2024年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 幾何壓軸題常用模型二

2024年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)吃透這套幾何壓軸題常用模

型中考數(shù)學(xué)就穩(wěn)了

01

全等變換

平移：平行等線段（平行四邊形）

對(duì)稱：角平分線或垂直或半角

旋轉(zhuǎn)：相鄰等線段繞公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)

對(duì)稱全等模型

角分線模型

過(guò)角分收栗點(diǎn)作■嫉

往角旃邊作■姨柱角兩邊裁取121

說(shuō)明:

以角平分線為軸在角兩邊進(jìn)行截長(zhǎng)補(bǔ)短或者作邊的垂線，形成對(duì)稱全

等。兩邊進(jìn)行邊或者角的等量代換，產(chǎn)生聯(lián)系。垂直也可以做為軸進(jìn)

行對(duì)稱全等。

02

對(duì)稱半角模型

說(shuō)明:

上圖依次是45。、30。、22.5。、15。及有一個(gè)角是30。直角三角形的對(duì)稱

（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等邊三角形、對(duì)稱全

等。

03

旋轉(zhuǎn)全等模型

半角：有一個(gè)角含1/2角及相鄰線段

自旋轉(zhuǎn)：有一對(duì)相鄰等線段，需要構(gòu)造旋轉(zhuǎn)全等

共旋轉(zhuǎn)：有兩對(duì)相鄰等線段，直接尋找旋轉(zhuǎn)全等

中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)：倍長(zhǎng)中點(diǎn)相關(guān)線段轉(zhuǎn)換成旋轉(zhuǎn)全等問(wèn)題

04

旋轉(zhuǎn)半角模型

說(shuō)明：

旋轉(zhuǎn)半角的特征是相鄰等線段所成角含一個(gè)二分之一角，通過(guò)旋轉(zhuǎn)將

另外兩個(gè)和為二分之一的角拼接在一起，成對(duì)稱全等。

自旋轉(zhuǎn)模型

構(gòu)造方法：

遇60度旋60度，造等邊三角形

遇90度旋90度，造等腰直角

遇等腰旋頂點(diǎn)，造旋轉(zhuǎn)全等

遇中點(diǎn)旋180度，造中心對(duì)稱

05

共旋轉(zhuǎn)模型

說(shuō)明：

旋轉(zhuǎn)中所成的全等三角形，第三邊所成的角是一個(gè)經(jīng)?？疾斓膬?nèi)容。

通過(guò)"8〃字模型可以證明。

06

模型變形

D

D.

說(shuō)明：

模型變形主要是兩個(gè)正多邊形或者等腰三角形的夾角的變化，另外是

等腰直角三角形與正方形的混用。

當(dāng)遇到復(fù)雜圖形找不到旋轉(zhuǎn)全等時(shí).，先找兩個(gè)正多邊形或者

等腰三角形的公共頂點(diǎn)，圍繞公共頂點(diǎn)找到兩組相鄰等線段,

分組組成三角形證全等。

中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)：

說(shuō)明:

兩個(gè)正方形、兩個(gè)等腰直角三角形或者一個(gè)正方形一個(gè)等腰直角三角

形及兩個(gè)圖形頂點(diǎn)連線的中點(diǎn)，證明另外兩個(gè)頂點(diǎn)與中點(diǎn)所成圖形為

等腰直角三角形。證明方法是倍長(zhǎng)所要證等腰直角三角形的一直角邊,

轉(zhuǎn)化成要證明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方

形）公旋轉(zhuǎn)頂點(diǎn)，通過(guò)證明旋轉(zhuǎn)全等三角形證明倍長(zhǎng)后的大三角形為

等腰直角三角形從而得證。

中點(diǎn)模型

倍長(zhǎng)中線連中點(diǎn)構(gòu)造中位線倍長(zhǎng)一邊構(gòu)造中位戰(zhàn)

幾何最值模型

對(duì)稱最值（兩點(diǎn)間線段最短）

線段和差模型

AM

*'X：

務(wù)：孝:

mia期

同側(cè)、異側(cè)兩線段之和最短模型同側(cè)、異鯽兩線段之基最小模型

軸對(duì)稱模型

r?u一N

4

UX1--------L---

1

*/”F

三線段之和過(guò)橋模型四邊形周長(zhǎng)三角形周長(zhǎng)

