極坐標(biāo)與參數(shù)方程-原卷+解析-高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義

參數(shù)方程

知識清單

（1）關(guān)于參數(shù)方程：

①恒過定點(diǎn)尸（9為）且傾斜角為a的直線的參數(shù)方程：f=%+'c°sa（,為參數(shù)）

[y=%+tsma

其中，，的幾何意義是，當(dāng),的系數(shù)平方和為一時(shí)，，表示有向線段訪的數(shù)量。當(dāng)點(diǎn)P在丸

上方時(shí)，f為正；當(dāng)點(diǎn)P在與下方時(shí)，f為負(fù)。

如何辨別是否為直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程：（舉例說明）

②圓心為（岫），半徑為r的圓的參數(shù)方程：F="+"°s%為參數(shù)）

\y=b+rsmu

③長軸為a且短軸為b的橢圓的參數(shù)方程：

fx=acosO.」乙、|〃\

,.〃9為參數(shù)

[y=〃sin〃

其中，。的幾何意義是：（橫橢圓為例）以。為半徑所作圓上一點(diǎn)和橢圓中心的連線與X軸正

半軸的夾角。

④拋物線y2=2px（p>0）對應(yīng)的參數(shù)方程為：

卜=2"；為參數(shù)）；

[y=2p/

拋物線/二2py（p>0）對應(yīng)的參數(shù)方程為：

[y=2。26為參數(shù)）；

[x=2pt

（2）關(guān)于極坐標(biāo)：化簡中的常用公式：

X=PCOS0y、、、

.9tan0=—,p—x4-yo

y=psin^x

會識別過原點(diǎn)的直線的極坐標(biāo)方程，如：p.p=q,p=e

1.1三大方程之間的化簡

例L（2021全國三卷）在直角坐標(biāo)系xQy中，以坐標(biāo)原

點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為p=2&cos9.

（1）將C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程.

【變式1-1］設(shè)二=cos。，。為參數(shù)，求橢圓注工+

V33

@±互=|的參數(shù)方程.

5

【變式1-2】已知圓c的普通方程為

/+y+2x_6y+9=0，則圓C的參數(shù)方程為.

【變式1-3］（2019年全國三卷）如圖，在極坐標(biāo)系xQy

中，A（2,0）,B詆,C陋尊,。（2㈤，弧AB，8C,CD所在圓的圓心分別是（1,0）,

嗚），（1㈤，曲線陷是弧A3，曲線但是弧BC,曲線M是弧CD.

分別寫出跖，M2,M2的極坐標(biāo)方程;

例2.（2017年全國三卷）在直角坐標(biāo)系Xpy中，直線4

x=—2+m,

的參數(shù)方程為、=2乜（,為參數(shù)），直線/2的參數(shù)方程為.m（"為參數(shù)）.設(shè)4與4的交

y=kt,▼

點(diǎn)為P,當(dāng)上變化時(shí)，P的軌跡為曲線C.寫出C的普通方程;

2+3f

（變式2-1】參數(shù)方程"1+，5為參數(shù)）化成普通方

1-2?

y=--

I1+r

程為；

【變式2-2】將下列參數(shù)方程化為普通方程.

x=-

。為參數(shù)）;

y=-4i^\

x=2+sin*（，為參數(shù)）;

y=-l+cos2。

1+/（f為參數(shù)）.

【變式2-3】將下列參數(shù)方程化為普通方程:

x=—（el+e~l]

（1）:3為參數(shù)）；

⑵卜=2tan*（8為參數(shù)）.

[y=2tan

1.24%的運(yùn)用

1.3.1所給方程為標(biāo)準(zhǔn)形式

例3.在直角坐標(biāo)系xQy中，直線/的參數(shù)方程為

5=2+fcosa（，為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，i.軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線c的

[y=tsina

極坐標(biāo)方程為止』

（1）若。=工，求直線/的普通方程和曲線c的直角坐標(biāo)方程；

3

（2）若直線/與C交于AB兩點(diǎn)，與丈軸交于點(diǎn)P,且|刑.|冏=32,求直線/的傾斜角.

【變式3-1]在平面直角坐標(biāo)系xQy中，直線/的參數(shù)方程

為-=T+'8s為參數(shù)，a為直線的傾斜角），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極

[y=%sina

軸，建立極坐標(biāo)系，曲線c的極坐標(biāo)方程

Y5-3cos2<9

（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；

（2）已知點(diǎn)P（-1,0）,直線/與曲線0交于AB兩點(diǎn)，與），軸交于“點(diǎn)，若

\PA\-\PB\=\PM^,求直線/的普通方程.

