新高考專用2023年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 考點(diǎn)2 概率的實(shí)際應(yīng)用含解析

專項(xiàng)三概率與統(tǒng)計

考點(diǎn)2概率的實(shí)際應(yīng)用

大題拆解技巧

【母題】(2020年全國I卷)甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計負(fù)兩

場者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空;每場比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下

一場比賽，負(fù)者下一場輪空,直至有一人被淘汰;當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽,直至

其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束.經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空.設(shè)每場比賽雙

方獲勝的概率都為g.

(1)求甲連勝四場的概率；

(2)求需要進(jìn)行第五場比賽的概率；

(3)求丙最終獲勝的概率.

【拆解1］已知條件不變，求甲連勝四場的概率.

【解析】記事件M為“甲連勝四場”，則P(M)=⑶匕.

2.1b

【拆解2］已知條件不變,求需要進(jìn)行第五場比賽的概率.

【解析】記事件A為甲輸，事件B為乙輸,事件C為丙輸，

則四局內(nèi)結(jié)束比賽的概率

P'=P(ABAB)+P(ACAC)+P(BCBC)+P(BABA)=4X(1)片，

所以需要進(jìn)行第五場比賽的概率P=l-P'4

【拆解3］已知條件不變，求甲贏的概率.

【解析】記事件A為甲輸,事件B為乙輸,事件C為丙輸,事件I)為甲贏,則甲贏的基本事件為

BCBC,ABCBC,ACBCB,BABCC,BACBC,BCACB,BCABC,BCBAC,

所以甲贏的概率P(D)=(夕4+7X(i)胃.

所以小明應(yīng)選擇先回答B(yǎng)類問題.

【拆解4】己知甲贏的概率為3求丙最終獲勝的概率.

【解析】記事件N為丙贏,因?yàn)榧宗A的概率為崇由題意可知，乙贏的概率和甲贏的概率相等,

所以丙扁的概率P(N)=『2X92

0410

1

小做變式訓(xùn)練

甲、乙、丙三人參加學(xué)?！霸┘文耆A”競答游戲,活動的規(guī)則為：甲、乙、丙三人先分別坐

在圓桌的A,B,C三點(diǎn),第一輪從甲開始通過擲骰子決定甲的競答對手,若點(diǎn)數(shù)是奇數(shù),則按逆

時針選擇乙,若是偶數(shù),則按順時針選丙,下一輪由上一輪擲骰子選中的對手繼續(xù)通過擲骰子

決定競答對手,如果點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)按逆時針選對手，點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)按順時針選對手，已知每場競答

甲對乙、甲對丙、乙對丙獲勝的概率分別為|、：、也且甲、乙、丙之間競答互不影響，各輪

游戲之間亦互不影響,若比賽中某選手累計獲勝場數(shù)達(dá)到兩場，則游戲結(jié)束,該選手為晉級選

手.

(1)求比賽進(jìn)行了三場且甲晉級的概率；

(2)若比賽進(jìn)行了三場后結(jié)束,記甲獲勝的場數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

【拆解1］己知條件不變,求比賽進(jìn)行了3場且甲晉級的概率.

【解析】(D甲贏兩場，分下面三種情況：

①第一場甲勝，第二場無甲，第三場甲勝，

概率為口；

232232322318

②第一場甲輸，二、三場均勝，

概率為1X1義1義2義(-x-+-xb+ix-x-xix(-X-+-X-)=-；

232323232323232318

③第一場甲勝，第二場輸，第三場勝，

概率為lxlxLx(-x-+-x-)+-x-x-x-x(-X-+-X-!-)=-.

232323232323232318

由互斥事件的概率加法公式可知，比賽進(jìn)行了三場且甲晉級的概率為2lo+白Io+昌Io.b

【拆解2］已知條件不變，若比賽進(jìn)行了三場后結(jié)束，甲一場也沒有獲勝的概率.

【解析】若比賽進(jìn)行了三場后結(jié)束，甲一場也沒有獲勝分兩種情況：

三場比賽中甲參加了一場輸了，概率為;X；X；X；X另x，x；x；x；=!；

三場比賽中甲參加了兩場,都輸了,概率為;x；xgx；x；x,+；x|x；xgxgx!=^.