依短模型坡小模型最小模型

對(duì)稱最值

（點(diǎn)到直線垂線段最短）

--小

°尸G

說(shuō)明：

通過(guò)對(duì)稱進(jìn)行等量代換，轉(zhuǎn)換成兩點(diǎn)間距離及點(diǎn)到直線距離。

旋轉(zhuǎn)最值

（共線有最值）

說(shuō)明：

找到與所要求最值相關(guān)成三角形的兩個(gè)定長(zhǎng)線段，定長(zhǎng)線段的和為最

大值，定長(zhǎng)線段的差為最小值。

簡(jiǎn)拼模型

三角形一四邊形

四邊形一四邊形

圖11

說(shuō)明：

剪拼主要是通過(guò)中點(diǎn)的180度旋轉(zhuǎn)及平移改變圖形的形狀。

矩形一正方形

說(shuō)明：

通過(guò)射影定理找到正方形的邊長(zhǎng)，通過(guò)平移與旋轉(zhuǎn)完成形狀改變

正方形+等腰直角三角形一正方形

旋轉(zhuǎn)相似模型

DE

B

說(shuō)明：

兩個(gè)等腰直角三角形成旋轉(zhuǎn)全等，兩個(gè)有一個(gè)角是300角的直角三角

形成旋轉(zhuǎn)相似。

推廣：兩個(gè)任意相似三角形旋轉(zhuǎn)成一定角度，成旋轉(zhuǎn)相似。

第三邊所成夾角符合旋轉(zhuǎn)“8”字的規(guī)律。

DCD

說(shuō)明：

注意邊和角的對(duì)應(yīng)，相等線段或者相等比值在證明相似中起到通過(guò)等

量代換來(lái)構(gòu)造相似三角形的作用。

說(shuō)明：

(1)三垂直到一線三等角的演變，三等角以30度、45度、60度形

式出現(xiàn)的居多。

(2)內(nèi)外角平分線定理到射影定理的演變，注意之間的相

同與不同之處。另外，相似、射影定理、相交弦定理(可以

推廣到圓幕定理)之間的比值可以轉(zhuǎn)換成乘積，通過(guò)等線段、

等比值、等乘積進(jìn)行代換，進(jìn)行證明得到需要的結(jié)論。

說(shuō)明：

相似證明中最常用的輔助線是做平行，根據(jù)題目的條件或者結(jié)論的比

值來(lái)做相應(yīng)的平行線。

A模型一：手拉手模型-旋轉(zhuǎn)型全等

a耕：ACM8.AOC。均為等邊三角形

>雌：①AO-/C?SOBD,②LAEB-60°；③OE平分LAED,

<2）等腰ATA

a條件：A'〃8，A"C/）均為等腰直角三角形

a結(jié)論：①ACMC?ACBD,②LAF：H-90°,

a③OE平分乙<￡Z）.

<3）任意等腰三角形

a軸：A°他A"。均為等腹三龜形

a結(jié)論：①^OAC■NOBD.②LAEB-LAOB.

A③（把平分乙

A模型二：手拉手模型-旋轉(zhuǎn)型相似

A條件：CD!AB,將A（）CD旋轉(zhuǎn)至右圖位身

A結(jié)論：

a右圖中①A0C/EAO48=AO/CAOBD$

a②延長(zhǎng)/C交8D于點(diǎn)E,必有乙8EC=乙8。4

《2》特殊情況

a條件：67）/〃8,乙〃）8?90°,將4區(qū)7）旋轉(zhuǎn)至右圖

位肘

a結(jié)論：右圖中①AOC￡>SAO/H=AO/CsOBD.?

延長(zhǎng)XC交BD于點(diǎn)E,必有乙BEC-LBOA；

(anLOCD

,@BDLAC

瞬接AD,BC,必福AD+BC，-AB:+C*⑥'""2*""

（對(duì)角線互相垂直的四邊形）

A模型三：對(duì)角互補(bǔ)模型

條件：①LAOB-LDCE-90°,②0c平分&(出

結(jié)論：①CD=CE;②°D+()E.4i℃J③

$必*"SAOCQ,S皿/,~OC

證明提示：

睡垂直，如圖，證明AC0M?ACG,

②點(diǎn)C作CF1”,如上圖（右＞，證明A°X-AF￡J

當(dāng)LDCE的一邊交A0的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D時(shí)：

以上三朋論：①CD=CE（不變）j

@OE-OD-41OC；③‘E_§刖-&0t

端論證明方法與前T幡況-致，可自行嘗試。

(2)全等型1200

a條件：①乙/08?2ZJX'￡?I20°J

a00C平分乙/孫

〉結(jié)論：①(?②。?

