2022-2023學(xué)年山東省聊城市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷含答案

2022-2023學(xué)年山東省聊城市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項符合題目要求.

1.（5分）直線％=-號的傾斜角為（）

TCTC57r

A.0B.-C.-D.—

626

2.（5分）已知出=（V5,x,2）,n2=（-3.W,-2遮）分別是平面a,0的法向量，若

a〃0,則x=（）

A.-7B.-1C.1D.7

3.（5分）拋物線y=2f的準(zhǔn)線方程為（）

1111

A.y=—oB.y=一3C.x=-kD.x——不

1

4.（5分）數(shù)列｛詼｝滿足a九_iH——=l（n>2）,若〃20=-l,則〃1=（）

an

1

A.-1B.-C.1D.2

2

5.（5分）拋物線有一條重要性質(zhì)：從焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過拋物線上的一點(diǎn)反射后，反射光

線平行于拋物線的軸.已知拋物線C：/=2為從點(diǎn)尸（m,2）（m>2）發(fā)出的一條平行

于無軸的光線，經(jīng)過C上的點(diǎn)A反射后，與C交于另一點(diǎn)3,則點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為（）

A.B.-1C.-2D.-4

6.（5分）已知圓Ci：/+/=1與圓C2：/+/-8x+6y+m=0相內(nèi)切，則C1與C2的公切線

方程為（）

A.3x-4y-5=0B.3%-4y+5=0C.4x-3y-5=0D.4x-3y+5=0

7.（5分）如圖，在四面體ABC。中，AB±BD,CDLBD,若A8=3,BD=2>/3,CD=2,

4c=g,則平面ABO與平面CBO的夾角為（）

A

BI)

xv

8.（5分）己知尸為橢圓C：=+77=l（a>b>0）的右焦點(diǎn)，尸為C上的動點(diǎn)，過尸且垂

a"b"

直于無軸的直線與C交于M,N兩點(diǎn)，若|MN|等于|尸尸|的最小值的3倍，則C的離心率

為（）

11V3V3

A.-B.—C.—D.—

3232

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項

符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分.

（多選）9.（5分）己知曲線Ci：4X2+3J2=48,C2：/一1=1,貝！1（）

A.。的長軸長為4

B.C2的漸近線方程為y=±百刀

C.Ci與C2的焦點(diǎn)坐標(biāo)相同

D.Ci與C2的離心率互為倒數(shù)

（多選）10.（5分）已知直線/：lcx-y-1=0,貝lj（）

A./不過第二象限

B./在y軸上的截距為1

C.不存在左使/與直線fcv-y-1=0平行

D.存在左使/被圓/+/=4截得的線段長為2

（多選）11.（5分）記數(shù)列｛〃〃｝的前〃項和為品，已知a九=（―1）九（271—11）,貝|（）

A.520=40B.59+511=0

C.即斯+1有最大值1D.匣匕無最小值

an

（多選）12.（5分）在棱長為2魚的正方體ABC。-481clD中，M,N,尸均為側(cè)面BCC1B1

內(nèi)的動點(diǎn)，且滿足AM=3,點(diǎn)N在線段BiC上，點(diǎn)P到點(diǎn)C1的距離與到平面ALBIC。

的距離相等，則（）

A.AN1BD1

B.平面BiDiALL平面Ai。。

C.直線AM與曲G所成的角為定值

D.的最小值為2

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（5分）已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是平行四邊形，若PD=xPA+yPB+zPC,

則xyz—.

14.（5分）記公差不為0的等差數(shù)列｛斯｝的前n項和為Sn,若$9=3（<23+延-2+以+2）,則k

15.（5分）如圖，長方體ABC。-AiQCiDi中，若品1=（2,3,1）,貝！I81至U平面AC￡h

圓心，C的虛半軸長為半徑的圓與C的右支恰有兩個交點(diǎn)，記為M、N,若四邊形F1MF1N

的周長為4,則C的焦距的取值范圍為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）已知aABC的邊AB,AC所在直線的方程分別為y=-1,2x-y+7=0,點(diǎn)P

（1,2）在邊8c上.