【變式3-2］在平面直角坐標(biāo)系xQy中，曲線c的參數(shù)方

X

程為(,為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓”

的極坐標(biāo)方程為2d-4為sin卜+(卜3=0,點(diǎn)A的極角為3(極徑小于1)，點(diǎn)A在圓歷

上，過點(diǎn)4且斜率為2的直線/與曲線c相交于只Q兩點(diǎn).

(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程和點(diǎn)A的直角坐標(biāo)；

(2)求廠'+二的值.

K||Ag|⑸

【變式3-3］在平面直角坐標(biāo)系中，直線/的參數(shù)方程

為「"-"'cos。"為參數(shù)，04&＜汀)，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)

［y=1+Zsintz

系，曲線c的極坐標(biāo)方程為爐=—^，直線/與曲線C的交點(diǎn)為AB.

3+sin0

(1)求曲線c的直角坐標(biāo)方程及a=g時(shí)的值；

(2)設(shè)點(diǎn)尸(_口)，求華匚啰的最大值.

【變式3-4]平面直角坐標(biāo)系xQy中，直線/的參數(shù)方程為

[X=__楊__,f

2(,為參數(shù))，以.為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)

3cos2^+4sin2^

(I)求C的直角坐標(biāo)方程和/的普通方程；

(II)設(shè)P(O,l),/與C交于AB兩點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，求|尸則.

1.3.2所給方程為非標(biāo)準(zhǔn)形式

例4.已知點(diǎn)C(-l,0),P(-l,2),曲線C,的參數(shù)方程為

x=T+四。為參數(shù))，曲線C2的參數(shù)方程為x=-l+rcos。(6為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn).為極

點(diǎn)，X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，若G與C?相交于AB兩點(diǎn)且a邳=2如.

(1)求G的普通方程和G的極坐標(biāo)方程；

⑵求向+向的值.

【變式4-1］已知平面直角坐標(biāo)系X。中，曲線G的參數(shù)

X=cos。，

方程為(，〃為參數(shù)),76（。為參數(shù)）.以坐標(biāo)原

y=——sin。

I2

點(diǎn)0為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，點(diǎn)A的極坐標(biāo)為］子其中

tana=＞。￡(0,兀).

(1)求曲線G，G的普通方程以及點(diǎn)A的直角坐標(biāo)；

(2)若曲線G與曲線G交于M'N兩點(diǎn)'求弁+后的值?

1.3.3題干缺失直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程

|r2-4

X=----

例5.已知曲線C的參數(shù)方程為廣+4。為參數(shù)).

8f

(1)求曲線C的普通方程；

(2)過點(diǎn)P(0,l)的直線/與曲線c交于A8兩點(diǎn)，求網(wǎng).閥的取值范圍.

【變式5-1］在直角坐標(biāo)系xQv中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，

以x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線/的極坐標(biāo)方程?出1+?卜日，曲線。的極

坐標(biāo)方程為p2（l+3sin*）=4.

（1）寫出直線/和曲線C的直角坐標(biāo)方程；

（2）已知點(diǎn)4（1,0）,若直線/與曲C線交于P、Q兩點(diǎn),P。中點(diǎn)為求呼畢的值.

【變式5-2］以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn).為極點(diǎn)，軸的正半軸

為極軸建立極坐標(biāo)系，已知點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為（1相），點(diǎn)M的極坐標(biāo)為萬，若直線/過

（町）

點(diǎn)P，且傾斜角為如，圓M的半徑為2.

T

（1）求直線/的參數(shù)方程（寫出一個即可）和圓M的極坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)直線/與圓M相交于AB兩點(diǎn)，求您1+出的值.

1PAi網(wǎng)

【變式5-3］在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正

半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線G的方程為。為參數(shù))，曲線g的極坐標(biāo)方程為

0cos<9-2/>sin6=4,曲線G與a相交于A8兩點(diǎn).

(1)求曲線G的普通方程及曲線G的直角坐標(biāo)方程；

(2)求點(diǎn)A/(2,-l)到A3兩點(diǎn)的距離之和.

【變式5-4］在直角坐標(biāo)系入3中，點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，直

線/的直角坐標(biāo)方程為丫=3工+且，直線/與x軸交于點(diǎn)M,拋物線C的參數(shù)方程為

33

"XV為參數(shù)).

(1)以點(diǎn)。為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸，求直線/的極坐標(biāo)方程及點(diǎn)M的極坐標(biāo)；

(2)設(shè)直線/與拋物線C相交于E,F兩點(diǎn),若忸殲-阿小眼閔=0,求拋物線C的準(zhǔn)線方

程.

