平面幾何中的圓的性質(zhì)與定理

平面幾何中的圓的性質(zhì)與定理目錄contents圓的基本概念與性質(zhì)圓的定理及其應(yīng)用特殊圓的性質(zhì)與定理圓與其他幾何圖形關(guān)系解題方法與技巧總結(jié)回顧與拓展延伸圓的基本概念與性質(zhì)01平面上所有與定點(diǎn)（圓心）距離等于定長(zhǎng)（半徑）的點(diǎn)的集合。圓的定義包括圓心、半徑、直徑、弧、弦、圓周角、圓心角等。圓的元素圓的定義及元素圓的中心，用字母O表示。圓心半徑直徑連接圓心和圓上任意一點(diǎn)的線段，用字母r表示。通過(guò)圓心且兩端點(diǎn)都在圓上的線段，是圓內(nèi)最長(zhǎng)的弦，用字母d表示。030201圓心、半徑和直徑圓上任意兩點(diǎn)間的部分。根據(jù)與圓心的相對(duì)位置可分為優(yōu)弧和劣弧?；∵B接圓上任意兩點(diǎn)的線段。最長(zhǎng)的弦是直徑。弦垂直于弦且平分弦的線段，必過(guò)圓心。中垂線弧、弦及其中垂線

圓周角與圓心角圓周角頂點(diǎn)在圓上，兩邊與圓相交的角。圓周角等于它所截弧所對(duì)的圓心角的一半。圓心角頂點(diǎn)在圓心，兩邊與圓相交的角。圓心角的度數(shù)等于它所截弧的度數(shù)。圓周角定理及其推論同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；直徑所對(duì)的圓周角是直角；90度的圓周角所對(duì)的弦是直徑等。圓的定理及其應(yīng)用02從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等。切線長(zhǎng)定理的表述若兩條切線長(zhǎng)相等，且它們和圓有公共點(diǎn)，則這兩條切線是同一圓的外切線。切線長(zhǎng)定理的推論在解決與圓切線有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，切線長(zhǎng)定理可用于證明線段相等或求解未知量。切線長(zhǎng)定理的應(yīng)用切線長(zhǎng)定理割線長(zhǎng)定理的推論若兩條割線滿足割線長(zhǎng)定理的條件，則這兩條割線是同一圓的外割線。割線長(zhǎng)定理的表述從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，割線長(zhǎng)的乘積等于該點(diǎn)到兩交點(diǎn)連線的距離的平方。割線長(zhǎng)定理的應(yīng)用在解決與圓割線有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，割線長(zhǎng)定理可用于證明線段比例關(guān)系或求解未知量。割線長(zhǎng)定理弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角。弦切角定理的表述若兩個(gè)弦切角所夾的弧相等，則這兩個(gè)弦切角相等。弦切角定理的推論在解決與圓和弦、切線有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，弦切角定理可用于證明角度相等或求解未知量。弦切角定理的應(yīng)用弦切角定理圓心角定理的表述在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等。圓心角定理的推論若兩個(gè)圓心角所對(duì)的弧或弦相等，則這兩個(gè)圓心角相等。圓心角定理的應(yīng)用在解決與圓和圓心角有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，圓心角定理可用于證明弧或弦相等，以及求解未知量。圓心角定理特殊圓的性質(zhì)與定理03等腰三角形的外接圓的圓心位于三角形的底邊中垂線上，且到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。等腰三角形的外接圓半徑等于底邊長(zhǎng)度與兩腰之和的一半。等腰三角形外接圓的任意弦所對(duì)的圓周角等于該弦所對(duì)的內(nèi)角的二分之一。等腰三角形外接圓性質(zhì)