（1）若△ABC為直角三角形，求邊8C所在直線的方程；

（2）若P為5c的中點(diǎn)，求邊8C所在直線的方程.

18.（12分）已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛斯｝滿足a2a3=。4,3a3+2的=。5.

（1）求｛斯｝的通項公式;

（2）令垢=log3a3〃，將數(shù)列｛a〃｝與｛6〃｝中的項合并在一起，按從小到大的順序重新排列

構(gòu)成新數(shù)列｛Cn｝,求｛Cn｝的前50項的和.

19.（12分）已知直線x-y-2=0經(jīng)過拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)尸，且與C交于

A,8兩點(diǎn).

（1）求C的方程；

（2）求圓心在x軸上，且過A,8兩點(diǎn)的圓的方程.

20.（12分）如圖，在直三棱柱ABC-A121C1中，NBAC=90°,AB=AC=2,=2V2.M

是AB的中點(diǎn)，N是21cl的中點(diǎn)，尸是8。與B1C的交點(diǎn).

（1）求直線4尸與平面A1CM所成角的正弦值;

（2）線段4N上是否存在點(diǎn)。，使得PQ〃平面4CM?

1

21.（12分）已知數(shù)列｛礪｝的前〃項和為曲，｛加｝是等差數(shù)列，且%+1=）S九+i，bi=ai

=2,加是.3,63的等差中項.

（1）求｛珈｝,｛加｝的通項公式;

（2）記7^=—4———I———F—I--,求證：7?+1=bn-

。九。九一1an-2

久2y2

22.（12分）已知橢圓C：—+77=l（a>b〉O）的左、右焦點(diǎn)分別為人，尸2（國尸2]<10）,

az匕/

4-73

上頂點(diǎn)為A,AFI_LAF2,且尸1到直線/：%—魚丫+5=0的距離為有一.

（1）求C的方程;

（2）與/平行的一組直線與C相交時，證明：這些直線被C截得的線段的中點(diǎn)在同一條

直線上;

（3）P為C上的動點(diǎn)，M,N為/上的動點(diǎn)，且|MN|=2V3,求面積的取值范圍.

2022-2023學(xué)年山東省聊城市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項符合題目要求.

1.（5分）直線x=—字的傾斜角為（

）

7Tn5TT

A.0B.-C.—D.—

626

【解答】解：因?yàn)橹本€X=—字與.

無軸垂直，

故直線久=-苧的傾斜角為泉

故選：C.

2.（5分）已知3=（遮，x,2）,n=2（一3,V3/一2遮）分別是平面a,0的法向量，若

a〃B，貝!jx=（）

A.-7B.-1C.1D.7

【解答】解：因?yàn)橐?（V3,x,2）,

n2=（一3,~2舊）分別是平面a邛的法向量，

且a〃仇

—?—>^3X2

所以町||n2,即三=萬=_?瓦解得％=~1.

故選：B.

3.（5分）拋物線y=2f的準(zhǔn)線方程為（）

1111

A.y=—nB.y=一不C.x——方D.x——3

O/幺OL

【解答】解：???拋物線方程可化為/=：,p=1,

拋物線y=2x2的準(zhǔn)線方程為y=-f=-1.

故選：A.

4.（5分）數(shù)列｛礪｝滿足％f=1（九22）,若〃20=-1,貝！J〃1=（）

1

A.-1B.-C.1D.2

2

i11

【解答】解：令罰=420=-1,則/?2=。19=1—7；—=2,b3=a18=1--—=5，人4=

故數(shù)列｛阮｝是以3為周期的周期數(shù)列，

.,.01=620=63x6+2=62=2,

故選：D.

5.（5分）拋物線有一條重要性質(zhì)：從焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過拋物線上的一點(diǎn)反射后，反射光

線平行于拋物線的軸.已知拋物線C：/=2x,從點(diǎn)P（機(jī)，2）（m>2）發(fā)出的一條平行

于x軸的光線，經(jīng)過C上的點(diǎn)A反射后，與C交于另一點(diǎn)8,則點(diǎn)8的縱坐標(biāo)為（）

A.B.-1C.-2D.-4

【解答】解：拋物線C：?=2x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F6,0）,設(shè)A（XA,2）,B（XB,中），

:點(diǎn)A在拋物線上，

._4_?

