安徽省某中學(xué)2023屆仿真模擬卷（一）數(shù)學(xué)試題真題卷（含答案與解析）

舒城中學(xué)2023屆仿真模擬卷（一）

數(shù)學(xué)

（時(shí)間：120分鐘分值：150分）

注意事項(xiàng)：

1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在

答題卡上的指定位置.

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫(xiě)在

試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.

3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫(xiě)在試卷、草稿紙和

答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.

4.本試題卷共5頁(yè)，22題，全卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1+1+1'

Z=---------------

1.已知復(fù)數(shù)1+i，三是z的共貌復(fù)數(shù)，則=z=（）

A.0B.1C,1D.2

2.第32屆奧運(yùn)會(huì)男子舉重73公斤級(jí)決賽中，石智勇以抓舉166公斤，挺舉198公斤，總成績(jī)364公斤的

成績(jī)，為中國(guó)舉重隊(duì)再添一金，創(chuàng)造新的世界紀(jì)錄.根據(jù)組別劃分的最大體重以及舉重成績(jī)來(lái)看，舉重的總

質(zhì)量與運(yùn)動(dòng)員的體重有一定的關(guān)系，如圖為某體育賽事舉重質(zhì)量與運(yùn)動(dòng)員體重之間關(guān)系的折線圖，下面模

型中，最能刻畫(huà)運(yùn)動(dòng)員體重和舉重質(zhì)量之間的關(guān)系的是（）

舉重運(yùn)動(dòng)員的體重與舉重質(zhì)量關(guān)系折線圖

運(yùn)動(dòng)員體重/公斤

Ay=m\[x+n(m>0)B.y=mx+n(m>0)

C.y=mx1+n(m>0)D.y-max+n(m>0,。>0且。工1)

3.要得到函數(shù)y二夜cosx的圖象，只需將函數(shù)y=J5sin(x+?)的圖象()

7T

A.向左平移一個(gè)單位B.向右平/個(gè)單位

4

7T7t

C.向上平移一個(gè)單位D.向下平移一個(gè)單位

44

4.以下四個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)，其函數(shù)圖象最適合如圖的是（）

5.在正方體ABCD-4BCR中，過(guò)點(diǎn)。作直線/與異面直線4c和8G所成角均為仇則。的最小值為

（）

A.15°B.30°C.45°D.60°

6.數(shù)學(xué)對(duì)于一個(gè)國(guó)家的發(fā)展至關(guān)重要，發(fā)達(dá)國(guó)家常常把保持?jǐn)?shù)學(xué)領(lǐng)先地位作為他們的戰(zhàn)略需求.現(xiàn)某大學(xué)

為提高數(shù)學(xué)系學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，特開(kāi)設(shè)了“古今數(shù)學(xué)思想”，"世界數(shù)學(xué)通史”，“幾何原本”，"什么是數(shù)學(xué)”

四門(mén)選修課程，要求數(shù)學(xué)系每位同學(xué)每學(xué)年至多選3門(mén)，大一到大三三學(xué)年必須將四門(mén)選修課程選完，則

每位同學(xué)的不同選修方式有（）

A.60種B.78種C.84種D.144種

7.在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上.若AP=%AB+〃

AD>則X+〃的最大值為

A.3B.272C.75D.2

8.若函數(shù)/（月=陰+62+〃，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.若匕>一1,則對(duì)于任意a>0函數(shù)/（7（x）卜都有2個(gè)零點(diǎn)

B.若匕<一1,則對(duì)于任意a>0函數(shù)/（7（x））都有4個(gè)零點(diǎn)

C.若人<一1,則存在4>0使得函數(shù)/（/（力）有2個(gè)零點(diǎn)

D.若b=-l,則存在4>0使得函數(shù)/（/（力）有2個(gè)零點(diǎn)

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列說(shuō)法正確的是（）

A.將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都乘以同一個(gè)非零常數(shù)”后，方差也變?yōu)樵瓉?lái)的〃倍