1.3參數(shù)思想的運(yùn)用

例6.已知P（〃z,是橢圓.+>2=1上的動點(diǎn)，則2〃z+3〃

的最大值是,點(diǎn)P到直線/：工_2〉+3點(diǎn)=0的最小距離是.

【變式6-1]在平面直角坐標(biāo)系xG?y中，已知圓C的參數(shù)

方程為F=a+fcos。（，為參數(shù)，其中。為正實(shí)數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)0為極點(diǎn)，x軸的正半軸

[j=l+v5sina

為極軸建立極坐標(biāo)系，直線’的極坐標(biāo)方程為Reos。-夕sin6=0.

（1）若直線/與圓。相切，求。的值；

（2）在（1）的條件下，設(shè)直線/與圓c相切于點(diǎn)點(diǎn)N是圓C上的一個動點(diǎn)，求

△MON面積的最大值.

【變式6-2]以坐標(biāo)原點(diǎn)0為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極

軸，建立極坐標(biāo)系，曲線G的極坐標(biāo)方程為psin。-?卜五，曲線J的極坐標(biāo)方程為

夕(1-cos6)=1?

(1)寫出G和a的直角坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)點(diǎn)P在G上，點(diǎn)Q在C?上，求|尸2|的最小值及此時(shí)Q的直角坐標(biāo).

【變式6-3】已知曲線C的參數(shù)方程為F=2cosO(e為

[y=sin。

參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線/的極坐標(biāo)方程為

2夕cos6+3夕sin6=12?

(1)求曲線c的普通方程和直線/的直角坐標(biāo)方程；

(2)若點(diǎn)P為直線/上的動點(diǎn)，點(diǎn)Q是曲線c上的動點(diǎn)，求|PQ|的最小值，并求出此時(shí)Q

點(diǎn)坐標(biāo)。

1.4極坐標(biāo)思想的運(yùn)用

例7.在直角坐標(biāo)系入勿中，直線小光=2,曲線

C：[x=2cos"(0為參數(shù)).以o為極點(diǎn)，X軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，點(diǎn)M的

[y=2+2sin夕

極坐標(biāo)為,5).

(1)求直線4和曲線c的極坐標(biāo)方程；

(2)在極坐標(biāo)系中，已知射線/2：e=a[<a<f與hc的公共點(diǎn)分別為AB,且

|OA|.|O5|=873,求AMOB的面積.

【變式7-11F在平面直角坐標(biāo)系中，曲線c的參數(shù)方程為

F=3+2cosO(e為參數(shù))，以該直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極

[y=2sin8

坐標(biāo)系；曲線/的極坐標(biāo)方程為。=工.

6

(I)求c的極坐標(biāo)方程；

(II)/與c交于AB兩點(diǎn)，線段AB中點(diǎn)為M,求|0劃.

【變式7-2]在平面直角坐標(biāo)系xQv中，已知曲線E的參

數(shù)方程為["*c°sa為參數(shù))，直線/的參數(shù)方程為b="os/?(，為參數(shù),

=5/10sina+4[y=tsm/3

B<Q.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

(I)求曲線E的極坐標(biāo)方程；

(II)直線/與曲線E交于兩點(diǎn)，若ON=3OM，求直線/的斜率.

【變式7-3]在直角坐標(biāo)系xQv中，直線/的參數(shù)方程為

F=機(jī)一1'（加為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線

[y=m+l

C的極坐標(biāo)方程為0+4sin6=O.

（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程與直線/的極坐標(biāo)方程；

（2）若動直線㈠6=々和/2：0=a+-（ae（O,馬）分別與曲線C交于A和B，同時(shí)又分

24

別與直線/交于E和F，求》的取值范圍.

、,OEF

【變式7-4]在平面直角坐標(biāo)系工作中，直線/的參數(shù)方程

為卜=-f,g為參數(shù)）.以°為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線c的

[y=yJ3+t,

極坐標(biāo)方程為p=acos0（?>O）,直線/與曲線C有且僅有一個公共點(diǎn)：

（1）求直線/的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)A，8是曲線C上的兩點(diǎn)，且乙4。8=2,求o，+o/的取值范圍.

6

1.5關(guān)于軌跡方程

1.6.1相關(guān)點(diǎn)法

例8.（2021全國三卷）在直角坐標(biāo)系工⑦中，以坐標(biāo)原

點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為0=2應(yīng)cos。.

（1）將C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為。,0），M為C上的動點(diǎn)，點(diǎn)P滿足經(jīng)=應(yīng)411，寫出P的軌跡

C,的參數(shù)方程，并判斷C與G是否有公共點(diǎn).

