高中數(shù)學(xué)必修2課時素養(yǎng)評價13-2-3-2直線與平面垂直

課時素養(yǎng)評價二十九直線與平面垂直(20分鐘40分)1.已知直線l⊥α,α∥β,則 ()A.l∥β B.l?βC.l⊥β D.以上均有可能【解析】選C.由于α∥β,則平面β內(nèi)存在兩條相交直線m,n分別平行于平面α內(nèi)兩條相交直線a,b,又l⊥α,則l⊥a,l⊥b,所以l⊥m,l⊥n,所以l⊥β.2.已知直線a,b和平面α,下列推理中錯誤的是 ()A.QUOTE?a⊥b B.QUOTE?b⊥αC.QUOTE?a∥α或a?α D.QUOTE?a∥b【解析】選D.當(dāng)a∥α,b∥α?xí)r,a與b可能平行,也可能相交或異面,即D推理錯誤.3.直線a⊥平面α,b∥α,則a與b的關(guān)系為 ()A.a⊥b且a與b相交B.a⊥b且a與b不相交C.a⊥bD.a與b不一定垂直【解析】選C.因為b∥α,所以b平行于α內(nèi)的某一條直線,設(shè)為b′,因為a⊥α,且b′?α,所以a⊥b′,所以a⊥b,但a與b可能相交,也可能異面.4.有下列四種說法,正確的序號是________.

①過空間一點有且只有一條直線與已知平面垂直;②已知兩條不重合的直線m,n和平面α,若m⊥n,m⊥α,則n∥α;③a,b,l表示三條不同的直線,α表示平面,若a?α,b?α,l⊥a,l⊥b,則l⊥α;④若直線a不平行于平面α,則直線a垂直于平面α.【解析】①正確;對于②,若直線n?α,也可滿足m⊥n,m⊥α,此時n∥α不正確;對于③,只有a,b相交時,才成立,否則不成立;④顯然錯誤,因為不平行時可以相交,而垂直只是相交的一種特殊情況.故只有①正確.答案:①5.如圖,在四棱錐SABCD中,AB∥CD,BC⊥CD,側(cè)面SAB為等邊三角形,AB=BC=2,CD=SD=1.求證:SD⊥平面SAB.【證明】因為AB∥CD,BC⊥CD,AB=BC=2,CD=1,所以底面ABCD為直角梯形,AD=QUOTE=QUOTE.因為側(cè)面SAB為等邊三角形,所以SA=SB=AB=2.又SD=1,所以AD2=SA2+SD2,所以SD⊥SA.連接BD,則BD=QUOTE=QUOTE,所以BD2=SD2+SB2,所以SD⊥SB.又SA∩SB=S,所以SD⊥平面SAB.6.如圖,在四棱錐PABCD中,PD⊥平面ABCD,AD⊥CD,DB平分∠ADC,E為PC的中點,AD=CD.(1)證明:PA∥平面BDE;(2)證明:AC⊥平面PBD.【證明】(1)設(shè)AC∩BD=H,連接EH.在△ADC中因為AD=CD,且DB平分∠ADC,所以H為AC的中點.又由題設(shè),E為PC的中點,故EH∥PA,又EH?平面BDE,且PA?平面BDE,所以PA∥平面BDE.(2)因為PD⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,所以PD⊥AC.由題意可得,DB⊥AC,又PD∩DB=D,故AC⊥平面PBD.(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分,共20分)1.已知m和n是兩條不同的直線,α和β是兩個不重合的平面,那么下面給出的條件中一定能推出m⊥β的是 ()A.α⊥β,且m?α B.m∥n,且n⊥βC.α⊥β,且m∥α D.m⊥n,且n∥β【解析】選B.QUOTE?m⊥β.2.如圖,P為△ABC所在平面α外一點,PB⊥α,PC⊥AC,則△ABC的形狀為 ()A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.不確定【解析】選B.由PB⊥α,AC?α得PB⊥AC,又AC⊥PC,PC∩PB=P,所以AC⊥平面PBC,AC⊥BC.3.如圖所示,PA⊥平面ABC,在△ABC中,BC⊥AC,∠PBA=θ1,∠PBC=θ2,∠ABC=θ3.則下列關(guān)系一定成立的是 ()A.cosθ1cosθ2=cosθ3B.cosθ1cosθ3=cosθ2C.sinθ1sinθ2=sinθ3D.sinθ1sinθ3=sinθ2【解析】選B.QUOTE?QUOTE?BC⊥平面PAC?BC⊥PC,所以cosθ1=QUOTE,cosθ2=QUOTE,cosθ3=QUOTE.則有cosθ1cosθ3=cosθ2.4.已知PA垂直平行四邊形ABCD所在的平面,若PC⊥BD,則平行四邊形ABCD一定是 ()A.平行四邊形 B.矩形C.正方形 D.菱形【解析】選D.因為PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BD.因為PC⊥BD,且PA∩PC=P,所以BD⊥平面PAC,所以AC⊥BD.二、多選題(每小題5分,共10分,全部選對得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)5.ABCDA1B1C1D1A.BD∥平面CB1D1 B.AC1⊥BDC.AC1⊥平面CB1D1 D.AC1⊥BD1【解析】選ABC.在正方體中BD∥B1D1,可知選項A正確;由BD⊥AC,BD⊥CC1可得BD⊥平面ACC1;從而BD⊥AC1,即選項B正確;由以上可得AC1⊥B1D1,同理AC1⊥D1C因此AC1⊥平面CB1D1,即選項C正確;由于四邊形ABC1D1不是菱形,所以AC1⊥BD1不正確.6.如圖,在以下四個正方體中,直線AB與平面CDE垂直的有 ()A.① B.② C.③ D.④【解析】選BD.對于①由AB與CE所成角為45°,可得直線AB與平面CDE不垂直;對于②由AB⊥CE,AB⊥ED且CE∩ED=E,可得AB⊥平面CDE;對于③由AB與CE所成角為60°,可得直線AB與平面CDE不垂直;對于④由ED⊥平面ABC,可得ED⊥AB.又可得CE⊥AB,ED∩CE=E,所以AB⊥平面CDE.三、填空題(每小題5分,共10分)7.如圖所示,PA⊥平面ABC,M,N分別為PC,AB的中點,使得MN⊥AC的一個條件為________.