B.設(shè)有一個(gè)回歸方程y=3-5x,變量x增加1個(gè)單位時(shí)，了平均減少5個(gè)單位

C.線性相關(guān)系數(shù)"的絕對(duì)值越接近于1,兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；反之，越接近于0線性相關(guān)性越弱

D.在某項(xiàng)測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果J服從正態(tài)分布N（l,b2）（cr>（））,則P（J>l）=0.5

10.已知函數(shù)/（x）=sin[cosx]+cos卜inx],其中[可表示不超過(guò)實(shí)數(shù)x最大整數(shù)，關(guān)于〃x）有下述

四個(gè)結(jié)論，正確的是（）

A.J。）的一個(gè)周期是2"B.“X）是非奇非偶函數(shù)

C./（同在。乃）單調(diào)遞減D./（力的最大值大于0

11.為弘揚(yáng)中華民族優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某學(xué)校組織了《誦經(jīng)典，獲新知》的演講比賽，本次比賽的冠軍獎(jiǎng)杯

由一個(gè)銅球和一個(gè)托盤(pán)組成，如圖①，已知球的體積為｝托盤(pán)由邊長(zhǎng)為4的正三角形銅片沿各邊中點(diǎn)

的連線垂直向上折疊而成，如圖②.則下列結(jié)論正確的是（）

7T

A.經(jīng)過(guò)三個(gè)頂點(diǎn)AdC的球的截面圓的面積為一

4

B.異面直線AO與所成角的余弦值為。

O

C.直線AO與平面。所所成的角為？

D.球離球托底面。口的最小距離為6+立-1

3

12.在數(shù)列｛4｝中，對(duì)于任意的〃eN*都有4>0,且則下列結(jié)論正確的是（）

A.對(duì)于任意的〃22,都有an>1

B.對(duì)于任意的4>0,數(shù)列｛%｝不可能為常數(shù)列

C.若0<q<2,則數(shù)列｛??｝為遞增數(shù)列

D.若％>2,則當(dāng)時(shí)，2<a“<q

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分（第15題第一個(gè)空2分，第二個(gè)空3分）.

13.（1+2x）6的展開(kāi)式中/項(xiàng)的系數(shù)為（用數(shù)字作答）

22

14.已知雙曲線二一當(dāng)=15力>（））左右焦點(diǎn)分別為片，工，過(guò)點(diǎn)匕作與一條漸近線垂直的直線/,且/與

a~b~

雙曲線的左右兩支分別交于M,N兩點(diǎn)，若|的|=|峭|,則該雙曲線的漸近線方程為.

15.一項(xiàng)“過(guò)關(guān)游戲”規(guī)則規(guī)定:在第〃關(guān)要拋擲一顆骰子〃次,如果這〃次拋擲所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)的和大于2"，

則算過(guò)關(guān).則某人在這項(xiàng)游戲中最多能過(guò)關(guān)；他連過(guò)前三關(guān)的概率是

16.在銳角三角形4BC中，角的對(duì)邊分別為若〃+c2=4bcsin（A+鄉(xiāng)］,則

tanA+tan3+tanC的最小值是.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，銳角。的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單

位圓交于點(diǎn)P(石，X),cosa--■

TT

(2)射線0尸繞坐標(biāo)原點(diǎn)。按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),后與單位圓交于點(diǎn)M(Z，%)，點(diǎn)N與M關(guān)于％軸對(duì)

稱，求tanZMON的值.

18.數(shù)列4:陽(yáng)電,…,凡(〃22)滿足4G{-1,1}(i=l,2,…，稱

2

Tn=at-2-'+?2-2"-+%?2-3+…+%?2'+%?2°為數(shù)列A”的指數(shù)和.

(1)若〃=3,求4所有可能的取值；

(2)求證：數(shù)列4的指數(shù)和7；<0的充分必要條件是4=7.

19.如圖①所示，長(zhǎng)方形ABC。中，AD=\,43=2,點(diǎn)M是邊CO的中點(diǎn)，將八位加沿40翻折到

^PAM，連接P3,PC,得到圖②的四棱錐P—A30W.

(1)求四棱錐P-的體積的最大值；

(2)設(shè)尸—AA7—。大小為6,若,求平面24〃和平面P8C夾角余弦值的最小值.