因?yàn)槿龍霰荣惣锥紖⒓忧叶驾數(shù)羰遣豢赡艿模駝t兩場比賽打不到三場，所以所求概率為

2

11]3

1636144,

【拆解3］比賽進(jìn)行了三場甲贏兩場的概率加甲一場也沒有獲勝的概率為拼記甲獲勝的

場數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

【解析】依題意,可得X的所有可能取值為0,1,2,

由題意知P(X=2)W，P(X=0)==，

6144

故P(x=l)=l-P(X=o)-P(X=2)=T-黑,

1446144

所以X的分布列為

X012

131071

P

144M46

故X的數(shù)學(xué)期望E(X)=OX^+1X篙2X,喘

通法技巧歸納

1.求相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率的主要方法:

(1)利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式直接求解.

(2)正面計算較繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或難以入手的題目時，可從其對立事

件入手計算.

2.求復(fù)雜的互斥事件的概率一般有兩種方法:一是直接求解法,將所求事件的概率分解為一

些彼此互斥的事件的概率再求和；二是間接法，先求該事件的對立事件的概率，再由

P(A)=1-P(X)求解.當(dāng)題目涉及“至多”“至少”型問題時，多考慮間接法.

突破實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練

〈基礎(chǔ)過關(guān)〉

1.某地區(qū)為了實(shí)現(xiàn)產(chǎn)業(yè)的轉(zhuǎn)型發(fā)展，利用當(dāng)?shù)芈糜钨Y源豐富多樣的特點(diǎn)，決定大力發(fā)展旅游

產(chǎn)業(yè),一方面對現(xiàn)有旅游資源進(jìn)行升級改造，另一方面不斷提高旅游服務(wù)水平.為此該地區(qū)旅

游部門，對所推出的報團(tuán)游和自助游項(xiàng)目進(jìn)行了深入調(diào)查，下表是該部門從去年某月到該地

區(qū)旅游的游客中，隨機(jī)抽取的100位游客的滿意度調(diào)查表.

老年人中年人青年人

滿意度

報團(tuán)游自助游報團(tuán)游自助游報團(tuán)游自助游

滿意121184156

3

一般2164412

不滿意116232

(1)由表中的數(shù)據(jù)分析可知,老年人、中年人和青年人這三種人群中,哪一類人群更傾向于選

擇報團(tuán)游？

(2)為了提高服務(wù)水平，該旅游部門要從上述樣本里滿意度為“不滿意”的自助游游客中，隨

機(jī)抽取2人征集改造建議,求這2人中有老年人的概率.

(3)若你朋友要到該地區(qū)旅游,根據(jù)表中的數(shù)據(jù),你會建議他選擇哪種旅游項(xiàng)目？

【解析】(1)由表中數(shù)據(jù)，可得老年人、中年人和青年人選擇報團(tuán)游的頻率分別為

n155rl303rl2211

PI=7T6-產(chǎn)西,

vp1>p2>p3)

...老年人更傾向于選擇報團(tuán)游.

(2)由題意得滿意度為“不滿意”的自助游人群中，老年人有1人，記為a,中年人有2人，記

為b,c,青年人有2人，記為d,e,

從中隨機(jī)抽取2人，基本事件有10個，分別為

(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),

其中，這2人中有老年人包含的基本事件有4個,分別為(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),

...這2人中有老年人的概率Pt=|.

(3)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，可得

報團(tuán)游的滿意率P產(chǎn)黑需g，

自助游的滿意率

???PDPs,，建議他選擇報團(tuán)游.

2.第24屆冬季奧運(yùn)會將于2022年2月在北京和張家口舉辦,為了普及冬奧知識,京西某校組

織全體學(xué)生進(jìn)行了冬奧知識答題比賽,從全校眾多學(xué)生中隨機(jī)選取了20名學(xué)生作為樣本,得

到他們的分?jǐn)?shù)統(tǒng)計如下：

分?jǐn)?shù)段[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

人數(shù)1228331

我們規(guī)定60分以下為不及格;60分及以上至70分以下為及格;70分及以上至80分以下為良

好;80分及以上為優(yōu)秀.

4

(1)從這20名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，恰好2名學(xué)生都是優(yōu)秀的概率是多少？

(2)將上述樣本統(tǒng)計中的頻率視為概率,從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，以X表示這2人中優(yōu)秀

的人數(shù)，求X的分布列與期望.

【解析】(D記“恰好2名學(xué)生都是優(yōu)秀”的事件為A,則P(A)=^=會卷.

19095

(2)抽到1名優(yōu)秀學(xué)生的概率X的所有可能取值為0,1,2,

P(x=。)陽擾局

PC；。。吟

P(X=2)￡(界)心，

故X的分布列為

X012

1681

P

252525

E(X)=0X拼lX/+2x/.

