(7)-3 二階系統(tǒng)時(shí)域分析

二階系統(tǒng)時(shí)域分析

在控制工程中，二階系統(tǒng)的典型應(yīng)用極為普遍，在分析和設(shè)計(jì)自動(dòng)控制系統(tǒng)時(shí)，常常把二階系統(tǒng)的響應(yīng)特性視為一種基準(zhǔn)，而且許多高階系統(tǒng)在一定的條件下可以近似或者降階為二階系統(tǒng)來處理，所以二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)分析顯得尤為重要。什么是二階系統(tǒng)呢？以二階微分方程作為運(yùn)動(dòng)方程的控制系統(tǒng)，稱為二階系統(tǒng)。K為系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)。T為時(shí)間常數(shù)其閉環(huán)傳遞函數(shù)為：為了分析方便，將系統(tǒng)的傳遞函數(shù)改寫成如下形式：ωn--自然振蕩頻率或無阻尼振蕩頻率

ζ--阻尼比或相對(duì)阻尼系數(shù)

ζ和ωn是決定二階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的兩個(gè)非常重要的參數(shù)，二階系統(tǒng)的性能分析和描述，基本上是通過這兩個(gè)體現(xiàn)其特征的結(jié)構(gòu)參數(shù)來表示的。根據(jù)閉環(huán)傳遞函數(shù)，可以得到系統(tǒng)的特征方程為：這是一個(gè)二階代數(shù)方程，得到兩個(gè)特征方程的根，分別是：?jiǎn)挝浑A躍響應(yīng)的拉氏變換為：可以得到：其中s1和s2是系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)，因?yàn)楫?dāng)阻尼比ζ屬于不同取值范圍時(shí)，二階系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)在s平面的上的位置不同，其時(shí)間響應(yīng)也對(duì)應(yīng)的有不同的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。①當(dāng)ζ>1時(shí)，稱該系統(tǒng)為過阻尼系統(tǒng)。令零初始條件下，可以得到系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)：

單位階躍響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)分量與輸入相同，因此無穩(wěn)態(tài)誤差。

單位階躍響應(yīng)曲線單調(diào)上升，既無超調(diào)，也無振蕩。2當(dāng)ζ=1時(shí)，該系統(tǒng)稱為臨界阻尼系統(tǒng)。零初始條件下，可以得到系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)：

單位階躍響應(yīng)曲線單調(diào)上升，趨于穩(wěn)態(tài)輸出，既無超調(diào)，也無振蕩。其中1是穩(wěn)態(tài)分量

單位階躍響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)分量與輸入相同，因此無穩(wěn)態(tài)誤差。30<ζ<1時(shí)稱為阻尼振蕩頻率，此時(shí)該系統(tǒng)為欠阻尼控制系統(tǒng)。零初始條件下，可以得到系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)：若閉環(huán)極點(diǎn)遠(yuǎn)離實(shí)軸，則振蕩頻率大，衰減速度取決于ζwn的大小。若閉環(huán)極點(diǎn)遠(yuǎn)離虛軸，衰減速度快。振蕩的角頻率wd，取決于阻尼比ζ和無阻尼振蕩頻率wn。4ζ=0時(shí)零初始條件下，可以得到系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)：是一個(gè)無