20.自2019年底開(kāi)始，一種新型冠狀病毒COWQ-19開(kāi)始肆虐全球.人感染了新型冠狀病毒后初期常見(jiàn)發(fā)

熱乏力、咽痛干咳、鼻塞流涕、腹痛腹瀉等癥狀，嚴(yán)重者可致呼吸困難、臟器衰竭甚至死亡.目前篩查冠狀

病毒的手段主要是通過(guò)鼻拭子或咽拭子采集樣本，再進(jìn)行核酸檢驗(yàn)是否為陽(yáng)性來(lái)判斷.假設(shè)在接受檢驗(yàn)的樣

本中，每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果(陽(yáng)性、陰性)是相互獨(dú)立的，且每份樣本是陽(yáng)性結(jié)果的概率均為

p(o<p<l).

(1)若p=；,現(xiàn)對(duì)4份樣本進(jìn)行核酸檢測(cè)，求這4份中檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性的份數(shù)4的分布列及期望；

⑵若p=i_2-，現(xiàn)有2M左eN*,kN2)份樣本等待檢驗(yàn)，并提供“攵合1”檢驗(yàn)方案：將

k(keN*,k>2)份樣本混合在一起檢驗(yàn).若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，則可認(rèn)為該混合樣本中的每個(gè)人都為陰性；

若檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性，則要求該組中各個(gè)樣本必須再逐個(gè)檢驗(yàn).試比較用“4合1”檢驗(yàn)方案所需的檢驗(yàn)次數(shù)

X的期望E(X)與2%的大小.

21.已知是雙曲線。:，-營(yíng)=13>0,。>0)上相異的三個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)A3關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，直線

BC,AC的斜率乘積為2.

(1)求雙曲線。的離心率.

(2)若雙曲線C過(guò)點(diǎn)(百,2),過(guò)圓O：/+y2=〃上一點(diǎn)7(毛,%)作圓。的切線/,直線/交雙曲線C

于P,。兩點(diǎn)，|OPHOQ|=4而，求直線/的方程.

22.已知二次函數(shù)〃切=%2+公+加+1,關(guān)于x的不等式/(x)<(2m-l)x+l—病的解集為(〃4〃2+1),

其中加為非零常數(shù)，設(shè)8(%)=/坪.

(1)求“的值；

(2)仁加(AcR,mwO)如何取值時(shí)，函數(shù)0(%)=g(x)存在極值點(diǎn)，并求出極值點(diǎn)?

(3)若7n=l,且x>0,求證：[g(x+l)]〃-g(x"+l)22"-2(〃wN*)

參考答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

..0.1

1+1+1

z=------------

1.已知復(fù)數(shù)1+i,N是z的共輒復(fù)數(shù)，則5-z=()

A.0B.1C,1D.2

【答案】B

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法可求z,進(jìn)而可求

i+i2+i3-1-l+i11.

【詳解】；z=FT=171-----------------------------=----------j-------1

(l+i)(l-i)22

11.111

所以z-z=---1—i二一+一

22442

故選:B.

2.第32屆奧運(yùn)會(huì)男子舉重73公斤級(jí)決賽中，石智勇以抓舉166公斤，挺舉198公斤，總成績(jī)364公斤的

成績(jī)，為中國(guó)舉重隊(duì)再添一金，創(chuàng)造新的世界紀(jì)錄.根據(jù)組別劃分的最大體重以及舉重成績(jī)來(lái)看，舉重的總

質(zhì)量與運(yùn)動(dòng)員的體重有一定的關(guān)系，如圖為某體育賽事舉重質(zhì)量與運(yùn)動(dòng)員體重之間關(guān)系的折線圖，下面模

型中，最能刻畫(huà)運(yùn)動(dòng)員體重和舉重質(zhì)量之間的關(guān)系的是（）

舉重運(yùn)動(dòng)員的體重與舉重質(zhì)量關(guān)系折線圖

運(yùn)動(dòng)員體重/公斤

A.y=ms[x+n(m>0)B.y=mx+n(m>0)

C.y=mx~+〃(m>0)D.y=max+n(加>0,。〉0且。。1)

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)）=%,y=?，y=f,y==的圖象特征判斷.

