三角函數(shù)知識(shí)梳理清單-高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

三角函數(shù)知識(shí)梳理

1.角的概念的推廣：

平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所的圖形。射線的起始位置稱為始邊，終止位

置稱為終邊。

按方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫正角，按方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫負(fù)角，一條射線沒有作任何旋

轉(zhuǎn)時(shí)，稱它形成一個(gè)零角。

2.象限角的概念：

在直角坐標(biāo)系中，使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，角的終邊在第幾象限，

就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限的角。如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何象限，稱作軸線角。

(1)四個(gè)象限內(nèi)的角的集合

終邊在第一象限：終邊在第二象限：

終邊在第三象限：終邊在第四象限：

⑵若a為第一象限的角，則U所在象限為若a為第三象限的角，則多所在象限為

3.終邊相同的角的表示：

(1)cr終邊與6終邊相同(a的終邊在6終邊所在射線上)=a=，+2版?(keZ),

注意：相等的角的終邊一定相同，終邊相同的角不一定相等.

(2)a終邊與。終邊共線(a的終邊在。終邊所在直線上)=.

(3)a終邊與6終邊關(guān)于x軸對(duì)稱=.

(4)(Z終邊與0終邊關(guān)于j軸對(duì)稱OL

(5)戊終邊與。終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱=.

(6)a終邊在x軸上的角可表示為：a=kn,keZ；a終邊在y軸上的角可表示為：；

a終邊在坐標(biāo)軸上的角可表示為：.

4.弧度制

(1)1弧度定義：，角a的弧度數(shù)的絕對(duì)值|a|=

弧長(zhǎng)公式：,扇形面積公式：

(2)換算關(guān)系：1°=rad,lrad=°.

5.三角函數(shù)定義：

(1)設(shè)a是一個(gè)任意角，終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y),那么y叫作a的正弦，記作sina；

x叫作a的余弦，記作cosa；。叫作a的正切，記作tana.

x

⑵已知角a終邊上一點(diǎn)尸(xj),且|QP|二r,則有

三角函數(shù)符號(hào)規(guī)律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.

(3)一些特殊角的三角函數(shù)：

a0°30°45°60°90°120°135°150°180°15°75°

sina

cosa

tana

6.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：

①平方關(guān)系;②商式關(guān)系.

關(guān)于公式sin之a(chǎn)+cos2a=1的深化

1+sin2a=(sina+cosa)2,1—sin2a=(sina-cosa)2,

③一些常用特殊三角函數(shù)值:

sinacosa卜ana勾股關(guān)系sinacosatana勾股關(guān)系

352=32+428

517

12377

3"

1141

忑丁

311

Vio14

7.三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

公式一二三四五六

71

角2k7i-\~a(k^Z)兀+。~a71-a----a

2

正弦sina

余弦cosa

正切tana

口訣函數(shù)名不變，符號(hào)看象限函數(shù)名改變，符號(hào)看象限

六組誘導(dǎo)公式統(tǒng)一為“三土e(左eZ)”，記憶口訣：奇變偶不變，符號(hào)看象限.

誘導(dǎo)公式的主要作用是將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為0。?90。角的三角函數(shù)。

8.兩角和與差的正弦、余弦、正切：①sin(a+/3)=sinacosP±cosasin>0；

②cos(a±￡)=_______________________；③tan(a土尸)=tana±tan.

1+tanatanP

9.二倍角公式：①sin2a=2sinacosa；變形sinacosa=cosa=sina=

小八o2tanor

②cos2a===___________；.(3)tan2a=-------z-

1-tana

變形：升幕l+cos2a=1-cos2a=降幕擴(kuò)角sin2a=cos2a=

tana+tan0=tana_tanp=

asma

半角公式:sin一=cos一=tan一二--------

2----------221+coscr

個(gè)2tancir

萬(wàn)能公式：sin2a=:cos2a=,tan2a=--------—

----------1-tan

③重要結(jié)論⑴sinaicosa=(2)(sinaicosa)2=(3)tancr+-------=

tana

1+tancr1-tancr

(4)=-----------=.

1-tana--------1+tana----------

三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、計(jì)算、證明的恒等變形的基本思路是：一角二名三結(jié)構(gòu)。即首先觀察角與角之間的

關(guān)系，注意角的一些常用變式，角的變換是三角函數(shù)變換的核心！第二看函數(shù)名稱之間的關(guān)系，通?！扒?/p>

化弦”；第三觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)。

10.輔助角公式：

a22

y=qsinx+b8sx+討(sinx+,cosx)=yja+bsin(x+9).(其中輔助角夕所在象限由點(diǎn)

廿Nd+廿

(見力)所在的象限決定,tan。=2).

a

11.物理意義：物理簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)>=4sin(ox+0),x￡[0,+oo),其中4>0,刃>0.振幅為4,表示物體離開平

衡位置的最大距離；周期為T=d,表示物體往返運(yùn)動(dòng)一次所需的時(shí)間；頻率為/=，表示物體在

CD

單位時(shí)間內(nèi)往返運(yùn)動(dòng)的次數(shù)；為相位；為初相.