OC￡,Q/O￡OC3H

《3》全等型一任意角“

a,2?,乙℃￡,18°-2a；②

a結(jié)論：&OC^\L.4()B-?OD+OE?2OC?cosa.

A③^ODCC■SADCD+S'OCE="(*sina?cosa.

a當(dāng)LIKE的一邊交AO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D時(shí)(如右上圖)：

原結(jié)論變成：①___________________________________

②__________________________________________________________________

③3

可參考上述第②種萬(wàn)法迪亍證明。潔思考被探件價(jià)度化時(shí)

A對(duì)角互木耀型總結(jié)：

①常見(jiàn)初始條件：四邊形對(duì)角互補(bǔ)；注意兩點(diǎn)：四點(diǎn)共圓及直簾:

②初始條件“角平分線”與“兩邊相等”的區(qū)別；

③兩種常見(jiàn)的鈾助線作法；

④注意OC平分乙408時(shí)，LCDE-LCED-LCOA-LCO-

上A模型四：角含半角模型90°

(1)龜含半甬模型90°-1

HE'GBE

斜h①正方形"(必②，￡4產(chǎn)?45\

結(jié)論：①EF=DF+BE,②ACEF的周長(zhǎng)為正方形,48CQ周長(zhǎng)的一半；

也可以這樣：

條件：①正方形制'D，②".=W+BE

結(jié)論：LEAF^45°

(2)龜含半角模型90--2

a條件：①正方形X8C。;②LEAF-45°；

A結(jié)論：EF-DF-BE,目

A崛1線如下圖所示：

a條件：①RT&ABC;②LDAE-45°,

a結(jié)論：BD'+CE：=DE,BI）ECBD

若LDAE施期AJ8c外部時(shí)，結(jié)論BD:+Cf：=仍然成立.

城咽：44*AC（力公不唯一）

VZ/JH<-Z￡4Z-45,A

74〃，〃-Z4CA-45..*.XUHMXKE

：.XlHE^XUK

a條件：①正方形ABCD.②LEAF-45°.

A結(jié)論：".為等腰直角三角形。

.A模型五：倍長(zhǎng)中線類模型

G)信^中物膜型〕

a條件：①)?形??CO；②8/J-8E.③〃??￡/

a牯論："LCF

模型提取：喇平行線AD3BE,②帝亍線間^段有中點(diǎn)DF?EF；

可以構(gòu)造“8”字全等2DF■MIEF.

（2）^q^s^-2

a條件：①￥行四邊形ABCD§②BC?2AB；③A\f-DM；@CE1AD.

a結(jié)論：LEMD-iLMEA

.4B//CD.有中點(diǎn)兒"-DM

￡長(zhǎng)EM.構(gòu)造XIMEMUTHM構(gòu)

迨不樓SE\K.WHF

遣過(guò)構(gòu)遭8字全多怪及能與員QK關(guān)系.角的大

小轉(zhuǎn)化

,A模型六：相似三角形360°旋轉(zhuǎn)模型

也一

(1)相10三角形《等腰直角)360-旋轉(zhuǎn)的港長(zhǎng)申線法MMe:HK[)hMAG.檢，F(xiàn)G?DF.H

UCY；.Mi.HUam\HIMi*?*A加

a條件：①A4〃￡、M8C均

為等腰直角三角形，②僅：AiflZX^VW；

EF-CF

睢&HIzau>-zfltG

a結(jié)論：①"=8尸；②

DE1B卜'

⑴樹(shù)聽(tīng)版《等*ft)360。翎理

A條件：①A4O￡、A48C均為等腹直角三角臉②樣一CT,

a結(jié)論：①DF-BF；②DF工BF

輔助N,：構(gòu)迨等聯(lián)立MAY反？、&.4J/C

楮勸代.粵路：將D/與抑化到C<i與EH

國(guó)的“：MKfiJXAG,?M-.?.廷*

a科：①ACM8sAece,②LOAB-LODC-90°CDM4.H位/W=<7).，卜全VXiB.

③BE?CE?

OCH的速設(shè)I?糧型.4D￡MCG

a結(jié)論：①-4￡=DE1②LAED-2LABO

與RH.◎息AM化NJ初

(任副的直角三龜形旋轉(zhuǎn)模型語(yǔ)長(zhǎng)法

3)360°特財(cái)心：?4KD￡i,W.<tAF-AJC.將”

》條件：①A(〃8sA"/)ej②/_OAB-LOIX--90°.③4:的㈣伊I?件/化為用叫\(zhòng)JA〃>MHO.此

fi￡-C￡.