【詳解】在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)丁=工，y=&y=x2,

y==在第一象限的圖象，如圖所示：

由函數(shù)圖象，根據(jù)折線圖可知，最能刻畫(huà)運(yùn)動(dòng)員體重和舉重質(zhì)量之間的關(guān)系的是y=m五+〃

(m>0),

故選：A

3.要得到函數(shù)y=0cosx的圖象，只需將函數(shù)y=J5sin(x+?)的圖象()

TTTT

A.向左平移上個(gè)單位B.向右平移2個(gè)單位

44

7171

C.向上平移一個(gè)單位D.向下平移一個(gè)單位

44

【答案】A

【解析】

【分析】

先變形：y=V2cosx=V2sin(x+^),再根據(jù)左加右減原理即可得解.

【詳解】因?yàn)閥=V5cosx=0sin(x+§,

所以由函數(shù)/=痣$垣(%+?)的圖象得到函數(shù)了=0$皿(工+5］的圖象，

71

根據(jù)左加右減，只需向左平移7個(gè)單位.

4

故選：A.

4.以下四個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)，其函數(shù)圖象最適合如圖的是()

尤2+1產(chǎn)

B.y

x

c卡DT

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意，用排除法分析排除A、B、D，綜合可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，用排除法分析：

對(duì)于A，y（x）=—，當(dāng)x<0時(shí)，有/（力<0,不符合題意,

2x

x2+1左<0,不符合題意,

對(duì)于B，當(dāng)xvO時(shí)，

X

x

p/

對(duì)于D，/（力二三，/（2）=—<1.不符合題意,

2x8

故選：C.

5.在正方體ABC。-44GA中，過(guò)點(diǎn)。作直線/與異面直線AC和BG所成角均為e，則。的最小值為

()

A.15°B.30°C.45°D.60°

【答案】B

【解析】

【分析】計(jì)算異面直線AC和BG所成角，則6的最小值為異面直線AC和所成角的一半

【詳解】解：因AC〃AG，

所以ZBG4為異面直線AC和BG所成角,

因?yàn)?G=BC,=A,B,

所以VABC1是等邊三角形，所以NBGA=60°,

過(guò)點(diǎn)8作直線/的平行線/,則當(dāng)，與NB64的角平分線平行時(shí)，。取得最小值為30。,

故選：B

【點(diǎn)睛】此題考查異面直線所成角，屬于基礎(chǔ)題.

6.數(shù)學(xué)對(duì)于一個(gè)國(guó)家的發(fā)展至關(guān)重要，發(fā)達(dá)國(guó)家常常把保持?jǐn)?shù)學(xué)領(lǐng)先地位作為他們的戰(zhàn)略需求.現(xiàn)某大學(xué)

為提高數(shù)學(xué)系學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，特開(kāi)設(shè)了“古今數(shù)學(xué)思想”，“世界數(shù)學(xué)通史”，“兒何原本”，"什么是數(shù)學(xué)”

四門(mén)選修課程，要求數(shù)學(xué)系每位同學(xué)每學(xué)年至多選3門(mén)，大一到大三三學(xué)年必須將四門(mén)選修課程選完，則

每位同學(xué)的不同選修方式有()

A6()種B.78種C.84種D.144種

【答案】B

【解析】

【分析】先分類，再每一類中用分步乘法原理即可.

【詳解】由題意可知三年修完四門(mén)課程，則每位同學(xué)每年所修課程數(shù)為1』,2或0,1,3或(),2,2若是1,1,2,

則先將4門(mén)學(xué)科分成三組共CCC種不同方式.再分配到三個(gè)學(xué)年共有A；種不同分配方式,由乘法原理

可得共有?A；=36種，若是0,1,3,則先將4門(mén)學(xué)科分成三組共種不同方式，再分配到三個(gè)

A；

學(xué)年共有A；種不同分配方式，由乘法原理可得共有C：C>A；=24種，若是0,2,2,則先將門(mén)學(xué)科分成三

C沮

組共種不同方式，再分配到三個(gè)學(xué)年共有8種不同分配方式，由乘法原理可得共有

半4=18種

出

所以每位同學(xué)的不同選修方式有36+24+18=78種,

故選：B

7.在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切圓上.若AP=4AB+〃

AD>則2+〃的最大值為

A.3B.272c.75D.2

【答案】A

【解析】

【詳解】如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系.

