1．【答案】B【解析】根據(jù)矩形的性質(zhì)證明△EAB≌△ADF，∠CDF=∠AEB，利用勾股定理求出AB，然后逐一進(jìn)行判斷即可解決問(wèn)題．

解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD=BC，AD∥BC，∠B=90°，

∵BE=2，EC=1，

∴AE=AD=BC=3，AB==，

∵AD∥BC，

∴∠DAF=∠AEB，

∵DF⊥AE，

∴∠AFD=∠B=90°，

∴△EAB≌△ADF，

∴AF=BE=2，DF=AB=，故①②正確，

不妨設(shè)DF平分∠ADC，則△ADF是等腰直角三角形，這個(gè)顯然不可能，故③錯(cuò)誤，

∵∠DAF+∠ADF=90°，∠CDF+∠ADF=90°，

∴∠DAF=∠CDF，

∴∠CDF=∠AEB，

∴sin∠CDF=sin∠AEB=，故④錯(cuò)誤，

∴正確的結(jié)論有①②．共2個(gè)．

故選：B．2．【答案】B【解析】由角平分線的定義得到∠ACB=2∠BCD，再證明∠BCD=∠B，CD=BD=3，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE=DF，接著利用面積法證明AC：BC=2：3，則設(shè)AC=2x,BC=3x,CF=x,然后證明Rt△CDE≌Rt△CDF得到CE=CF=x,所以AE=x,利用勾股定理得到22-（x）2=32-（x）2，解得x=，從而得到AC的長(zhǎng)．

解：過(guò)D點(diǎn)作DE⊥AC于E點(diǎn)，DF⊥BC于F點(diǎn)，如圖，

∵CD平分∠ACB，

∴∠ACB=2∠BCD，

∵∠ACB=2∠B，

∴∠BCD=∠B，

∴CD=BD=3，

∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，

∴DE=DF

∵S△CAD：S△CBD=AD：BD=2：3，

∴DE?AC：DF?BC=2：3，

∴AC：BC=2：3，

設(shè)AC=2x,BC=3x,

∵DB=DC，

∴CF=BF=BC=x,

在Rt△CDE和Rt△CDF中，

，

∴Rt△CDE≌Rt△CDF（HL），

∴CE=CF=x,

∴AE=x,

∵DE2=DA2-AE2=CD2-CE2，

∴22-（x）2=32-（x）2，解得x=，

∴AC=．

另一種解法：∵∠ACB=2∠B，CD平分∠ACB，

∴∠B=∠ACB，∠BCD=∠ACB，

∴∠B=∠BCD，

∵∠ADC是△BCD的外角，

∴∠ADC=∠B+∠BCD=2∠B，

∴∠ADC=∠ACB，

∴△ACD∽△ABC，

∴，

∵AD=2，BD=3，

∴，

解得：AC=．

故選：B．3．【答案】C【解析】連接GF，證明△DHE∽△GHF，可得=（）2，進(jìn)而可得S4的值．

解：如圖，連接GF，

∵AD=BE，DG∥AC，EF∥BC，

∴===，

∵∠DHE=∠GHF，

∴△DHE∽△GHF，

∴=（）2，

∵S2=18，S3=6，

∴=，S△HGF=S3，

∴S△DHE=（）2×3=27，

則S4的值為27．

故選：C．4．【答案】A【解析】根據(jù)直角三角形的斜邊中線等于斜邊一半可得CE=AE=BE=AB，進(jìn)而得到∠BEC=2∠A=∠BFC，從而有∠CEF=∠CBF，根據(jù)三角形的面積公式求出AF，由勾股定理，在Rt△BCF中，求出CF，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求解即可．

