新高考數(shù)學(xué)臨考題號(hào)押第3題 計(jì)數(shù)原理（解析）

新高考高中數(shù)學(xué)臨考題號(hào)

押第3題計(jì)數(shù)原理

琴：命題探究?與

從2021年新高考和往年高考來看，計(jì)數(shù)原理是高考的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，主要考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)、

二項(xiàng)式系數(shù)、展開式的系數(shù)、排列和組合等知識(shí).

解題秘籍

1.熟記二項(xiàng)式定理：(a+8)"=C：a"+C“iO+L+C?kan-kbk+L+C?"(〃eN*),是解決此類問題的

關(guān)鍵.

2.求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題，實(shí)質(zhì)是考查通項(xiàng)的特點(diǎn),一般需要建立方程求匕再將k的值代回通項(xiàng)求解,

注意上的取值范圍(4=0,1,2,L,〃).

(1)第加項(xiàng)：：此時(shí)Z+1=肛直接代入通項(xiàng).

(2)常數(shù)項(xiàng)：即這項(xiàng)中不含“變元”，令通項(xiàng)中“變元”的某指數(shù)為0建立方程.

(3)有理項(xiàng)：令通項(xiàng)中“變元”的基指數(shù)為整數(shù)建立方程.

3.對(duì)于參數(shù)問題，通常是運(yùn)用通項(xiàng)由題意列方程求出參數(shù)即可；有時(shí)需先求〃，計(jì)算時(shí)要注意〃和％的取

值范圍及它們之間的大小關(guān)系.

4.二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的區(qū)別：二項(xiàng)式系數(shù)是指C9,CA，…，OI,它是組合數(shù)，只與各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)有關(guān),

而與“，人的值無關(guān)；而項(xiàng)的系數(shù)是指該項(xiàng)中除變量外的常數(shù)部分，它不僅與各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)有關(guān)，而且

也與a,6的值有關(guān).如3+公)"的展開式中，第r+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是C；；,而該項(xiàng)的系數(shù)是CZ"一?「.

當(dāng)然，某些特殊的二項(xiàng)展開式如(1+x)",各項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)是相等的.

5.在解決排列、組合的應(yīng)用題時(shí)，一定要清楚是先排列再組合，還是先組合再排列.

4真題回顧?亨

1.(2020?山東?高考真題)在卜一^］的二項(xiàng)展開式中，第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是()

A.56B.-56C.70D.-70

【答案】A

【詳解】

第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C；=^￥=56,

故選：A.

2.(2020.山東?高考真題)現(xiàn)從4名男生和3名女生中，任選3名男生和2名女生，分別擔(dān)任5門不同學(xué)

科的課代表，則不同安排方法的種數(shù)是（)

A.12B.120C.1440D.17280

【答案】C

【詳解】

首先從4名男生和3名女生中，任選3名男生和2名女生，共有種情況，

再分別擔(dān)任5門不同學(xué)科的課代表，共有父種情況.

所以共有C：C；團(tuán)=1440種不同安排方法.

故選：C

3.（2015?山東?高考真題）（l-x）s的二項(xiàng)展開式中，所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和是（）

A.0B.-1C.-32D.32

【答案】D

【詳解】

（1-的二項(xiàng)展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2,=32

故選：D

4.（2015?山東?高考真題）某值日小組共有5名同窗，假設(shè)任意安排3名同窗負(fù)責(zé)教室內(nèi)的地面衛(wèi)生，其

余2名同窗負(fù)責(zé)教室外的走廊衛(wèi)生，那么不同的安排方式種數(shù)是（）

A.10B.20C.60D.100

【答案】A

【詳解】

從5人當(dāng)選取3人負(fù)責(zé)教室內(nèi)的地面衛(wèi)生，共有C；=10種安排方式.（選取3人后剩下2名同窗干的活就

定了）

故選：A

5.（2021.江蘇.高考真題）下圖是某項(xiàng)工程的網(wǎng)絡(luò)圖（單位:天），則從開始節(jié)點(diǎn)①到終止節(jié)點(diǎn)⑧的路徑共有

【詳解】

山圖可知，由①一④有3條路徑，山④7⑥有2條路徑，由⑥-⑧有2條路徑，根據(jù)分步乘法計(jì)算原理

可得從①f⑧共有3x2x2=12條路徑.