將ZMMAABM維”化今江*1

a常論：①I(mǎi)E-DE,②LAED-2LABO

\4ai.、A.〃〃■.使用部邊*比JL突向?qū)?/p>

此處單*&您切Z

A模型七:最短路程模型

3”：以上B國(guó)勺常晌怯葉你吳景明冷俚問(wèn)通.

*后與,化對(duì)：>?四★.之:立愕我*相"M；*

料點(diǎn)：①動(dòng)總在A”上:②《息.電點(diǎn)闌%

<2）最矩路程饃里二（點(diǎn)到直線類1）

樽勸毀；將作0關(guān)于（XM停&Q'.??化

，V?中.途友W作\fff10.1

垂線也最知

a條件：①OC平分乙4。8,②.“為"8上一定點(diǎn)i③P為a'上T］點(diǎn),④。為08上一動(dòng)點(diǎn),

a求：A"?。最J時(shí)，八。的位置？

<3）蹦路程模型二（點(diǎn)到直歌2）

a條件：<4（0.4）,S（-20）,P（0,n）

PB+—PA

AI通i：”為何值時(shí)，5最小

____sinL.OAC*,--

a求解方法：①t軸上?。▋|0）,使5j②過(guò)8作801/C,交『軸于點(diǎn)%即為所求,

tanLEBO?tanLOAC

2,即E（°，l）.

*"(C4OCJI9I*>，<1JtMM.4-4,f￥t-2

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短文彼.公卜值中也與備十S▲尸"依人（少吻E）-A

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A模型九：相似三角形模型

|,r

(1)相假三角形模型逐本型

4”々甲〃MM-ZVn2金P<M<■?

*件：a京崗港小陽(yáng)4田)■/“力?”『

體淪］?記X

??力典?外國(guó)4K宏-二W

2

jnjriyr“論：AC?AE?AH

拈論：叱=匕G上怠時(shí)在邊要時(shí)應(yīng))

??伙?〃?

ABACBC?ej'flHqea.SK/Xx.

M“-HE*HA.CE”,HE*Ah

(3)相《L三角形模型一線三角型

備件：益國(guó)：Z.W-Z.4C/?ZC7^-^r

tm：4次?口CE?4（"?：?U）

GM:Z.4Zrc-^CT-ZCOT-45

州論：所將圉在妁綠企

(￡\IMsMIW：(2)JZTx/V■"??，，)

一修.三答前?；省觌缒脙妆韲?方聞就美

M上公論功可以通11相似三角打遣竹U明

07

中點(diǎn)模型

【模型1】倍長(zhǎng)

1、倍長(zhǎng)中線；2、倍長(zhǎng)類中線；3、中點(diǎn)遇平行延長(zhǎng)相交

A

【模型2】遇多個(gè)中點(diǎn)，構(gòu)造中位線

1、直接連接中點(diǎn)；2、連對(duì)角線取中點(diǎn)再相連

【例】在菱形ABCD和正三角形BEF中，NABC=60。，G

是DF的中點(diǎn)，連接GC、GE.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在BC邊上時(shí)，若AB=10,BF=4,求

GE的長(zhǎng)；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)F在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，線段GC、GE

有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系，寫(xiě)出你的猜想；并給予證明；

(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)F在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，(2)問(wèn)中關(guān)系還

成立嗎？寫(xiě)出你的猜想，并給予證明.

DDD

08

角平分線模型

【模型1】構(gòu)造軸對(duì)稱

【模型2】角平分線遇平行構(gòu)造等腰三角形

【例】如圖，平行四邊形ABCD中，AE平分/BAD交BC

邊于E,EF_LAE交CD邊于F,交AD邊于H,延長(zhǎng)BA到

點(diǎn)G,使AG=CF,連接GF.若BC=7,DF=3,EH=3AE,

則GF的長(zhǎng)為

G

手拉手模型

【我】0A=OB,OC=OD,ZAOB=NCOD

【結(jié)論】AOAC三AOBD；乙LES=N04B=NCOD（即都是旋轉(zhuǎn)角）;。石平分ZAED;

【例】如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6,點(diǎn)。是對(duì)角線AC、

BD的交點(diǎn)，點(diǎn)E在CD上，且DE=2CE,過(guò)點(diǎn)C作CF±BE,

垂足為F,連接OF,則OF的長(zhǎng)為

09

鄰邊相等的對(duì)角互補(bǔ)模型

【觸1】

【條件】如圖，四邊形ABCD中，4B=4D,ZBAD+ZBCD=ZA3C+Z