高中數(shù)學(xué)同步講義（人教A版選擇性必修三）第11講 7.3.1 離散型隨機(jī)變量的均值（教師版）

第04講7.3.1離散型隨機(jī)變量的均值課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①通過(guò)具體實(shí)例，理解離散型隨機(jī)變量分布列的均值。②能解決與離散型隨機(jī)變量相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題與實(shí)際問(wèn)題中的均值的求解問(wèn)題。③能解決一些與平均水平有關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題與決策性問(wèn)題。通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí),要求掌握離散型隨機(jī)變量的均值，能解決與之相關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題，有關(guān)決策性問(wèn)題的處理意見(jiàn)與建議.會(huì)判斷平均水平知識(shí)點(diǎn)01：離散型隨機(jī)變量的均值（1）離散型隨機(jī)變量的均值的概念一般地，若離散型隨機(jī)變量的概率分布為：…………則稱為隨機(jī)變量的均值(mean)或數(shù)學(xué)期望(mathematicalexpectation),數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱期望.均值是隨機(jī)變量可能取值關(guān)于取值概率的加權(quán)平均數(shù),它綜合了隨機(jī)變量的取值和取值的概率,反映了隨機(jī)變量取值的平均水平.【即學(xué)即練1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知離散型隨機(jī)變量的分布列如下表：1350.30.4則其數(shù)學(xué)期望（

）A．1 B．0.3 C．2.3 D．3.2【答案】D【詳解】分布列中出現(xiàn)的所有的概率之和等于1．，，隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望．故選：D.（2）離散型隨機(jī)變量的均值的深層理解①離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）是個(gè)數(shù)值，是隨機(jī)變量的一個(gè)重要特征數(shù)，反映的是離散型隨機(jī)變量取值的平均水平.即若隨機(jī)試驗(yàn)進(jìn)行了次，根據(jù)的分布列，在次試驗(yàn)中，有次出現(xiàn)了,有次出現(xiàn)了,…,有次出現(xiàn)了，則次試驗(yàn)中，出現(xiàn)的平均值為，即.②隨機(jī)變量的均值與隨機(jī)變量本身具有相同的單位.③是一個(gè)實(shí)數(shù)，由的分布列唯一確定，即作為隨機(jī)變量，是可變的，可取不同值，而是不變的，它描述取值的平均狀態(tài).（3）兩點(diǎn)分布的均值公式一般地，如果隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，那么:10【即學(xué)即練2】（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）已知離散型隨機(jī)變量X的分布列服從兩點(diǎn)分布，滿足，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：因?yàn)殡S機(jī)變量X的分布列服從兩點(diǎn)分布，所以，則，解得或，又因，所以，則，所以.故選：C.（4）均值的性質(zhì)①若與都是隨機(jī)變量，且，則由與之間分布列的關(guān)系可知.②若與相互獨(dú)立，則.知識(shí)點(diǎn)02：樣本均值與離散型隨機(jī)變量均值的比較（1）樣本均值樣本數(shù)據(jù)；；；；記均值：，其中.（2）離散型隨機(jī)變量均值離散型隨機(jī)變量的分布列…………均值知識(shí)點(diǎn)03：求離散型隨機(jī)變量的均值步驟(1)理解離散型隨機(jī)變量的意義，寫(xiě)出所有可能的取值.(2)判斷離散型隨機(jī)變量是否服從特殊分布（如兩點(diǎn)分布等).若服從特殊分布，則可利用公式直接求解；若不服從特殊分布，則繼續(xù)下面步驟.(3)求出離散型隨機(jī)變量取每個(gè)值的概率.(4)寫(xiě)出離散型隨機(jī)變量的分布列.(5)利用均值的定義求.其中求均值的關(guān)鍵是寫(xiě)出離散型隨機(jī)變量的分布列，前提是準(zhǔn)確列出所有可能的取值，并真正理解取值的意義.題型01兩點(diǎn)分布的均值【典例1】（2023下·山西呂梁·高二山西省交城中學(xué)校統(tǒng)考期中）已知隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，，則其成功概率為（

）A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6【答案】D【詳解】隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，設(shè)成功的概率為，．故選:D．【典例2】（2023下·浙江嘉興·高二?？计谥校┮阎S機(jī)變量X的取值為0，1，若，則X的均值為.【答案】/【詳解】由題意可得，X服從兩點(diǎn)分布，，故.故答案為：.【變式1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，若，則（

）A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7【答案】D【詳解】由題意得，因?yàn)?，所以解得，所以，故選：D【變式2】（2023下·山西朔州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，，則，.【答案】0.660.34【詳解】由兩點(diǎn)分布可知，.故答案為：0.66;0.34.題型02離散型隨機(jī)變量均值公式及性質(zhì)【典例1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知隨機(jī)變量X的分布列為X123P且，若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】結(jié)合題意：，因?yàn)椋?，解得：，故選：A.【典例2】（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）設(shè)的分布列如圖，又，則.1234Pa【答案】【詳解】由分布列的性質(zhì)得，得，從而，而，所以.故答案為：.【典例3】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）隨機(jī)變量的分布列如下列表格所示，其中為的數(shù)學(xué)期望，則.123450.10.20.30.1【答案】0【詳解】根據(jù)概率的性質(zhì)可得解得，所以，所以.故答案為:0.【變式1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）隨機(jī)變量X的分布列如表，則的值為（