【變式8-1]（2018年全國III）在平面直角坐標(biāo)系工作中，

O的參數(shù)方程為F=為參數(shù)），過點(diǎn)（o_&）且傾斜角為夕的直線/與.交于

[y=sin6

兩點(diǎn).

（1）求a的取值范圍；

（2）求A8中點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程.

【變式8-2】設(shè)點(diǎn)RQ都在曲線C『=4cosw(0為參

[y=2sinp

數(shù))上，且點(diǎn)p對應(yīng)的參數(shù)a與點(diǎn)Q對應(yīng)的參數(shù)乃滿足/?=2a(0Va<2;r)，M為PQ的中點(diǎn)

(當(dāng)點(diǎn)P與Q重合時(shí)，點(diǎn)M也與點(diǎn)RQ重合)。

(1)求點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程；

(2)判斷點(diǎn)M的軌跡是否過坐標(biāo)原點(diǎn)O,證明你的結(jié)論。

【變式8-3]已知點(diǎn)尸(2,2),圓(7:爐+12-8丫=0，過點(diǎn)

P的動直線/與圓C交于A8兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M,。為坐標(biāo)原點(diǎn).

(I)若點(diǎn)M與點(diǎn)P重合，求直線/的方程；

(II)求點(diǎn)M的軌跡方程，以及QM.OP的最大值.

【變式8-4］以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)0為極點(diǎn)，x軸的正半軸

為極軸建立極坐標(biāo)系，橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別是曲線0=五與x軸的交點(diǎn).

（1）若橢圓C的長軸長為4,求橢圓C的焦點(diǎn)的極坐標(biāo)及橢圓C的直角坐標(biāo)方程；

（2）在（1）的條件下，已知動直線/垂直于x軸，且與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)

P在直線/上，若.尸引=2,求點(diǎn)P的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形.

【變式8-5］在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn).為極

點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線c的極坐標(biāo)方程為0=2cos6>+2sin6>,Q是C

上的動點(diǎn)，p是射線OQ上一點(diǎn)且滿足|0。卜|0尸|=8.

（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；

（2）求點(diǎn)尸的軌跡的極坐標(biāo)方程.

1.6.2直接法

例9.在直角坐標(biāo)系xQv中，曲線C的參數(shù)方程為

卜=：+2—3（,為參數(shù)且』），c與坐標(biāo)軸交于A,B兩點(diǎn).

[y=t2+t-2

（1）求;

（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求以￡外接圓的極坐標(biāo)方

程.

【變式9-1]在平面直角坐標(biāo)系中，曲線G的方程為

v+ly-zynd.以坐標(biāo)原點(diǎn)0為極點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)A是G上的動

點(diǎn)，先將點(diǎn)A繞點(diǎn)0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得（得到點(diǎn)B，再保持極角不變，極徑變?yōu)樵瓉淼?倍得

到點(diǎn)C，設(shè)點(diǎn)C的軌跡為曲線

（1）求曲線G、C2的極坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)M是曲線G、a的公共點(diǎn)，P、Q分別是射線與曲線a、a的公共點(diǎn)，且

M、P、2都異于點(diǎn)O，求二MPQ的面積.

【變式9-2】在極坐標(biāo)系中，已知三點(diǎn)A(2,0),

(1)若A8,c三點(diǎn)共線，求。的值；

(2)求過O,A,8三點(diǎn)的圓的極坐標(biāo)方程.(0為極點(diǎn))

課后練習(xí)

X—2tH—

1.曲線C的參數(shù)方程為J(，為參數(shù))，則曲線C的離心率”(）

y=t——

It

A.且B.好

22

C.姮D.72

4

2.下列可以作為直線2x+y-3=0的參數(shù)方程的是()

X-2H-------1

A.5（f為參數(shù)）

,-J5

y=-1------1

5

B.卜=1+百3為參數(shù)）

[y=l-2版

x-2------1

C.5（「為參數(shù)）

D.卜=i+”「G為參數(shù)）

[y=1-2〃

x=ms-------FA/2

m

1

y=m----

3.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線。的參數(shù)方程為m（根為參數(shù)）.

（1）求曲線C的普通方程;

（2）過點(diǎn)A（3及,0）且斜率為近的直線與C的交點(diǎn)分別為點(diǎn)M，N，求啟+總的值?

卜=招+2cosa

4.在平面直角坐標(biāo)系中，圓C的參數(shù)方程為iy=l+2sin。（a為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極

點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，且長度單位相同.

（1）求圓C的極坐標(biāo)方程；

（2）若過原點(diǎn)的直線/被圓C截得的弦長為2,求直線/的傾斜角.

