最值問題（隱形圓問題）-2023年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（全國通用）

考向36：最值問題(隱形圓問題)

【考點梳理】

模型一：定點定長作圓

模型探究：如圖，在平面內(nèi)，點A為定點，點3為動點，且48長度固定，則動點B的軌跡是以點4為圓心，AB

長為半徑的圓?/'、、、、

/\

【推廣】在折疊或旋轉(zhuǎn)問題中，有時會利用“定點定長作圓”模型確定動點的運動軌跡.')^/4；

模型二：定弦定角作圓B、、、_,/

模型探究：若已知定弦A8,定角NC,要確定頂點C的運動軌跡，需分三種情況：

(1)如圖①，在。。中，當(dāng)/CV90。時，點C的軌跡為優(yōu)弧前5；

(2)如圖②，在。O中，當(dāng)∕C=90。時，點C的軌跡為半圓；

(3)如圖③，在。。中，當(dāng)∕C>90。時，點C的運動軌跡為劣弧心.

圖①圖②圖③

常見張角計算(關(guān)鍵定圓心)：

模型三：四點共圓

(1)如圖①、②，共斜邊的兩個直角三角形，同側(cè)或異側(cè)，都有A、B、C、。四點共圓

圖①圖②

2）如圖③若/4+47=180。，則A,B、C、。四點共圓.

如圖④固定線段AB同側(cè)若NP=4,貝UA,B、C、P四點共圓.

圖③圖④

【題型探究】

題型一：隱形圓

1.如圖，正方形45C。的邊長為4,點E是正方形ABS內(nèi)的動點，點尸是BC邊上的動點，β.ZEAB=ZEBC.連

結(jié)AE,BE,PD,PE,則Pf>+PE的最小值為（）

DC

C.4√3-2D.2√15-2

2.如圖，四邊形ABCf)中，ABCD,AClBC,ZDAB=60,AD=CQ=4,點股是四邊形ABCZ)內(nèi)的一個

動點,滿足ZAMo=90,則MBC面積的最小值為

3.如圖，點A,B的坐標(biāo)分別為A(6,0),B(0,6),C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點，βc=2√2.M為線段AC的中點，連接QM,

當(dāng)OM取最大值時，點〃的坐標(biāo)為

【必刷好題】

一、單選題

4.如圖，四邊形A8C。為矩形，AB=3,3C=4.點尸是線段BC上一動點，點M為線段AP上一點.ZADM=ZBAP,

則BM的最小值為()

AD

BLXJpC

A.-B.—C.?[V3——D.?∕↑3—2

252

5.如圖，.。的半徑是遙，P是.。上一動點，4是。內(nèi)部一點，且40=6，則下列說法正確的是（）

①抬的最小值為6-G;②的最大值為&+6；③當(dāng)NOAP=90°時，△孫。是等腰直角三角形；④△/!4。面

積最大為∣??

A.①③④B.①②④C.①②③D.②③④

6.如圖，在RrABC和R/VADE中，N8AC=NDAE=90。，AC=AD=3,AB=AE=S.連接BO,CE,將^ADE繞

點A旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中當(dāng)NZ5B4最大時，AACE的面積為（）.

A.6B.6√2C.9D.9近

7.正方形ABC。中，AB=4,點E、尸分別是C。、BC邊上的動點，且始終滿足。E=CF,DF、AE相交于點G.以

AG為斜邊在AG下方作等腰直角AAHG使得NA"G=90t）,連接BH.則BH的最小值為（）

D

A.2√5-2B.2√5+2C.《TO—5/2D.y∕lO+>∕2.

8.如圖，RtZSABC中，ABlBC,AB=8,BC=6,P是一ABC內(nèi)部的一個動點，滿足44B=NP3C,則線段

CP長的最小值為（）

C.2√13-6D.2√13-4

二、填空題

9.如圖，在矩形ABC。中，AB=6,8C=8,點E、F分別是邊A8、BC上的動點，且ER=4,點G是EF的中

點，AG.CG,則四邊形AGcD面積的最小值為.

10.如圖，在AABC中，ZC=90o,AC=S,AB=IO,。是AC上一點，且C￡>=3,E是BC邊上一點，將△OCE

沿。E折疊，使點C落在點尸處，連接B尸，則■的最小值為.

11.如圖，長方形ABCE（中，AB=2y∣3,BC=2,點E是OC邊上的動點，現(xiàn)將ABEC沿直線BE折疊，使點C落在

點尸處，則點D到點F的最短距離為

12.如圖，已知√1BC,外心為。，BC=I8,ZBAC=GOo,分別以A8,AC為腰向形外作等腰直角三角形AABO

與A4CE,連接CD交于點、P,則。尸的最小值是.

13.如圖，正方形ABC。的邊長為4,點E為邊Ao上一個動點，點F在邊C。上，且線段EF=4,點G為線段EF

的中點，連接BG、CG,則BG+gcG的最小值為.