??-2-L、

又A,B,尸三點(diǎn)在一條直線上，直線的斜率為％尸=立?=彳即直線的方程為

2-2

41

、=式久-力

，_41

聯(lián)立（久一2）,整理得2y2-3y-2=0,

y2=2x

1

：.2yB=-b解得中=一^,

故選：A.

6.（5分）已知圓Ci：/+『=1與圓Q：x2+^2-8x+6y+m=0相內(nèi)切，則Ci與Ci的公切線

方程為（）

A.3x-4y-5=0B.3x-4y+5=0C.4x--5=0D.4x-3y+5=0

【解答】解：圓Q：/+『=1的圓心。（0,0）,n=l,圓Q：x2+y2-8x+6y+m=0nf

化為（x-4）2+（y+3）2=25-m,（m<25）,則其圓心為Q（4,-3）,半徑為廠2=V25-m,

因?yàn)閳ACl與圓Q相內(nèi)切，所以仁-1=|CC2|,即廠2=，42+32+1=6,故機(jī)=-11.

由仔:+,：=；j11n，可得4x-3y+5=0,

（x2+y2-8x+6y-11=0

即Ci與C2的公切線方程為4元-3y+5=0.

故選：D.

7.（5分）如圖，在四面體ABCQ中，AB1BD,CDLBD,若AB=3,BD=243,CD=2,

AC=/再，則平面A3。與平面的夾角為（）

A

【解答】解：設(shè)平面A3。與平面C8。的夾角為8€[0,J],

—>—?—>—>—>—>—>—>—>一

由題意可得：AB?BD=。，BD?DC=0,AB,DC=\AB\\DC\cos{ABfDC)=3X

2cos(ji-0)=-6cos9,

T-?TT

=48+8。+DC,

—?—?—>—>—?—>—>—>—>—>—>—>—>

則心=(28+BD+DC?=AB2+BD2+DC2+2AB-BD+2AB-DC+2BD-DC,

1

即19=9+12+4-12cos9,解得cos。=當(dāng)

由eG[0/夕，可得e=條

Ti

故平面ABD與平面CBD的夾角為

故選：C.

x2y2

8.(5分)已知尸為橢圓C+三=lQ〉b〉0)的右焦點(diǎn)，尸為。上的動點(diǎn)，過廠且垂

直于無軸的直線與C交于M,N兩點(diǎn)，若阿川等于|尸尸|的最小值的3倍，則C的離心率

為()

11V3V3

A.-B.-C.—D.—

3232

久2v2

【解答】解：尸為橢圓C：丁+匕=l(a>b>0)的右焦點(diǎn)，P為C上的動點(diǎn)，

a，b"

由橢圓的性質(zhì)，可^\PF\min—a-C.

,/過F且垂直于X軸的直線與C交于M,N兩點(diǎn)，

：.\MN\=笠-.：|MV|等于|「引的最小值的3倍，

2b2

t---=3(a—c).

a

:橢圓中/-貶=°2,

.'.2(a2-c2)=3a2-3ac,即2c2-3ac+a2=0,

.,.2e2-3e+l=0,解得e=,或e=l（舍）.

故選：B.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項

符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分.

（多選）9.（5分）己知曲線Ci：4X2+3J2=48,CI：/一1=1,貝！]（）

A.。的長軸長為4

B.C2的漸近線方程為y=±百刀

C.Ci與C2的焦點(diǎn)坐標(biāo)相同

D.Ci與C2的離心率互為倒數(shù)

工2y2

【解答】解：曲線Cl：4/+3y2=48整理得一+—=1,

1216

則曲線。是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，其中憂=16,b[=12,

所以我=居一必=4,離心率為e1=?=巳=

U--1T1L

故曲線Ci的長軸長2al=8,故A錯誤；

曲線C2：/-1=1是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，其中諼=1,尻=3,

所以詔=諼+用=4,離心率為e2=%=京=2,故與曲線Ci的焦點(diǎn)位置不同，故C

錯誤；

C2：比2—1=1的漸近線方程為y=±Wx,故B正確；

]

又e1?02=2X2=1,

所以C1與C2的離心率互為倒數(shù)，故。正確.

