2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題突破專題突破練22　圓錐曲線中的范圍、最值、證明問題（附答案）

專題突破練22圓錐曲線中的范圍、最值、證明問題1.(2023·江蘇南京、鹽城一模)已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為2,直線l1:y=(1)求雙曲線C的方程;(2)設(shè)雙曲線C的左頂點(diǎn)為A,直線l2平行于l1,且交雙曲線C于M,N兩點(diǎn),求證:△AMN的垂心在雙曲線C上.2.設(shè)拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P(m,2)(m>0)在拋物線C上,且滿足|PF|=3.(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過點(diǎn)G(0,4)的直線l與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),分別以A,B為切點(diǎn)的拋物線C的兩條切線交于點(diǎn)Q,求△PQG周長(zhǎng)的最小值.3.設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn),以F1,F2為焦點(diǎn)的橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為22,以|F(1)求橢圓C的方程;(2)P是橢圓C外的一點(diǎn),過P的直線l1,l2均與橢圓C相切,且l1,l2的斜率之積為m(-1≤m≤-12),記u為|PO|的最小值,求u的取值范圍4.已知橢圓C:x2a2+y2(1)求橢圓C的方程;(2)點(diǎn)P是橢圓C上一點(diǎn),且在第一象限內(nèi),過P作直線交y軸正半軸于點(diǎn)A,交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)B,與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為E,且PA=AB,點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn),直線QA與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為F.①證明:直線AQ,AP的斜率之比為定值;②求直線EF的斜率的最小值.5.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A(-1,0),B(1,0),C為動(dòng)點(diǎn),設(shè)△ABC的內(nèi)切圓分別與邊AC,BC,AB相切于P,Q,R,且|CP|=1,記點(diǎn)C的軌跡為曲線E.(1)求曲線E的方程;(2)不過原點(diǎn)O的直線l與曲線E交于M,N,且直線y=-12x經(jīng)過MN的中點(diǎn)T,求△OMN的面積的最大值6.(2023·新高考Ⅰ,22)在直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)P到x軸的距離等于點(diǎn)P到點(diǎn)(0,12)的距離,記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為W(1)求W的方程;(2)已知矩形ABCD有三個(gè)頂點(diǎn)在W上,證明:矩形ABCD的周長(zhǎng)大于33.

專題突破練22圓錐曲線中的范圍、最值、證明問題1.(1)解因?yàn)殡p曲線C的離心率為2,所以a2+即a2=b2,所以雙曲線C的方程為x2-y2=a2.聯(lián)立直線l1與雙曲線C的方程y=2x+43,x2-y2=a2,消去即3x2+163x+a2+48=0.因?yàn)閘1與雙曲線C僅有一個(gè)公共點(diǎn),所以Δ=(163)2-4×3(a2+48)=0,解得a2=16,故雙曲線C的方程為x216?(2)證明設(shè)直線l2:y=2x+m(m≠43),M(x1,y1),N(x2,y2),則M,N滿足y=2x+m,x2-y2=16,消去y所以x1+x2=-4m3,x1x2如圖所示,A(-4,0),過A引MN的垂線交C于另一點(diǎn)H,則AH的方程為y=-12x-2代入x2-y2=16得3x2-8x-80=0,解得x=-4(舍去)或x=20所以點(diǎn)H為(203,-163所以kAN·kMH=y2(=12x1=-m2所以MH⊥AN.故H為△AMN的垂心,得證.2.解(1)由拋物線定義,得|PF|=2+p2=3,得p=故拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=4y.(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線l的方程為y=kx+4,聯(lián)立y=kx+4,x2=4y,消去x,Δ>0,x1+x2=4k,x1x2=-16.