故選：B

6.（2021?江蘇?高考真題）已知。-2力”的展開式中V的系數(shù)為40,則〃等于（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】A

【詳解】

C^（-2x）2=2n（/?-l）x2,所以2〃（〃-1）=40=力=5.

故選：A.

］押題沖關(guān)5號(hào)

1.（2022?山東煙臺(tái)?一模）“碳中和”是指企業(yè)、團(tuán)體或個(gè)人等測算在一定時(shí)間內(nèi)直接或間接產(chǎn)生的溫室氣體

排放總量，通過植樹造林、節(jié)能減排等形式，以抵消自身產(chǎn)生的二氧化碳排放量，實(shí)現(xiàn)二氧化碳“零排放”.某

"碳中和''研究中心計(jì)劃派5名專家分別到A,B,C三地指導(dǎo)“碳中和”工作，每位專家只去一個(gè)地方，且每

地至少派駐1名專家，則分派方法的種數(shù)為（）

A.90B.150C.180D.300

【答案】B

【詳解】

根據(jù)題意有兩種方式：

第一種方式，有一個(gè)地方去3個(gè)專家，剩下的2個(gè)專家各去一個(gè)地方，

共有CfC?片=*9x3x2x1=60種方法,

第二種方式，有一個(gè)地方去1個(gè)專家，另二個(gè)地方各去2個(gè)專家，

v4x3

共有.父=——2—x3x2xl=90,

&52x1

所以分派方法的種數(shù)為60+90=150,

故選：B

2.（2022?山東?濟(jì)南一中模擬預(yù)測）如圖為一個(gè)直角三角形工業(yè)部件的示意圖，現(xiàn)在AB邊內(nèi)側(cè)鉆5個(gè)孔，

在8c邊內(nèi)側(cè)鉆4個(gè)孔，AB邊內(nèi)側(cè)的5個(gè)孔和BC邊內(nèi)側(cè)的4個(gè)孔可連成20條線段，在這些線段的交點(diǎn)處

各鉆一個(gè)孔，則這個(gè)部件上最多可以鉆的孔數(shù)為（）.

A

*aad—c

A.190B.199C.69D.60

【答案】C

【詳解】

在AB邊內(nèi)側(cè)的5個(gè)孔和BC邊內(nèi)側(cè)的4個(gè)孔中各取兩個(gè)可構(gòu)成四邊形，

當(dāng)這些四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)不重合時(shí)，鉆孔最多，

所以最多可以鉆的孔數(shù)為C汨+9=69個(gè).

故選：C

3.(2022?山東荷澤一模)(a-x)(2+xf的展開式中彳5的系數(shù)是12,則實(shí)數(shù)a的值為()

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【詳解】

利用二項(xiàng)式定理展開得(a-x)(2+x)6=(a-勸(《26+廢2晨+亡2々2+竊23丁+仁22/+或2丁+或力

貝I『的系數(shù)為aC；2-C：22=12,，a=6.

故選：C.

4.(2022.山東.模擬預(yù)測)(x+2y)5(x-2?的展開式中心？的系數(shù)為()

A.-160B.-80C.160D.80

【答案】D

【詳解】

解：(x+2y)s(x-2y)7=(/_4y2y(x-2yj=(x2-4y2)5(x2-4xy+4y2),

(x2-4y2)5展開式的通項(xiàng)為Z+i=G(Y廣64y2)，=(_4)，，

令/■=1,得，-4/)5的展開式中xf的系數(shù)為C；(-4)'=-20,

所以(x+2y)5(x-2?的展開式中xV的系數(shù)為-20X(T)=80.