解：連接BF，

∵CE是斜邊AB上的中線，EF⊥AB，

∴EF是AB的垂直平分線，

∴S△AFE=S△BFE=5，∠FBA=∠A，

∴S△AFB=10=AF?BC，

∵BC=4，

∴AF=5=BF，

在Rt△BCF中，BC=4，BF=5，

∴CF==3，

∵CE=AE=BE=AB，

∴∠A=∠FBA=∠ACE，

又∵∠BCA=90°=∠BEF，

∴∠CBF=90°-∠BFC=90°-2∠A，

∠CEF=90°-∠BEC=90°-2∠A，

∴∠CEF=∠FBC，

∴sin∠CEF=sin∠FBC==，

故選：A．5．【答案】C【解析】先根據(jù)正方形的性質(zhì)和BE=BC得到AB=BE，進(jìn)而判斷BH垂直平分AE，故①正確，然后判斷出∠DAE=∠ABH，再判斷△ADE≌△CDE得出∠DAE=∠DCE=22.5°，∠ABH=∠DCF，再判斷出Rt△ABH≌Rt△DCF從而得到②正確，根據(jù)三角形的外角求出∠AEF=45°，得出④正確；結(jié)合②④可得DF=DE即可得③正確；連接HE，判斷出S△EFH≠S△EFD得出⑤錯(cuò)誤．

解：∵BD是正方形ABCD的對(duì)角線，

∴∠ABE=∠ADE=∠CDE=45°，AB=BC，

∵BE=BC，

∴AB=BE，

∵BG⊥AE，

∴BH是線段AE的垂直平分線，∠ABH=∠DBH=22.5°，故①正確；

在Rt△ABH中，∠AHB=90°-∠ABH=67.5°，

∵∠AGH=90°，

∴∠DAE=∠ABH=22.5°，

在△ADE和△CDE中，

，

∴△ADE≌△CDE（SAS），

∴∠DAE=∠DCE=22.5°，

∴∠ABH=∠DCF，

在Rt△ABH和Rt△DCF中，

，

∴Rt△ABH≌Rt△DCF（ASA），

∴AH=DF，∠CFD=∠AHB=67.5°，故②正確；

∵∠CFD=∠EAF+∠AEF，

∴67.5°=22.5°+∠AEF，

∴∠AEF=45°，故④正確；

∵∠FDE=45°，∠DFE=∠FAE+∠AEF=22.5°+45°=67.5°，

∴∠DEF=180°-45°-67.5°=67.5°，

∴DF=DE，故③正確；

如圖，連接HE，

∵BH是AE垂直平分線，

∴AG=EG，

∴S△AGH=S△HEG，

∵AH=HE，

∴∠AHG=∠EHG=67.5°，

∴∠DHE=45°，

∵∠ADE=45°，

∴∠DEH=90°，∠DHE=∠HDE=45°，

∴EH=ED，

∴△DEH是等腰直角三角形，

∵EF不垂直DH，

∴FH≠FD，

∴S△EFH≠S△EFD，

∴S四邊形EFHG=S△HEG+S△EFH=S△AHG+S△EFH≠S△DEF+S△AGH，故⑤錯(cuò)誤，

∴正確的是①②③④，

故選：C．6．【答案】B【解析】過(guò)點(diǎn)M作MH⊥OB于H．首先利用相似三角形的性質(zhì)求出△OBM的面積=9，再證明OH=OB，求出△MOH的面積即可．

解：過(guò)點(diǎn)M作MH⊥OB于H．

∵AD∥OB，

∴△ADM∽△BOM，

∴=（）2=，

∵S△ADM=4，

∴S△BOM=9，

∵DB⊥OB，MH⊥OB，

∴MH∥DB，

∴===，

∴OH=OB，

∴S△MOH=×S△OBM=，

∵=，

∴k=，

故選：B．7．【答案】D【解析】①、②按照命題的定義，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)逐個(gè)驗(yàn)證即可；