ZOO

3.乒乓球是中國國球,它是一種世界流行的球類體育項(xiàng)目.某中學(xué)為了鼓勵學(xué)生多參加體育

鍛煉，會定期地舉辦乒乓球競賽.已知該中學(xué)高一、高二、高三三個年級的人數(shù)分別為

690,460,460,現(xiàn)采取分層抽樣的方法從三個年級中抽取7人參加校內(nèi)終極賽.

(1)求該中學(xué)高一、高二、高三三個年級參加校內(nèi)終極賽的人數(shù)；

(2)現(xiàn)從抽取的7人中再隨機(jī)抽取2人拍照做海報宣傳，求“抽取的2人來自同一年級”的概

率.

【解析】(1)高一、高二、高三三個年級的人數(shù)分別為690,460,460,則分層抽取的人數(shù)比為

3：2：2,

因?yàn)?X1=3,7X|=2,

所以高一、高二、高三三個年級參加校內(nèi)終極賽的人數(shù)分別為3,2,2.

(2)設(shè)抽取的7人中高一的3人分別用A,B,C表示,高二的2人分別用D,E表示,高三的2人

分別用F,G表不，

則從抽取的7人中再隨機(jī)抽取2人的所有可能結(jié)果為

AB,AC,AD,AE,AF,AG,BC,BD,BE,BF,BG,CD,CE,CF,CG,DE,DF,DG,EF,EG,FG,共21種，

抽取的2人來自同一年級的所有結(jié)果為AB,AC,BC,DE,FG,共5種，

5

故“抽取的2人來自同一年級”的概率P*.

4.受新冠肺炎疫情的影響,2020年一些企業(yè)改變了針對應(yīng)屆畢業(yè)生的校園招聘方式,將線下

招聘改為線上招聘.某世界五百強(qiáng)企業(yè)M的線上招聘方式分資料初審、筆試、面試這三個環(huán)

節(jié)，資料初審?fù)ㄟ^后才能進(jìn)行筆試,筆試合格后才能參加面試,面試合格后便正式錄取,且這

幾個環(huán)節(jié)能否通過相互獨(dú)立.現(xiàn)有甲、乙、丙三名大學(xué)生報名參加了企業(yè)M的線上招聘,并均

已通過了資料初審環(huán)節(jié).假設(shè)甲通過筆試、面試的概率分別為?/；乙通過筆試、面試的概率

分別為:/；丙通過筆試、面試的概率與乙相同.

(1)求甲、乙、丙三人中恰有一人被企業(yè)M正式錄取的概率；

(2)求甲、乙、丙三人中至少有一人被企業(yè)M正式錄取的概率；

(3)為鼓勵優(yōu)秀大學(xué)生積極參與企業(yè)的招聘工作，企業(yè)M決定給報名參加應(yīng)聘且通過資料初

審的大學(xué)生一定的補(bǔ)貼,補(bǔ)貼標(biāo)準(zhǔn)如下表：

參與環(huán)節(jié)筆試面試

補(bǔ)貼(元)100200

記甲、乙、丙三人獲得的所有補(bǔ)貼之和為X元，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【解析】(D設(shè)事件A表示“甲被企業(yè)M正式錄取”，事件B表示“乙被企業(yè)M正式錄取”，

事件C表示“丙被企業(yè)M正式錄取”，

則P(A)=1x1=1P(B)=P(C)=|X鼻，

所以甲、乙、丙三人中恰有一人被企業(yè)M正式錄取的概率

PFP(ABC+ABC+ABC)=P(A)P(B)?P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)4><(14)X(1C)+2X

633

(i-bx(14)x曇.

6339

(2)設(shè)事件D表示“甲、乙、丙三人都沒有被企業(yè)M正式錄取”，

則P(D)=P(就)=P(A)P(W)PC)=(i-bx(i-bx(i-bU，

63327

所以甲、乙、丙三人中至少有一人被企業(yè)M正式錄取的概率P2=LP(D)=1-崇宏

(3)依題意,X的所有可能取值為300,500,700,900,

P(X=300)Jxlx—,

23318'

P(X=500)X：X++2X；X彳X9得，

6

P(X=700)=2X-X-X-+-X-X'^,

2332339'

P(X=900)Wxgx*

所以X的分布列為

X300500700900

542

P-

181899

故X的數(shù)學(xué)期望E(X)=300X^+500X,+700X3900X卜釁(元).

