贏戰(zhàn)2023年高考數(shù)學(xué)模擬仿真卷1(理科)(全國(guó)卷專(zhuān)用)(解析版)

【沖鋒號(hào)-考場(chǎng)模擬】贏戰(zhàn)2023年高考數(shù)學(xué)模擬仿真卷01卷（理科）

（全國(guó)卷專(zhuān)用）

（解析版）

本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)

考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.

2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng),

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.

3.回答第II卷時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.

4.測(cè)試范圍：高考全部?jī)?nèi)容

5.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第I卷

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

目要求的。

1.（2023?浙江溫州?模擬預(yù)測(cè)）已知全集0=%集合/=卜卜2-%-3>。},B={x\x=2k,keZ},則

（）

A.{2}B.{0,2}C.{0,2,4}D.{-1,0,1,2,3}

【答案】B

【分析】先求出集合A的補(bǔ)集，再求出（電/）C8即可.

【詳解】因?yàn)?=卜卜2-2%-3>0},所以電/=卜卜2-太-3<0}=卜卜14x43},

因?yàn)?={x|x=2k,AeZ},所以（aN）c5={0,2},故選：B

2.已知復(fù)數(shù)2=8$6+1與116,現(xiàn)有如下說(shuō)法：①團(tuán)=1；②復(fù)數(shù)z的實(shí)部為正數(shù)；③復(fù)數(shù)z的虛部為正

數(shù).則正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)為（）.

A.3B.2C.1D.0

【答案】B

【分析】命題①按照復(fù)數(shù)模的計(jì)算法則結(jié)合同角三角函數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可；命題②③按照復(fù)數(shù)實(shí)

部和虛部的定義，結(jié)合象限角三角函數(shù)值的正負(fù)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】依題意，忖=JcosZ+sinX=1，故①正確；

復(fù)數(shù)z的實(shí)部為cos6,為正數(shù)，故②正確；

復(fù)數(shù)z的虛部為sin6,為負(fù)數(shù)，故③錯(cuò)誤.故選：B.

3.(2022?河南南陽(yáng)?高三期中(理))若函數(shù)/(x)=e，(sinx+a)在點(diǎn)/(0J(0))處的切線方程為y=3x+a,

則實(shí)數(shù)。的值為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出/(0)、/'(0)，從而求出切線方程，即可得到方程，解得即可.

【詳解】解：因?yàn)?(x)=e、(sinx+a),所以〃0)=e°(sin0+a)=q,

又/'(x)=e*(sinx+a+cosx),所以/'(0)=e°(sin0+a+cos0)=1+a,

所以切線方程為y-a=(l+a)(x-0),即y=(l+a)x+a,

所以l+a=3,解得a=2：故選：B

4.新式茶飲是指以上等茶葉通過(guò)萃取濃縮液，再根據(jù)消費(fèi)者偏好，添加牛奶、堅(jiān)果、檸檬等小料調(diào)制而

成的飲料.下圖為2021年我國(guó)消費(fèi)者購(gòu)買(mǎi)新式茶飲頻次扇形圖及月均消費(fèi)新式茶飲金額條形圖：

2021年消費(fèi)者購(gòu)買(mǎi)新式茶飲的頻次

2021年消費(fèi)者月均消費(fèi)新式茶飲的金額

FrequencyofConsumersBuyingNewTeain2021

AverageMonthlyConsumptionofNewTeaby

Consumersin2021

50元以下14.5%

根據(jù)所給統(tǒng)計(jì)圖，下列結(jié)論中不正確的是()

A.每周消費(fèi)新式茶飲的消費(fèi)者占比超過(guò)90%

B.每天消費(fèi)新式茶飲的消費(fèi)者占比超過(guò)20%

C.月均消費(fèi)50—200元的消費(fèi)者占比超過(guò)50%

D.月均消費(fèi)新式茶飲超過(guò)100元的消費(fèi)者占比超過(guò)60%

【答案】D

【分析】由所給統(tǒng)計(jì)圖逐一判斷即可

【詳解】每周消費(fèi)新式茶飲的消費(fèi)者占比1-9.1%>90%,A正確，

每天消費(fèi)新式茶飲的消費(fèi)者占比5.4%+16.4%>20%,B正確；

月均消費(fèi)50-200元的消費(fèi)者占比30.5%+25.6%>50%,C正確;