14.如圖，AABC為。。的內(nèi)接等邊三角形，BC=12,點。為BC上一動點，BELOD于E,當(dāng)點。由點8沿BC運

動到點C時，線段AE的最大值是.

15.如圖，。。的半徑為2,弦AB=2,點尸為優(yōu)弧AB上一動點，ACL4P交直線PB于點C,則△ABC的最大面

積是_________

三、解答題

16.如圖，等邊三角形ABC內(nèi)接于半徑長為2的。0,點P在圓弧48上以2倍速度從3向A運動，點。在圓弧

BC上以1倍速度從C向B運動，當(dāng)點P,0,。三點處于同一條直線時，停止運動.

(1)求點。的運動總長度；

(2)若M為弦PB的中點，求運動過程中CM的最大值.

17.如圖，。。的直徑A8為2,C為。。上的一個定點，NABC=30。，動點P從4出發(fā)，沿半圓弧AB向B點運動

(點P與點C在直徑AB的異側(cè))，當(dāng)P點到達(dá)B點時運動停止，在運動過程中，過點C作CP的垂線CO交PB的

延長線于點。，連接AD則線段A。的最大值為.

D

18.【問題背景】如圖1,P是等邊AABC內(nèi)一點，ZAPB-150°,則BV+PB2=PC2.小剛為了證明這個結(jié)論，將4PAB

繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。，請幫助小剛完成輔助線的作圖；

【遷移應(yīng)用】如圖2,。是等邊AABC外一點，E為C。上一點，AD∕∕BE,ZBEC=UO0,求證：△DBE是等邊三

角形；

【拓展創(chuàng)新】如圖3,EF=6,點C為防的中點，邊長為3的等邊AABC繞著點C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)一周，直線AE、

BF交于點P,M為尸G的中點，EFlFG于F,FG=4√3,請直接寫出MC的最小值.

19.如圖，在矩形ABCQ中，AB=6,AO=8,點E,尸分別是邊CQ,BC上的動點，且NAFE=90。

(1)證明：ZABFSXFCE;

(2)當(dāng)DE取何值時，NAED最大.

AD

20.問題發(fā)現(xiàn)：

⑴如圖①，點A和點B均在。。上，且∕AOB=90。，點P和點。均在射線AM上，若乙4尸8=45。，則點尸與。O

的位置關(guān)系是;若NAQB<45。，則點。與。。的位置關(guān)系是.

問題解決：

如圖②、圖③所示，四邊形ABcZ)中，ABlBC,ADYDC,ZDAB=135°,且A2=l,AZ)=2正,點尸是BC邊上

任意一點.

(2)當(dāng)ZAPO=45o?,求BP的長度.

(3)是否存在點P,使得NAPD最大?若存在請說明理由，并求出BP的長度：若不存在，也請說明理由.

(?)?(

D

-------BtJxC盧

圖①圖②圖③

21.如圖，在等邊ΛBC中，點。在AC邊上，點E為8。延長線上一點，連接CE,過點C作CF〃8￡)交AE延長

線于點F.

A

圖1圖2圖3

4

(1)如圖1,若/84/=90。，tanZAFB=-,AB=Sf求叱的長;

(2)如圖2,若/C3E=45。，點尸在CE的垂直平分線上，點G在BC邊上，連接AG交BE于點//,且4AG=60。,

求證：AG+AE+ED=行AB;

(3)如圖3,若NCBE=45°,tanZBCE^3,BC=4,點K、M,N分別是ABCE三邊上的動點，當(dāng)AOW周

長取得最小值時，取線段疏的中點/,點T為平面內(nèi)一點，且NET7=45。，連接87、CT,請直接寫出”至

EK

的最大值.

參考答案:

1.A

【分析】先證明NAE8=90。，即可得點E在以AB為直徑的半圓上移動，設(shè)AB的中點為。，作正方形ABc。關(guān)于

直線BC對稱的正方形CFG8,則點。的對應(yīng)點是F,連接FO交BC于P,交半圓。于E,根據(jù)對稱性有：PD=PF,

則有：PE+PD=PE+PF,則線段E尸的長即為尸E+PO的長度最小值，問題隨之得解.

【詳解】解：；四邊形ABCo是正方形，

.?.ZABC=90°,

ZABE+ZEBC=90°,

"：ZEAB=ZEBC,

：.ΛEAB+NEBA=90°,

：.ZAEB=90°,

點E在以AB為直徑的半圓上移動，

如圖，設(shè)AB的中點為0,

作正方形ABS關(guān)于直線BC對稱的正方形CFGB,

則點D的對應(yīng)點是F,

連接尸0交BC于尸，交半圓。于E,

根據(jù)對稱性有：PD=PF,

則有：PE+PD=PE+PF,

則線段E尸的長即為PE+PD的長度最小值，E

VZG=90o,FG=BG=AB=A,

：.OG=6,OA=OB=OE=I,

；?OF=√FG2+OG2=2√13>

/?EF=OF-OE=2岳-2,

故PE+PD的長度最小值為2萬-2,

故選：A.