故選：D

5.(2022.山東淄博.一模)若(1-x)=%+q(1+x)+“2(1+x)-t----+%(l+x)?則&=()

A.-448B.-112C.112D.448

【答案】C

【詳解】

(1—x)x=(x—l)s=[。+x)-2『=4+q(1+x)+<z>(l+x)-++/(I+x)s,&=C],(―2)~=112.

故選：C.

6.(2022.山東臨沂?一模)公元五世紀(jì)，數(shù)學(xué)家祖沖之估計(jì)圓周率兀的范圍是：3.1415926〈萬<3.1415927,

為紀(jì)念祖沖之在圓周率方面的成就，把3.1415926稱為“祖率”，這是中國數(shù)學(xué)的偉大成就.某教師為幫助同

學(xué)們了解''祖率"，讓同學(xué)們把小數(shù)點(diǎn)后的7位數(shù)字1,4,1,5,9,2,6進(jìn)行隨機(jī)排列，整數(shù)部分3不變,

那么可以得到大于3.14的不同數(shù)字的個(gè)數(shù)為()

A.720B.1440C.2280D.4080

【答案】C

【詳解】

一共有7個(gè)數(shù)字，且其中有兩個(gè)相同的數(shù)字1.

金

這7個(gè)數(shù)字按題意隨機(jī)排列，可以得到=2520個(gè)不同的數(shù)字.

其

當(dāng)前兩位數(shù)字為11或12時(shí)，得到的數(shù)字不大于3.14

當(dāng)前兩位數(shù)字為11或12時(shí)，共可以得到28=240個(gè)不同的數(shù)字,

則大于3.14的不同數(shù)字的個(gè)數(shù)為2520-240=2280

故選：C

7.(2022.山東臨沂.一模)二項(xiàng)式的展開式中系數(shù)為無理數(shù)的項(xiàng)數(shù)為(

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【詳解】

展開式通項(xiàng)公式為=C；(&x)6T=2*C"62,r=0,1,2,3,4,5,6,

X

當(dāng)r=0,2,4,6時(shí)，7是整數(shù)，r=l,3,5時(shí)，?是不是整數(shù)，系數(shù)是無理數(shù)，共有3項(xiàng).

22

故選：B.

8.(2022.山東.青島二中高三開學(xué)考試)若(x-2y)"的展開式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則"=

().

A.9B.10C.11D.12

【答案】B

【詳解】

由題意，二項(xiàng)式(x-2y)”的展開式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)分別為C；,C,；,

可得C,：=C：,解得〃=3+7=10.

故選：B.

9.（2022?山東濰坊?高三期末）如圖，某類共享單車密碼鎖的密碼是由4位數(shù)字組成，所有密碼中，恰有

三個(gè)重復(fù)數(shù)字的密碼個(gè)數(shù)為（）

，em

A.90B.324C.360D.400

【答案】C

【詳解】

根據(jù)題意，四個(gè)位置上恰有三三個(gè)重復(fù)數(shù)字，可分兩步完成，

第一步從10個(gè)數(shù)字中任選一個(gè)安排在三個(gè)位置上，共有C；°C：=40種情況，

第二步在剩下的9個(gè)數(shù)字中￡E選一個(gè)安排在剩下的那個(gè)位置上，有9種情況，

故共有40x9=360種，即密碼個(gè)數(shù)為360個(gè)，

故選：C

。若（6-蛾J的展開式中，只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則該項(xiàng)式的展

10.（2022?山東臨沂?高三期，

開式中常數(shù)項(xiàng)為（）

A.90B.-93C.180D.-180

【答案】C

【詳解】

解：因?yàn)椋ㄎ逡挥颍┑恼归_我:中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則項(xiàng)數(shù)〃=10,即（五-蛾J，

2V,—

則通項(xiàng)為乙-高I=（-2）工尸2,

令2=0=>r=2,則小=（-2）2品=180.

故選：C.