月均消費(fèi)新式茶飲超過(guò)100元的消費(fèi)者占比1-14.5%-30.5%<60%.D錯(cuò)誤.故選：D

5.劉徽構(gòu)造的幾何模型"牟合方蓋"中說(shuō)："取立方棋八枚，皆令立方一寸，積之為立方二寸.規(guī)之為圓困,

徑二寸，高二寸.又復(fù)橫規(guī)之，則其形有似牟合方蓋矣.”牟合方蓋是一個(gè)正方體被兩個(gè)圓柱從縱橫兩側(cè)

面作內(nèi)切圓柱體時(shí)的兩圓柱體的公共部分，計(jì)算其體積的方法是將原來(lái)的"牟合方益”平均分為八份，取

它的八分之一（如圖一）.記正方形0/8C的邊長(zhǎng)為r,設(shè)0P=〃，過(guò)尸點(diǎn)作平面尸0RS平行于平面

OABC.OS=OO=r,由勾股定理有PS=PQ=獷二F,故此正方形面積是/一二.如果將圖一

的幾何體放在棱長(zhǎng)為;?的正方體內(nèi)（如圖二），不難證明圖二中與圖一等高處陰影部分的面積等于力2.（如

圖三）設(shè)此棱錐頂點(diǎn)到平行于底面的截面的高度為從不難發(fā)現(xiàn)對(duì)于任何高度兒此截面面積必為力，根

據(jù)祖迪原理計(jì)算牟合方蓋體積（）

注：祖眶原理："基勢(shì)既同，則積不容異意思是兩個(gè)同高的立體，如在等高處的截面積相等，則體積

相等

【答案】C

【分析】計(jì)算出正方體的體積，四棱錐的體積,根據(jù)祖瞄原理可得圖一中幾何體體積，從而得結(jié)論.

2

【詳解】rt?=1sA=1xrxr=1?,由祖巡原理圖二中牟合方蓋外部的體積等于％梭i產(chǎn);八

所以圖1中幾何體體積所以牟合方蓋體積為卯=匕/.故選：c

333

6.（2022?河北?模擬預(yù)測(cè)）若。/。，父,盧當(dāng)-=：,則cos[a+f]=（）

I2J1+tan*a8<6）

A.BB.—C.YD.1

222

【答案】C

【分析】將cos2a用1獸替換后，解方程解出a即可.

l+tana

【詳解】因?yàn)閍｛。，各言言3sin2a-cos2a1-tan2a

可得3(l+tan2a)=8xsi/a+cos2a=o8、

81+tan2a

可得3（1+121?湘=8-81211%,解得tan2a=；,因?yàn)閍e（0，T）,所以tana=也，所以a=?,

所以cos|a+—

7.設(shè)。為/8C所在平面內(nèi)一點(diǎn)，~BC=3CD<^~AD=2JAB+/JAC,則〃T=（）

A5I_ic5

A.——BD.——C.vD.-

3223

【答案】D

【分析】由平面向量共線定理得麗=43，再由平面向量的基本定理得到而=T而+g正，從而求得

I4

2==，〃=3,由此得到結(jié)果.

【詳解】因?yàn)槎剐?3而，所以麗=4而，

___1-.4—?

l'l\^AD='AB+BD=AB+4Cb=AB+4AD-4AC，故月。=-]4B+34C,

_____iA5

又因?yàn)槎?/l德+〃就，所以2=y,y=~,貝IJ〃-.故選：D.

8.（2022?河南?模擬預(yù)測(cè)（理））如圖是函數(shù)〃x）的圖象，則函數(shù)/（X）的解析式可以為（）.

x2xC.x2+-D.X4——

B.e-+e

【答案】D

【分析】利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷.

【詳解】解：對(duì)于A：/（x）=e'+In|x|定義域?yàn)閧X|XK0},

當(dāng)x>0時(shí)/（x）=e*+lnx,則/⑴=e'+：>0,即函數(shù)在（0,+勿）上單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B：〃X）=尸+62'定義域?yàn)榭冢襡-，>0，e2jr>0.所以〃x）=eT+e2，>0,故B錯(cuò)誤;

...21i-u(I八)2*X—1j|23—+23匯+1]

對(duì)于C：〃X)=X+一定乂域?yàn)閧x|x*o},12X3-11乂)

xf(x)=2x---=——=-------------2----------

、，X-%-x

2II(L]Y]

又2。2+24+1=2^x+-+->0,所以當(dāng)一戶(hù)時(shí)“(X)>0,

24人/

當(dāng)x<。或0<》<2一時(shí)/'（x）<0,即函數(shù)在（一8,0）,0,2-5上單調(diào)遞減，在23+8上單調(diào)遞增，故C

