高等數(shù)學(xué)-習(xí)題及答案 孫忠民 第7章 無窮級數(shù)

第7章無窮級數(shù)

【能力訓(xùn)練7.1】

（基礎(chǔ)題）

一'利用級數(shù)收斂與發(fā)散的定義，判別下列級數(shù)的斂散性:

,8+8]

⑴[叼（洎叼中；

答案：略

二'利用級數(shù)的性質(zhì)，判別下列級數(shù)斂散性:

+00

⑴與備;

+81+oo

⑶工前(4)2Sin與

71=1

+8+8

⑸2(T尸;(6)〉wsin-.

Jn

n=ln=l

答案：略

（應(yīng)用題）

一'試把循環(huán)小數(shù)1.71717171…表示成分?jǐn)?shù)的形式

答案：略

【能力訓(xùn)練7.2】

（基礎(chǔ)題）

一'用比較判別法判別下列級數(shù)的斂散性.

⑴1+

⑵1+1F???+-------1-

1-32-4n(n+2)

1+2---1+31+n

,+.+???-4-.....

⑶1+1+221+321+/

(4)---+----+…d-------------

2-53-63+1)(〃+4)

答案：略

二、用比值判別法判別下列級數(shù)的斂散性.

+81+8.+8

(1)￡T-^—777；⑵￡*⑶￡5~nn~7

￡1-2…(n-1)￡13￡2”-l

答案：略

三、用根值判別法判別下列級數(shù)的斂散性.

答案：略

（應(yīng)用題）

一、利用無窮級數(shù)計(jì)算圓周率時，有時用到歐拉公式..」t….請

利用所學(xué)知識說明其中數(shù)項(xiàng)級數(shù)為什么收斂，并分別取級數(shù)的前16項(xiàng)計(jì)算圓周

率的近似值。

答案：略

【能力訓(xùn)練7.3】

（基礎(chǔ)題）

一、判別下列交錯級數(shù)的斂散性：

+00[+8[

⑴學(xué)】尸詞⑵尋7』.

答案：略

二,下列級數(shù)哪些是絕對收斂?哪些是條件收斂？

+OO[+8]

⑴與㈠尸斫薩⑵畢1尸行；

+0O[+8[

⑶Xi尸詞⑷斗】尸即j

n=lYn=I

答案：略

（應(yīng)用題）

11

一、利用無窮級數(shù)計(jì)算圓周率時，有時用到萊布尼茲公式？-1J+-1.

41S7Q

請利用所學(xué)知識說明其中數(shù)項(xiàng)級數(shù)為什么收斂，并分別取級數(shù)的前16項(xiàng)計(jì)算圓

周率的近似值.

答案：略

【能力訓(xùn)練7.4】

（基礎(chǔ)題）

一'求下列塞級數(shù)的收斂區(qū)間：

⑴著工+_^_+...+________________+???.

2-42-4-62-4-6……(2〃)'

-、x2/3/

⑵4寸寸???+可+…；

(3)l+x+22x2+33x3+---+nnxn+---;

答案：略

二'利用逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)求積分的方法求下列級數(shù)在收斂區(qū)間上的和函數(shù)：

y2y34

⑴1+2x+3,+…；(2)—+—+—+?

答案：略

(應(yīng)用題)

一'利用函數(shù)的鬲級數(shù)展開式，取前兩項(xiàng)求cos2°的近似值，并估計(jì)誤差。

2°=*2=舒弧度),

cos2°=cos---1J,j")+....

cosZ-cos9()12!190)十4!190)十(2”)！、90，十

該級數(shù)是交錯級數(shù)，試算：

.給［6.1X10，吉(初=6.186X10%'21Vm,

cos2°*l—4(盍)1—0.0061?=：0.9994.

【能力訓(xùn)練7.5】

(基礎(chǔ)題)

一、將下列函數(shù)展開為x的寨級數(shù)，并指出其收斂域：

1X

(1)7-2;(2)ln(a+x)(a>0)(3)e2^;(4)sin-

-*■—F3

答案：略

二'將y=T展開為x-3的幕級數(shù)。

M弛-叭爭(T<早3

T

wy自-叭蓊"收工.

(應(yīng)用題)

一、計(jì)算積分；,％，的近似值，要求誤差不超過0.0001.

JoX

【解析】

由于「曹0業(yè)=1,因此所給積分不是反常積分.若

X

定義被積函數(shù)在r=0處的值為1,則它在積分區(qū)間

[0,1]上連續(xù).

展開被積函數(shù)，有

ainx_x2x4x6<x2n.、

二j至+西為+…+(T)(2?,1),+...(-oo<x<+oo)

在區(qū)間［0,1］上逐項(xiàng)積分，得

f1sinx.,111,…1

Z-rfa,1-r3!+575!"7T7!+-+(U聲TI耐TTj!

因?yàn)榈谒捻?xiàng)的絕對值與〈焉，

所以取前三項(xiàng)的和作為積分的近似值:

算得L等”0.9461.

復(fù)習(xí)題七

一、單項(xiàng)選擇題

1-6DDCABD

二'填空題

1.略

2.略

3.略

4.略

5.略

6.略

三'計(jì)算題

1.判別下列級數(shù)的斂散性.

8⑵3"

（1）?、九+1一麗;靛

n8=l⑷

（3）§[ln（n+l）]"；(-

答案：略

2.求下列幕級數(shù)的收斂域.

X2X3y1XX2X3V