③將△AOC、△BOD的面積進(jìn)行拆分，通過(guò)證明△DEA≌△BFC（AAS），進(jìn)而求解．

解：①把x1，x2分別代入得，y1=，y2=，

若x1=y2，則y2==x1，即x1x2=1+|k|=y1x2，則x1x2=1+|k|=y1x1，

即y1=x2，

故①是真命題；

②把x1=2019，x2=2020分別代入得，y1=，y2=，

∴y1＞y2；

故②是真命題；

③設(shè)直線CD的表達(dá)式為：y=k′x+b,

反比例函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=，

設(shè)m=|k|+1，則反比例函數(shù)表達(dá)式為：y=（x＞0），

過(guò)點(diǎn)A、B分別作AE⊥y軸于點(diǎn)E，BF⊥x軸于點(diǎn)F，連接OA、OB，

A（x1，y1），B（x2，y2），

則AE=x1，OF=x2，

聯(lián)立直線y=k′x+b與函數(shù)y=表達(dá)式并整理得：

k′x2+bx-m=0，

則x1，x2是方程的兩個(gè)根，

則有x1+x2=-，

而y=k′x+b中，當(dāng)y=0時(shí)，x=-，

∴OC=x1+x2．

又OF=x2，

∴CF=OC-OF=x1=AE．

∵AE∥CF，

∴∠DAE=∠BCF，而∠DEA=∠BFC=90°，

∴△DEA≌△BFC（AAS），

∴S△DEA=S△BFC，

而S△AEO=S△BFO=m,

S△AOC=S△AOB+S△BOF+S△BFC=S△AOB+S△AEO+S△DEA=S△BOD，

故③正確，符合題意；

故選：D．8．【答案】D9．【答案】D【解析】根據(jù)題設(shè)條件，由，知[x（b-a）]2=（b-a）2-x（b-a）2，由此能求出最佳樂(lè)觀系數(shù)x的值．

解法一：∵c-a=x（b-a），b-c=（b-a）-x（b-a），，

∴[x（b-a）]2=（b-a）2-x（b-a）2，

∴x2+x-1=0，

解得x=，

∵0＜x＜1，

∴x=．

解法二：

由c=a+x（b-a），可得x=，

由，可得（c-a）2=（b-a）（b-c），

即（c-a）2=（b-a）[（b-a）-（c-a）]，

∴（c-a）2=（b-a）2-（b-a）（c-a），

兩邊同時(shí)除以（b-a）2可得，

=1-，

將x=代入，可得x2+x-1=0，

解得x=，

∵0＜x＜1，

∴x=．

故選：D．10．【答案】D【解析】若甲：乙：丙=a：b：c,則甲占全部的，乙占全部的，丙占全部的．

解：由表得知上、下學(xué)期各社團(tuán)人數(shù)占全部人數(shù)的比例如下：舞蹈社溜冰社魔術(shù)社上學(xué)期===下學(xué)期===∴舞蹈社增加，溜冰社不變．

故選：D．11．【答案】##【解析】延長(zhǎng)DE，交AB于點(diǎn)H，確定點(diǎn)B關(guān)于直線DE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F，由點(diǎn)B，D關(guān)于直線AC對(duì)稱(chēng)可知QD=QB，求最大，即求最大，點(diǎn)Q，B，共線時(shí)，，根據(jù)“三角形兩邊之差小于第三邊”可得最大，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)F重合時(shí)，得到最大值.連接BD，即可求出CO，EO，再說(shuō)明，可得DO，根據(jù)勾股定理求出DE，然后證明，可求BH，即可得出答案．延長(zhǎng)DE，交AB于點(diǎn)H，∵，ED⊥CD，∴DH⊥AB．取FH=BH，∴點(diǎn)P的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在EF上．由點(diǎn)B，D關(guān)于直線AC對(duì)稱(chēng)，∴QD=QB．要求最大，即求最大，點(diǎn)Q，B，共線時(shí)，，根據(jù)“三角形兩邊之差小于第三邊”可得最大，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)F重合時(shí)，得到最大值BF．連接BD，與AC交于點(diǎn)O．∵AE=14,CE=18，∴AC=32，∴CO=16，EO=2．∵∠EDO+∠DEO=90°，∠EDO+∠CDO=90°，∴∠DEO=∠CDO．∵∠EOD=∠DOC，∴，∴，即，解得，∴．在Rt△DEO中，．∵∠EDO=∠BDH，∠DOE=∠DHB，∴，∴，即，解得，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】這是一道根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)求線段差最大的問(wèn)題，考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定等，確定最大值是解題的關(guān)鍵．12．【答案】【解析】根據(jù)題意易證，即得出．利用勾股定理即可求出CE的長(zhǎng)，再根據(jù)題意易證，即得出，代入數(shù)據(jù)即可求出的長(zhǎng)，從而可求出ED的長(zhǎng)，又易證，即得出，代入數(shù)據(jù)即可求出EI的長(zhǎng)．解：由翻折可知，在和中，，∴，∴．∵，∴．∵，，∴，∴，即，解得：，∴．∵，，∴，∴，即解得：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理以及三角形相似的判定和性質(zhì)．?dāng)?shù)據(jù)處理較大，較難，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想來(lái)求解．13．【答案】5【解析】分兩種情形：①當(dāng)PH＞NH時(shí)，由題意PH=?PN=2-2，②當(dāng)NH＞PH中，則NH=2-2，PH=PG=6-2，分別利用相似三角形的性質(zhì)以及勾股定理求解即可．