錯(cuò)誤；對(duì)于D：/（x）=x+-V定義域?yàn)椋鸛|XH0｝,

2

/'(x)=i-7

所以當(dāng)x>2：或x<°時(shí)"（x）>°，當(dāng)0<x<2；時(shí)/'（x）<°，

/I\/1\

即函數(shù)在（-8,0）,2\+00匕單調(diào)遞增，在0,2；上單調(diào)遞減，符合題意；故選：D

\/\7

9.（2022?江西?二模（理））若正整數(shù)加、〃只有1為公約數(shù)，則稱(chēng)加、”互質(zhì).對(duì)于正整數(shù)”，夕（〃）是小

于或等于〃的正整數(shù)中與〃互質(zhì)的數(shù)的個(gè)數(shù).函數(shù)3（〃）以其首名研究者歐拉命名，稱(chēng)為歐拉函數(shù)，例如:

S（3）=2,9（7）=6,*（9）=6,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.夕。2）=7B.數(shù)列｛夕（3"）｝是等差數(shù)列

9

C.log7?9（7）=9+log76D.數(shù)列［赤y1的前〃項(xiàng)和為S“，則S“<4

【答案】D

【分析】利用題中定義可判斷A選項(xiàng)；利用特殊值法可判斷B選項(xiàng)；求出夕（7）的值，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算

性質(zhì)可判斷C選項(xiàng)：計(jì)算出"（2"）,利用錯(cuò)位相減法可求得5.，可判斷D選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，在不超過(guò)12的正整數(shù)中，與12互質(zhì)的正整數(shù)有：1、5、7、11,故0（12）=4,A

錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng),因?yàn)橄Γ?）=2,夕（9）=6,9（27）=18,顯然以3）、夕（9）、姒27）不成等差數(shù)列，B錯(cuò);

對(duì)于C選項(xiàng)，T7為質(zhì)數(shù)，在不超過(guò)79的所有正整數(shù)中，能被7整除的正整數(shù)的個(gè)數(shù)為78,所有與79互質(zhì)

的正整數(shù)的個(gè)數(shù)為7-7。所以，^（79）=79-78=78（7-1）=6X78,

9s

因此，log7^（7）=log7（6x7）=8+log76,C錯(cuò)；

對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?為質(zhì)數(shù)，在不超過(guò)2"的正整數(shù)中，所有偶數(shù)的個(gè)數(shù)為2”T,

所以，e（2"）=2"-2"T=2"T,所以，碓］=尸，

EIC123n112n-\n

則s”=.+變+手+…+干，所以，25o-=2?+2?+'"+2rr+F，

1-1

111177n〃+2

上述兩個(gè)不等式作差可得］S〃=1+萬(wàn)+變_+…+/TT-亍=---j---2=2——,

1—

2

所以，S“=4-守＜4,D對(duì).故選：D.

10.（2022?四川資陽(yáng)?一模（理））已知函數(shù)/（x）=sin（yx+cosox,其中切＞0.給出以下命題：

①若/（力在上有且僅有1個(gè)極值點(diǎn)，則1＜。45；

②若/（x）在（?。萆蠜](méi)有零點(diǎn)，則或

③若/（X）在區(qū)間寺）上單調(diào)遞增，則或|w043.

其中所有真命題的序號(hào)是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【答案】D

【分析】對(duì)于①，先整理得/（x）=&sin（0*+（）,再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)得到5＜彳0+：4技，從而

得以判斷正誤；

兀兀、,

—69+—＞KTI

24

對(duì)于②，先由正弦函數(shù)的性質(zhì)得到，，從而分析得一即女=0或左=1,從而可

兀i\44

7169+—＜（k+1）兀

求得。的取值范圍

兀兀、兀?

—ty+—>——+2E

42

對(duì)于③，先由正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間得到，J,從而分析得一,<攵4旦，即左=0或左=1,

3兀兀,?！?8

—69+—<—+2桁

442

從而可求得。的取值范圍.

