山東省壽光市圣都中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期末備考卷（B）數(shù)學(xué)試卷

（新教材）20202021學(xué)年上學(xué)期高二期末備考卷數(shù)學(xué)（B）注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4．考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。第Ⅰ卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．若，則下列不等式中正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，則時，A不成立；，因此B不成立；，因此C不成立；由在上單調(diào)遞增，因此D成立，故選D．2．雙曲線的漸近線方程是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為，其漸近線方程是，整理得，故選A．3．如圖，空間四邊形中，，，，點為的中點，點在線段上，且，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】空間四邊形中，，，，所以，故選D．4．我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中說：九百九十六斤棉，贈分八子做盤纏；次第每人多十七，要將第八數(shù)來言；務(wù)要分明依次第，孝和休惹外人傳，說的是，有斤棉花全部贈送給個子女做旅費，從第個孩子開始，以后每人依次多斤，直到第個孩子為止．在這個問題中，第個孩子分到的棉花為（）A．斤 B．斤 C．斤 D．斤【答案】C【解析】設(shè)第個孩子分到的棉花為，根據(jù)題意可知，第個孩子開始，以后每人分到的棉花是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，，解可得．故選C．5．已知在一個二面角的棱上有兩個點、，線段、分別在這個二面角的兩個面內(nèi)，并且都垂直于棱，，，，，則這個二面角的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)這個二面角的度數(shù)為，由題意得，∴，∴，解得，∴，∴這個二面角的度數(shù)為．故選C．6．為了凈化水質(zhì)，向一個池塘水中加入某種藥品，加藥后池塘水中該藥品的濃度（單位：）隨時間（單位：）的變化關(guān)系為，則一段時間后池塘水中藥品的最大濃度為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．則一段時間后池塘水中藥品的最大濃度為，故選A．7．已知拋物線，為其焦點，拋物線上兩點、滿足，則線段的中點到軸的距離等于（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵是拋物線的焦點，∴，準(zhǔn)線方程，設(shè)，，∴，∴，∴線段的中點橫坐標(biāo)為，∴線段的中點到軸的距離為．故選B．8．已知數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的前項和（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，且，可得，時，，相除可得，則數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項均為公差為的等比數(shù)列，可得，故選B．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分．9．下列說法正確的是（）A．命題“，”的否定是“，”B．命題“，”的否定是“，”C．“”是“”的必要而不充分條件D．“”是“關(guān)于的方程有一正一負(fù)根”的充要條件【答案】BD【解析】對于選項A：命題“，”的否定是“，”故A錯誤；對于選項B：命題“，”的否定是“，”故B正確；對于選項C：“”是“”的既不必要又不充分條件，故C錯誤；對于選項D：關(guān)于的方程有一正一負(fù)根”的充要條件是，整理得，故D正確，故選BD．10．設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，是其前項和，且，則（）A． B．C．或為的最大值 D．【答案】BC【解析】且，∴，化為，可得，．或為的最大值，．故選BC．11．已知是橢圓上一點，，為其左右焦點，且的面積為，則下列說法正確的是（）A．點縱坐標(biāo)為 B．C．的周長為 D．的內(nèi)切圓半徑為【答案】CD【解析】∵橢圓，∴，，．又∵為橢圓上一點，、為左右焦點，設(shè)，∴，，∴，得．又，∴．對于A，由等面積法，得，則，故A錯誤；對于B，由，得，故B錯誤；對于C，的周長為，故C正確；對于D，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則，得，故D正確，故選CD．12．如圖，在棱長為的正方體中，，分別為，的中點，則（）A．直線與的夾角為B．平面平面C．點到平面的距離為D．若正方體每條棱所在直線與平面所成的角相等，則截此正方體所得截面只能是三角形和六邊形【答案】ABD【解析】在棱長為的正方體中，，分別為，的中點，根據(jù)所求的結(jié)論，建立空間直角坐標(biāo)系：如圖所示：對于選項A：連接和，所以為等邊三角形，所以直線與的夾角即為直線與的夾角為，故正確；對于選項B：根據(jù)建立的空間直角坐標(biāo)系：，，，，，，在平面中，設(shè)該平面的法向量為，，，所以，解得，同理在平面中，設(shè)該平面的法向量為，則，．所以，解得，由于，所以平面平面，故正確；對于選項C：設(shè)點到平面的距離為，利用，整理得，解得，故錯誤；對于選項D：正方體每條棱所在直線與平面所成的角相等，則截此正方體所得截面只能是位于個頂點的個等邊三角形和三角形和加粗線部分的正六邊形（如圖所示），故正確，故選ABD．第Ⅱ卷三、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．