◎:考前預(yù)測q

王（限時(shí)：30分鐘）

1.某學(xué)校派出5名優(yōu)秀教師去邊遠(yuǎn)地區(qū)的三所中學(xué)進(jìn)行教學(xué)交流，每所中學(xué)至少派1名教師，則不同的

分配方法有（）

A.80種B.90種C.120種D.150種

【答案】D

【詳解】

3,有空◎種，二是分為1,2,2,共有坐G種,

先對(duì)5個(gè)人先進(jìn)行兩種情況的分組，一是分為1,1,

再分配，可得不同的分配方法有6=25x6=150種.

1^1^TJ

故選：D.

2.“雙減”政策實(shí)施以來各地紛紛推行課后服務(wù)“5+2”模式，即學(xué)校每周周一至周五這5天要面向所有學(xué)生

提供課后服務(wù)，每天2個(gè)小時(shí).某校計(jì)劃按照“5+2”模式開展“學(xué)業(yè)輔導(dǎo)”，“體育鍛煉”，“實(shí)踐能力培養(yǎng)”三

類課后服務(wù)，并且每天只開設(shè)一類服務(wù)，每周每類服務(wù)的時(shí)長不低于2小時(shí)，不高于6小時(shí)，那么不同的

安排方案的種數(shù)為（）

A.60B.90

C.150D.210

【答案】C

【詳解】

第一種情況是某類服務(wù)6個(gè)小時(shí)，其余兩類服務(wù)各2個(gè)小時(shí)，先選一類服務(wù)時(shí)長6小時(shí)，安排到3天里，

其余2類安排到剩余2天里即可,共C疼C=60種;

第二種情況是某類服務(wù)2個(gè)小時(shí)，其余兩類服務(wù)各4個(gè)小時(shí)，先選出一類服務(wù)2個(gè)小時(shí)，剩余的2類分別

安排2天，共盤盤&=90種；

綜上不同的安排方案共有150種.

故選：C

3.（V+x+yP的展開式中My2的系數(shù)是（）

A.10B.20C.30D.40

【答案】C

【詳解】

由題意，多項(xiàng)式（廠+》+y）5=［（廠+*）+）［5,

要得到含有）2項(xiàng)，則或（/+x）3y2=10,+X）3y2,

3

又由（爐+X）的展開式為Tr+I==G.尸,

令6-r=5,可得r=l,即，=C；=3/，

所以多項(xiàng)式，+x+y）5的展開式中xR的系數(shù)是10x3=30.

故選：C.

4.在口一2］的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為（）

A.-60B.-240C.60D.240

【答案】D

【詳解】

(V

的展開式通項(xiàng)為小=鹿.產(chǎn)人=域.（-2）：5

令6一號(hào)=0,可得％=4,因此，展開式中常數(shù)項(xiàng)為C〉（-2）4=240.

故選：D.

5.2022年北京冬奧會(huì)和冬殘奧會(huì)給世界人民留下了深刻的印象，其吉祥物“冰墩墩”和“雪容融的設(shè)計(jì)好評(píng)

不斷，這是一次中國文化與奧林匹克精神的完美結(jié)合.為了弘揚(yáng)奧林匹克精神，某學(xué)校安排甲、乙等5名

志愿者將吉祥物“冰墩墩''和"雪容融’'安裝在學(xué)校的體育廣場，每人參與且只參與一個(gè)吉祥物的安裝，每個(gè)

吉祥物都至少由兩名志愿者安裝.若甲、乙必須安裝不同的吉祥物，則不同的分配方案種數(shù)為（）

A.8B.10C.12D.14

【答案】C

【詳解】

甲和乙必須安裝不同的吉祥物，則有A；=2種情況，

剩余3人分兩組，一組1人，一組2人，有C；=3,然后分配到參與兩個(gè)吉祥物的安裝，

有C那=3x2=6,

則共有2x6=12種,

故選：C.

