兩角及和差的三角函數(shù)公式的證明

...wd......wd......wd...兩角和與差的三角函數(shù)公式的證明三角函數(shù)兩角和與差單位圓托勒密定理數(shù)學(xué)

利用單位圓方法證明sin〔α+β〕=…與cos〔α+β〕=…，是進(jìn)一步證明大局部三角函數(shù)公式的根基。1、sin〔α+β〕=sinαcosβ+cosαsinβ在笛卡爾坐標(biāo)系中以原點(diǎn)O為圓心作單位圓，在單位圓中作以下線段：如圖中所示，容易看出：sin〔α+β〕=CF；sinα=AB；cosα=OB；sinβ=CD；cosβ=OD則：----------------------------------------------------------------------------------------------平面幾何的證明方法：如以以下圖，過程見下面的【評論】中新浪網(wǎng)友的提示〔非常感謝這位網(wǎng)友的提示，讓我們看到了證明一個(gè)定理的多種途徑，真是妙不可言！〕----------------------------------------------------------------------------------附：若何證明托勒密定理見://hyz0.blog.sohu/69610635.html://iask.sina.cn/b/2459822.html托勒密(Ptolemy)定理指出，圓內(nèi)接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積。原文：圓內(nèi)接四邊形中，兩對角線所包矩形的面積等于一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和。從這個(gè)定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理實(shí)質(zhì)上是關(guān)于共圓性的基本性質(zhì)．〔具體的推導(dǎo)方法詳見數(shù)學(xué)目錄下的博文，來自網(wǎng)友的提供！〕思路：托勒密定理在平面幾何中赫赫有名，其難點(diǎn)在于：把一條對角線分割成兩條線段DE和BE。第一步證明一對旋轉(zhuǎn)的三角形相似：△ABE∽△ACD；第二步還需要證一對旋轉(zhuǎn)的三角形相似△ADE∽△ACB；只有這兩對相似的三角形出來了才能得到結(jié)論。證明：以AB為邊，作一個(gè)角等于角：即∠BAE=∠DAC；在ΔABE和ΔACD中，∵

∠BAE=∠DAC；∠ABE=∠ACD；∴

△ABE∽△ACD；∴

AB·DC=BE·AC

①∵

∠BAE=∠DAC；∴

∠DAE=∠CAB；在ΔADE和ΔACB中，∵

∠ADE=∠ACB；∠DAE=∠CAB；∴

△ADE∽△ACB；∴

AD·BC=DE·AC

②∴

①+②得：AB·DC+AD·BC=BE·AC+DE·AC=〔BE+DE〕·AC=BD·AC。結(jié)論：該命題對于圓內(nèi)接的任意四邊形都成立。最初是由數(shù)學(xué)家托勒密想出來的，叫做托勒密定理?！爱?dāng)你遇到AB·DC+AD·BC=