故選：BD.

（多選）10.（5分）已知直線/：l^x-y-1=0,貝ij（）

A./不過第二象限

B./在y軸上的截距為1

C.不存在上使/與直線fcc-廠1=0平行

D.存在左使/被圓/+廿=4截得的線段長為2

【解答】解：對于A：當(dāng)x<0時，y=Mx-l<0恒成立，即/不過第二象限，故A正確；

對于3：令x=0,y=-1,即/在y軸上的截距為-1,故8錯誤；

對于C：若直線y=&-1和y=fcr-1平行，則合=左，且-1W-1,與-1=7矛盾,

即不存在上使/與直線fcc-y-1=0平行，故C正確；

對于。：若/被圓/+『=4截得的線段長為2,則直線/到圓心的距離為百，

但是圓心到直線I的距離下鼻<V3,

Vl+/c4

即不存在上使/被圓/+y=4截得的線段長為2,故。錯誤；

故選：AC.

（多選）11.（5分）記數(shù)列｛斯｝的前"項和為S,已知廝=（一1尸（2九一11）,貝U（）

A.520=40B.S9+Su=0

C.斯加+1有最大值1D.久出無最小值

【解答】解：對于A,因?yàn)閍n=(—1尸(2九一11),

當(dāng)〃€N*且為奇數(shù)時，板+而+1=-C2n-11)+[2(n+1)-11]=2,

所以S20=(〃1+〃2)+(〃3+〃4)+…+(。19+。20)=2X10=20,故A錯誤；

對于3,59=(。1+〃2)+-+(〃7+〃8)+49=2X4-(2X9-11)=1,511=(。1+。2)+-+

(49+Q10)+411=2X5-(2X11-11)=-1,

所以39+511=0,故5正確；

對于C,因?yàn)閚與〃+1必然一奇一偶，

所以%1&1+1=-(2n-11)[2(n+1)-11]=-4n2+40n-99=-4(n-5)2+1,

當(dāng)〃=5時，礪劭+1取得最大值1,故C正確；

對于。，因?yàn)椤ㄅc〃+2必然同為奇數(shù)或同為偶數(shù)，

。九+22(11+2)—11211—11+4

2n-ll2n-ll

44

令%=1+方中，則b+1=1+萬口，

所以匕+1-4

2n^―2n-ll_-(2n―9)(271_11)，

911

令(2〃-9)(2n-11)＜0,得一＜nV—,又讓N*,即〃=5,

22

此時bn+\-加＞0,即be~加＞0,即46＞加,

Q11求

令（2M-9）⑵-11）>0,得或蕓，又“6N、，即后4或”26,

當(dāng)“W4時，此時b\-b<0,即b5<b4<-<bi,同時生=1+-=-3,

n+nZXj—.LJ.

當(dāng)時，b=1+->0,即bn>b5,

nrLZn-il

綜上：尻有最小值加=-3,即也心有最小值-3,故。錯誤.

an

故選：BC.

（多選）12.（5分）在棱長為2位的正方體ABCD-AiBiCiDi中，M,N,尸均為側(cè)面BCCiBi

內(nèi)的動點(diǎn)，且滿足AM=3,點(diǎn)N在線段B1C上，點(diǎn)P到點(diǎn)Ci的距離與到平面AiBxCD

的距離相等，則（）

A.AN1BD1

B.平面Bi￡）iN_L平面4C1。

C.直線AM與。Ci所成的角為定值

D.的最小值為2

【解答】解：以A為原點(diǎn)，分別以A。，AB,441所在直線為x,y,z軸，建立空間直角

則A(0,0,0),B(0,2V2,0),D(2V2,0,0),當(dāng)(0,2VL2夜)，心(2/，0,2V2),

C(2V2,2/，0),4(0,0,2V2),。式2伉2日2夜)，

—>—>—?