）X123P0.2A0.4A．4.4 B．7.4 C．21.2 D．22.2【答案】B【詳解】由得，所以，所以.故選：B【變式2】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如表：若離散型隨機(jī)變量，則．0123【答案】/【詳解】由題，所以，由，所以，故答案為：.【變式3】（2024上·河南漯河·高三漯河高中?？茧A段練習(xí)）已知，則.【答案】【詳解】由，可得.故答案為：題型03離散型隨機(jī)變量的均值【典例1】（2024·福建漳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）2023年12月11日至12日中央經(jīng)濟(jì)工作會(huì)議在北京舉行，會(huì)議再次強(qiáng)調(diào)要提振新能源汽車(chē)消費(fèi).發(fā)展新能源汽車(chē)是我國(guó)從“汽車(chē)大國(guó)”邁向“汽車(chē)強(qiáng)國(guó)”的必由之路.我國(guó)某地一座新能源汽車(chē)工廠對(duì)線下的成品車(chē)要經(jīng)過(guò)多項(xiàng)檢測(cè)，檢測(cè)合格后方可銷售，其中關(guān)鍵的兩項(xiàng)測(cè)試分別為碰撞測(cè)試和續(xù)航測(cè)試，測(cè)試的結(jié)果只有三種等次：優(yōu)秀、良好、合格，優(yōu)秀可得5分、良好可得3分、合格可得1分，該型號(hào)新能源汽車(chē)在碰撞測(cè)試中結(jié)果為優(yōu)秀的概率為，良好的概率為；在續(xù)航測(cè)試中結(jié)果為優(yōu)秀的概率為，良好的概率為，兩項(xiàng)測(cè)試相互獨(dú)立，互不影響，該型號(hào)新能源汽車(chē)兩項(xiàng)測(cè)試得分之和記為.(1)求該型號(hào)新能源汽車(chē)參加兩項(xiàng)測(cè)試僅有一次為合格的概率；(2)求離散型隨機(jī)變量的分布列與期望.【答案】(1)(2)分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為【詳解】（1）記事件為“該型號(hào)新能源汽車(chē)參加碰撞測(cè)試的得分為分”，則，，.記事件為“該型號(hào)新能源汽車(chē)參加續(xù)航測(cè)試的得分為分”，則，，.記事件為“該型號(hào)新能源汽車(chē)參加兩項(xiàng)測(cè)試僅有一次為合格”，則，則該型號(hào)新能源汽車(chē)參加兩項(xiàng)測(cè)試僅有一次為合格的概率為.（2）由題知離散型隨機(jī)變量的所有可能取值分別為2，4，6，8，10，，，，，，則離散型隨機(jī)變量的分布列為246810所以數(shù)學(xué)期望.【典例2】（2024上·云南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）某學(xué)校有1000人，想通過(guò)驗(yàn)血的方式篩查出某種病毒的攜帶者，如果對(duì)每個(gè)人的血樣逐一化驗(yàn)，需要化驗(yàn)1000次，統(tǒng)計(jì)專家提出了一種方法：隨機(jī)地按10人一組分組，然后將各組10個(gè)人的血樣混合再化驗(yàn)，如果混合血樣呈陰性，說(shuō)明這10個(gè)人全部陰性；如果混合血樣呈陽(yáng)性，說(shuō)明其中至少有一個(gè)人呈陽(yáng)性，就需要對(duì)這組的每個(gè)人再分別化驗(yàn)一次．假設(shè)某學(xué)校攜帶病毒的人數(shù)有10人．（）(1)用樣本的頻率估計(jì)概率，若5個(gè)人一組，求一組混合血樣呈陽(yáng)性的概率；(2)用統(tǒng)計(jì)專家這種方法按照5個(gè)人一組或10個(gè)人一組，問(wèn)哪種分組方式篩查出這1000人中該病毒攜帶者需要化驗(yàn)次數(shù)較少？為什么？【答案】(1)(2)10個(gè)人一組的分組方式篩查出這1000人中該病毒攜帶者需要化驗(yàn)次數(shù)較少，理由見(jiàn)解析【詳解】（1）由已知可得，該單位每個(gè)人攜帶病毒的概率為．所以5個(gè)人一組，該組混合血樣不是陽(yáng)性的概率為，所以，一組混合血樣呈陽(yáng)性的概率為．（2）設(shè)5個(gè)人一組，每組需要化驗(yàn)的次數(shù)為隨機(jī)變量，則．由（1）知，5個(gè)人一組，需要重新化驗(yàn)的概率為0.05，則X的分布列為16所以，，總的化驗(yàn)次數(shù)為；設(shè)10個(gè)人一組，每組需要化驗(yàn)的次數(shù)為隨機(jī)變量，則．10個(gè)人一組，該組混合血樣不是陽(yáng)性的概率為0.9，則10個(gè)人一組，需要重新化驗(yàn)的概率為0.1，則Y的分布列為111所以，總的化驗(yàn)次數(shù)為，所以，10個(gè)人一組的分組方式篩查出這1000人中該病毒攜帶者需要化驗(yàn)次數(shù)較少．【典例3】（2024上·北京通州·高三統(tǒng)考期末）民航招飛是指普通高校飛行技術(shù)專業(yè)（本科）通過(guò)高考招收飛行學(xué)生，報(bào)名的學(xué)生參加預(yù)選初檢?體檢鑒定?