【詳解】/(x)=sinryx+cosox=0sin叫,

對(duì)于①，因?yàn)?（X）在上有且僅有1個(gè)極值點(diǎn)，則“X）在上只有一個(gè)最值,

4

7171

b因?yàn)槭?Vx<:兀，所匚UI以、I兀:</x+二<:①+二兀，

44444

.7Trj7tn71ft1—,,.717171],.A』—_

令/=69X+一,則一＜，＜—69+一,則歹=5/2sinE在寸+z上只有一個(gè)取值，

4444"

所以卜扣+j吟，得1-45,故①正確:

_.e!、,71廣廣i、t兀兀兀兀人兀n,i7T7171

對(duì)于⑵，因?yàn)橐?lt;X<兀，所以一①+一<SX+—<的+—,令1=5+一,則一G+—</<兀&+一,

224444244

因?yàn)?（x）在《■，兀）上沒(méi)有零點(diǎn)，則y=&sin/在（務(wù)+甘0+彳）上沒(méi)有零點(diǎn)，

24~1333

所以《，故2左—KGKAH—,因?yàn)榍?gt;0,所以左H—>ty>0,UPk>—,

兀,乙2444

7C69+—<（左+1）兀

又由2左一人1工左+3一，得左45士，故一3士〈女工5一，又kwZ,所以％=0或左=1,

24444

13337

當(dāng)％=0時(shí)，一一<cy<-,所以0<刃4一；當(dāng)左=1時(shí)，一"公工一；

24424

a37

綜上：0<G?w或萬(wàn)工口工]，故②正確；

對(duì)于③，因?yàn)榘?lt;x<型，所以二0+四<。1+巴<包口+工，1=（OX+—,則工G+工<f<包口+工，

242444442444

因?yàn)椤癤）在區(qū)間修書(shū)上單調(diào)遞增，則yMsinf在4+：,子。+；|上單調(diào)遞增，

因?yàn)閥=J^sinx在-3+2471,5+2^71,%$Zk單調(diào)遞增,

所以342,故4人一鄉(xiāng)4口《日左+L因?yàn)?〉0,所以號(hào)左+1之0>0,即％

3兀兀/?！?33338

——co+—<—+2%兀

442

ao111111

又由4人一2?2左+—，得％4二，^--<k<—,又％eZ,所以％=0或%=1,

233888

31]5

當(dāng)氏=0時(shí)，<（?<-,所以0<。4-：當(dāng)左=1時(shí)，―4043；

2332

綜上：0<<y4§或54<y43,故③）正確.故選：D.

11.（2022?遼寧?一模）國(guó)家體育場(chǎng)"鳥(niǎo)巢"的鋼結(jié)構(gòu)鳥(niǎo)瞰圖如圖1所示，內(nèi)外兩圈的鋼骨架是離心率相同

的橢圓；某校體育館的鋼結(jié)構(gòu)與“鳥(niǎo)巢"相同，其平面圖如圖2所示，若由外層橢圓長(zhǎng)軸一端點(diǎn)4和短軸

2

一端點(diǎn)8分別向內(nèi)層橢圓引切線NC,BD,且兩切線斜率之積等于則橢圓的離心率為（）

圖1圖2

A1R2nV6

A?3D.3C.?3L/?4

【答案】C

【分析】設(shè)出外層橢圓方程，利用離心率表達(dá)出內(nèi)層橢圓方程，設(shè)出直線方程，聯(lián)立后由根的判別式得

到戶(hù)=八號(hào)：2與上=(-'?"，利用斜率乘積列出方程，求出乙=2,從而求出離心率?

(I"-Aa2a23

【詳解】設(shè)外層橢圓方程為，+/=1,則內(nèi)層橢圓方程為

設(shè)過(guò)A點(diǎn)的切線方程為y=勺(x+〃)A<0,

伊+/%；卜2+2/奸x+q%2一痛2b2=0,

助2

由A=4a6--4(6+%2)(/后_Aa2b2)=o得：奸=

設(shè)過(guò)點(diǎn)B的切線方程為y=k2x+b,

與2?+%=/l(O</l<1)聯(lián)立得：(〃+/代卜2+202網(wǎng)隊(duì)+(1-；1”262=0,

2

由4=4/4/-492+力硝(1一沙//=0得：抬=(1一平,

4a2

從而打必=77等丁"婆=<=《，故與'=2,橢圓的離心率為、「^=3.故選：C.

(l-2)aXaa9a23\a23

12.設(shè)a=，，6=21n1in擊+cos焉)，c=|ln|^,則“，b,c的大小關(guān)系正確的是()

A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.b<a<c

【答案】D

/、2/g

【分析】由于-，人=中喘+3擊),0=山3,所以只要比較

x=e。。2y=(sin」一+cos」一］=l+sin」~=l+sin0.02,z=(2^］的大小即可，然后分別構(gòu)造函數(shù)

(100100j50(50J

/(x)=ex-(l+sinx)(x>0),g(x)=(1+x)'2-er,判斷出其單調(diào)性，利用其單調(diào)性比較大小即可

26

【詳解】因?yàn)?in/=lne。**=ln[sin—+cos—

I1001005

13唱)