設(shè)A,B處的切線斜率分別為k1,k2,則k1=x12,k2=在點(diǎn)A處的切線方程為y-y1=x12(x-x1),即y=x同理,在點(diǎn)B處的切線方程為y=x2x由①②得xQ=x1+x22=2k,代入①或②中可得yQ=kx1-x124=y1-4-y1=-4,故Q(2k,-設(shè)點(diǎn)G關(guān)于直線y=-4的對(duì)稱點(diǎn)為G',則G'(0,-12),由(1)知P(22,2),∵|PQ|+|GQ|=|PQ|+|G'Q|≥|G'P|=251,即P,Q,G'三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立,∴△PQG周長(zhǎng)的最小值為|GP|+|G'P|=251+233.解(1)由題意可得2a=22,故a=2因?yàn)橐詜F1F2|為直徑的圓和橢圓C恰好有兩個(gè)交點(diǎn),則b=c,b2+c2=2b2=a2=2,可得b=c=1,因此橢圓C的方程為x22+y2=(2)由題意可知,直線l1,l2的斜率存在且不為零,設(shè)過點(diǎn)P(x0,y0)的切線l:y-y0=k(x-x0),聯(lián)立y-y0=k(x-x0),x22+y2=1,消去y可得(2k2+1)x2+4由于直線l與橢圓C相切,則Δ=16k2(y0-kx0)2-4(2k2+1)[2(y0-kx0)2-2]=0,化簡(jiǎn)并整理得(y0-kx0)2=2k2+1.整理成關(guān)于k的二次方程得(x02-2)k2-2x0y0k+y02-1=0(易知x0設(shè)直線l1,l2的斜率分別為k1,k2,易知k1,k2為關(guān)于k的二次方程(x02-2)k2-2x0y0k+y02-1所以k1k2=y02-1x02-2=m,y02=mx02+1-2m,所以故|PO|=x易知當(dāng)x0=0時(shí),有u=|PO|min=1因?yàn)?1≤m≤-12,所以2≤u即u的取值范圍是[2,34.(1)解由題意得2解得a所以橢圓C的方程為x22+y2=(2)①證明設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0),因?yàn)辄c(diǎn)Q是點(diǎn)P(x0,y0)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn),PA=AB,所以Q(x0,-y0),A0所以直線QA的斜率為kQA=-y0-12y0所以kQAkPA=-3.所以直線AQ,②解設(shè)直線PA的方程為y=kx+m.聯(lián)立方程組y=kx+m,x2+2y2=2,化簡(jiǎn)得(1+2k2)x設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)是(x1,y1),所以x0x1=2所以x1=2所以y1=2k(所以點(diǎn)E的坐標(biāo)是(2m2-由①可知,直線QA的方程是y=-3kx+m.所以點(diǎn)F的坐標(biāo)是)2m2-所以直線EF的斜率kEF=-因?yàn)閗>0,所以kEF=6k2當(dāng)且僅當(dāng)6k=1k即k=66時(shí),kEF有最小值所以直線EF的斜率的最小值是65.解(1)依題意可知,|CA|+|CB|=|CP|+|CQ|+|AP|+|BQ|=2|CP|+|AB|=4>|AB|,所以曲線E是以A,B為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓(除去與x軸的交點(diǎn)),因此曲線E的方程為x24+y23(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),顯然直線l的斜率存在,設(shè)其方程為y=kx+m(m≠0),代入x24+y23=1,整理得(4k2+3)x2+8kmx+4m2則x1+x2=-8km4k2+3,x1x2=4m2-124k2+3,所以y1+y故MN的中點(diǎn)T的坐標(biāo)為-而直線y=-12x經(jīng)過MN的中點(diǎn)T,得3m4又m≠0,所以直線l的斜率k=3故(*)式可化簡(jiǎn)為3x2+3mx+m2-3=0,故x1+x2=-m,x1x2=m2由Δ=36-3m2>0且m≠0,得-23<m<23且m≠0.又|MN|=1+k2|x1-x2|=132×36-3m2則△OMN的面積S=1=123當(dāng)且僅當(dāng)m=±6時(shí),等號(hào)成立,此時(shí)滿足-23<m<23且m≠0,所以△OMN的面積的最大值為36.解(1)設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(x,y),由題意得x2+(y-12)2=|y|,兩邊平方得于是y=x2+14,經(jīng)驗(yàn)證成立故W的方程為y=x2+1(2)設(shè)矩形ABCD的頂點(diǎn)A(x1,y1)(x1≥0),B(x2,y2)(x2>0),D(x3,y3)在W上,如圖所示,設(shè)直線AB的斜率為k(k>0).不妨將A,B固定在y軸及y軸右側(cè).A,B坐標(biāo)滿足y2-y1=k(x2-x1),A,D坐標(biāo)滿足y3-y1=-1k(x3-x1)又A,B,D在拋物線上,即y1=x12+14,y2=x2代入以上方程中,得x2=k-x1,x3=-1k-x1矩形ABCD的周長(zhǎng)為2|AB|+2|AD|≥4|AB|·|AD|,當(dāng)且僅當(dāng)|AB|=|AD|要證矩形ABCD的周長(zhǎng)大于33,只需證明正方形的面積大于27∵|AB|=1+k2·(x2-x1),|AD|=1+1k2∴1+k2·(x2-x1)=1+1k2·(x1-x3),得x1-x3將x2=k-x1,x3=-1k-x1代入x1-x3=k(x2-x1),有2x1+1k=k(k-2x即k2-1k=(2k+2)x1∵x1≥0,∴