飛行職業(yè)心理學(xué)檢測(cè)?背景調(diào)查?高考選拔等5項(xiàng)流程，其中前4項(xiàng)流程選拔均通過(guò)，則被確認(rèn)為有效招飛申請(qǐng)，然后參加高考，由招飛院校擇優(yōu)錄取.據(jù)統(tǒng)計(jì)，每位報(bào)名學(xué)生通過(guò)前4項(xiàng)流程的概率依次約為.假設(shè)學(xué)生能否通過(guò)這5項(xiàng)流程相互獨(dú)立，現(xiàn)有某校高三學(xué)生甲?乙?丙三人報(bào)名民航招飛.(1)估計(jì)每位報(bào)名學(xué)生被確認(rèn)為有效招飛申請(qǐng)的概率；(2)求甲?乙?丙三人中恰好有一人被確認(rèn)為有效招飛申請(qǐng)的概率；(3)根據(jù)甲?乙?丙三人的平時(shí)學(xué)習(xí)成績(jī)，預(yù)估高考成績(jī)能被招飛院校錄取的概率分別為，設(shè)甲?乙?丙三人能被招飛院校錄取的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)(2)(3)分布列見(jiàn)解析，【詳解】（1）因?yàn)槊课粓?bào)名學(xué)生通過(guò)前4項(xiàng)流程的概率依次約為，且能否通過(guò)相互獨(dú)立，所以估計(jì)每位報(bào)名學(xué)生被確認(rèn)為有效招飛申請(qǐng)的概率.（2）因?yàn)槊课粓?bào)名學(xué)生被確認(rèn)為有效招飛申請(qǐng)的概率為，所以甲?乙?丙三人中恰好有一人被確認(rèn)為有效招飛申請(qǐng)的概率.（3）因?yàn)槊课粓?bào)名學(xué)生被確認(rèn)為有效招飛申請(qǐng)的概率為，且預(yù)估甲?乙?丙三人的高考成績(jī)能被招飛院校錄取的概率分別為，所以甲能被招飛院校錄取的概率，乙能被招飛院校錄取的概率，丙能被招飛院校錄取概率.依題意的可能取值為，所以，，，.所以的分布列為：0123所以.【典例4】（2024上·山西朔州·高三統(tǒng)考期末）已知某足球賽事的決賽將在甲、乙兩隊(duì)之間進(jìn)行.其規(guī)則為：每一場(chǎng)比賽均須決出勝負(fù)，按主、客場(chǎng)制先進(jìn)行兩場(chǎng)比賽（第一場(chǎng)在甲隊(duì)主場(chǎng)比賽），若某一隊(duì)在前兩場(chǎng)比賽中均獲勝，則該隊(duì)獲得冠軍；否則，兩隊(duì)需在中立場(chǎng)進(jìn)行第三場(chǎng)比賽，且其獲勝方為冠軍.已知甲隊(duì)在主場(chǎng)、客場(chǎng)、中立場(chǎng)獲勝的概率依次為，，，且每場(chǎng)比賽的勝負(fù)均相互獨(dú)立.(1)當(dāng)甲隊(duì)獲得冠軍時(shí)，求決賽需進(jìn)行三場(chǎng)比賽的概率；(2)若主辦方在決賽的前兩場(chǎng)中共投資（千萬(wàn)元），則能在這兩場(chǎng)比賽中共盈利（千萬(wàn)元）.如果需進(jìn)行第三場(chǎng)比賽，且主辦方在第三場(chǎng)比賽中投資（千萬(wàn)元），則能在該場(chǎng)比賽中盈利（千萬(wàn)元）.若主辦方最多能投資一千萬(wàn)元，請(qǐng)以決賽總盈利的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，則其在前兩場(chǎng)的投資額應(yīng)為多少萬(wàn)元？【答案】(1)(2)主辦方在決賽的前兩場(chǎng)的投資額應(yīng)為千萬(wàn)元，即萬(wàn)元.【詳解】（1）記“甲隊(duì)獲得冠軍”為事件，“決賽進(jìn)行三場(chǎng)比賽”為事件，由題可知，，∴當(dāng)甲隊(duì)獲得冠軍時(shí)，決賽需進(jìn)行三場(chǎng)比賽的概率為.（2）設(shè)主辦方在決賽前兩場(chǎng)中共投資（千萬(wàn)元），其中，若需進(jìn)行第三場(chǎng)比賽，則還可投資（千萬(wàn)元），記隨機(jī)變量為決賽的總盈利，則可以取，，∴，，∴隨機(jī)變量的分布列為∴的數(shù)學(xué)期望，令，則，∴當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，∴主辦方在決賽的前兩場(chǎng)的投資額應(yīng)為千萬(wàn)元，即萬(wàn)元.【變式1】（2024·吉林長(zhǎng)春·東北師大附中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）為了更好地推廣冰雪體育運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，某中學(xué)要求每位同學(xué)必須在高中三年的每個(gè)冬季學(xué)期選修滑冰?滑雪?冰壺三類體育課程之一，且不可連續(xù)選修同一類課程，若某生在選修滑冰后，下一次選修滑雪的概率為：在選修滑雪后，下一次選修冰壺的概率為，在選修冰壺后，下一次選修滑冰的概率為.