《解一元二次方程-一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系》教學(xué)設(shè)計【初中數(shù)學(xué)人教版九年級上冊】

第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系教學(xué)設(shè)計一、教學(xué)目標(biāo)1．理解并掌握根與系數(shù)的關(guān)系：．2．會用根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式解決問題．二、教學(xué)重點及難點重點：一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的推導(dǎo)過程．難點：利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系解題．三、教學(xué)用具多媒體課件。四、相關(guān)資源《小明與小青悄悄話》動畫，。五、教學(xué)過程【創(chuàng)設(shè)情景，提出問題】前兩天悄悄地聽到咱班的小明和小青的一段對話，內(nèi)容如下：小明：小青，我有一個秘密，你想聽嗎？小青：什么秘密？小明：你知道咱們可愛的張老師年齡到底有多大嗎？小青：哦？小明：呵呵，這絕對是個秘密，我不能直接告訴你，我這么說吧：她的年齡啊是方程的兩根的積，回去你把兩根求出來就知道了．小青：咳，你難不住我，我不用求根就已經(jīng)知道答案了，而且我還告訴你，張老師的年齡還是方程的兩根的和呢．小明：哈哈，你太有才了．對了，咱們應(yīng)該也讓同學(xué)們猜一猜，不解方程，能不能求出張老師的年齡．設(shè)計意圖：創(chuàng)設(shè)一個情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣．【合作探究，形成知識】問題1從因式分解法可知，方程（x－x1）（x－x2）＝0（x1，x2為已知數(shù)）的兩根為x1，x2，將方程化為x2＋px＋q＝0的形式，你能看出x1，x2與p，q之間的關(guān)系嗎？師生活動：讓學(xué)生分組合作、小組討論，經(jīng)過討論后交流小組的結(jié)論，可以發(fā)現(xiàn)：（1）用語言敘述規(guī)律：兩根之和為一次項系數(shù)的相反數(shù)；兩根之積為常數(shù)項．（2）把方程（x－x1）（x－x2）＝0的左邊展開，化成一般形式，得方程x－（x1＋x2）x＋x1x2＝0這個方程的二次項系數(shù)為1，一次項系數(shù)p＝－（x1＋x2），常數(shù)項q＝x1x2.于是，上述方程兩根的和、積與系數(shù)的關(guān)系為：（x1＋x2）＝－p，x1x2＝q．問題2一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，二次項系數(shù)a未必是1，它的兩個根的和、積與系數(shù)又有怎樣的關(guān)系呢？你能利用求根公式推導(dǎo)根與系數(shù)的關(guān)系嗎？師生活動：學(xué)生探討，試寫推導(dǎo)過程，教師巡視后給出規(guī)范推導(dǎo)過程．一元二次方程的兩根是：．由此可得，．（1）用語言敘述規(guī)律：兩根之和為一次項系數(shù)與二次項系數(shù)之比的相反數(shù)；兩根之積為常數(shù)項與二次項系數(shù)之比．（2）的兩根是，用式子表示規(guī)律：．此圖片是動畫縮略圖，此處插入交互動畫《【數(shù)學(xué)探究】根與系數(shù)關(guān)系》，可以通過展現(xiàn)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的推理過程。歸納總結(jié)：兩根之和為一次項系數(shù)與二次項系數(shù)之比的相反數(shù)；兩根之積為常數(shù)項與二次項系數(shù)之比．設(shè)計意圖：二次項系數(shù)為1和二次項系數(shù)不為1的題目,系數(shù)性質(zhì)符號各有不同．讓學(xué)生盡量體會與猜想兩根和、兩根積與系數(shù)之間的關(guān)系．在已有公式法解一元二次方程的知識的基礎(chǔ)上，可以最快速度說出和的值，接下來將用字母系數(shù)表示的x1和x2的值代入相應(yīng)的代數(shù)式和，得出根與系數(shù)關(guān)系的結(jié)論，憑借學(xué)生自己的現(xiàn)有能力可以解決證明過程中遇到的問題．還可以讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)知識的一些結(jié)論是在計算的過程中產(chǎn)生的，數(shù)學(xué)中的一些結(jié)論并不是高不可攀的．3．例題分析：例1根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，求下列方程兩個根的和與積：（1）；（2）；（3）．師生活動：讓學(xué)生根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，獨立解決上述問題．教師巡視學(xué)生的掌握情況，指導(dǎo)困難學(xué)生．解：（1）．（2）．（3）方程化為．．教師引導(dǎo)：只要把一元二次方程化成一般式，找對a，b，c，代入韋達(dá)定理即可求解．設(shè)計意圖：直接應(yīng)用新知是學(xué)生的模仿階段，也是本課教學(xué)最基本的知識目標(biāo)，這時需要強化記憶，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系解決兩根和與兩根積的問題不需求出復(fù)雜的兩根．例2已知方程的一個根是－3，求另一個根及k的值．師生活動：找一名學(xué)生上黑板解答，其他同學(xué)交流做法，老師巡視輔導(dǎo)．針對在黑板上解答的學(xué)生出現(xiàn)的問題，進(jìn)行講解．解：設(shè)已知方程的另一個根是x1，由題意可得．所以．故方程的另一個根為．所以．解得k=3．教師引導(dǎo)：本例對絕大多數(shù)同學(xué)來說是可以掌握的內(nèi)容，也是研究根與系數(shù)的關(guān)系應(yīng)該掌握的內(nèi)容．此外，還可以讓學(xué)生應(yīng)用多種方法解決問題，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維．【練習(xí)鞏固，綜合應(yīng)用】1．已知m，n是關(guān)于x的一元二次方程的兩個解,若(m－1)(n－1)=－6,則a的值為（）．A．－10B．4C．－4D．102．設(shè)是方程的兩個實數(shù)根，則的值為（）．A．2012 B．2013C．2014D．20153．若方程的兩個根為，則的值為（）．A．3B．－3C．D．4．已知x=1是方程的一個根，則方程的另一個根為，．5．求下列方程兩個根x1，x2的和與積：（1）；（2）；（3）；（4）．6．已知關(guān)于x的方程的兩個根是m和n，且3m＋2n=20，求k的值．7．已知是一元二次方程的兩個實數(shù)根,求的值．設(shè)計意圖：加深對一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的理解，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識和能力，滲透整體代入思想．考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及其綜合運用．目標(biāo)檢測答案1．C2．C3．B4．2，-35．解：（1）方程化為．．（2）．（3）方程化為．．（4）方程化為．．6．解：∵m，n是方程的兩個根，∴①×2－③，得－m=－8．∴m=8．將m=8代入①，得n=－2．將m=8，n=－2代入②，得k=8×(－2)=－16．∵當(dāng)k=－16時，=36－4k=100＞0，∴k=－16．7．根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可知．所以．六、課堂小結(jié)1．一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系兩個根的和等于一次項系數(shù)與二次項系數(shù)的比的相反數(shù)，兩個根的積等于常數(shù)項與二次項系數(shù)的比．2