設(shè)A（O,1）,8（0,0）,C（2,0）,0（2,1）,P（x,y）,

74

易得圓的半徑r=即圓C的方程是（x-2）-+y2=《,

AP=（x,y—l）,AB=（0,—l）,A￡>=（2,0）,若滿足AP=/IA6+MAD，

x=2//xX

則《〃=/,4=l-y,所以4+M=/_y+l,

y-l=-A

設(shè)z=g-y+l,即?|-y+l—z=0,點(diǎn)P（x,y）在圓（x—2）2+）7=［上,

所以圓心（2,。）到直線^—y+l—z=0的距離dVr,即爰

解得l?z<3,

所以z的最大值是3,即丸+〃的最大值是3,故選A.

【點(diǎn)睛】（1）應(yīng)用平面向量基本定理表示向量是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或

數(shù)乘運(yùn)算.

（2）用向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路是：先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量

的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決.

8.若函數(shù)辦2+力，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.若6>-1,則對(duì)于任意a>0函數(shù)/（/（力）都有2個(gè)零點(diǎn)

B.若6<-1,則對(duì)于任意a>（）函數(shù)/（/（X））都有4個(gè)零點(diǎn)

C.若匕<一1,則存在%>0使得函數(shù)/（/（x））有2個(gè)零點(diǎn)

D.若匕=-1,則存在4>0使得函數(shù)/（/（力）有2個(gè)零點(diǎn)

【答案】B

【解析】

【分析】先判斷出偶函數(shù)，求導(dǎo)討論/（力在［0,+8）上的單調(diào)性，確定最小值，再結(jié)合選項(xiàng)，討論最小值

和0的大小，進(jìn)而分析出/(X)的零點(diǎn)，再分析了(/(X))的零點(diǎn)即可.

【詳解】易得定義域?yàn)镽,又/(一力=陰+依2+匕=/(x),則/(力為偶函數(shù)；當(dāng)XNO時(shí)，

/(x)=eA+ar2+b,f'(x)-ex+2ax,

當(dāng)a>0時(shí)，則r(x)=e*+2G:>0,則在［0,+。)上單增,/(x)>/(0)=l+^,又〃x)為偶

函數(shù)，則在R上，/(x)^=\+h-

對(duì)于A,若人>—1,則而=1+人>0,故在R上有〃力>0,令，=/(x),則/>0,易得

/(。>0,則/(/(力)無(wú)零點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,若匕<-1,則/(4血=1+匕<0，又Xf+8,/(X)f+00,故/(X)在［0,+8)上有1個(gè)零點(diǎn)

為，又/(x)為偶函數(shù)，

則在(—,0)上有另一個(gè)零點(diǎn)一%，則/(/(X))零點(diǎn)的個(gè)數(shù)等價(jià)于/(%)=%以及/(x)=-%解的個(gè)數(shù)，

又菁>。易得y(x)=%有2個(gè)解，

又e*+紗；+8=0,令g(x)=e*+OV2—x—l(x>0),則g'(x)=e'+2ax—1>0,則g(x)單增，即

g(x)>g(())=。,

則e*+af2—x-l>0,可得e"+ax；—X］—1>(),即一。一玉一l>0,即b+l<一玉,則/(￡)=一%有2

個(gè)解，

綜上可得對(duì)任意a〉0，/(力=玉以及/(%)=一%有4個(gè)解，即/(/(X))有4個(gè)零點(diǎn)，故B正確；C錯(cuò)

誤；

若匕=-1,則/(初加=1+。=。，則/(力有唯一零點(diǎn)0,則/(/(力)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)等價(jià)于/(力=0解的