(1)若某生在高一冬季學(xué)期選修了滑雪，求他在高三冬季學(xué)期選修滑冰的概率：(2)若某生在高一冬季學(xué)期選修了滑冰，設(shè)該生在高中三個(gè)冬季學(xué)期中選修滑冰課程的次數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列及期望，【答案】(1)(2)分布列見(jiàn)解析，【詳解】（1）解：若高一選修滑雪，設(shè)高三冬季學(xué)期選修滑冰為隨機(jī)事件，則.（2）隨機(jī)變量的可能取值為1，2.所以的分布列為：12【變式2】（2024上·貴州貴陽(yáng)·高三貴陽(yáng)一中?？茧A段練習(xí)）某校高三年級(jí)嘟嘟老師準(zhǔn)備利用高中數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)甲、乙、丙三名學(xué)生在即將到來(lái)的全省適應(yīng)性考試成績(jī)進(jìn)行預(yù)測(cè)，為此，他收集了三位同學(xué)近三個(gè)月的數(shù)學(xué)月考、周測(cè)成績(jī)（滿分150分），若考試成績(jī)超過(guò)100分則稱為“破百”．甲：74，85，81，90，103，89，92，97，109，95；乙：95，92，97，99，89，103，105，108，101，113；丙：92，102，97，105，89，94，92，97．假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙三名同學(xué)的考試成績(jī)相互獨(dú)立．(1)分別估計(jì)甲、乙、丙三名同學(xué)“破百”的概率；(2)設(shè)這甲、乙、丙三名同學(xué)在這次決賽上“破百”的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)甲同學(xué)“破百”的概率為，乙同學(xué)“破百”的概率為，丙同學(xué)“破百”的概率為(2)分布列見(jiàn)解析；期望為【詳解】（1）甲同學(xué)“破百”的概率為，乙同學(xué)“破百”的概率為，丙同學(xué)“破百”的概率為．（2）的可能取值為0，1，2，3，則：，，，，所以的分布列為0123所以，期望．【變式3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）2023年國(guó)慶節(jié)假期期間，某超市舉行了購(gòu)物抽獎(jiǎng)贏手機(jī)活動(dòng)．活動(dòng)規(guī)則如下：在2023年9月29日到2023年10月6日期間，消費(fèi)金額（單位：元）不低于100元的顧客可以參與一次活動(dòng)（假設(shè)每名顧客只消費(fèi)一次），每5人一組，每人可以隨機(jī)選取A或B兩個(gè)字母，其中選取相同字母的人數(shù)較少者每人獲得10元購(gòu)物券，其他人獲得抽取價(jià)值6999元手機(jī)的資格（例如5人中有2人選取A，則這2人每人獲得10元購(gòu)物券，另外3人獲得抽取手機(jī)的資格；5人全部選取A，則這5人均獲得抽取手機(jī)的資格），根據(jù)統(tǒng)計(jì)，在此活動(dòng)期間，顧客在該超市消費(fèi)金額的頻率分布直方圖如圖所示．(1)從活動(dòng)期間在該超市購(gòu)物的顧客中隨機(jī)選取2名，求這2名顧客中恰有1人獲得10元購(gòu)物券的概率(2)設(shè)每5人組獲得購(gòu)物券的人數(shù)為X．（?。┣骕的分布列與數(shù)學(xué)期望：（?、。┤舫杏?jì)劃投入的活動(dòng)經(jīng)費(fèi)（購(gòu)買(mǎi)手機(jī)的費(fèi)用與發(fā)放的購(gòu)物券金額總和）不超過(guò)顧客消費(fèi)總金額的10%，則每1000名顧客最多送出多少部手機(jī)？（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）【答案】(1)(2)（?。┓植剂幸?jiàn)解析，（ⅱ）3【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，每名顧客獲得抽獎(jiǎng)資格的概率為．參與抽獎(jiǎng)的顧客獲得10元購(gòu)物券的概率為，則每名顧客獲得10元購(gòu)物券的概率，則這2名顧客中恰有1人獲得10元購(gòu)物券的概率．（2）（ⅰ）的所有可能取值為0，1，2，，，，則的分布列為012則的數(shù)學(xué)期望．（ⅱ）由頻率分布直方圖可知，顧客消費(fèi)金額的平均值（元），則1000名顧客的消費(fèi)總金額為（元）．設(shè)每1000名顧客最多送出部手機(jī)，則，又，所以，故每1000名顧客最多送出3部手機(jī)．【變式4】（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）矮化密植是指應(yīng)用生物或栽培措施使果樹(shù)生長(zhǎng)樹(shù)冠緊湊的方法，它與常規(guī)的矮小栽培相比有許多優(yōu)勢(shì)，如采用這種矮化果樹(shù)可以建立比常規(guī)果園定植密度更高的果園，不僅能提高土壤及光能利用率，還能夠獲得更多的早期經(jīng)濟(jì)效益.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)計(jì)劃引進(jìn)A，B兩種矮化果樹(shù)，已知A種矮化果樹(shù)種植成功率為，成功后每公頃收益7.5萬(wàn)元；B種矮化果樹(shù)種植成功率為，成功后每公頃收益9萬(wàn)元.