2O2

6.設(shè)（1-口嚴(yán)加=4+++?2O2OX°>若4+勿2+34++2020a2020=2020a（a0）,則實(shí)數(shù)。的

值為（）

A.2B.0C.1D.-1

【答案】A

【詳解】

對(duì)等式（1-奴）2儂=%+研+生/++a畋。/⑼兩邊求導(dǎo)可得：

-09232019

-ax2020（1-fzr）'=a,+2a2x+3ctyX+46t4x++202047202（,^

令x=l,則有一。*2020（1—4）刈9=4+2%+3/++2O2Oa2o2O=2020a

因?yàn)閍wO

所以（一廣=T

所以a=2

故選:A

7.在（31—5/+1丫的展開式中，除V項(xiàng)之外，剩下所有項(xiàng)的系數(shù)之和為（）

A.299B.-301C.300D.-302

【答案】A

【詳解】

令x=l,W（3-5+l）5=-1.

所以（3丁-5/+1）5的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為_i.

由（3V—5/+1）’可以看成是5個(gè)因式（3丁-5x2+1）相乘.

要得到d項(xiàng)，則5個(gè)因式中有1個(gè)因式取3V，一個(gè)因式取-5/,其余3個(gè)因式取1,然后相乘而得.

所以（3?-5x2+1）5的展開式中含x5的項(xiàng)為C；（3打C：（-5x2）,=-3OOx5,

所以（3/-5/+1）5的展開式中，除/項(xiàng)之外，剩下所有項(xiàng)的系數(shù)之和為-1-（-300）=299.

故選：A

8.給圖中A,B,C,D,E,廠六個(gè)區(qū)域進(jìn)行染色，每個(gè)區(qū)域只染一種顏色，且相鄰的區(qū)域不同色.若有4

種顏色可供選擇，則共有（）種不同的染色方案.

A.96B.144C.240D.360

【答案】A

【詳解】

解：要完成給圖中A、B、C、D、E、/六個(gè)區(qū)域進(jìn)行染色，染色方法可分兩類，

第一類是僅用三種顏色染色，

即川同色，8。同色，CE同色，則從四種顏色中取三種顏色有竊=4種取法，三種顏色染三個(gè)區(qū)域有

A；=6種染法，共4x6=24種染法；

第二類是用四種顏色染色，即AF，BD,CE中有一組不同色，則有3種方案（4尸不同色或BD不同色或CE

不同色），先從四種顏色中取兩種染同色區(qū)有4=12種染法，剩余兩種染在不同色區(qū)有2種染法，共有

3x12x2=72種染法.

二由分類加法原理得總的染色種數(shù)為24+72=96種.

故選：A.

9.十八世紀(jì)初普魯士的哥尼斯堡，有一條河穿過，河上有兩個(gè)小島，有七座橋把兩個(gè)島與河岸連接起來.有

人提出一個(gè)問題：一個(gè)步行者怎樣才能不重復(fù)、不遺漏地一次走完這七座橋，最后回到出發(fā)點(diǎn).這就是著

名的哥尼斯堡七橋問題（下簡稱七橋問題），很多人嘗試解決這個(gè)問題，但絞盡腦汁，就是無法找到答案.直

到1736年，29歲的歐拉以拉丁文正式發(fā)表了論文《關(guān)于位置幾何問題的解法》，文中詳細(xì)討論了七橋問題

并作了一些推廣，該論文被認(rèn)為是圖論、拓?fù)鋵W(xué)和網(wǎng)絡(luò)科學(xué)的發(fā)端.圖1是歐拉當(dāng)年解決七橋問題的手繪

圖，圖2是該問題相應(yīng)的示意圖，其中A,B,C,。四個(gè)點(diǎn)代表陸地，連接這些點(diǎn)的邊就是橋.歐拉將

七橋問題轉(zhuǎn)化成一個(gè)幾何問題——筆畫問題.一筆畫問題中，要求不遺漏地依次走完每一條邊，允許重復(fù)

走過某些結(jié)點(diǎn)，可以不回到出發(fā)點(diǎn)，但不允許重復(fù)走過任何一條邊.在圖3中，根據(jù)以上一筆畫問題的規(guī)