26

,y=Isin」—+cos」一1

所以只要比較x=e°"2=1+sin—=l+sin0.02,z=(1+0,02)'2的大小即可，

I10010050

令/0)=e、一(1+sinx)(x>0),則/'(x)=e*-cosx>0,所以/'(%)在令+°o)上遞增,

所以/(X)>/(0),所以eCl+sinx,所以e°02>1+sin0.02,即x>y>>

令g(x)=(14-X)12-令則g'(x)=1.2(1+x)°-2-ex,g"(x)=0.24(1+x泮-d

因?yàn)間"(x)在(0.+網(wǎng)上為減函數(shù),且為(0)=0.24-1<0,

所以當(dāng)x>0時(shí)，g"(x)<0,所以g'(x)在(0.+8)上為減函數(shù),

因?yàn)間'(0)=1.2-1>0,g'(0.2)=1.2x1.2°2-e°2=1.212_/2,

要比較1.21,2與e02的大小，只要比較In1.2"=1.2In1.2與Ine02=0.2的大小,

令h(x)=(1+x)ln(l+x)-x(x>0),則h'(x)=ln(l+x)+1-1=ln(l+x)>0,

所以Mx)在上遞增，所以例X)>a(o)=o,

所以當(dāng)xe(0,+oo)時(shí),(l+x)ln(l+x)>x,所以1.21nL2>0.2,

所以1.產(chǎn)>e0-2,所以g'(0.2)=1.2x1.產(chǎn)-鏟=1天一鏟>0,

所以當(dāng)xe(0,0.2)時(shí),g'(x)>0.所以g(x)在(0,0.2)上遞增,

所以g(x)>g(0)=0,所以(l+x)L2>e*,

所以(l+0.02)”>e°m,所以z>x,所以z>x>y,所以。>。>人故選：D

【點(diǎn)睛】此題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)比較大小，解題的關(guān)鍵是對(duì)已知的數(shù)變形，然后合理構(gòu)造

函數(shù)，通過(guò)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性比較大小，考查數(shù)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于難題。

第n卷

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知(1+x-x~j=a。+qx+??,+4。X",貝CI3=.

【答案】30

【分析】利用二項(xiàng)式定理的原理與組合的意義求解即可.

【詳解】因?yàn)?l+x-x2『=4+qx+...+/x2。，所以?xún)?nèi)是含/項(xiàng)的系數(shù)，

若從10個(gè)(l+x-f)式子中取出0個(gè)［一),則需要從中取出3個(gè)x,7個(gè)1,則得到的項(xiàng)為

273

C°0(-x)°C^/C,!=120x；

若從10個(gè)(1+x-x)式子中取出1個(gè)(-/),則需要從中取出1個(gè)x,8個(gè)1,則得到的項(xiàng)為

283

C；O(-X)C!,XC|1=-9OX；

若從10個(gè)（1+X-V）式子中取出大于或等于2個(gè)（-/）,則無(wú)法得到含X，的項(xiàng)；

綜上：含/的項(xiàng)為120/一90/=30/,則含/項(xiàng)的系數(shù)為30,即％=30.

故答案為：30.

14.（2022?福建?模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛4“｝滿足奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，公差為d,偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，公比

為4,且數(shù)列｛“”｝的前”項(xiàng)和為S“，％=1,%=2,Ss=2%+%,%=%+%.若％%向=%+2，則正整

數(shù)m=.

【答案】2

【分析】利用等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可.

【詳解】由題意知，[=1,%=2,因?yàn)镾5=24+%=2%q+%+2",

S5=4]+〃2+。3+。4+。5+〃2+〃1+1+424+41+/=%+卬+%+。21，

所以得4一21+d=0,①由為=%+〃4得%+4d=q+〃+24，即3d=2q,②

Ez—z-xz-xy,八-"…[2Zr-1,n=2k-l,keNt

聯(lián)乂①②解得d=2,g=3,所以4,=,

[2x3,n=2kjcGN

當(dāng)m=2k時(shí)，由a,,A用=5+2得2x3ix（2A:+l）=2x3*,解得％=1,此時(shí)機(jī)=2;

當(dāng)力=2"1時(shí),由%%+1=。01+2得（2左一1）X2X3*T=22+1,

此等式左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，則方程無(wú)解.故答案為2

/v2

15.（2022?山東?一模）已知耳，工分別為雙曲線C:^--L=1的左、右焦點(diǎn)，E為雙曲線C的右頂點(diǎn)，

412

過(guò)名的直線與雙曲線C的右支交于A,8,兩點(diǎn)（其中點(diǎn)A在第一象限），設(shè)"，N分別為△4片鳥(niǎo)，48耳巴

的內(nèi)心，則可耳-加耳的取值范圍是.