等邊三角形外接圓性質(zhì)等邊三角形的外接圓的圓心位于三角形的重心、外心、內(nèi)心和垂心重合的一點(diǎn)上，稱為等邊三角形的中心。等邊三角形的外接圓半徑等于三角形邊長(zhǎng)與根號(hào)3的乘積的一半。等邊三角形外接圓的任意弦所對(duì)的圓周角等于該弦所對(duì)的內(nèi)角的二分之一，且任意弦的中垂線經(jīng)過(guò)圓心。直角三角形內(nèi)切圓的任意弦所對(duì)的圓周角等于該弦所對(duì)的內(nèi)角的二分之一，且任意弦的中垂線經(jīng)過(guò)圓心。同時(shí)，內(nèi)切圓的半徑、弦心距和弦長(zhǎng)之間滿足勾股定理。直角三角形的內(nèi)切圓的圓心位于斜邊的中點(diǎn)上，且到三角形三邊的距離相等。直角三角形的內(nèi)切圓半徑等于兩直角邊之和減去斜邊長(zhǎng)度后的一半。直角三角形內(nèi)切圓性質(zhì)圓與其他幾何圖形關(guān)系04123直線和圓沒(méi)有公共點(diǎn)，即圓心到直線的距離大于半徑。相離直線和圓有一個(gè)公共點(diǎn)，即圓心到直線的距離等于半徑。相切直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，即圓心到直線的距離小于半徑。相交圓與直線位置關(guān)系多邊形各邊所在直線均與圓相切，且圓心到多邊形各頂點(diǎn)的距離相等。外切多邊形各頂點(diǎn)均在圓上，且圓心到多邊形各邊的距離相等。內(nèi)接圓與多邊形位置關(guān)系03圓內(nèi)接相似多邊形若兩個(gè)多邊形內(nèi)接于同一個(gè)圓，且它們的對(duì)應(yīng)角相等，則這兩個(gè)多邊形相似。01相似三角形的外接圓兩個(gè)相似三角形的外接圓半徑之比等于相似比。02相似多邊形的外接圓兩個(gè)相似多邊形的外接圓半徑之比等于相似比。圓在相似形中作用解題方法與技巧05構(gòu)造圓的切線通過(guò)已知點(diǎn)作圓的割線，利用割線與圓的交點(diǎn)解決問(wèn)題。構(gòu)造圓的割線構(gòu)造圓的弦通過(guò)已知點(diǎn)作圓的弦，利用弦的性質(zhì)解決問(wèn)題。通過(guò)已知點(diǎn)作圓的切線，利用切線的性質(zhì)解決問(wèn)題。利用已知條件構(gòu)造輔助線觀察弦與弧的關(guān)系發(fā)現(xiàn)弦的中垂線經(jīng)過(guò)圓心，且弦所對(duì)的弧的中點(diǎn)與圓心連線垂直于弦，利用這些規(guī)律解決問(wèn)題。觀察圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)發(fā)現(xiàn)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，且任意三個(gè)頂點(diǎn)組成的三角形都是直角三角形，利用這些性質(zhì)解決問(wèn)題。觀察圓心角與圓周角的關(guān)系發(fā)現(xiàn)圓心角是圓周角的兩倍，利用這一規(guī)律解決問(wèn)題。通過(guò)觀察圖形發(fā)現(xiàn)規(guī)律垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。垂徑定理從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。切線長(zhǎng)定理從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等。割線定理靈活運(yùn)用各種定理解決問(wèn)題總結(jié)回顧與拓展延伸06圓是平面上所有與給定點(diǎn)（中心）距離相等的點(diǎn)的集合；圓的性質(zhì)包括圓心角、弧長(zhǎng)、弦長(zhǎng)等之間的關(guān)系。圓的定義和性質(zhì)切線是與圓有且僅有一個(gè)交點(diǎn)的直線；切線的性質(zhì)包括切線與半徑垂直、切線長(zhǎng)定理等。圓的切線弦是連接圓上任意兩點(diǎn)的線段；弧是圓上兩點(diǎn)間的曲線部分。相關(guān)性質(zhì)有垂徑定理、弦切角定理等。圓的弦與弧點(diǎn)的冪是指點(diǎn)到圓心的距離與圓的半徑的平方差；根軸是與兩圓冪相等的點(diǎn)的軌跡。圓的冪與根軸關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)總結(jié)回顧解析由于點(diǎn)$P$在圓內(nèi)，因此過(guò)點(diǎn)$P$可作兩條與圓相切的切線。解析兩圓相交的條件是$|r_1-r_2|<P<r_1+r_2$。解析由于兩圓相切，因此圓心距等于兩圓半徑之和，即8。例1已知圓$O$的半徑為$r$，點(diǎn)$P$到圓心$O$的距離為$d$，且$d<r$，則過(guò)點(diǎn)$P$可作____條圓的切線。例2已知兩圓半徑分別為$r_1$和$r_2$，且圓心距為$P$，若兩圓相交，則____。例3已知圓$O_1$和圓$O_2$的半徑分別為3和5，且兩圓相切，則兩圓的圓心距為____。010203040506典型例題分析講解非歐幾里得幾何的產(chǎn)生背景非歐幾里得幾何是在對(duì)歐幾里得幾何的第五公設(shè)（平行公設(shè)）進(jìn)行質(zhì)疑和探討的過(guò)程中產(chǎn)生的。它打破了傳統(tǒng)幾何學(xué)的束縛，為現(xiàn)代數(shù)學(xué)和物理學(xué)的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。非歐幾里得幾何的主要類型非歐幾里得幾何主要有兩種類型，即羅巴切夫斯基幾何（雙曲幾何）和黎曼幾何（橢圓幾何）。在羅巴切夫斯基幾何中，過(guò)直線外一點(diǎn)可以作無(wú)數(shù)條與該直線不相交的直線；而在黎曼幾何中，不存在