則，不同的走法總數(shù)為（）

A.6B.8C.10D.12

【答案】D

【詳解】

圖中，A和C是偶力:，B和。是奇點(diǎn)，根據(jù)歐拉找到的“一筆畫”規(guī)律：凡是只有兩個(gè)奇點(diǎn)的連通圖（其余

都為偶點(diǎn)）一定可以一筆畫成.畫時(shí)必須把一個(gè)奇點(diǎn)為起點(diǎn)，另一個(gè)奇點(diǎn)為終點(diǎn).

以B為起點(diǎn)時(shí)，有BADCBD、BADBCD、BDABCD、BDCBAD、BCDABD、六種畫法

以。為起點(diǎn)時(shí)，所有路線與以卜.情況相反即可，也有六種，故共有12種畫法

故選：D

10.己知（2-如2）（1+2幻4的展開式的所有項(xiàng)系數(shù)之和為81,則展開式中含X，的項(xiàng)的系數(shù)為（）

A.56B.60C.68D.72

【答案】A

【詳解】

因?yàn)椋?-加卜1+24的展開式的所有項(xiàng)系數(shù)之和為81,故令x=l,則81（2-4）=81,解得4=1,

又對(duì)（2-0（1+2萬）4,其展開式中/項(xiàng)是：

由（2-?。┲械某?shù)項(xiàng)與（1+2X），的d項(xiàng)相乘得到，

或由（2—d卜中的一》2項(xiàng)與0+2x）4的x項(xiàng)相乘得到，

故（2-Y）（l+2x）4的展開式中含爐的系數(shù)為2x《x23+（—1）XCX2=56.

故選：A.

11.2022年第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)（即2022年北京冬季奧運(yùn)會(huì)）的成功舉辦，展現(xiàn)了中國作為一個(gè)

大國的實(shí)力和擔(dān)當(dāng)，”一起向未來”更體現(xiàn)了中國推動(dòng)構(gòu)建人類命運(yùn)共同體的價(jià)值追求.在北京冬季奧運(yùn)會(huì)

的某個(gè)比賽日，某人欲在冰壺（?只冰球（?）、花樣滑冰（°）、跳臺(tái)滑雪（°）、自由滑雪（6）、雪

車（G）這6個(gè)項(xiàng)目隨機(jī)選擇3個(gè)比賽項(xiàng)目現(xiàn)場觀看（注：比賽項(xiàng)目后括號(hào)內(nèi)為“?”表示當(dāng)天不決出獎(jiǎng)牌

的比賽，表示當(dāng)天會(huì)決出獎(jiǎng)牌的比賽），則所選擇的3個(gè)觀察項(xiàng)目中當(dāng)天會(huì)決出獎(jiǎng)牌的項(xiàng)目數(shù)的均值

為（）

35

A.1B.-C.2D.-

22

【答案】C

【詳解】

所選擇的3個(gè)觀察項(xiàng)目中當(dāng)天會(huì)決出獎(jiǎng)牌的項(xiàng)目數(shù)為X,則X的取值為1,2,3,

尸（X=l）=等=%P（X=2）=等=|,尸（X=3）《

131

則EX=lx—+2x'+3x—=2.

555

故選：C.

12.習(xí)近平總書記在全國教育大會(huì)上發(fā)表重要講話，稱教育是國之大計(jì)，黨之大計(jì).哈九中落實(shí)講話內(nèi)容,

組織研究性學(xué)習(xí).在研究性學(xué)習(xí)成果報(bào)告會(huì)上，有A、B、C、D、E、尸共6項(xiàng)成果要匯報(bào)，如果B成果不

能最先匯報(bào)，而A、C、。按先后順序匯報(bào)（不一定相鄰），那么不同的匯報(bào)安排種數(shù)為（）

A.100B.120C.300D.600

【答案】A

【詳解】

先排3元素，有5種排法，然后排剩余5個(gè)元素共