已知向量與向量共線，則．【答案】【解析】∵向量，向量共線，∴，，則，即，解得，，，∴，故答案為．14．已知等比數(shù)列是遞增數(shù)列，是的前項和，，是方程的兩個根，則．【答案】【解析】由題意可知，，又，所以，，故，，，故答案為．15．汽車在行駛中，由于慣性，剎車后還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停止，一般稱這段距離為“剎車距離”．剎車距離是分析交通事故的一個重要依據(jù)．在一個限速為的彎道上，甲、乙兩輛汽車相向而行，突然發(fā)現(xiàn)有危險情況，同時緊急剎車，但還是發(fā)生了交通事故．事后現(xiàn)場勘查，測得甲車的剎車距離略超過，乙車的剎車距離略超過．已知甲、乙兩種車型的剎車距離與車速之間的關(guān)系分別為，．根據(jù)以上信息判斷：在這起交通事故中，應(yīng)負(fù)主要責(zé)任的可能是車，理由是．【答案】乙，乙車超過了限定速度【解析】，解得，，解得．根據(jù)以上信息判斷：在這起交通事故中，應(yīng)負(fù)主要責(zé)任的可能是乙車，理由是乙車超過了限定速度．故答案為：乙，乙車超過了限定速度．16．已知為雙曲線的右焦點，過點向雙曲線的一條漸近線引垂線，垂足為，且交另一條漸近線于點，若，則雙曲線的離心率是．【答案】【解析】雙曲線的漸近線方程為，若，可得在直角三角形中，由，可得，，，．故答案為．四、解答題：本大題共6個大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）已知：“實數(shù)滿足不等式”；：“實數(shù)滿足不等式，其中實數(shù)”．若是的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍．【答案】．【解析】因為，所以，解得，可化為，因為，所以，設(shè)，，因為是的充分不必要條件，所以，此時有，所以，故實數(shù)的取值范圍是．18．（12分）如圖，在直三棱柱中，，，是的中點，是的中點．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成的角的大小．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）取的中點，連結(jié)、，因為是的中位線，所以，且，又因為，且，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因為面，面，所以面．（2）連結(jié)，，因為，是中點，所以，又因為面面，面，面面，所以面，所以直線為在面內(nèi)的射影，所以為直線與平面所成的角，設(shè)，則在中，，，，所以，所以，所以直線與平面所成的角為．19．（12分）已知數(shù)列的前項和，且數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列．（1）求的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項和為，求證：．【答案】（1）；（2）證明見解析．【解析】（1）由題意，所以，當(dāng)時，；當(dāng)時，，又因為適合上式，所以數(shù)列的通項公式為．（2）由（1）得，可得，所以，因為，所以．20．（12分）給出下列條件：①焦點在軸上；②焦點在軸上；③拋物線上橫坐標(biāo)為的點到其焦點F的距離等于；④拋物線的準(zhǔn)線方程是．（1）對于頂點在原點的拋物線：從以上四個條件中選出兩個適當(dāng)?shù)臈l件，使得拋物線的方程是，并說明理由；（2）過點的任意一條直線與交于，不同兩點，試探究是否總有？請說明理由．【答案】（1）見解析；（2）是的，總有，詳見解析．【解析】（1）因為拋物線的焦點在軸上，所以條件①適合，條件②不適合．又因為拋物線的準(zhǔn)線方程為，所以條件④不適合題意．當(dāng)選擇條件③時，，此時適合題意．故選擇條件①③時，可得拋物線的方程是．（2）假設(shè)總有，由題意得直線的斜率不為，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，聯(lián)立方程組，消去，整理得，所以恒成立，，，則，所以，所以，綜上所述，無論如何變化，總有．21．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，，，，，二面角為，為的中點，點在上，且．（1）求證：四邊形為直角梯形；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）因為平面，，所以，因為，且，所以四邊形為直角梯形．（2）過點作的垂線交于點，則，，以為坐標(biāo)原點，分別以，，為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，由（1）知，又，則為二面角的平面角，則，，所以，，所以，，，所以，，設(shè)平面的法向量，則，即，令，則，，所以；又平面的法向量，所以，由題意知二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為．22．（12分）已知橢圓，為坐標(biāo)原點，為橢圓上任意一點，，分別為橢圓的左、右焦點，且，，依次成等比數(shù)列，其離心率為．過點的動直線與橢圓相交于、兩點．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)時，求直線的方程；（3）在平面直角坐標(biāo)系中，若存在與點不同的點，使得成立，求點的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）或；（3）．【解析】（1）由題意知，，解得，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，，不符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，其判別式，設(shè)、坐標(biāo)分別為，，則，，所以，整理得，解得或，所以