個(gè)數(shù)，

顯然只有1個(gè)解0,即對(duì)任意a>0,/(/(x))只有1個(gè)零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵點(diǎn)在于討論/(x)最小值和0的大小，進(jìn)而分析出“X)的零點(diǎn)；當(dāng)/(%)“而<()時(shí)，易

得“力有兩個(gè)零點(diǎn)七，一玉，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)g(x)=e'+a?—x-l(x>0)判斷一再和力+1的大小,是求

出〃x)=—石解的個(gè)數(shù)的關(guān)鍵.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列說(shuō)法正確的是()

A.將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都乘以同一個(gè)非零常數(shù)〃后，方差也變?yōu)樵瓉?lái)的。倍

B.設(shè)有一個(gè)回歸方程y=3—5x,變量x增加1個(gè)單位時(shí)，y平均減少5個(gè)單位

C.線性相關(guān)系數(shù)"的絕對(duì)值越接近于1,兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；反之，越接近于。線性相關(guān)性越弱

D.在某項(xiàng)測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果J服從正態(tài)分布N（l,b2）（b>0）,則P（J>l）=0.5

【答案】BCD

【解析】

【分析】直接利用方差關(guān)系式的變化和原數(shù)據(jù)的關(guān)系，回歸直線方程，相關(guān)系數(shù)的關(guān)系式，正態(tài)分布的關(guān)

系式的應(yīng)用判斷A、B、C、D的結(jié)論.

【詳解】解：對(duì)于A：將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都乘以同一個(gè)非零常數(shù)“后，方差也變?yōu)樵瓉?lái)的/倍，故

A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：設(shè)有一個(gè)回歸方程》=3-5x,變量x增加1個(gè)單位時(shí)，y=3-5（x+l）=3-5x-5,所以平均減

少5個(gè)單位，故B正確；

對(duì)于C：線性相關(guān)系數(shù)『的絕對(duì)值越接近于1,兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)：反之，越接近于0線性相關(guān)性

越弱，故C正確；

對(duì)于D：在某項(xiàng)測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果J服從正態(tài)分布N（l,。2）（。>0）,對(duì)稱軸為〃=1則尸0>1）=0.5,

故D正確；

故選：BCD.

10.已知函數(shù)/（x）=sin[cosx]+coskinx|,其中[x]表示不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，關(guān)于/（x）有下述

四個(gè)結(jié)論，正確的是（）

A./（九）的一個(gè)周期是2〃B./（x）是非奇非偶函數(shù)

C.〃力在（0,乃）單調(diào)遞減D.4X）的最大值大于

【答案】ABD

【解析】

【分析】先根據(jù)周期函數(shù)定義判斷選項(xiàng)A,再根據(jù)y=[幻函數(shù)的意義，轉(zhuǎn)化/（x）為分段函數(shù)判斷B選

項(xiàng)，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)判斷C,D選項(xiàng).

【詳解】Qf（x+=sin[cosx]+cos[sinx]=/（x）,

\/（X）的一個(gè)周期是2〃，故A正確；

sinl+l,x=O

cosl,x=—

2

1-sinl,xel

/(九)=,

cosl-sinl,xef^-,y

13〃,

COSI,XG—,2兀

2

COS1,XG4。

???/(%)是非奇非偶函數(shù),8正確;

對(duì)于C,xe(0,g時(shí)，/(x)=l，不增不減，所以C錯(cuò)誤；

對(duì)于。，xe[0,^|),/(x)=sinl+l>sin￡+l=l+曰>1.7>&，。正確.

故選：ABD

【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的周期性，單調(diào)性，奇偶性，考查了特例法求解選擇題，屬于中檔題.