【點睛】本題考查了軸對稱-最短路線問題，正方形的性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線，得出點E的運動路線

是解題的關(guān)鍵.

2.6√3-4

【分析】取Ao的中點。，連接O過點M作MELBC交BC的延長線于點E,過點。作。尸_L8。于尸，交CD于

G,則OM+ME≥O產(chǎn)，通過計算得出當(dāng)0,M,E三點共線時，M石有最小值，求出最小值即可.

取A。的中點。，連接。M,過點M作MEJ?8C交BC的延長線于點E,過點。作W_L8C于/，交C。于G,則

OM+ME≥OF,

ABCD9ZDAB=60,AD=CD=4,

ZADC=I20。，

AD=CDf

：.NZ>4C=30。，

ZC4B=30°,

AClBC,

ZACB=90°

.?.ZB=90O-30O=60O,

ZB=ZDAB,

???四邊形ABCQ為等腰梯形，

BC=AO=4,

ZAMD=90,AD=4,OA=OD,

??.OM=IAo=2,

2

???點M在以點。為圓心，2為半徑的圓上，

AB//CD9

???NGCF=/B=60。，

ZDGO=ZCGF=30°,

OF±BCfACIBC,

o

.?ZDOG=ZDAC=30=ZDGO9

?,?DG=DO=2,

，OG=20。?cos30°=2退，GF=√3,OF=3√3,

ME≥OF-OM=3y∕3-2,

.?.當(dāng)0,M,E三點共線時，ME有最小值3√i-2,

MBC面積的最小值為=；x4xp石一2)=66-4.

【點睛】本題考查了解直角三角形、隱圓、直角三角形的性質(zhì)等知識點，點〃位置的確定是解題關(guān)鍵.

3.(4,4)

【分析】根據(jù)題意可知：點C在半徑為2√Σ的。B上.在X軸上取0Q=0A=6,連接CQ,易證明。例是AACO的中

位線，即得出OM=T8,即當(dāng)OM最大時，CC最大，由。，B,C三點共線時，即當(dāng)C在。B的延長線上時，OM

最大，根據(jù)勾股定理求出BZ)的長，從而可求出CO的長，最后即可求出。H的最大值.

【詳解】解：如圖，???點C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點，BC=26,

.?.C在G)B上，且半徑為2&，

在X軸上取00=04=6,連接C￡),

'JAM=CM,OD=OA,

OM是AACD的中位線，

.".OM=^CD,

.?.即當(dāng)OM最大時，CO最大，而。，B,C三點共線時，即當(dāng)C在OB的延長線上時，OM最大,

,：OB=OD=6,/800=90。，

ΛBZ)=6√2,

?-CD=6√2+2√2=8√Σ,且C(2,8),

.?.OM=gCQ=40,即OM的最大值為4√Σ,

YM是AC的中點，則M(4,4),

故答案為：(4,4).

【點睛】本題考查坐標(biāo)和圖形，三角形的中位線定理，勾股定理等知識.確定OM為最大值時點C的位置是解題關(guān)

鍵，也是難點.

4.D

【分析】證明N4ME>=90",得出點”在。點為圓心，以AO為半徑的圓上，從而計算出答案.

【詳解】設(shè)AO的中點為0,以。點為圓心，Ao為半徑畫圓

?.?四邊形ABCD為矩形

,ZBAP+ZM4D=90

ZADMABAP

NMAr>+ZAZW=90°

NAMO=90"

.?.點M在。點為圓心，以Ao為半徑的圓上

連接OB交圓。與點N

：點B為圓。外一點

當(dāng)直線過圓心。時，BM最短

VBO2=AB2+AO2,AD=I

，BO-=9+4=13

二BO=如

；BN=Bo-AO=岳一2

故選：D.

【點睛】本題考查直角三角形、圓的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握直角三角形和圓的相關(guān)知識.

5.C

【分析】分析知當(dāng)A在線段P。上時，必取最小值，A在尸。延長線上時，網(wǎng)取最大值，可以判斷①②是否正確；

當(dāng)/。”=90。時，根據(jù)勾股定理求出AP的長度，可以判斷③是否正確；作出A點的軌跡圓，知當(dāng)OAJ_PO時，三

角形粗。面積取最大值，通過計算判斷④是否正確即可.

【詳解】解：由題意知，當(dāng)A在線段PO上時，附取最小值，A在PO延長線上時，力取最大值，

的最小值為6-右，刑的最大值為"+行，

故①②正確：

當(dāng)∕O4P=90。時，根據(jù)勾股定理得：AP=N府一的=√L

即AP=OA,三角形布0為等腰直角三角形，

故③正確；

作出A點軌跡圓如下：

知當(dāng)OALP。時，三角形以0面積取最大值，最大值為：1×√5×√6=^,

22

故④錯誤，

綜上所述，正確的序號為：①②③，

故選：C.