所以B￡?i=(2也-2V2,2物，BiDi=(2&,-2y[2,0),BrC=(2V2,0,—2場,

—>—?—?

&Q=(2V2,2a0),DA1=(-2V2,0,2&),D?=(0,2正,0),

—>—>

對于A,因?yàn)辄c(diǎn)N在線段B1C上，所以BiN=/IBIC=(2&/L0,-2V2A)(0<A<1),

所以N(2&4,2V2,2V2-2V2A),所以眾=(2或4,2V2,2五一2五心,

->—>—>—>

所以4N-B￡?i=0,故力NIB%,所以AALLBD1,故A正確;

對于8,因?yàn)辄c(diǎn)N在線段81C上，所以平面B1O1N為平面B1O1C,

<T7

設(shè)面B1D1C的一個法向量為扇=(久，y,z),則,坐=之岳-2V2y=0,

、B]C?%=2A/2X—2A/2Z=0

令％=1,則y=l,z=l,故江=(1,1/1),

，T—>

設(shè)面4C1。的一個法向量為扇=(a,b,c),則"F二2=2&a+2ab=0,

、￡Mi?n2=-2V2a+2y[2c=0

令a=l,則人=-l,c=l,故A=(L-L1),

因?yàn)??A=1WO,所以平面BLDIN與平面4G。不垂直，故5錯誤；

對于C,因?yàn)镸為側(cè)面5CC151內(nèi)的動點(diǎn)，AM=3,

―?

所以設(shè)M(d,2V2,/),貝MM=(d,2V2,f),

所以cos〈/"M,。工■】〉=學(xué)竺L=丁3=緣，所以直線AM與D1G所成的角為定

|4M||DiCi|3X2423

值，故C正確；

對于。，由寸選項可得14Ml=Jd2+8+尸=3即/+f=1,所以M的軌跡是以2為圓

心，半徑為3的圓上(且在側(cè)面BCC181內(nèi))，

在平面BCCLBI內(nèi)過P點(diǎn)作PQL81C,垂足為。，

易得431_L平面BCC1B1,PQu平面BCCiBi,所以AiBi_LPQ,

因?yàn)锳iBiC8iC=8i,A1B1,BiCu平面481cZ),所以PQ_L平面4BCZ),

所以點(diǎn)P到平面AxB\CD的距離為PQ的長度，即P到B1C的距離，

所以點(diǎn)P到點(diǎn)Ci的距離與到平面AxBiCD的距離相等，等價于點(diǎn)P到點(diǎn)Ci的距離與到

B1C的距離相等，滿足拋物線的定義，

所以點(diǎn)P的軌跡為以Q為焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為直線B1C的拋物線，

以線段BC1的四等分點(diǎn)。(靠近C1)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以2C1為初軸的正方向進(jìn)行平面直角

坐標(biāo)系，

由12cli=4可得Ci（1,0）,直線81c為m=7,

則點(diǎn)P的軌跡為〃2=4加，

所以1Mplm=加-1,由圖可得當(dāng)尸與。點(diǎn)重合時，|BP|m加=3,故巡尸|加”=2,故。

正確，

故選：ACD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

——>—>—>

13.（5分）已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是平行四邊形，若PD=xPA+yPB+zPC,

則xyz=-1.

->—>—>

【解答】解：因?yàn)樗睦忮F尸-48CD的底面ABCD是平行四邊形，所以PD=P4+aD=

—>—>—>—>一

PA+BC=PA-^-PC-PB,

T—>T—>

又因?yàn)槭?xPA+yPB+zPC,

所以x=l,y=-\,z=l,

故％yz=-1.

故答案為：-1.

14.（5分）記公差不為0的等差數(shù)列｛斯｝的前〃項和為品，若59=3（〃3+以一2+或+2）,則%

=6.

【解答】解：因?yàn)椋浚枪畈粸?的等差數(shù)列，設(shè)公差為%

9（a+a）9x2甌___

以Sg—12g=2=9。5，-2+〃左+22ak,

X59=3（。3+以-2+。%+2）,

所以9〃5=3（。3+2或），即3。5=〃3+2以，

則3（〃i+4d）=〃i+2d+2[m+（左-1）磯,

所以2（k-1）d=10df

又dWO,

所以k-1=5,貝I]k=6.