假設(shè)種植不成功時(shí)，種植A，B兩種矮化果樹(shù)每公頃均損失1.5萬(wàn)元，每公頃是否種植成功相互獨(dú)立.(1)甲種植戶試種兩種矮化果樹(shù)各1公頃，總收益為X萬(wàn)元，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)乙種植戶有良田6公頃，本計(jì)劃全部種植A，但是甲勸說(shuō)乙應(yīng)該種植兩種矮化果樹(shù)各3公頃，請(qǐng)按照總收益的角度分析一下，乙應(yīng)選擇哪一種方案?【答案】(1)分布列見(jiàn)解析；(2)乙應(yīng)選擇兩種果樹(shù)各種植3公頃【詳解】（1）依題意，當(dāng)均種植成功時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)種植不成功，種植成功時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)種稙成功，種植不成功時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)均種植不成功時(shí)，，此時(shí)，所以的可能取值為：，的分布列為：16.57.56數(shù)學(xué)期望為.（2）全種植的收益期望為萬(wàn)元，由（1）得，各種一半的收益期望為萬(wàn)元因?yàn)椋覒?yīng)選擇兩種果樹(shù)各種植3公頃.題型04均值的實(shí)際應(yīng)用【典例1】（2024·山西臨汾·統(tǒng)考一模）現(xiàn)有5個(gè)紅色氣球和4個(gè)黃色氣球，紅色氣球內(nèi)分別裝有編號(hào)為1，3，5，7，9的號(hào)簽，黃色氣球內(nèi)分別裝有編號(hào)為2，4，6，8的號(hào)簽.參加游戲者，先對(duì)紅色氣球隨機(jī)射擊一次，記所得編號(hào)為，然后對(duì)黃色氣球隨機(jī)射擊一次，若所得編號(hào)為，則游戲結(jié)束；否則再對(duì)黃色氣球隨機(jī)射擊一次，將從黃色氣球中所得編號(hào)相加，若和為，則游戲結(jié)束；否則繼續(xù)對(duì)剩余的黃色氣球進(jìn)行射擊，直到和為為止，或者到黃色氣球打完為止，游戲結(jié)束.(1)求某人只射擊兩次的概率；(2)若某人射擊氣球的次數(shù)與所得獎(jiǎng)金的關(guān)系為，求此人所得獎(jiǎng)金的分布列和期望.【答案】(1)(2)分布列見(jiàn)解析，【詳解】（1）設(shè)表示事件：對(duì)紅色氣球隨機(jī)射擊一次，所得編號(hào)為，則，設(shè)表示事件：對(duì)黃色氣球隨機(jī)射擊一次，所得編號(hào)為，則，表示事件：某人只射擊兩次.則.即某人只射擊兩次的概率為.（2）由題知的可能取值為2，3，4，5，為30，20，10，0，其概率分別為，，，，的分布列為0102030.【典例2】（2024上·貴州貴陽(yáng)·高三貴陽(yáng)一中?？茧A段練習(xí)）某校高三年級(jí)嘟嘟老師準(zhǔn)備利用高中數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)甲、乙、丙三名學(xué)生在即將到來(lái)的全省適應(yīng)性考試成績(jī)進(jìn)行預(yù)測(cè)，為此，他收集了三位同學(xué)近三個(gè)月的數(shù)學(xué)月考、周測(cè)成績(jī)（滿分150分），若考試成績(jī)超過(guò)100分則稱為“破百”．甲：74，85，81，90，103，89，92，97，109，95；乙：95，92，97，99，89，103，105，108，101，113；丙：92，102，97，105，89，94，92，97．假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙三名同學(xué)的考試成績(jī)相互獨(dú)立．(1)分別估計(jì)甲、乙、丙三名同學(xué)“破百”的概率；(2)設(shè)這甲、乙、丙三名同學(xué)在這次決賽上“破百”的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)甲同學(xué)“破百”的概率為，乙同學(xué)“破百”的概率為，丙同學(xué)“破百”的概率為(2)分布列見(jiàn)解析；期望為【詳解】（1）甲同學(xué)“破百”的概率為，乙同學(xué)“破百”的概率為，丙同學(xué)“破百”的概率為．（2）的可能取值為0，1，2，3，則：，，，，所以的分布列為0123所以，期望．【典例3】（2024上·上?！じ叨y(tǒng)考期末）年月日至月日在國(guó)家會(huì)展中心舉辦中國(guó)國(guó)際進(jìn)口博覽會(huì)期間，為保障展會(huì)的順利進(jìn)行，有、兩家外賣(mài)公司負(fù)責(zé)為部分工作者送餐.兩公司某天各自隨機(jī)抽取名送餐員工，統(tǒng)計(jì)公司送餐員工送餐數(shù)，得到如圖頻率分布直方圖；統(tǒng)計(jì)兩公司樣本送餐數(shù)，得到如圖送餐數(shù)分布莖葉圖，已知兩公司樣本送餐數(shù)平均值相同.