【點睛】本題考查了圓的性質(zhì)、勾股定理、線段最值等知識點，借助圓的性質(zhì)判斷出線段的最值是解決本題的關(guān)鍵.

6.A

【分析】先分析出。的軌跡為以A為圓心A。的長為半徑的圓，當(dāng)BQ與該圓相切時，NOBA最大，過C作CFLAE

于F,由勾股定理及三角函數(shù)計算出3。、CF的長，代入面積公式求解即可.

【詳解】解：由題意知，。點軌跡為以A為圓心AD的長為半徑的圓，

當(dāng)8。與。點的軌跡圓相切時，/D8A取最大值，此時/804=90。，如圖所示,

過C作CF,AE于尸，

VZDAE=90o,ZBAC=90o,

：.ZCAF=ZBAD,

22

在RfAABO中，由勾股定理得：βD=√5-3=4-

由SinNeA產(chǎn)=sin∕BAD得：

CFBD

^AC~~ABf

即C

12

解得：CF=-9

1io

???此時三角形ACE的面積=；X晟、5=6,

故選：A.

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、勾股定理等知識點.此題綜合性較強，解題關(guān)鍵是利用。的軌跡

圓確定出/。BA取最大值時的位置.

7.C

【分析】首先證明NAG￡>=90。，從而0G=；AQ=2,再根據(jù)NQ4G=,可求MH=亞,可知點H的運動

軌跡為以點M為圓心，MH為半徑的圓，從而可求BH最小值.

【詳解】解：如圖，取AD中點O,連接OG,以AC）為斜邊作等腰直角三角形AoM,

B

則AM=—A0=√2,

2

在VAQE和QC/中，

AD=CD

<NADE=NDCF,

DE=CF

：?ADE、DCF(SAS),

：?/DAG=ZCDF,

VZADG+ZCDF=90°,

I.ZADG+ZDAG=90°f

/.NAGo=90。，

△ADG是直角三角形，

.*.OG=-AD=I,

2

???A”G為等腰直角三角形，

：.ZOAG+ZGAM=ZHAM+ZGAM,

：?ZOAG=ZHAMF

..AHMA√2

乂τ7?----=----=----，

AGOA2

，Δ,AMH^∕?AOG,

?MH√2

"~OG~~Γ,

MH=B

點H的運動軌跡為以點M為圓心，MH為半徑的圓，

如圖，連接BM,交圓M于/T,過點M作于點P,

,.?ZDAE+NBAH=45o,ZOAG=AMAH,

：.NPAM=ZMAH+ZBAH=45°,

.?.AAPM為等腰直角三角形，

：AM=√Σ,

ΛAP=MP=^×√2=1,

2

.?.BP=4-1=3,

在Rt..BPM中，BM=yjBP2+PM2=√W，

BH'=BM-MH'=弧-近.

.?.BH的最小值為√∏J-√Σ.

故選：C.

【點睛】本題考查了最短路徑問題，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確構(gòu)造輔助線，利用三角形相似以及點和圓的知識解決.

8.D

【分析】結(jié)合題意推導(dǎo)得/APB=90°，取AB的中點。，以點。為圓心，AB為直徑作圓，連接OP；根據(jù)直角三角

形斜邊中線的性質(zhì)，得OP=。A=OB=；AB=4；根據(jù)圓的對稱性，得點尸在以AB為直徑的O上，根據(jù)兩點之

間直線段最短的性質(zhì)，得當(dāng)點0、點P、點C三點共線時，PC最??；根據(jù)勾股定理的性質(zhì)計算得0C,通過線段和

差計算即可得到答案.

【詳解】ZABC=90°,

ZABP+ZPBC=90°,

NPAB=NPBC,

：.ZBAP+ZABP=90°,

/.ZAPB=90°,

取AB的中點。，以點。為圓心，AB為直徑作圓，連接0P,

點P在以AB為直徑的。上，連接OC交CO于點P,

當(dāng)點。、點P、點C三點共線時，PC最小

在RlZXBCO中，

NoBC=90°,BC=6,08=4,

.?.OC=BO1+BC2=√42+62=2√13,

PC=OC-OP=2^-4

.?.PC最小值為2萬-4

故選：D.

【點睛】本題考查了兩點之間直線段最短、圓、勾股定理、直角三角形斜邊中線的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓

的對稱性、兩點之間直線段最短、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，從而完成求解.

9.38

【分析】首先連接AC,過B作BHLAC于”，當(dāng)G在84上時，三角形ACG面積取最小值，此時四邊形AGCD面

積取最小值，再連接8G,知3G=2,得到G點軌跡圓，該軌跡與8〃交點即為所求最小值時的G點，利用面積法

求出BH、GH的長，代入三角形面積公式求解即可.

【詳解】解：連接AC,過8作8"，Ae于H,

當(dāng)G在8”上時，AACG面積取最小值，此時四邊形AGCQ面積取最小值，

四邊形AGCD面積=三角形4CG面積+三角形48面積，

即四邊形AGCD面積=三角形ACG面積+24.