故答案為：6.

15.(5分)如圖，長方體ABCD-AiBiCiDi中，若43=(2,3,1),則B\到平面ACD1

【解答】解：因?yàn)?(2,3,1),

—T-

所以AB=2,AD=3,AAi=l,AC=(2,3,0),ADX=(0,3,1),AB1=(2,0,1),

設(shè)平面ACDi的法向量為蔡=(x,y,z),

'T->

由年2=°,可得取y=2,則盛=(-3,2,-6),

UOi-n=0+z-u

即Bi到平面ACDi的距離為其四=1-6-61=—.

\n\77

故答案為：苫.

16.(5分)已知雙曲線C：b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為為、尸2,以尸2為

圓心，C的虛半軸長為半徑的圓與C的右支恰有兩個交點(diǎn)，記為M、N,若四邊形F1MF2N

的周長為4,則C的焦距的取值范圍為[&,2).

【解答】解：由題意得點(diǎn)M、N關(guān)于x軸對稱，且陷歹2|=從

由雙曲線的定義得|MB|=b+2a,

由題意可|M"+|ME2|=2a+2b=2,即“+6=1,則旄(0,1),

2222111

Ac=a+b=(1一以+匕2=2b-2b+l=2(6—矛+加[1,1),

V2「

：.—<cVI,BPV2<2c<2.

2

當(dāng)時，a=2，c=*,此時6>c-a,

即此時以改為圓心，C的虛半軸長為半徑的圓與C的右支恰有兩個交點(diǎn)，符合題意,

故C的焦距的取值范圍為［a,2).

故答案為：［a,2).

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)已知△ABC的邊AB,AC所在直線的方程分別為y=-1,2x-y+7=0,點(diǎn)、P

(1,2)在邊BC上.

(1)若△ABC為直角三角形，求邊2C所在直線的方程；

(2)若P為8C的中點(diǎn)，求邊8c所在直線的方程.

【解答】解：(1)由△ABC的邊48,AC所在直線的方程分別為y=-1,2x-y+7=0,

可知角A不是直角，

若角3是直角，由點(diǎn)尸在邊3c上，

得邊BC所在直線的方程為x=1；

若角C是直角，由邊AC所在直線的方程為2x-y+7=0,

得邊BC所在直線的斜率為-全又點(diǎn)尸在邊BC上，

1

所以邊BC所在直線的方程為y—2=—2(x—1),即x+2y-5=0,

綜上所述，邊BC所在直線的方程為x+2y-5=0或尤=1；

(2)由題意可設(shè)2(相，-1),由尸為BC的中點(diǎn)，得C(2-w,5),

將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入邊AC所在直線的方程2x-y+7=0,

得2(2-m)-5+7=0,

所以6-2加=0,解得根=3,所以C(-l,5),

5-23

得邊所在直線的斜率為一1=---

-1-12

所以邊8C所在直線的方程為y-2=

即3x+2y-7=0.

18.(12分)已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛?！ǎ凉M足〃243=44,3〃3+244=〃5.

(1)求｛珈｝的通項公式；

(2)令加=log3〃3〃，將數(shù)列｛劭｝與｛加｝中的項合并在一起，按從小到大的順序重新排列

構(gòu)成新數(shù)列｛Cn｝,求｛Cn｝的前50項的和.

【解答】解：⑴設(shè)等比數(shù)列｛金｝的公比為q,由題意得吃的二二差，

因?yàn)榈缺葦?shù)列｛斯｝中。3#0,44/0,所以｛：i+2；_q2，又q>。，解得4=3,

71n-1n-1

所以an=1x3T=3,即｛an｝的通項公式為即=3.