5.在平面直角坐標(biāo)系X。中，曲線q：/+卷=1,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極

軸建立極坐標(biāo)系，曲線G的極坐標(biāo)方程為爐一80COS0+15=O.

(1)求曲線q的參數(shù)方程與G的直角坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)點(diǎn)A8分別為曲線G與G上的動點(diǎn)，求|明的取值范圍.

|x=1+Zcosa

6.在直角坐標(biāo)系xQy中，曲線G的參數(shù)方程為"sina?中的一個為參數(shù))，以。

I:Qsin"-。）=1

為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線

(1)當(dāng),為參數(shù)，0=(時(shí)，判斷曲線G與直線/的位置關(guān)系;

(2)當(dāng)a為參數(shù)，方=2時(shí)，直線/與曲線G交于不同的兩點(diǎn)A，B，若尸(0,2),求

的值。

\PA\\PB\

7.已知曲線G：f=T+cosa（"為參數(shù)），曲線c,：F=3cos'為參數(shù)）.

[y=3+sina[y=2sin^

（i）化G，a的參數(shù)方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；

（2）若G上的點(diǎn)P對應(yīng)的參數(shù)a=乃，點(diǎn)Q為G上一動點(diǎn)，PQ中點(diǎn)為M，求點(diǎn)M到直線

=3+2f

C3：?（，為參數(shù)）距離的最小值以及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo).

[y=2-t

Ix=1+sincr+2cosa

8.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為i〉=4sina-2cosa（a為參數(shù)），以。為

極點(diǎn)，以x軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線/的極坐標(biāo)方程為

（1）求曲線C的極坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)直線/與曲線C相交于A、8兩點(diǎn)，求|AB|的值.

9.已知橢圓C:尸=2cos?"是參數(shù)），A和B是C上的動點(diǎn)，且滿足04,08（。是坐標(biāo)原

[y=sm0

點(diǎn)），以。為極點(diǎn)、以X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，點(diǎn)D的極坐標(biāo)為

（1）求線段AO的中點(diǎn)M的軌跡E的普通方程；

（2）利用橢圓C的極坐標(biāo)方程證明廠L+白為定值，并求AO8面積的最大值.

\OA\\OB\

10.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，圓C的圓心為（°』），半徑為1,現(xiàn)以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正

半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

（1）求圓c的極坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)M，N是圓C上兩個動點(diǎn)，滿足NM9N=g,求|0M|+|CW|的取值范圍.

卜=l+2cos尸

11.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知曲線M的參數(shù)方程為i，=l+2sin夕(/?為參數(shù))，以坐標(biāo)

e=~

原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線4的極坐標(biāo)方程為4,直線4的

e工

極坐標(biāo)方程為4.

(1)寫出曲線M的極坐標(biāo)方程，并指出它是何種曲線；

(2)設(shè)4與曲線“交于A、C兩點(diǎn)，4與曲線M交于B、￡)兩點(diǎn)，求四邊形ABCD面積.

12.在直角坐標(biāo)系xQy中，直線/的傾斜角為a,且經(jīng)過點(diǎn)(6,-3),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，%

軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為p=4cos/-S],直線/與曲線C

有兩個不同的交點(diǎn)AB.

(1)寫出直線/的參數(shù)方程、曲線C的直角坐標(biāo)方程，并求a的取值范圍；

(2)以a為參數(shù)，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程.

X=~2f

13.在直角坐標(biāo)系中，曲線c的參數(shù)方程為1+?;（，為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極

1一產(chǎn)

rw

點(diǎn),X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線/的極坐標(biāo)方程為6pcose+20sine-2=O.

（1）求C的普通方程和/的直角坐標(biāo)方程；

（2）求C上的點(diǎn)到直線/距離的最大值.

14.如圖，在極坐標(biāo)系Qx中，A、］）、B（2五,力、弧、弧

BC、弧CD所在圓的圓心分別是區(qū)）、（2,0）、（2,青，曲線C,是弧曲線g是弧

BC，曲線G是弧a>，曲線c：〃p,。）=o（ove<2乃）由G、G、構(gòu)成.

（1）寫出曲線C的極坐標(biāo)方程，并求曲線C與直線9=|<peR）所圍成圖形的面積

（2）若點(diǎn)M在曲線C上，且|OM|=2百，求點(diǎn)”的極坐標(biāo).

15.如圖是以等邊三角形Q鉆的每個頂點(diǎn)為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點(diǎn)間作一段

弧，三段弧圍城的曲邊三角形，記為勒洛OAB（勒洛三角形是德國機(jī)械工程專家，機(jī)構(gòu)

運(yùn)動學(xué)家勒洛首先發(fā)現(xiàn)的，故命名為勒洛三角形）.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)

。為極點(diǎn)，以X為軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，（規(guī)定：極徑02。，極角。旦一萬,加），已

知點(diǎn)"

（1）求橫和08的極坐標(biāo)方程;

（2）已知點(diǎn)M。是鉆上的動點(diǎn)，求|MQ［的取值范圍.