(1)求的值(2)求、的值(3)為宣傳道路交通安全法，并遵循按勞分配原則，公司決定員工送餐份后，每多送份餐對(duì)其進(jìn)行一次獎(jiǎng)勵(lì)，并制定了兩種不同獎(jiǎng)勵(lì)方案：方案一：獎(jiǎng)勵(lì)現(xiàn)金紅包元.方案二：答兩道交通安全題，答對(duì)題獎(jiǎng)勵(lì)元，答對(duì)題獎(jiǎng)勵(lì)元，答對(duì)題獎(jiǎng)勵(lì)元.員工每一道題答題相互獨(dú)立且每題答對(duì)概率為與該員工交通安全重視程度相關(guān)）.求下表中的值（用表示）；從員工收益角度出發(fā)，如何選擇方案較優(yōu)？并說(shuō)明理由.附：方案二綜合收益滿足公式，為該員工被獎(jiǎng)勵(lì)次數(shù).方案二獎(jiǎng)勵(lì)元元元概率【答案】(1)(2)，(3)，答案見(jiàn)解析【詳解】（1）解：因?yàn)閮晒緲颖舅筒蛿?shù)平均值相同，則，則.（2）解：因?yàn)楣局?，送餐?shù)在區(qū)間和送餐數(shù)在區(qū)間的員工人數(shù)之比為，則，可得，由頻率分布直方圖可知，.（3）解：由題意知，，，方案一的綜合收益滿足，方案二綜合收益滿足，，由可得，解得，故當(dāng)時(shí)，方案一較優(yōu)；由可得，解得，故當(dāng)時(shí)，方案一和方案二收益相同；由可得，解得，故當(dāng)時(shí)，方案二較優(yōu).【變式1】（2024·福建漳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）2023年12月11日至12日中央經(jīng)濟(jì)工作會(huì)議在北京舉行，會(huì)議再次強(qiáng)調(diào)要提振新能源汽車(chē)消費(fèi).發(fā)展新能源汽車(chē)是我國(guó)從“汽車(chē)大國(guó)”邁向“汽車(chē)強(qiáng)國(guó)”的必由之路.我國(guó)某地一座新能源汽車(chē)工廠對(duì)線下的成品車(chē)要經(jīng)過(guò)多項(xiàng)檢測(cè)，檢測(cè)合格后方可銷售，其中關(guān)鍵的兩項(xiàng)測(cè)試分別為碰撞測(cè)試和續(xù)航測(cè)試，測(cè)試的結(jié)果只有三種等次：優(yōu)秀、良好、合格，優(yōu)秀可得5分、良好可得3分、合格可得1分，該型號(hào)新能源汽車(chē)在碰撞測(cè)試中結(jié)果為優(yōu)秀的概率為，良好的概率為；在續(xù)航測(cè)試中結(jié)果為優(yōu)秀的概率為，良好的概率為，兩項(xiàng)測(cè)試相互獨(dú)立，互不影響，該型號(hào)新能源汽車(chē)兩項(xiàng)測(cè)試得分之和記為.(1)求該型號(hào)新能源汽車(chē)參加兩項(xiàng)測(cè)試僅有一次為合格的概率；(2)求離散型隨機(jī)變量的分布列與期望.【答案】(1)(2)分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為【詳解】（1）記事件為“該型號(hào)新能源汽車(chē)參加碰撞測(cè)試的得分為分”，則，，.記事件為“該型號(hào)新能源汽車(chē)參加續(xù)航測(cè)試的得分為分”，則，，.記事件為“該型號(hào)新能源汽車(chē)參加兩項(xiàng)測(cè)試僅有一次為合格”，則，則該型號(hào)新能源汽車(chē)參加兩項(xiàng)測(cè)試僅有一次為合格的概率為.（2）由題知離散型隨機(jī)變量的所有可能取值分別為2，4，6，8，10，，，，，，則離散型隨機(jī)變量的分布列為246810所以數(shù)學(xué)期望.【變式2】（2024上·北京通州·高三統(tǒng)考期末）民航招飛是指普通高校飛行技術(shù)專業(yè)（本科）通過(guò)高考招收飛行學(xué)生，報(bào)名的學(xué)生參加預(yù)選初檢?體檢鑒定?飛行職業(yè)心理學(xué)檢測(cè)?背景調(diào)查?高考選拔等5項(xiàng)流程，其中前4項(xiàng)流程選拔均通過(guò)，則被確認(rèn)為有效招飛申請(qǐng)，然后參加高考，由招飛院校擇優(yōu)錄取.據(jù)統(tǒng)計(jì)，每位報(bào)名學(xué)生通過(guò)前4項(xiàng)流程的概率依次約為.假設(shè)學(xué)生能否通過(guò)這5項(xiàng)流程相互獨(dú)立，現(xiàn)有某校高三學(xué)生甲?乙?丙三人報(bào)名民航招飛.(1)估計(jì)每位報(bào)名學(xué)生被確認(rèn)為有效招飛申請(qǐng)的概率；(2)求甲?乙?丙三人中恰好有一人被確認(rèn)為有效招飛申請(qǐng)的概率；(3)根據(jù)甲?乙?丙三人的平時(shí)學(xué)習(xí)成績(jī)，預(yù)估高考成績(jī)能被招飛院校錄取的概率分別為，設(shè)甲?乙?丙三人能被招飛院校錄取的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)(2)(3)分布列見(jiàn)解析，【詳解】（1）因?yàn)槊课粓?bào)名學(xué)生通過(guò)前4項(xiàng)流程的概率依次約為，且能否通過(guò)相互獨(dú)立，所以估計(jì)每位報(bào)名學(xué)生被確認(rèn)為有效招飛申請(qǐng)的概率.（2）因?yàn)槊课粓?bào)名學(xué)生被確認(rèn)為有效招飛申請(qǐng)的概率為，所以甲?乙?丙三人中恰好有一人被確認(rèn)為有效招飛申請(qǐng)的概率.（3）因?yàn)槊课粓?bào)名學(xué)生被確認(rèn)為有效招飛申請(qǐng)的概率為，且預(yù)估甲?乙?丙三人的高考成績(jī)能被招飛院校錄取的概率分別為，所以甲能被招飛院校錄取的概率，乙能被招飛院校錄取的概率，丙能被招飛院校錄取概率.依題意的可能取值為，所以，，，.所以的分布列為：0123所以.【變式3】（2024上·江西撫州·高三金溪一中校考階段練習(xí)）甲、乙兩人準(zhǔn)備進(jìn)行羽毛球比賽，比賽規(guī)定：一回合中贏球的一方作為下一回合的發(fā)球方.若甲發(fā)球，則本回合甲贏的概率為，若乙發(fā)球，則本回合甲贏的概率為，每回合比賽的結(jié)果相互獨(dú)立.經(jīng)抽簽決定，第1回合由甲發(fā)球.(1)求第4個(gè)回合甲發(fā)球的概率；(2)設(shè)前4個(gè)回合中，甲發(fā)球的次數(shù)為，求的分布列及期望.【答案】(1)(2)分布列見(jiàn)解析，【詳解】（1）由題可知，第2回合甲發(fā)球的概率為，乙發(fā)球的概率為.所以第3回合甲發(fā)球的概率為，乙發(fā)球的概率為.可得第4個(gè)回合甲發(fā)球的概率為.故第4個(gè)回合甲發(fā)球的概率為；（2）由題意可知：可以取1，2，3，4.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，前4個(gè)回合甲發(fā)球兩次的情況分以下三種：第一種情況，甲第1，2回合發(fā)球，乙第3，4回合發(fā)球，其概率為.第二種情況，甲第1，3回合發(fā)球，乙第2，4回合發(fā)球，其概率為.第三種情況，甲第1，4回合發(fā)球，乙第2，3回合發(fā)球，其概率為.故前4個(gè)回合甲發(fā)球兩次的概率為；當(dāng)時(shí)，，故的分布列為：1234.題型05由離散型隨機(jī)變量的均值求參數(shù)【典例1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知隨機(jī)變量X的分布列為X123P且，若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】結(jié)合題意：，因?yàn)椋?，解得：，故選：A.【典例2】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某醫(yī)院對(duì)10名入院人員進(jìn)行新冠病毒感染篩查，若采用單管檢驗(yàn)需檢驗(yàn)10次；若采用10合一混管檢驗(yàn)，檢驗(yàn)結(jié)果為陰性則只要檢驗(yàn)1次，如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性，就要再全部進(jìn)行單管檢驗(yàn)．記10合一混管檢驗(yàn)次數(shù)為，當(dāng)時(shí)，10名人員均為陰性的概率為（