11.為弘揚(yáng)中華民族優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某學(xué)校組織了《誦經(jīng)典，獲新知》的演講比賽，本次比賽的冠軍獎(jiǎng)杯

由一個(gè)銅球和一個(gè)托盤(pán)組成，如圖①，已知球的體積為4半7r，托盤(pán)由邊長(zhǎng)為4的正三角形銅片沿各邊中點(diǎn)

的連線垂直向上折疊而成，如圖②.則下列結(jié)論正確的是()

TT

A.經(jīng)過(guò)三個(gè)頂點(diǎn)ABC的球的截面圓的面積為彳

B.異面直線A。與CF所成的角的余弦值為*

8

TT

C.直線與平面。所所成的角為彳

D.球離球托底面。瓦'的最小距離為百+且-1

3

【答案】BCD

【解析】

【分析】求出,一ABC外接圓面積判斷A,作出異面直線所成的角并求出這個(gè)角后判斷是B,根據(jù)直線民平

面所成的角定義判斷C,求出球心到平面OEE的距離可判斷D.

【詳解】根據(jù)圖形的形成，知A8,C三點(diǎn)在底面。射上的射影分別是_￡>￡〃三邊中點(diǎn)MMP,如

圖，.ABC與△肱VP全等且所在面平行，截面圓就是AABC的外接圓與△WP的外接圓相同.

由題意△MNP的邊長(zhǎng)為1,其外接圓半徑為「=3x1=3,圓面積為S=TT，2=」，A錯(cuò)；

333

由上面討論知AC與柱平行且相等，而與N尸平行且相等，因此AC與N/平行且相等，從而

AC短V是平行四邊形，CF//AN,所以ND4N是異面直線AO與CF所成的角（或其補(bǔ)角）.由已知,

AD=2,DN=也，AN=CF=2,

AN2+AD2-ND2_4+4-3_5

cosADANB正確;

2AN-AD_2x2x2-W

由平面ADE與平面DEF垂直知AE在平面AEF內(nèi)的射影是DE,所以NAED為直線AD與平面

TT

OE五所成的角，此角大小C正確.

4a4

由上面討論知4B=3C=C4=1,設(shè)。是球心，球半徑為R,由一萬(wàn)N=—萬(wàn)得R=l，則。一ABC是

33

正四面體，棱長(zhǎng)為1,設(shè)，是的中心，則?平面A8C，又CHu平面ABC,所以

A

OHA.CH,CH=—，則。”==>又AM-V3.

33

所以球離球托底面DEF的最小距離為V3+--1，D正確.

3

故選：BCD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查空間折疊問(wèn)題，掌握空間的垂直關(guān)系是解題關(guān)鍵.由垂直平行關(guān)系得出

?ABC與△MNP全等且所在面平行，從而易得截面圓與AWNP的外接圓相同，從而可得Cb〃AN,

得異面直線所成的角，得直線與平面所成的角，根據(jù)正四面體積的性質(zhì)求得其高，得出距離的最小值.

12.在數(shù)列｛4｝中，對(duì)于任意的〃eN*都有4>0,且=%，則下列結(jié)論正確的是（）

A.對(duì)于任意的〃》2,都有4>1

B.對(duì)于任意的4>0,數(shù)列｛%｝不可能為常數(shù)列

C.若0<。<2,則數(shù)列｛??｝為遞增數(shù)列

D.若q〉2,則當(dāng)〃22時(shí)，2</<4

【答案】ACD

【解析】

【分析】A由遞推式有〃eN*上4M='工+1，結(jié)合勺>0恒成立，即可判斷：B反證法：假設(shè)｛4｝為

an+\

常數(shù)列，根據(jù)遞推式求可判斷是否符合％>0,即可判斷；C、D由〃eN"上'=4川-1，討論

an+]

4用>2研究數(shù)列單調(diào)性，即可判斷.

【詳解】A：由4,+|=2+1,對(duì)有4>0，則%+1=2+1>1，即任意都有區(qū),>1,

%%

正確；

B：由/T（《川一1）=4,若｛2｝為常數(shù)列且%>0,則a.=2滿足q〉0,錯(cuò)誤;

C：由一^=%+|—1且〃wN*，

%

當(dāng)1<a,,+i<2時(shí)0<與-<1,此時(shí)q=%（3-1）e（0,2）且“，數(shù)列｛凡｝遞增；

an+\

當(dāng)?！?i>2時(shí)——>1,此時(shí)q二%（。2-1）>。2>2,數(shù)列｛〃〃｝遞減；

〃〃+【

所以0<q<2時(shí)數(shù)列｛4｝為遞增數(shù)列，正確：

D：由C分析知：q>2時(shí)《用>2且數(shù)列｛4｝遞減，即〃22時(shí)2<%<q,正確.