【答案】J

【分析】根據(jù)圓的切線長(zhǎng)定理和雙曲線的定義可推得片鳥(niǎo)，48耳鳥(niǎo)的內(nèi)切圓與x軸切于雙曲線的右頂

點(diǎn)E,設(shè)直線的傾斜角為6,可用6表示囚化卜加百，根據(jù)48兩點(diǎn)都在右支上得到0的范圍，利用。

的范圍可求得|四目一|2|的取值范圍.

【詳解】如圖：

設(shè)△明月的內(nèi)切圓與“耳/耳，打耳分別切于H,D,G,所以|1=1/0,|HF、\^\GFt\,\DF21=|GF2\,

所以|第H/居\=\AH\+\HFl\-\AD\-\DF2\=\HFl\-\DF2\=\GFl\-\GF2\=2a,

又|G耳|+|G&=2c,所以|G4|=a+c,|G7|=c一%

又|班|=a+c,|￡g|=c-a,所以G與E（。,0）重合，所以M的橫坐標(biāo)為。，同理可得N的橫坐標(biāo)也為。,

設(shè)直線AB的傾斜角為4則乙率M&/,NEF1N=g,

rr—f)(c-a)tan^

|A/￡1|-|7V￡|=(c-a)tan^—

,72

sin(生—當(dāng)sin?0.02d.2

cossmcos——sin—e

/\2cos。

222ca22=(C_Q>22(c-a)-----

cosg')"~Ysin?/.0e''sin。

sincos

222)22J22

當(dāng)0杉時(shí)，"EH㈣=。，當(dāng)時(shí)，由題知，a=2.c=j.

因?yàn)?3兩點(diǎn)在雙曲線的右支上，〈與，且。所以tan0<-6或tan0>JL

?一冬熹或且熹刊陽(yáng)-四=（4-2）?菊=高€￥，。14

77

4石（4A/34疔

綜上所述,\ME\-\NE\e.故答案為:「亍'工

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)圓的切線長(zhǎng)定理和雙曲線的定義推出△/耳瑪，工的內(nèi)切圓與x軸同時(shí)切

于雙曲線的右頂點(diǎn)E,并將|〃E|-|NE|用直線ZB的傾斜角。表示出來(lái)是解題關(guān)鍵.

16.在棱長(zhǎng)為4的正方體/BCD-48GA中，M,N分別為〃￡,8￡的中點(diǎn)，G為正方體棱上一動(dòng)點(diǎn).下

列說(shuō)法中所有正確的序號(hào)是

①G在NB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，存在某個(gè)位置，使得"G與4。所成角為60°;

②G在4B上運(yùn)動(dòng)時(shí)，MG與CC,所成角的最大正弦值為與；

③G在上運(yùn)動(dòng)且NG=；G4時(shí)，過(guò)G,M,N三點(diǎn)的平面截正方體所得多邊形的周長(zhǎng)8君+2近；

④G在CG上運(yùn)動(dòng)時(shí)（G不與4重合），若點(diǎn)G,A/,N，G在同一球面上，則該球表面積最大值24乃.

【答案】②④

【分析】通過(guò)證明4。，平面/8GA可知ZQ1.MG,得①錯(cuò)誤；

PG

取C。中點(diǎn)P,根據(jù)sin2PMG=-~可知當(dāng)MG最大時(shí)，cosaPMG最小，則sinNPMG最大，可確定當(dāng)G

MG

與A或8重合時(shí)MG最大，由此計(jì)算知②正確；

作出平面GMN截正方體所得的截面圖形，依次計(jì)算各邊長(zhǎng)可知③錯(cuò)誤；

根據(jù)四點(diǎn)共球面可知該球即為三棱錐G-GMM的外接球，由&=,2+《時(shí)可知當(dāng)G與C重合時(shí)，

球的半徑最大，由此可求得④正確.