【解析】取AC中點Q,連接MQ,NQ,則MQ∥AP,NQ∥BC,由已知條件易得MQ⊥AC,若AC⊥BC,則NQ⊥AC,所以AC⊥平面MNQ,所以AC⊥MN.答案:AC⊥BC8.下列說法中正確的是________.

①如果直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直,則l⊥α②如果直線l與平面α內(nèi)的一條直線垂直,則l⊥α③如果直線l不垂直于平面α,則α內(nèi)沒有與l垂直的直線④如果直線l不垂直于平面α,則α內(nèi)也可以有無數(shù)條直線與l垂直【解析】如圖所示,直線l與α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直.但l與α斜交,故①不正確;同理②也不正確;同樣由圖可知,l不垂直于α,但α內(nèi)有與l垂直的直線,且這樣的直線有無數(shù)條,故③不正確,④正確.答案:④四、解答題(每小題10分,共20分)9.如圖,在四棱錐PABCD中,O是底面正方形ABCD的中心,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中點.(1)證明:EO∥平面PAD;(2)證明:DE⊥平面PBC.【證明】(1)連接AC,因為點O是底面正方形ABCD的中心,所以點O是AC的中點,又因為E是PC的中點,所以在△PAC中EO是中位線,所以PA∥EO.因為EO?平面PAD,PA?平面PAD,所以EO∥平面PAD.(2)因為PD⊥平面ABCD,BC?平面ABCD,所以PD⊥BC,因為底面ABCD是正方形,有BC⊥DC,PD∩DC=D,所以BC⊥平面PDC.而DE?平面PDC,所以BC⊥DE.因為PD=DC,可知△PDC是等腰直角三角形,而DE是斜邊PC的中線,所以DE⊥PC.又BC,PC?平面PBC,且BC∩PC=C,所以DE⊥平面PBC.10.如圖,在四棱錐PABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中點.證明:(1)CD⊥AE;(2)PD⊥平面ABE.【證明】(1)在四棱錐PABCD中,因為PA⊥底面ABCD,CD?平面ABCD,所以PA⊥CD.又因為AC⊥CD,且PA∩AC=A,所以CD⊥平面PAC.而AE?平面PAC,所以CD⊥AE.(2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA.因為E是PC的中點,所以AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD,且PC∩CD=C,所以AE⊥平面PCD.而PD?平面PCD,所以AE⊥PD.因為PA⊥底面ABCD,AB?平面ABCD,所以PA⊥AB.又因為AB⊥AD,且PA∩AD=A,所以AB⊥平面PAD,而PD?平面PAD,所以AB⊥PD.又因為AB∩AE=A,所以PD⊥平面ABE.如圖,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AC=BC=1,∠ACB=90°,AA1=QUOTE,D是A1B1的中點.(1)求證:C1D⊥平面AA1B1B;(2)當(dāng)點F在BB1上的什么位置時,會使得AB1⊥平面C1DF?并證明你的結(jié)論.【解析】(1)因為ABCA1B1C1是直三棱柱,所以A1C1=B1C1=1,且∠A1C1B1=90°,又D是A1B1的中點,所以