連接BG,由G是EF中點，EF=4知，

BG=2,

故G在以B為圓心，BG為半徑的圓弧上，圓弧交8”于G',此時四邊形AGCO面積取最小值，如圖所示，

AD

由勾股定理得：AC=IO,

"：^ACBH=^ABBC,

ΛBW=4.8,

，G'"=2.8,

即四邊形AGCD面積的最小值=gX10×2.8+24=38.

故答案為：38.

【點睛】本題考查了勾股定理及矩形中的與動點相關(guān)的最值問題，解題的關(guān)鍵是利用直角三角形斜邊的直線等于斜

邊的一半確定出G點的運動軌跡.

10.3√5-3*tt-3+3√5

【分析】先由折疊判斷出廠的運動軌跡是為以。為圓心，CQ的長度為半徑的圓，當(dāng)B、D、F共線且P在B、D之

間時BF最小，根據(jù)勾股定理及圓的性質(zhì)求出此時B。、BF的長度即可.

【詳解】解：由折疊知，尸點的運動軌跡為：以。為圓心，8的長度為半徑的圓，如圖所示,

可知，當(dāng)點8、D、F共線，且尸在8、。之間時，BF取最小值，

VZC=90o,AC=S,AB=I0,

.?.BC=6,

2222

在放ABCD中，由勾股定理得：BD=y∣CD+BC=√3+6=3√5

BF=BD-DF=3后-3,

故答案為：3√5-3.

【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、圓的性質(zhì)、勾股定理解直角三角形的知識，該題涉及的最值問題屬于中考?？碱}

型，根據(jù)折疊確定出尸點運動軌跡是解題關(guān)鍵.

11.2

【分析】由題意易得點尸的運動軌跡是以點B為圓心，BC長為半徑的圓弧，連接BQ,然后根據(jù)隱圓問題可進(jìn)行求

解.

【詳解】解：由題意得：點F的運動軌跡是以點B為圓心，BC長為半徑的圓弧，

連接BD,交圓弧于點”，如圖所示：

.?.當(dāng)點F與點H重合時，點D到點尸的距離為最短,

；四邊形ABCD是矩形，AB=2√3,BC=2,

.*.DC=AB=2√3,ZBCD=90o,

?>?BD=y∣BC2+CD2=4,

，DH=BD-BH=4-2=2,即點。到點尸的最短距離為2；

故答案為2.

【點睛】本題主要考查隱圓問題，矩形與折疊，勾股定理，解題的關(guān)鍵是分析得出點尸的運動軌跡.

12.9-3√3

【分析】由aABO與ZVlCE是等腰直角三角形，得到/84。=NCAE=90。，ZDAC=NBAE,根據(jù)全等三角形的

性質(zhì)得到NAOC=ZABE,求得在以BC為直徑的圓上，由43C的外心為。，ZBAC=60°,得到NSoC=I20。，如

圖，當(dāng)PoIBC時，OP的值最小，解直角三角形即可得到結(jié)論.

【詳解】解：1A8D與AACE是等腰直角三角形，

:.ZBAD=ZCAE=90°,

；.NDAC=ZBAE,

在與，84E中，

AD=AB

■ZDACZBAE,

AC=AE

DACλBAE(SAS),

.-.ZADC=ZABE,

:.NPDB+NPBD=90°,

：.NDPB=90。,

.?.P在以BC為直徑的圓上，

.ABC的外心為。，ZSAC=60°,

.-.ZBOC=120°,

如圖，當(dāng)PO工BC時，OP的值最小，

?jBC=18,

:.BH=CH=9,OH=-OB

2

.?.BH=>JOB2-OH2=6θH

.?.O∕7=3√3,PH=9,

:.G>P=9-3√3.

貝I」。P的最小值是9-3百,

故答案為：9-36.

【點睛】本題考查了三角形的外接圓與外心，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助

線是解題的關(guān)鍵.

13.5

【分析】因為。G=TEF=2,所以G在以。為圓心，2為半徑圓上運動，取。/=1,可證AG。/SACQG,從而得

出G∕=^CG,然后根據(jù)三角形三邊關(guān)系，得出B/是其最小值

【詳解】解：如圖，

在Rt△OE/中，G是E尸的中點,

1

.".DG=2-

.?.點G在以。為圓心，2為半徑的圓上運動,

在Co上截取。/=1,連接G/,

.DI_DG_1

DG-CD-2,

.?.NGDI=NCDG,

.MGDIsdCDG,

.IG=Dlq

,,CG-DG^2,

.".IG—-CG，

2

/.BG+-CG=BG+IG>BI,

2

當(dāng)8、G、/共線時，BG+叔CG最小=B/,

在RtABC/中，C/=3,BC=4r

ΛB∕=5,

故答案是：5.

【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，圓的概念，求得點G的運動軌跡是解題的關(guān)鍵.