）A．0.01 B．0.02 C．0.1 D．0.2【答案】C【詳解】設(shè)10人全部為陰性的概率為，混有陽(yáng)性的概率為，若全部為陰性，需要檢測(cè)1次，若混有陽(yáng)性，需要檢測(cè)11次，則隨機(jī)變量的分布列，解得，故選：C.【典例3】（2024下·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）已知隨機(jī)變量滿足，其中，若，則，．【答案】【詳解】由，可得，，，所以，則，又，則.故答案為：；.【變式1】（2024·江蘇·高二假期作業(yè)）若隨機(jī)變量X的分布列為X012Pab且，則a，b分別為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由已知，根據(jù)分布列的性質(zhì)可得，，，因?yàn)椋?，解得，故選：A.【變式2】（2024下·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布列為：X1234Pmn已知，則.【答案】/0.5【詳解】依題意有，解得，則.故答案為：.【變式3】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知隨機(jī)變量的分布為，且，若，則實(shí)數(shù)．【答案】【詳解】因，則.又，則.故選：.A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）某同學(xué)求得的一個(gè)離散型隨機(jī)變量的分布列為（

）X123P0.2mn若，則（

）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4【答案】B【詳解】由題意可得，，即，所以.故選：B2．（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）已知隨機(jī)變量的期望為，則（

）A．9 B．11 C．27 D．29【答案】B【詳解】因?yàn)椋?故選：B3．（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）已知離散型隨機(jī)變量的概率分布列如下表：則數(shù)學(xué)期望等于（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】結(jié)合表格可知，即，解得：，所以.故選:D.4．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知隨機(jī)變量X的分布列為X123P且，若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】結(jié)合題意：，因?yàn)?，所以，解得：，故選：A.5．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）隨機(jī)變量X的分布列如表，則的值為（

）X123P0.2A0.4A．4.4 B．7.4 C．21.2 D．22.2【答案】B【詳解】由得，所以，所以.故選：B6．（2024上·江西宜春·高三江西省宜豐中學(xué)?？茧A段練習(xí)）從1-20中隨機(jī)抽取3個(gè)數(shù)，記隨機(jī)變量為這3個(gè)數(shù)中相鄰數(shù)組的個(gè)數(shù).如當(dāng)這三個(gè)數(shù)為11，12，14時(shí)，；當(dāng)這三個(gè)數(shù)為7，8，9時(shí)，.則的值約為（

）A．0.22 B．0.31 C．0.47 D．0.53【答案】B【詳解】隨機(jī)變量的取值為0，1，2，當(dāng)時(shí)，所取的三個(gè)數(shù)中僅兩個(gè)數(shù)相鄰，兩數(shù)相鄰有19種情況，其中相鄰兩數(shù)取1，2和19，20時(shí)，對(duì)應(yīng)取法為17種，其余17種情況取法均有16種，，當(dāng)時(shí)，即所取的三個(gè)數(shù)中兩兩相鄰，取法有18種，，所以當(dāng)時(shí)，即所取的三個(gè)數(shù)彼此不相鄰，取法有種，，.故選：B.7．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知某多選題給出的四個(gè)選項(xiàng)中會(huì)有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．若選項(xiàng)中有（其中）個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，記隨機(jī)作答該題時(shí)（至少選擇一個(gè)選項(xiàng)）所得的分?jǐn)?shù)為隨機(jī)變量，則（

）A．B．C．D．【答案】D【詳解】由題意可知：當(dāng)至少選擇一個(gè)選項(xiàng)時(shí)，共有（種）可能，因?yàn)榭扇?，2，5，且，所以．又因?yàn)榭扇?，2，5，且，所以．而可取2，5，且，則，所以；即，所以，故D正確．故選：D．8．（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）某實(shí)驗(yàn)測(cè)試的規(guī)則是：每位學(xué)生最多可做實(shí)驗(yàn)3次，一旦實(shí)驗(yàn)成功，則停止實(shí)驗(yàn)，否則一直做到3次為止.設(shè)某學(xué)生一次實(shí)驗(yàn)成功的概率為，實(shí)驗(yàn)次數(shù)為隨機(jī)變量，若的數(shù)學(xué)期望，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】X的所有可能取值為1,2,3，，，，由，解得或，又因?yàn)?，所?故選：A.二、多選題9．（2024下·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）（多選）已知隨機(jī)變量的分布列為：49100.30.10.2若，則以下結(jié)論正確的是（