【詳解】對(duì)于①，連接皿,明,

048，平面/。44，4。＜=平面/。24，，4814。；；四邊形49。4為正方形，，4。_1/2；

又gc4B=4,平面48GA,二4。1?平面/8CQ,

又"Gu平面Z8CR,.?.NQLMG,即MG與4。所成角恒為90。，①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，取CO中點(diǎn)P,連接〃尸，PG,

???分別為JR,CD中點(diǎn),MP//CC,,又CG，平面ABCD,MP1平面N5CD,

PG

.?.MG與CG所成角即為NPMG,sinZPMG=——,當(dāng)sin/PMG最大時(shí)，cos/PMG最小，

MG

MP4

又cos/PMG=——=——,???當(dāng)MG最大時(shí)，cos/PMG最小，

MGMG

?.?當(dāng)G與A或3重合時(shí),MG取得最大值J42+22+42=6，

二.sinNPMG的最小值為業(yè)'±2）=嶼,②正確：

63

對(duì)于③，延長(zhǎng)交于點(diǎn)S,連接GS交。乃于R；

延長(zhǎng)MN,/圈交于點(diǎn)T,連接GT交BB］于Q；

則過(guò)G,M,N三點(diǎn)的平面截止方體所得多邊形即為五邊形GQNMR；

取姐中點(diǎn)K，連接牛，.?WM〃NK,???器=需=1，?,?魯=4,即隼=]

3K/VK2OH]3u3

同理可得：^=|,：.D,R=B,Q=\.

GQ=GR=44?S=2后，MR=NQ=>Jl2+22=45.MN=12?+2?=2五,

，五邊形GQMWR的周長(zhǎng)為6指+2技，③錯(cuò)誤；

對(duì)于④，若點(diǎn)G,M,N，G在同一球面上，則該球即為三棱錐G-GMN的外接球，

；GMN的外接圓半徑r=g〃N=行，.?.三棱錐G-GMN外接球半徑R=J/+（：GG；，

又CG的最大值為CG=4,.?.Rnm=JWZ=#，

..?該球表面積最大值為4萬(wàn)、6=24〃，④正確.故答案為：②④.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查立體幾何中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的求解，涉及到線線角的求解、正方體截面問(wèn)題、

三棱錐的外接球表面積的求解問(wèn)題；求解此類(lèi)問(wèn)題的基本思路是根據(jù)所求量確定最值點(diǎn)，再結(jié)合線線角、

球的表面積的求解方法確定最值.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17-21題為必考題，每個(gè)試題考

生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

（-）必考題：共60分。

17.（12分）記銳角N3C的內(nèi)角481的對(duì)邊分別為a也c,已知紗（“三即=一（'二。.⑴求證:B=C；

cosBcosC

（2）若asinC=l,求士+占的最大值.

a-b

25

【答案】⑴見(jiàn)解析；（2）今

【分析】（1）運(yùn)用兩角和與差正弦進(jìn)行化簡(jiǎn)即可；

（2）根據(jù)⑴中結(jié)論運(yùn)用正弦定理得asinC=2RsinN卷=6sin4=l,然后等量代換出，+*■,再運(yùn)

用降次公式化簡(jiǎn)，結(jié)合內(nèi)角取值范圍即可求解.

【詳解】(1)證明：由題知sm("[B)=sm(";C),

cos5cosC

所以sin(4-B)cosC=sin(4-C)cosB,

所以sin4cosBcosC-cosAsinBcos。二sin4cosCcosB-cosAsinCcosB,

所以cosAsinBcosC=cos%sinCcosB

因?yàn)锳為銳角，即cosZwO,

所以sinBcosC=sinCcos3,

所以tan8=tanC,所以B=C.

(2)由(1)知：B=C,所以sin8=sinC,

因?yàn)椤╯inC=l,所以，=sinC,

a

因?yàn)橛烧叶ɡ淼茫篴=2Rsin/,sin8=—,

所以asinC=2/?sinA-^—=bsinA=1,所以,二sin4,

2Rb

因?yàn)榱?萬(wàn)一8-。=）一2。,所以』=sin/=sin2C,

b

222

所以4+1=sii?C+sin2C=>c°s2c+(1-cos2C)=-cos2C—cos2CJ

ab222

jrTT

因?yàn)閄5C是銳角三角形，旦8=c,所以,

42

TT

所以一<2。<乃，所以—1<cos2C<0,

2

當(dāng)cos2c=-J時(shí)，4+5取最大值為號(hào)，

4ab'16

所以/1+31最大值為：25-

18.（12分）（2022?廣東?模擬預(yù)測(cè)）近期國(guó)內(nèi)疫情反復(fù)，對(duì)我們的學(xué)習(xí)生活以及對(duì)各個(gè)行業(yè)影響都比較大,

某房地產(chǎn)開(kāi)發(fā)公司為了回籠資金，提升銷(xiāo)售業(yè)績(jī)，讓公司旗下的某個(gè)樓盤(pán)統(tǒng)一推出了為期10天的優(yōu)惠活