14.2√2T+2√3W?2√5+2√2T

【分析】連接BO,取8。中點M,連接ME,求得ME=1θ8,點E在以M為圓心，以gOB為半徑的圓上，求得

當(dāng)A、M、E共線且點E在AM的延長線上時，AE最大，求解即可.

【詳解】解：連接BO,取80中點連接ME,如下圖：

VSElOD,M為Bo中點

ME=-OB

2

.?.點E在以M為圓心，以;。B為半徑的圓上

.?.當(dāng)A、M、E共線且點E在AM的延長線上時，AE最大

延長B。交AC于點H,如上圖：

???△ABC為。。的內(nèi)接等邊三角形

二打3垂直平分AC,AC=BC=12

.?.AH=CH=-AC=6

2

；.BH=6#l,OB=WBH=

?"?OM=—OB=2下＞,MH=45/3

,AM=y∣AH-+MH1=2√21

AE的最大值為2√ΣT+2√3

故答案為：2√ΣT+2√5

【點睛】此題考查了圓與內(nèi)接正三角形的性質(zhì)，涉及了直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形外心的性質(zhì)，解題的

關(guān)鍵是理解題意，利用性質(zhì)確定出點E的運動軌跡.

15.√3

【分析】連接OB,如圖1,由OA=OB=AB=2可判斷△OAB為等邊三角形，則NAoB=60。，根據(jù)圓周角定理得

ZAPB=IZAOB=30o,由于ACLAP,所以/C=60。，因為A8=2,則要使△ABC的最大面積，點C到AB的距離要

最大；由/AC8=60。，可根據(jù)圓周角定理判斷點C在。。上，且乙4。8=120。，如圖2,于是當(dāng)點C優(yōu)弧A8的中點

時，點C到AB的距離最大，此時AABC為等邊三角形，從而得到AABC的最大面積.

【詳解】解：連接0A、0B,如圖1,

圖1

"：OA=OB=2,AB=2,

...△0AB為等邊三角形，

/408=60。，

ZA∕,β=∣NAOB=30。，

,：ACVAP,

ΛZC=60o,

"AB=2,要使AABC的最大面積，則點C到A8的距離最大,

作AABC的外接圓。，

VZACB=60o,點C在。。上，

ΛZADB=120°,如圖2,

當(dāng)點C優(yōu)弧AB的中點時，點C到AB的距離最大，此時AABC為等邊三角形，且面積為34左=6，

4

???△A5C的最大面積為白.

故答案為：拒.

【點睛】本題考查了圓的綜合題：熟練掌握圓周角定理和等邊三角形的判斷與性質(zhì)；記住等邊三角形的面積公式.

2

16.(1)—)

3

(2)出+ι.

【分析】(1)如圖，設(shè)？COQ凡結(jié)合題意可得：?BOP勿，結(jié)合正三角形的性質(zhì)求解。=60?,再利用弧長公

式進(jìn)行計算即可；

(2)解：如圖，取。B的中點M連接NM,NC,MC過N作NKJ_BC于K,過。作OEJ于E,證明M在

以N為圓心，半徑為1的圓N上運動，可得當(dāng)GN,M三點共線時，CM最大，從而可得答案.

【詳解】(1)解：如圖，設(shè)？CoQ%結(jié)合題意可得：?BOP為，

ABC為等邊三角形,

360°

?IBOC----=120?,

3

\?BOQ120?a9

而R三點共線，

\?BOQ180?2a,

\120?a=180?2a,

解得：a=60。,

，。運動的總長度為：翌P=或人

1oUJ

(2)解：如圖，取OB的中點N,連接NM,NC,MC,過N作NKJ_BC于K,過。作。ELBC于E,

M為PB的中點，

?NM=LoP=T,

2

.?.M在以N為圓心，半徑為1的圓N上運動,

當(dāng)C,N,M三點共線時，CM最大，

Q?BOC120?,OBOC,

\?OBC30?,

?NK=LBN=LBK=2,

222

同理可得：BE=區(qū)則8C=2√5,

?CM=CN+NM=√7+l,

.?.CM的最大值為：√7+l.

【點睛】本題考查的是弧長的計算，弧與圓心角的關(guān)系，圓的基本性質(zhì)，正多邊形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟練

的構(gòu)造輔助圓，再求解線段的最大值是解本題的關(guān)鍵.

17.√7+√3??λ^+√7

【分析】由同弦等角可知點。在以BC為弦的。0,(紅弧線)上運動，從而構(gòu)造輔助圓，故當(dāng)A、0\。共線時,

AD的值最大.求出此時4。的值即可解決問題.

【詳解】解：'.'Ag是直徑,ZABC=30o,AB=I,

ΛZACB=90o,NCAB=NP=60。,AC=-AB=I,BC=√3ΛC=√3,

?.?在放△PCD中，ZPCD=90o,ZP=60o,

/.ZPDC=30o,

點。在以8C為弦的。0,（紅弧線）上運動,

.?.當(dāng)A、0?。共線時，A。的值最大.