16.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，直線4的參數(shù)方程為x=為參數(shù)）,直線4的參數(shù)方

y=kt

x=退-s

程為｛s(S為參數(shù))，直線4與/，的交點(diǎn)為P，以坐標(biāo)原點(diǎn)0為極點(diǎn),x軸正半軸為極

y=一

3k

軸建立極坐標(biāo)系，曲線G的極坐標(biāo)方程為0。sin1夕+?=1.

(1)求點(diǎn)P的軌跡c的普通方程;

血土血的

(2)若曲線a與曲線C相交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)Q的直角坐標(biāo)為(1,0)，

值.

參數(shù)方程

知識清單

（1）關(guān)于參數(shù)方程：

①恒過定點(diǎn)尸（七,%）且傾斜角為a的直線的參數(shù)方程：尸=%+'83々,為參數(shù)）

[y=%+tsma

其中，/的幾何意義是，當(dāng)f的系數(shù)平方和為一時(shí)，，表示有向線段好的數(shù)量。當(dāng)點(diǎn)P在6

上方時(shí)，『為正；當(dāng)點(diǎn)P在與下方時(shí)，『為負(fù)。

如何辨別是否為直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程：（舉例說明）

②圓心為（a,力，半徑為r的圓的參數(shù)方程：F="+‘cos%為參數(shù)）

=。+rsinC

③長軸為a且短軸為b的橢圓的參數(shù)方程：

fx=acosO,

,.〃。為參數(shù)x

[y=〃sin〃

其中，。的幾何意義是：（橫橢圓為例）以a為半徑所作圓上一點(diǎn)和橢圓中心的連線與x軸正

半軸的夾角。

④拋物線y2=2px（p>0）對應(yīng)的參數(shù)方程為：

卜=2"、為參數(shù)）；

[y=2p/

拋物線爐=2py（p>0）對應(yīng)的參數(shù)方程為：

卜=20、為參數(shù)）；

[x=2pt

（2）關(guān)于極坐標(biāo)：化簡中的常用公式：

[x=OCOS0V、、、

\，tan6=—,p=x2+yo

[y=psin^x

會識別過原點(diǎn)的直線的極坐標(biāo)方程，如：p=^p=^,p=e

1.6三大方程之間的化簡

例10.（2021全國三卷）在直角坐標(biāo)系X。中，以坐標(biāo)原

點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為p=2&cose.

（1）將C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程.

【答案】卜一可+/=2.

【解析】（1）由曲線C的極坐標(biāo)方程0=2血85。可得"=2在pcosP，

將x=pcos8,y=0sin?代入可得尤2+V=2返工,即（x-四）+y2=2>

即曲線C的直角坐標(biāo)方程為卜一①丫+y=2

【變式1-4]設(shè)二=cos。，。為參數(shù)，求橢圓狂旦+

V33

（y+2>=i的參數(shù)方程.

5

【答案】卜=1+君COS&（。為參數(shù)）

[y=一2+6sing

【詳解】

把與Leos。代入橢圓方程，得至Ucos2e+—li=i,

超5

于是（>+2）2=5（1-cos2^）=5sin23,即y-\-2=±45sm3,

由參數(shù)。的任意性，可取y=-2+75si",

因此橢圓與工+（>+2）2=1的參數(shù)方程為b=1+e°s&（。為參數(shù)）.

35=-2+V5sin^

【變式1-5】已知圓c的普通方程為

￥+/+2x_6y+9=0，則圓C的參數(shù)方程為.

【答案】/=T+cos9（e為參數(shù)）.

[y=3+sin。

【解析】由x2+y2+2x-6y+9=0，可得（x+iy+（y-3）2=l.

令x+l=cos。，尸3=sin?，所以圓c的參數(shù)方程為[x=T+c°s，e為參數(shù)）.

【變式1-6](2019年全國三卷)如圖，在極坐標(biāo)系xQy

中，4(2,0),8(也,C(＞也苧，。(2,兀)，弧AB，BC,8所在圓的圓心分別是(1,0),

(丐)，(1,兀)，曲線陷是弧AB，曲線區(qū)是弧BC,曲線也是弧CD.

分別寫出M，M2,M的極坐標(biāo)方程；

【答案】夕=2cos6(6e[O,.])，夕=2sine(6￡[?,午]),P=-2cos^(^G,

【詳解】

由題意得，這三個圓的直徑都是2,并且都過原點(diǎn).