解：①當(dāng)PH＞NH時(shí)，由題意PH=?PN=2-2，

設(shè)ON=OG=x,則OP=x-（2-2），

∵∠OPN=90°，

∴[x-（2-2）]2+42=x2，

∴x=2，

∴OP=2，OQ=2，

∵∠OPN=∠Q=∠NQI=90°，

∴∠NOP+∠QOI=90°，∠NOP+∠PNO=90°，

∴∠QOI=∠PNO，

∴△OQI∽△NPO，

∴=，

∴=，

∴OI=，

∴S△NOI=?NO?OI=×2×=5．

②當(dāng)NH＞PH中，則NH=2-2，PH=PG=6-2，

設(shè)ON=OG=y,則OP=y-（6-2），

∵∠OPN=90°，

∴[y-（6-2）]2+42=y2，

∴y=8，

∴OP=2+2＞4（不符合題意，舍棄）．

綜上所述，△NOI的面積為5．

故答案為：5．14．【答案】②③④【解析】①根據(jù)題目中的條件和正方形的性質(zhì)，利用銳角三角函數(shù)可以得到∠BAE是否等于30°；

②根據(jù)題目中的條件，可以求得∠AEB和∠CFE的正切值，從而可以得到射線FE是否為∠AFC的角平分線；

③根據(jù)正方形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論；

④根據(jù)題目中的條件和全等三角形的判定與性質(zhì)，可以得到AF=AB+CF是否成立．

解：∵在正方形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，

∴AB=BC，BE=AB，

∴tanA==，

∵tan30°=，

∴∠BAE≠30°，故①錯(cuò)誤；

∵∠B=∠C=90°，AE⊥EF，

∴∠BAE+∠BEA=90°，∠BEA+∠CEF=90°，

∴∠BAE=∠CEF，

∴△ABE∽△ECF，

∵AB=2BE=2CE，

∴EC=2CF，

設(shè)CF=a,則EC=BE=2a,AB=4a,

∴AE=2a,EF=a,tan∠CFE=2，

∴tan∠AFE==2，

∴∠AFE=∠CFE，

即射線FE是∠AFC的角平分線，故②正確；

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠B=∠C=90°，AB=BC=CD，

∵AE⊥EF，

∴∠AEF=∠B=90°，

∴∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+FEC=90°，

∴∠BAE=∠CEF，

∴△BAE∽△CEF，

∴=，

∵BE=CE，

∴=，

∵∠B=∠AEF=90°，

∴△ABE∽△AEF，

∴=，

∴AE2=AD?AF；故③正確；

作EG⊥AF于點(diǎn)G，

∵FE平分∠AFC，∠C=90°，

∴EG=EC，

∴EG=EB，

∵∠B=∠AGE=90°，

在Rt△ABE和Rt△AGE中，

∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），

∴AB=AG，

又∵CF=GF，AF=AG+GF，

∴AF=AB+CF，故④正確，

由上可得，②③④正確，

故答案為：②③④．15．【答案】【解析】過(guò)點(diǎn)C作CM⊥DE于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥AC于點(diǎn)N，先證△BCD∽△ACE，求出AE的長(zhǎng)及∠CAE=60°，推出∠DAE=90°，在Rt△DAE中利用勾股定理求出DE的長(zhǎng)，進(jìn)一步求出CD的長(zhǎng)，分別在Rt△DCM和Rt△AEN中，求出MC和NE的長(zhǎng)，再證△MFC∽△NFE，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等即可求出CF與EF的比值．

解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥DE于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥AC于點(diǎn)N，