動(dòng)，負(fù)責(zé)人記錄了推出活動(dòng)以后售樓部到訪客戶(hù)的情況，根據(jù)記錄第一天到訪了12人次，第二天到訪了

22人次，第三天到訪了42人次，第四天到訪了68人次，第五天到訪了132人次，第六天到訪了202人

次，第七天到訪了392人次，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，用x表示活動(dòng)推出的天數(shù)，y表示每天來(lái)訪的人次，繪制了

以下散點(diǎn)圖.

y（人次）

i-4oo

350

V--300

i-250

y-i00

i—(50

i-ioo

-：—Ho

T?o

x（天）

⑴請(qǐng)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，以下兩個(gè)函數(shù)模型y=a+bx與v=c?十（c,d均為大于零的常數(shù)）哪一個(gè)適宜作

為人次y關(guān)于活動(dòng)推出天數(shù)X的回歸方程類(lèi)型？（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）；

⑵根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及下表中的數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測(cè)活動(dòng)推出第8天售樓部來(lái)訪的

人次.

17

參考數(shù)據(jù)：其中斗=坨乂內(nèi)=:;?>,

7

Lxivi

V10°84

i=l

1.8458.556.9

⑶已知此樓盤(pán)第一天共有10套房源進(jìn)行銷(xiāo)售，其中6套正價(jià)房，4套特價(jià)房，設(shè)第一天賣(mài)出的4套房中

特價(jià)房的數(shù)量為仁求4的分布列與數(shù)學(xué)期望.

【答案】⑴y=cdY2）/=6.9xlO02",到訪人次為690（3）分布列見(jiàn)解析,E（9=1.6

【分析】④觀察散點(diǎn)圖，結(jié)合散點(diǎn)圖的特征選擇合適的回歸方程類(lèi)型，（2）由y=取對(duì)數(shù)可得

lgy=lgc+lgd-x,結(jié)合線性回歸方程求法及參考數(shù)據(jù)可求回歸方程，結(jié)合回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)；（3）由條件

確定J的可能取值，及取各值的概率，由此可得分布列，再由期望公式求期望.

（1）根據(jù)散點(diǎn)圖可得夕隨x的增大，增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，故判斷y=適合作為人次y關(guān)于活動(dòng)推出

天數(shù)x的回歸方程類(lèi)型.

（2）（2）由（1）知，y=兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得lgy=lgc+lgd-x,令lgy=v，則v=lg/x+lgc

7

由題意知匕=愴乂尸=1.84,2*匕=58.55,

/=1

17

又亍=±（1+2+3+4+5+6+7）=4,=I2+22+32+42+52+62+72=140,

71=1

7

^x,.v,.-7xv

i=l________________58.55-7x4x1.84

所以Igd=-7------------；——?0.25

140-7X42

r=l

所以Ige=v-Igrfx-1.84-0.25x4=0.84,\gy=0.84+0.25%,

則y關(guān)于x的回歸方程為y=10084+0-25v=6.9x10025t,

當(dāng)x=8時(shí)，9=6.9x102=690,故預(yù)測(cè)活動(dòng)推出第8天售樓部到訪人次為690.

（3）由題意可知J的取值可能為0,1,2,3,4.

產(chǎn)("0)=旨=2，尸?=1)=等=9尸七=2)=等==,尸何=3)=g=2

L|014Lqo/【Lqo'5()JD

c41

尸優(yōu)=4)=T=—

c：0210

所以。的分布列為:

01234

18341

P

1421735210

^fl?A￡(f)=Ox—+lx—+2x-+3xA+4x—=1.6

1421735210

19.（12分）（2022?河南開(kāi)封?模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，O,,。分別是圓臺(tái)上、下底的圓心，為圓。的

直徑，以08為直徑在底面內(nèi)作圓E,C為圓。的直徑48所對(duì)弧的中點(diǎn)，連接8C交圓E于點(diǎn)。，/4,

BB],CC,為圓臺(tái)的母線，AB=2AiBl=S.

TT

（1）證明；G。//平面。880；（2）若二面角C「8C-。為求。。與平面4CQ所成角的正弦值.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析；⑵詼.

28

【分析】（1）連接。瓦。￡,根據(jù)圓的性質(zhì)知△80C、都為等腰直角三角形，進(jìn)而有DEQG為

平行四邊形，則￡?//￡>￡,根據(jù)線面平行的判定證明結(jié)論.

(2)構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)已知求得00=2卡，再求出而、面4G。的法向量，利用空間向量

夾角的坐標(biāo)表示求線面角的正弦值.

(1)連接C為圓。的直徑Z8所對(duì)弧的中點(diǎn)，

所以△80C為等腰直角三角形