如圖，連接CO'BO',

VZBO'C=2ZCDB=60o,0'C=O1B,

.?.△O,BC是等邊三角形，

.,.BO'=BC=√3,ZCBO,=60o,

'：ZABC=30°,

：.ZΛBO,=90o,

AO'=?∣AB2+O1B2=M+（可=幣,

AD=AD'+O,D=√7+√3,

.?.線段A。的最大值為√7+6?

故答案為：√7+√3.

【點睛】本題考查圓周角定理、含30。角的直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、最值問題等

知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會利用輔助圓解決問題，屬于中考?？碱}型.

18.（1）見解析；（2）見解析；（3）√21-√3

【分析】（1）根據(jù)△以B繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。作圖即可;

(2)由∕8EC=120。得/BE￡>=60。，由平行線的性質(zhì)得NAOE=∕BM=6(Γ,由等邊三角形的性質(zhì)得/BAC=

ZABC=ZACB=60o,故可知A、D、B、C共圓，由圓內(nèi)接四邊形對角互補得出乙408=120。,故可求出/80￡：=60。,

即可得證；

(3)由CA=CE=CB=C尸=3得A、E、B、尸共圓C得出N∕?B=NCBF=∕CFB,進(jìn)而得出NAPF=NABC=60。,

作AEPF的外接圓。，貝叱EQF=I20。，求出EQ,連接QG取中點N,由三角形中位線得MM以點N為圓心

MN為半徑作N,連接CN,與.N交于點ΛT,即CM最小為CM'=CN-MN,建立平面直角坐標(biāo)系求出即可.

【詳解】(1)如圖1所示，將二的繞點4逆時針旋轉(zhuǎn)60。得"AC;

(2)TNBEC=120°,

：.ZBED=60o,

?/AD//DE,

：.ZADE=NBEO=60°,

?.?△4BC是等邊三角形，

NBAC=∕A3C=ZACB=60°,

；.A、D、B、C共圓，如圖2所示:

圖2

ZADB=120°,

?"ZADE=ZBED=60o,

/.ZBDE=60o,

.??△OBE是等邊三角形;

(3)

圖3

U

如圖3,?CA=CE=CB=CF=39

???4、E、B、尸共圓C

ZPAB=NCBF=ZCFB9ZABF=NABC+NCBF=ZPAB+ZAPBf

O

ZAPF=ZABC=609

YNEPF=60。，EF=6,

作AEPF的外接圓。，則NEQF=I20。，QC-LEF9

：.NEQC=60。,

EC3L

PQ=FQ=EQ==與=26

sin60o√3,

T

連接QG取中點N,則MN〃PQ且MN=gpQ=百,

以點N為圓心MN為半徑作N,連接CN,與N交于點AT,

即CM最小為CM'=CN-MN=CN-MN,

以點尸為原點建立平面直角坐標(biāo)系，

β(-3,-√3),C(TO),G(0,-6√3),

CN=?fj)?m

：.CM最小為CN-MN=際-B

【點睛】本題考查等邊三角形的判定與性質(zhì)，解三角函數(shù)以及圓的性質(zhì)，根據(jù)題意作出圓是解題的關(guān)鍵.

19.(1)見解析；(2)y

【分析】(1)根據(jù)題意可得NB=NC=90。，NAFB=NFEC,即可得出結(jié)論：

(2)取AE的中點O,連接0。、OF,根據(jù)/AFE=NAOE=90。，得出A、D、E、f四點共圓，當(dāng)?O與BC相切

時，/AF力的值最大，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可.

【詳解】解：(1)證明：；四邊形4BC。是矩形，

ΛZB=ZC=90o,

VZAFE=90°,

：.ZAFB+ZEFC=90°,"：NEFC+NFEC=哪,

...NAFB=NFEC,

：.XABFSXFCE.

(2)取AE的中點0,連接O。、OF.

：.OA=OD=OE=OF,

...A、D、E、尸四點共圓,

NAED=ZAFD,

,當(dāng)。。與BC相切時，/AED的值最大,

.".BF=CF=4,

,：XABFsXFCE,

.ABBF

,,FC-EC'

?..6_-4,

4EC

?.?E”C=—8,

3

Q1∩

???DE=DC-CE=6--=-

33f

.?.當(dāng)。6=/時，∕AEE>的值最大.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，四點共圓，根據(jù)題意得出。。與BC相切時，NA">的值最大是解

題的關(guān)鍵.

20.(1)點P在。。上，點Q在。。外；(2)PB=2+g或2-也;(3)存在，√6-∣

【分析】(1)如圖①中，根據(jù)圓周角與圓心角的關(guān)系即可判斷；

(2)如圖2中，造等腰直角三角形AAOQ,與。為圓心作。。交BC于尸、P',易知NAPO=NAPZ>=45。.求出

BP和BP的長即可解決問題；

(3)作線段AD的垂直平分線，交AO于E,交8C于F,點。在E尸上，以04為半徑作。0,當(dāng)。。與BC相切

于點P時，N4PD最大，求出此時8P的值即可；

【詳解】解：(1)如圖①中，

圖①

,/NAPB=?NAoB=45。,

點P在G)O上，

??ZAQB<45°,

.?.點。在。。外.