1818993

〈能力拔高》

5.甲、乙兩家物流公司都需要進(jìn)行貨物中轉(zhuǎn)，由于業(yè)務(wù)量擴(kuò)大，現(xiàn)向社會招聘貨車司機(jī)，其日

工資方案如下：甲公司底薪80元，司機(jī)每中轉(zhuǎn)一車貨物另計4元；乙公司無底薪，中轉(zhuǎn)40車貨

物以內(nèi)(含40車)的部分司機(jī)每車計6元,超出40車的部分司機(jī)每車計7元.假設(shè)同一物流公

司的司機(jī)一天中轉(zhuǎn)車數(shù)相同,現(xiàn)從這兩家公司各隨機(jī)選取一名貨車司機(jī),并分別記錄其50天

的中轉(zhuǎn)車數(shù)，得到如下頻數(shù)表：

甲公司司機(jī)中轉(zhuǎn)車數(shù)頻數(shù)表

中轉(zhuǎn)車數(shù)3839404142

天數(shù)101510105

乙公司司機(jī)中轉(zhuǎn)車數(shù)頻數(shù)表

中轉(zhuǎn)車數(shù)3839404142

天數(shù)51010205

(1)現(xiàn)從記錄甲公司的50天貨物中轉(zhuǎn)車數(shù)中隨機(jī)抽取3天的中轉(zhuǎn)車數(shù),求這3天中轉(zhuǎn)車數(shù)都

不小于40的概率.

(2)若將頻率視為概率，回答下列兩個問題：

①記乙公司貨車司機(jī)日工資為X(單位:元)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X);

②小王打算到甲、乙兩家物流公司中的一家應(yīng)聘，如果僅從日工資的角度考慮,請利用所學(xué)的

統(tǒng)計學(xué)知識為小王作出選擇,并說明理由.

【解析】(D設(shè)“抽取的3天中轉(zhuǎn)車數(shù)都不小于40”為事件A,則P(A)=^嚏.

、50*yb

(2)①設(shè)乙公司貨車司機(jī)日工資為X,日中轉(zhuǎn)車數(shù)為t,

IJllJx=f6t,t-40，

“l(fā)7t-40,t>40,

則X的所有取值分別為228,234,240,247,254,

7

其分布列為

228234240247254

11121

———

1055510

E(X)=228X1+234X1+240X1+247X-+254X1=241.8.

1055510

②設(shè)甲公司貨車司機(jī)日工資為Y,日中轉(zhuǎn)車數(shù)為□，則Y=4u+80,

則Y的所有可能取值為232,236,240,244,248,

其分布列為

232236240244248

13111

—————

5105510

E(Y)=232X2+236X二+240義為244Xg+248義士=238.8.

由E(X)>E(Y)知，若從日工資的角度考慮，小王應(yīng)該選擇乙公司.

6.某商城玩具柜臺元旦期間促銷,購買甲、乙系列的盲盒,并且集齊所有的產(chǎn)品就可以贈送元

旦禮品.而每個甲系列盲盒可以開出玩偶Al,A2,A3中的一個，每個乙系列盲盒可以開出玩偶

B1,B2中的一個.

(1)記事件E”:一次性購買n個甲系列盲盒后集齊A1(A2)A3玩偶;事件F。:一次性購買n個乙系

列盲盒后集齊B?B?玩偶;求概率P(E6)及P(F5).

(2)禮品店限量出售甲、乙兩個系列的盲盒,每個消費(fèi)者每天只有一次購買機(jī)會，且購買時，

只能選擇其中一個系列的一個盲盒.通過統(tǒng)計發(fā)現(xiàn):第一次購買盲盒的消費(fèi)者購買甲系列的

概率為:,購買乙系列的概率為2；而前一次購買甲系列的消費(fèi)者下一次購買甲系列的概率為:,

554

購買乙系列的概率為"前一次購買乙系列的消費(fèi)者下一次購買甲系列的概率為:，購買乙系

42

列的概率為g；如此往復(fù)，記某人第n次購買甲系列的概率為Q?.

①求Qn；

②若每天購買盲盒的人數(shù)約為100,且這100人都已購買過很多次這兩個系列的盲盒,試估計

該禮品店每天應(yīng)準(zhǔn)備甲、乙兩個系列的盲盒各多少個.

【解析】(1)由題意可得,一次性購買6個甲系列盲盒的基本事件共有3"種情況，

其中集齊Ai,A2,A3玩偶的個數(shù)可以分三類情況，

A,,A2;A,玩偶中,每個均有出現(xiàn)兩次,共四弓弓種；

8

A?A2,A3玩偶中,一個出現(xiàn)一次,一個出現(xiàn)兩次，一個出現(xiàn)三次,共既紀(jì)同種；

A..A2,A3玩偶中,兩個出現(xiàn)一次,另一個出現(xiàn)四次,共4或\?種.