∵BD=1，AD=5，

∴AB=BD+AD=6，

∵在Rt△ABC中，∠BAC=30°，∠B=90°-∠BAC=60°，

∴BC=AB=3，AC=BC=3，

在Rt△BCA與Rt△DCE中，

∵∠BAC=∠DEC=30°，

∴tan∠BAC=tan∠DEC，

∴，

∵∠BCA=∠DCE=90°，

∴∠BCA-∠DCA=∠DCE-∠DCA，

∴∠BCD=∠ACE，

∴△BCD∽△ACE，

∴∠CAE=∠B=60°，，

∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=30°+60°=90°，，

∴AE=，

在Rt△ADE中，

DE===2，

在Rt△DCE中，∠DEC=30°，

∴∠EDC=60°，DC=DE=，

在Rt△DCM中，

MC=DC=，

在Rt△AEN中，

NE=AE=，

∵∠MFC=∠NFE，∠FMC=∠FNE=90°，

∴△MFC∽△NFE，

∴===，

方法二：求出AE后，證明△DFC∽△AFE，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．

故答案為：．16．【答案】略【解析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，利用平行，連接AP作PR∥AC，且PR=2AC，同理作PQ∥AB，PQ=2AC連接QR．三角形就畫(huà)成了．

解：

17．【答案】9：12：20【解析】此類(lèi)題做的時(shí)候可以根據(jù)分式的基本性質(zhì)把兩個(gè)比例式中的相同字母變成所占的份數(shù)相同，即可把三個(gè)字母的比的關(guān)系求解出來(lái)．

解：∵=，=，

∴=，

∴a：b：c=9：12：20．

故填9：12：20．18．【解析】（1）連接O1O并延長(zhǎng)與A1A的延長(zhǎng)線相交，交點(diǎn)即為位似中心P，再根據(jù)平面直角坐標(biāo)系寫(xiě)出點(diǎn)P和B1的坐標(biāo)；

（2）延長(zhǎng)OA到A2，使AA2=OA，延長(zhǎng)OB到B2，使BB2=OB，連接A2B2，再根據(jù)平面直角坐標(biāo)系寫(xiě)出點(diǎn)B2的坐標(biāo)；

（3）根據(jù)位似比是2寫(xiě)出即可．

解：（1）位似中心P如圖所示，P（-5，-1），B1（3，-5）；

（2）△OA2B2如圖所示，B2（-2，-6）；

（3）點(diǎn)M2（2a,2b）．

19．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）（3）【解析】（1）由D是的中點(diǎn)得，由垂徑定理得，得到，根據(jù)同圓中，等弧對(duì)等弦即可證明；（2）連接，證明，設(shè)的半徑為r，利用相似三角形的性質(zhì)得，，由勾股定理求得，得到，即可得到；（3）過(guò)點(diǎn)B作交于點(diǎn)G，證明是等腰直角三角形，解直角三角形得到，由得到，解得，即可求解．【小問(wèn)1詳解】解：∵D是的中點(diǎn)，∴，∵且為的直徑，∴，∴，∴；【小問(wèn)2詳解】解：連接，∵，∴，∵為的直徑，∴，∵，∴，∴，∴，設(shè)的半徑為r，則，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是方程的根，∴，∴，∴，∵，∴；【小問(wèn)3詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作交于點(diǎn)G，∴∵，是的平分線，∴∴∴，∵∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理及推論，解直角三角形等知識(shí)，熟練掌握以上知識(shí)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．20．【答案】（1），；（2）；（3）．【解析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，，，進(jìn)而根據(jù)正切函數(shù)得出，可求出，由矩形和矩形可得，，求出，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出答案；（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由矩形和矩形可得，，，證明，進(jìn)而得出，設(shè)，則，根據(jù)，得出，求出，進(jìn)而可得出答案；（3）連接，先證明是等邊三角形，，得出，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，與重合，得到，進(jìn)而求出，，，得出，可得當(dāng)點(diǎn)，，三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，此時(shí)為．【小問(wèn)1詳解】解：∵矩形中，，，∴，，，∴，∴，由矩形和矩形可得，，∴，即，∴，∴；【小問(wèn)2詳解】解：如答案圖1，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由矩形和矩形可得，，，∴，，∴，∴，，∴，，∴，∴，設(shè)，則，∴，∵，∴，解得，∴；【小問(wèn)3詳解】解：如答案圖2，連接，∵矩形中，，，∴，，∵，∴，，∴，∴是等邊三角形，，∴，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，與重合，得到，∴，，，∴，∴當(dāng)點(diǎn)，，三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，此時(shí)為．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，三角函數(shù)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．

21．【答案