Mx\p=2cos6(6e[0,^]),

冗43437r

M2:p-2cos(^-—)=2sin6(6G[—,—]),M3:p=2cos(6-?)=-2cos，(夕G.

例11.(2017年全國三卷)在直角坐標(biāo)系xQy中，直線4

x=-2+m,

的參數(shù)方程為I；[(,為參數(shù))'直線4的參數(shù)方程為

m(優(yōu)為參數(shù)).設(shè)4與4的交

y=T

點(diǎn)為p,當(dāng)上變化時(shí)，P的軌跡為曲線c.寫出c的普通方程；

【答案】》2-9=4(懺0)

【詳解】消去參數(shù):得4的普通方程4：y=M"2);消去參數(shù)能得/2的普通方程

4：y=g(x+2).

y=左(1_2)

設(shè)尸(x,y),由題設(shè)得,1,消去攵得/一y2=4(,。0).

y=%(%+2)

所以C的普通方程為爐—V=4("o).

_2+3/

【變式24】參數(shù)方程入-777(/為參數(shù))化成普通方

1—2/

y=--

1+/

程為;

【答案】3x+y-7=0(xw3).

【詳解】

2+3r_3(l+r)-l1

x-----------------------J--------

1+t1+t1+t

=3-x

1+t

”「2(l+，)+3―2+2.,_L=2±2

1+r1+r1+r1+t3

.?.37=苫4*3),即3x+y-7=0("3)

故答案為：3x+y-7=0(xw3)

【變式2-5】將下列參數(shù)方程化為普通方程.

(1)(f為參數(shù));

⑵卜=2+sin*(J為參數(shù));

[y=-l+cos20

2t2

x=------

⑶1+r(f為參數(shù)).

【答案】

(1)^2+/=1,其中"臼或尸"<0

[0<y<1[-1<y<0

(2)2x+y-4=0(2<x<3)；

(3)3x+y-4=0Ue[0,2)).

【詳解】(1)因(++d^^i)2=l,依題意有V+y'l,而『一GO,即91或后T,又

tt

兀=；,貝!JxwO,

當(dāng)，之1時(shí)，0<冗<1,。<)<1,當(dāng)/<一1時(shí)，一14九<0,1<)40,

所以所求普通方程為^+「=1,其中;；；：；或-l<x<0

—1<y<0

(2)13y=-1+cos2^=-1+1-2sin20=-2sin20,ffj]sin2^=x-2,貝|y=—2x+4,即2x+y—4=0,

X0<sin26?<l,即0VX-2V1,于是2VxV3,

所以所求的普通方程為2x+y-4=0(2VxM3)；

⑶因X=2L,則>=4-21=4(1+產(chǎn))-6.=4_3?工=4—3x,

'1+r-i+r1+r1+t2

▽2f22(1+產(chǎn))-232

乂》=—7=-----i—=2---e0,2)，

1+r1+f21+”rL'

所以所求的普通方程為3無+y-4=0ae[0,2)).

【變式2-6】將下列參數(shù)方程化為普通方程:

x=~(e'+e']

(1)；G為參數(shù))；

y=2(e'~e~')

(2)卜=2tan*(J為參數(shù)).

[y=2tan6

【答案】(1)^-/=1；(2)/=2x.

x=—(e'+

【詳解】解：(1)由-2、得—=》+,，e'=x—y'

兩式相乘得，.二=(x+y)(x-y)=1,...曲線的普通方程為x2-y2=l;

(2)由y=2tan6得tan。=微，代入到尤=2tan2。得x=='，即y?=2x,；?曲線的普通

方程為J=2》.

1.3.1所給方程為標(biāo)準(zhǔn)形式

例12在直角坐標(biāo)系X。中，直線/的參數(shù)方程為

5=2+fcosa（，為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，i.軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線c的

[y=tsina

極坐標(biāo)方程為止』

（1）若。=工，求直線/的普通方程和曲線c的直角坐標(biāo)方程；

3

（2）若直線/與C交于AB兩點(diǎn)，與丈軸交于點(diǎn)P,且|刑.|冏=32,求直線/的傾斜角.

【答案】(1)6x7-26=0,9=4心/0);(2)4或紅..