故p戊)(>—+(:弼:閑+:混,620

根據(jù)題意，先考慮一次性購買5個乙系列盲盒沒有集齊B?B?玩偶的概率,即P8，

所以P(F5)=1-#4I

(2)①由題意可知,QI=(,當(dāng)n22時,Q"=；(l-Q“r)+,”T,

所以Q「巖(Qnr|),

所以｛Q「,｝是以T為首項(xiàng),q為公比的等比數(shù)列，

所以Q0=T+|(ndN*).

②因?yàn)槊刻熨徺I盲盒的100人都已購買過很多次，

所以對于每一個人來說,某天來購買盲盒時,可以看作n趨向無窮大，

所以購買甲系列的概率近似于，，假設(shè)用&表示一天中購買甲系列盲盒的人數(shù)，則

&'B(l。。,I),

所以E(g)=100X1=40,即購買甲系列盲盒的人數(shù)的期望為40,

5

所以禮品店應(yīng)準(zhǔn)備甲系列盲盒40個,乙系列盲盒60個.

〈拓展延伸》

7.2020年1月15日教育部制定出臺了《關(guān)于在部分高校開展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點(diǎn)工作的

意見》(也稱“強(qiáng)基計劃”),《意見》宣布：2020年起不再組織開展高校自主招生工作，改為

實(shí)行強(qiáng)基計劃.強(qiáng)基計劃要選拔培養(yǎng)有志于服務(wù)國家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)優(yōu)秀或基礎(chǔ)學(xué)

科拔尖的學(xué)生.據(jù)悉強(qiáng)基計劃的?？加稍圏c(diǎn)高校自主命題，校考過程中通過筆試后才能進(jìn)入

面試環(huán)節(jié).已知甲、乙兩所大學(xué)的筆試環(huán)節(jié)都設(shè)有三門考試科目，且每門科目是否通過相互獨(dú)

立.若某考生報考甲大學(xué)，每門科目通過的概率均為g,該考生報考乙大學(xué)，每門科目通過的概

率依次為劈,叫其中0<m<l.

03

(1)若m1,分別求出該考生報考甲、乙兩所大學(xué)在筆試環(huán)節(jié)恰好通過一門科目的概率；

(2)強(qiáng)基計劃規(guī)定每名考生只能報考一所試點(diǎn)高校，若以筆試過程中通過科目數(shù)的數(shù)學(xué)期望

9

為依據(jù)作出決策，當(dāng)該考生更有希望通過乙大學(xué)的筆試時,求m的取值范圍.

【解析】(D設(shè)該考生報考甲大學(xué)恰好通過一門筆試科目為事件A,則P(A)=C；(b(1)24

ZZo

該考生報考乙大學(xué)恰好通過一門筆試科目為事件B,則P(B)=|X(b^X|X1X2=|1=-^.

o3b3304lo

(2)設(shè)該考生報考甲大學(xué)通過的科目數(shù)為X,根據(jù)題意可知,X~B(3,1)，則X的數(shù)學(xué)期望

E(X)=3X14

設(shè)該考生報考乙大學(xué)通過的科目數(shù)為Y,

則P(Y=O)=jx1(l-m)=^(l-m),

6318

P(Y=1)WX；(1-m)+區(qū)(1-m)+見

636363183'

P(Y=3)督畤，

所以隨機(jī)變量Y的分布列為

Y0123

Pgl-m)---m%

18183929

故Y的數(shù)學(xué)期望E(Y)七-%+扣+5/+而，

因?yàn)樵摽忌邢Ｍㄟ^乙大學(xué)的筆試,所以E(Y)>E(X),即9mg,又0<m<l,

0，

解得"m<l,所以m的取值范圍為(g,1).

8.某貧困地區(qū)扶貧辦積極貫徹落實(shí)國家精準(zhǔn)扶貧的政策要求,帶領(lǐng)廣大農(nóng)村地區(qū)人民群眾脫

貧奔小康.經(jīng)過不懈的奮力拼搏,新農(nóng)村建設(shè)取得巨大進(jìn)步,農(nóng)民年收入也逐年增加，為了更

好地制定2019年關(guān)于加快提升農(nóng)民年收入、力爭早日脫貧的工作計劃，該地扶貧辦隨機(jī)統(tǒng)計

了2018年50位農(nóng)民的年收入,