12.三角函數(shù)圖象與性質(zhì)：（定義域、值域、最值、奇偶性、周期性、單調(diào)性）

函數(shù)y=sinxy-cosxj=tanx

?

V)iy=sinxv,1y=cosx

11

X-/

圖象9y7-r

作圖:五點(diǎn)法作圖:五點(diǎn)法

作圖:二三點(diǎn)二線

定義域(—00,+oo)(—00,+oo)

值域[-b1][—h1](^x),~hx))

當(dāng)乂=_____,ymax=l；當(dāng)乂=_____,ymax=l；

最值無(wú)

當(dāng),ymin=l當(dāng)，Ymin=1

奇偶奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

對(duì)稱軸對(duì)稱軸

對(duì)稱性對(duì)稱中心

對(duì)稱中心對(duì)稱中心

周期2兀2兀71

單調(diào)性

（注：表中后均為整數(shù)）

13.正弦型函數(shù)y=/sin（0x+°）（N＞0,。＞0）的性質(zhì)及研究思路:

①最小正周期？=紅，值域?yàn)椋?4圖.

TT47r

②五點(diǎn)法圖：把“GX十0”看成一個(gè)整體，取69%+°=0,5，匹5,2萬(wàn)時(shí)的五個(gè)自變量值，相應(yīng)的函數(shù)值為

0,40,-40,描出五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，得到一個(gè)周期內(nèi)的圖象.

③三角函數(shù)圖象變換路線：

y=sinx左移泊單位y=sin（x+夕）橫坐標(biāo)變?yōu)楣け秠=sin（6yx+（p）縱坐標(biāo)變?yōu)?倍＞=Zsin（@x+0）.

-①

或：y=sinx橫坐標(biāo)變?yōu)楣け秠=sincox左移￡■個(gè)單位y=sina）（x+—）縱坐標(biāo)變?yōu)?倍〉=/sin（3+何.

①①CD'

④單調(diào)性：＞=/sin（ox+°）（4＞0,。＞0）的增區(qū)間，把“。龍+0”代入至！Jy=sin十增區(qū)間

-TT-ITJTTT

［--+2k7T,—+2k^］（左eZ）,即求解一萬(wàn)+2版■4。彳+0＜萬(wàn)+2左萬(wàn)（左eZ）.注意勿為正。

⑤對(duì)稱軸與對(duì)稱中心油。x+0=E（左GZ）可得對(duì)稱中心；由0x+p=E+至后GZ）可得對(duì)稱軸.

⑥奇偶性：°=時(shí)，函數(shù)夕=/$皿5+。）為奇函數(shù)；

（p~時(shí)，函數(shù)了=然皿5：+9）為偶函數(shù).

⑦整體思想：把“。x+e”看成一個(gè)整體，代入了=5,:＜:與＞=tanx的性質(zhì)中進(jìn)行求解.這種整體思想的運(yùn)

用，主要體現(xiàn)在探討單調(diào)性與對(duì)稱性時(shí)，或取最大值與最小值時(shí)的自變量取值.

14.正、余弦定理：正弦定理、余弦定理溝通了角與邊的關(guān)系，可使邊轉(zhuǎn)化為角，也可使角化為邊。

⑴正弦定理：上=—=」=2R(2R是MBC圓直徑)

sin4sin8sinC

定理變形：①a:b:c=；②〃=,b=,c=；

③sin/=,sin5=,sinC=；@a=——=——=-.....------------------

sinAsinBsinCsinA+sin5+sinC

22222222

⑵余弦定理：a=b+c-2bccosAfb=+c-2accosB,c=a+b-2abcosC

定理變形：①cosZ=，cosB=,cosC=o

②若層>〃+/則^ABC為三角形；若小二加十^則4ABC為直角三角形:

若/<從十°2則4ABC的形狀為o

③射影定理：；；o

(3)在△45。中，已知Q,b和4時(shí)，解的情況如下：

A為銳角A為鈍角或直角

二ccc

X

圖形

AB；'--BAJ.....，BAB

AB

關(guān)系式a=Z)sinA.a>ba<b

解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解無(wú)解

15.三角形面積公式：①S=工aha='b%='ch,(%、瓦、兒分別表示a、b、c邊上的高).

222