66

【詳解】

%=24—t

2

（1）因?yàn)?的參數(shù)方程為，所以石（x-2）=y.所以/的普通方程為

0

43x-y-2y/3=0，

又因?yàn)閜=_1,所以夕=生"，所以02sinR=4pcos6,所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為

sin0tan0sin6,

y2=4x("。)；

(2)將p2+tcosa代入,2=卬"0)中，

[y=tsina

(sin2cr)z2=8+4zcosiz,BP(sin2<7)Z2-4ZCOS6Z-8=0,

8

所以tt

x2sin2a

因?yàn)?尸4卜|尸目=32,所以以21=--—=32,所以sina=土;，

又因?yàn)?￡[0,]），所以0=工或a=包，

66

所以直線/傾斜角為弓或去

【變式3-5]在平面直角坐標(biāo)系中，直線/的參數(shù)方程

為F=-l+,cosa,（，為參數(shù)，。為直線的傾斜角），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極

[y=/sina

軸，建立極坐標(biāo)系，曲線c的極坐標(biāo)方程p=J—匚.

Y5-3cos2<9

（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；

（2）已知點(diǎn)P（-1,0）,直線/與曲線0交于AB兩點(diǎn)，與y軸交于M點(diǎn)，若

\PA\-\PB\=\PM^>求直線/的普通方程.

.2

【答案】（1）+y2=19(2)X—yf2y+1=0x+^f2y+1=0?

【詳解】

8

(1)由0=I-§—可得/=

5-3cos26>5-3(cos*-sin*)'

/.p2(2cos20+8sin2^)=8,x=pcos3,y=psinO

.?.2X2+8/=8>曲線C的直角坐標(biāo)方程是1+/=l.

（2）設(shè)A、3兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為％、人

聯(lián)立直線/的參數(shù)方程與曲線C的普通方程，整理得

（1+3sin2a）?〃-2cosa-t-3=0，

._3

t,t=--------7--，

71+3sin2a

設(shè)點(diǎn)Af對應(yīng)的參數(shù)為與，由％“=-l+/3COsa=0,可得G=—-—,

cosa

由岡?附=歸可得仁修引城,

即―1=，2,

l+3sin2acosa

31

l+3sinacosa

.\2sin2cr=cos2cr?即taYan；，

二直線/的斜率k=±且，

2

故直線/的方程為x_0y+l=O或X+夜y+l=o-

【變式3-6］在平面直角坐標(biāo)系xQy中，曲線C的參數(shù)方

t

x=----

程為'「IG為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓M

戶一r-i

的極坐標(biāo)方程為2"-4何sin|+6+3=0,點(diǎn)A的極角為？（極徑小于1）,點(diǎn)A在圓M

上，過點(diǎn)A且斜率為2的直線/與曲線C相交于RQ兩點(diǎn).

（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程和點(diǎn)A的直角坐標(biāo)；

⑵求血+高的直

(2)型

【答案】(1)4JC2+y2=l(y7^1),

ri5

【詳解】

2242f21

___4_/__(f-l)?+2r+l(+)\1

解：（1）由曲線C的參數(shù)方程可得4/+y2=+

(『+1)2'(r+1廠92+1)2

又由y=變產(chǎn)=1-3'有-hy<l

所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為4/+>2=1（>片1）

將代人圓M的極坐標(biāo)方程有，2p-4?+3=0,解得0=孝或展半，由

0<p<l，可得p=￥，可得點(diǎn)A的直角坐標(biāo)

=11

X-I—『t

275

（2）直線/的參數(shù)方程為(f為參數(shù))

12

y=2+^

設(shè)PQ兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為1占有|AP|=,|，|40=閭

將直線/的參數(shù)方程代入曲線c的直角坐標(biāo)方程后整理為8產(chǎn)+66+9=0,可得

4

3A/5

3招2有11_11」彳+力_丁_24出

-432\AP\\AQ\|r,|同|V2|±5

32

【變式3.7】在平面直角坐標(biāo)系％8中，直線/的參數(shù)方程

為x=T+rcosa（，為參數(shù)，。4[<萬），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)

y=l+Zsintz

系，曲線c的極坐標(biāo)方程為"?=」^，直線/與曲線C的交點(diǎn)為AB.

3+sin"0

（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程及a=3時(shí)|AB|的值;

（2）設(shè)點(diǎn)尸（一1,1）,求畢*的最大值.

（1）

【答案】……

【詳解】

解：⑴曲線C的極坐標(biāo)方程為樂就行

x=pcos°22

根據(jù)y=psm0，轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為三+匕=1，

x2+y2=p243

當(dāng)夕=工時(shí)，直線/的參數(shù)方程為F=T+'c°sa（f為參數(shù)，0＜。＜萬）,

2[y=l+tsina

轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為冗=-1.

\2/

所以，由了+可=1,解得|y|4，

所以依8|=3.

（2）把直線的參數(shù)方程F=T+'c°sa,代入￡+目=1，

y=l+/sina

得至U