故答案為點P在Θ0上，點Q在。。外.

(2)如圖2中，如圖構(gòu)造等腰直角三角形AAOQ,與。為圓心，OA為半徑作。。交BC于P、P',易知NAPD=

/4PT)=45°.

圖②

延長。。交BC于H,

VZDΛB=135o,NoAO=45。，

???NOAB=/8=90。，

.?OA∕∕BC9

：./DOA=/OHB=9。。,

??.四邊形A8"0是矩形，

：.AB=OH=]fOA=BH,

VAD=2√2,

JOA=OD=OP=OP'=?,

在RmOP"和RtXOP1H中，

易知HP=Hp=√22-I2=√3，

IBH=OA=Z,

f

：.BP=2-y∕3,PB=2+√3.

(3)如圖③中，存在.

ftl(3)

作線段4。的垂直平分線，交AO于E,交3C于凡點O在EF上，以O(shè)A為半徑作。0,當(dāng)。。與3C相切于點尸

時，NAPO最大，理由：在BC上任意取一點"，連接MA、MD,MD交G)O于N,連接AM

VZAND>ZAMD9ZAPD=ZAND,

：.ZAPD>ZAND9

連接。P,延長DA交CB的延長線于點G.

9：ABLBC,ZOAB=135°,

.?.∕G=/EFG=45。，

Λ?ABG,△EFG都是等腰直角三角形，

,."AB=BG=?,

.'.AG—y]2,

VAD=2√2,OEVAD,

：.AE=ED=6,

：.EG=EF=2y[i,GF=gEG=4,

設(shè)OP=PF=r,則OF=√2r,OE=EF-OF=2近-應(yīng)r,

在MΔ1AOE中，AE2+OE2^OA2,

.?.(√2)2+(2√2-√2rj2=r2,

解得r=4-n或4+卡(舍棄)，

：.BP=GF-GB-PF=4-l-r=√6-1.

【點睛】本題考查圓綜合題、圓周角與圓心角的關(guān)系、點與圓的位置關(guān)系、矩形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，

解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會添加常用輔助線，利用輔助圓解決問題.

21.(1)4>∕3-3;(2)見解析；(3)—

AR4

【分析】(1)過點。作OGLAB于G,則AF〃OG,得到NGO8=NAE3,由tan∕AE8=—=-,ΛB=8,得到

AE3

tanNGOB=瞿==，AE=6,則BG=^DG,再由含30度角的直角三角形的性質(zhì)得到BG=如^AG,由

DG333

AG+BG=AB=8,可得AG=仝叵二二，A0=2AG=生3≡竺，再證明△AOEsaAC凡得到任=處，則

1313AFAC

64√3-48

6=13，由此求解即可；

^AF~8-

(2)過點C作CMJ_AF于M,CNLBE于N,過點B作8K_LAB交AG延長線于K,在Er上取點P使得EP=EZZ

連接CP,先證明△CMEgACNE得至1]CM=CN,從而可證RtACAM絲川△CNB得到NC4M=NCBE=45。，從而推出

NCEB=NFEC=60°,由NABK=90°,NBAK=45°,得至IJAB=BK=AC,NK=NBAK=45°,NKBG=30°,貝IJ

AK=√AB2+BK2=√2AB.證明△CPE絲ZkCQE得到/CPE=NCOE,再證明△CRl0ABGK得到AP=GK,則

AG+AE+ED=AG+AE+PE=AG+AP=AG+GK^AK=>j2AB;

(3)先證明當(dāng)△KMN周長最短時，BKLCE,即∕8KC=∕8KE=9(Γ,由/E77=45。，可知T點在以E/為弦，圓周

角∕E77=45。的圓上運動，又∕BK∕=90°,則T在以K為圓心，以K/的長為半徑的圓上運動，，在BK上取一點。使

得景=鏢=L可證ATKQsaBKT,得到蓋=鏢=圣=；,則=故要想"2匕M

DΛALZDKKlDiZZEK-EK

最大，則;BT-Cr的值要最大，即7Q-CT的值要最大，則當(dāng)八C、。三點共線時，7Q-CT有最大值，最大值

為C。，由此求解即可.

【詳解】解：⑴如圖所示，過點。作。GLAB于G,

.ZDGB=ZBAF=ZDGA=90o,

.AF∕∕DG,

.ZGDB=ZAEBf

AB4

*IanZAEB=——=-,AB=S

AE3f

?tanZ.GDB==—,AE=6,

DG3

4

.BG=-DG,

3

?AABC是等邊三角形，

o

.ZDAG=60,AC=AB=S9

.ZADG=3O°f

.AD=I