(2)由(1)知％=log333rlT=3?1—1,

5-16-1

因?yàn)?45=134,a5=3=81<134,a6=3=243>134,

所以｛Cn｝的前50項是由｛麗｝的前5項與｛加｝的前45項組成，

記｛Cn｝的前50項的和為S50,

貝US50=("1+42+43+…+。5)+(加+/?2+加+…+Z?45)

=(1+3+32+33+34)+[2+5+8+-+(3X45-1)]

=+2+(3：45-1)*45=121+3060=3181.

所以｛cn｝的前50項的和為3181.

19.(12分)已知直線x-y-2=0經(jīng)過拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F，且與C交于

A,8兩點(diǎn).

(1)求C的方程；

(2)求圓心在x軸上，且過A,B兩點(diǎn)的圓的方程.

【解答】解：⑴依題意，拋物線C的焦點(diǎn)F(S0)在直線尤-y-2=0上，

n

則鼻―2=0,解得p=4,

所以C的方程為/=8x.

(2)由(1)知，拋物線C的準(zhǔn)線方程為x=-2,

設(shè)A(xi,yi),BCx2,y2),AB的中點(diǎn)為M(xo,yo),

由｛；2一｝.2一°-消去y得/-12x+4=0,

則XI+X2=12,有X。=巧,-2=6,yo=xo-2=4,即M(6,4),

因此線段AB的中垂線方程為y-4=-(x-6),即y=-x+10,

令y=0,得x=10,設(shè)所求圓的圓心為E,則￡(10,0),

又AB過C的焦點(diǎn)凡

則有以劇=|4/|+|8/|=尤1+2+尤2+2=16,

設(shè)所求圓的半徑為r,貝1]產(chǎn)=(苧A+\ME\2=82+42+42=96,

故所求圓的方程為(x-10)2+y2=96.

20.(12分)如圖，在直三棱柱ABC-AiBiCi中，/A4c=90°,AB=AC=2,=2A/2.M

是AB的中點(diǎn)，N是81cl的中點(diǎn)，尸是2。與BiC的交點(diǎn).

（1）求直線4P與平面ACM所成角的正弦值；

（2）線段4N上是否存在點(diǎn)。,使得產(chǎn)?！ㄆ矫鍭1CM?

--w

【解答】解：（1）以A為原點(diǎn)，AC,AB,A41所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如

圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

因?yàn)锳i,C,M的坐標(biāo)分別為(0,0,2V2),(2,0,0),(0,1,0),

所以a：c=(2,o,-2V2),a評=(0,1,-2V2).

設(shè)藍(lán)=(%,y,z)是平面A1CM的法向量，則”=2x-2az=0,=&，貝?%

.n-ArM=y—2V2.Z=0

=2,y=4,則7=(2,4,夜)是平面4CM的一個法向量.

—?

尸點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1,V2),所以41P=(1,1,-V2).

設(shè)A1P與平面AiCM所成的角為0,

|7z：P|_|2+4—2|_夜

則sin。=

\n\-\/^P\廖11

(2)由4,N的坐標(biāo)分別為(0,0,2V2),(1,1,2V2),故力加=(1,1,0),

—>T—>

設(shè)&Q=；L4iN(0W；lWl),則4iQ=(；l,4,0),得Q(；l,X,2或)，

―>

又尸點(diǎn)坐標(biāo)為(L1,V2),所以直線尸。的一個方向向量PQ=(4-1,A-l,V2),

TTTT

若P?！ㄆ矫鍭1CM,需九1PQ,從而展PQ=0,

即2(入-1)+4(A-1)+2=0,解得;1=1這樣的點(diǎn)尸存在.

所以線段A1N上存在點(diǎn)。使得P。〃平面4CM,此時，。為線段4N上靠近點(diǎn)N的

三等分點(diǎn).

1

21.(12分)已知數(shù)列｛珈｝的前〃項和為品，｛加｝是等差數(shù)列，且%+1=]S九+i，b\=ax

=2,加是。3,加的等差中項.

(1)求｛斯｝，｛5?｝的通項公式；

(2)記+F—F1■殳，求證：Tn+l=bn-

Qn-1an-2

【解答】解：(1)因?yàn)?+1=gSn+i，所以當(dāng)時，得+1=^Sn，

1

a

兩式作差得，當(dāng)〃22時，an=2n+i