）A．無(wú)法確定 B．C． D．【答案】BCD【詳解】由分布列的性質(zhì)，可得，解得，故B正確；又由，解得，故A不正確；由均值的性質(zhì)，可知，故C正確；又由，故D正確．故選：BCD．10．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量X表示從1到n這n個(gè)整數(shù)中隨機(jī)抽取的一個(gè)整數(shù)，Y表示從1到X這X個(gè)整數(shù)中隨機(jī)抽取的一個(gè)整數(shù)，則下列正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)（且）時(shí)，D．當(dāng)時(shí)，Y的均值為【答案】BCD【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：當(dāng)時(shí)，，，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，由，，可得，或，，所以，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)（且）時(shí)，，，則，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)時(shí)，Y的可能取值為1，2，則，，所以Y的均值為，故D正確．故選：BCD三、填空題11．（2023上·上?！じ叨虾Ｊ械诙袑W(xué)校考階段練習(xí)）已知隨機(jī)變量的分布為，且，則.【答案】/【詳解】由題意得，故.故答案為：12．（2023上·天津河?xùn)|·高三校考階段練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布列為：X1234Pmn已知，則.【答案】/0.5【詳解】依題意有，解得，則.故答案為：.四、解答題13．（2023·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）新冠疫情下，為了應(yīng)對(duì)新冠病毒極強(qiáng)的傳染性，每個(gè)人出門(mén)做好口罩防護(hù)工作刻不容緩．某口罩加工廠加工口罩由三道工序組成，每道工序之間相互獨(dú)立，且每道工序加工質(zhì)量分為高和低兩種層次級(jí)別，三道工序加工的質(zhì)量層次決定口罩的過(guò)濾等級(jí)；工序加工質(zhì)量層次均為高時(shí)，口罩過(guò)濾等級(jí)為100等級(jí)(表示最低過(guò)濾效率為99.97%)；工序的加工質(zhì)量層次為高，工序至少有一個(gè)質(zhì)量層次為低時(shí)，口罩過(guò)濾等級(jí)為99等級(jí)(表示最低過(guò)濾效率為99%)；其余均為95級(jí)(表示最低過(guò)濾效率為95%)．表①:表示三道工序加工質(zhì)量層次為高的概率；表②:表示加工一個(gè)口罩的利潤(rùn)．表①

工序概率表②口罩等級(jí)100等級(jí)99等級(jí)95等級(jí)利潤(rùn)/元(1)表示一個(gè)口罩的利潤(rùn)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)由于工廠中工序加工質(zhì)量層次為高的概率較低，工廠計(jì)劃通過(guò)增加檢測(cè)環(huán)節(jié)對(duì)工序進(jìn)行升級(jí)．在升級(jí)過(guò)程中，每個(gè)口罩檢測(cè)成本增加了()元時(shí)，相應(yīng)的工序加工層次為高的概率在原來(lái)的基礎(chǔ)上增加了;試問(wèn)：若工廠升級(jí)方案后對(duì)一個(gè)口罩利潤(rùn)的期望有所提高，則與應(yīng)該滿足怎樣的關(guān)系?【答案】(1)分布列見(jiàn)解析，(2)()【詳解】（1）的可能取值為，，，；；；所以的分布列為（2）設(shè)升級(jí)后一件產(chǎn)品的利潤(rùn)為，則的可能取值為，，；；；所以，由得，解得，所以與滿足的關(guān)系為().14．（2023上·四川雅安·高三校聯(lián)考期中）為了促進(jìn)消費(fèi)，某商場(chǎng)針對(duì)會(huì)員客戶推出會(huì)員積分兌換商品活動(dòng)：每位會(huì)員客戶可在價(jià)值80元，90元，100元的，，三種商品中選擇一種使用積分進(jìn)行兌換，每10積分可兌換1元.已知參加活動(dòng)的甲、乙兩位客戶各有1000積分，且甲兌換，，三種商品的概率分別為，，，乙兌換，，三種商品的概率分別為，，，且他們兌換何種商品相互獨(dú)立.(1)求甲、乙兩人兌換同一種商品的概率；(2)記為兩人兌換商品后的積分總余額，求的分布列與期望【答案】(1)；(2)分布列見(jiàn)解析，.【詳解】（1）由題可知，甲、乙兩人兌換同一種商品的概率為；（2）由題意，兌換，，三種商品所需的積分分別為800，900，1000，則的取值可能為0，100，200，300，400，，，，，，則的分布列為0100200300400.B能力提升1．（2023·湖南株洲·株洲二中?？家荒＃┟窈秸酗w是指普通高校飛行技術(shù)專業(yè)（本科）通過(guò)高考招收飛行學(xué)生，報(bào)名的學(xué)生參加預(yù)選初檢?體檢鑒定?飛行職業(yè)心理學(xué)檢測(cè)?背景調(diào)查?高考選拔等5項(xiàng)流程，其中前4項(xiàng)流程選拔均通過(guò)，則被確認(rèn)為有效招飛申請(qǐng)，然后參加高考，由招飛院校擇優(yōu)錄取.據(jù)統(tǒng)計(jì)，每位報(bào)名學(xué)生通過(guò)前4項(xiàng)流程的概率依次約為.假設(shè)學(xué)生能否通過(guò)這5項(xiàng)流程相互獨(dú)立，現(xiàn)有某校高三學(xué)生甲?乙?丙三人報(bào)名民航招飛.(1)估計(jì)每位報(bào)名學(xué)生被確認(rèn)為有效招飛申請(qǐng)的概率；(2)求甲?乙?丙三人中恰好有一人被確認(rèn)為有效招飛申請(qǐng)的概率；(3)根據(jù)甲?乙?丙三人的平時(shí)學(xué)習(xí)成績(jī)，預(yù)估