故選：ACD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：選項(xiàng)B應(yīng)用反證法，假設(shè)｛4｝為常數(shù)列求通項(xiàng)，判斷是否與6>0矛盾：對(duì)于C、

D,將遞推式變形為‘仁=4』-1,討論1<。,用<2、>2時(shí)研究數(shù)列的單調(diào)性.

an+\

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分（第15題第一個(gè)空2分，第二個(gè)空3分）.

13.（1+2x）6的展開(kāi)式中/項(xiàng)的系數(shù)為（用數(shù)字作答）

【答案】160

【解析】

【分析】由二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式得到C；2'，，令r=3,即可求出展開(kāi)式中/項(xiàng)的系數(shù).

【詳解】因?yàn)楝攍6-r（2x）r=C；2'，

6x5x4

所以令r=3,則（1+2x）6的展開(kāi)式中1項(xiàng)的系數(shù)為C^X23=------x8=160,

3x2x1

故答案為：160.

X2y2

14.已知雙曲線?-2T=1（〃力〉0）左右焦點(diǎn)分別為耳，鳥(niǎo)，過(guò)點(diǎn)”作與一條漸近線垂直的直線/,且/與

ab

雙曲線的左右兩支分別交于M,N兩點(diǎn)，若|MN|=|NE|,則該雙曲線的漸近線方程為.

【答案】y=±（V3+l）x

【解析】

【分析】根據(jù)雙曲線的定義可求忻結(jié)合余弦定理可求2的值.

【詳解】如圖，設(shè)直線/：y=—2x,GSJJ且垂足為S,

a

因?yàn)槌隹梢幌騼?2%故|耳M|=2a,所以后M=4a,

而耳S_L/,故￡S=6,故COS/S6K=2,

C

在中，由余弦定理可得16a2=4/+4c2-2x2cx2ax2,

C

整理得到：2a2+2a?！獃=0,故一=1+J^,

a

因此該雙曲線的漸近線方程為y=±(73+l)x.

故答案為：y=±(百+l)x.

15.一項(xiàng)“過(guò)關(guān)游戲”規(guī)則規(guī)定:在第〃關(guān)要拋擲一顆骰子〃次,如果這〃次拋擲所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)的和大于2"，

則算過(guò)關(guān).則某人在這項(xiàng)游戲中最多能過(guò)關(guān)；他連過(guò)前三關(guān)的概率是

【答案】0.4②.幽

243

【解析】

【分析】每關(guān)得到的最大點(diǎn)數(shù)為6〃，令?！?6〃-2",利用作差法可求得數(shù)列｛%｝單調(diào)性，由此可確定當(dāng)

時(shí)，6〃<2"，從而得到結(jié)論；分別計(jì)算該人通過(guò)第一、第二和第三關(guān)的概率，根據(jù)獨(dú)立事件概率乘

法公式可求得結(jié)果.

【詳解】若每次拋擲一顆骰子都能得到最大點(diǎn)數(shù)6點(diǎn)，則第〃關(guān)拋擲的點(diǎn)數(shù)和為6〃，

+

令a?=6n-2",則an+l-atl=6n+6-2"'-6〃+2"=6—2",

則當(dāng)〃《2時(shí)，數(shù)列｛風(fēng)｝單調(diào)遞增；當(dāng)〃23時(shí)，數(shù)列｛4｝單調(diào)遞減；

又4=4>0,/=10>0,a4=—10<0,

，當(dāng)〃24時(shí)，6〃<2"，則某人在這項(xiàng)游戲中最多能過(guò)4關(guān)；

42

該人第一關(guān)所有可能的結(jié)果為1,2,3,4,5,6,則通過(guò)第一關(guān)的概率四=-=-；

該人第二關(guān)所有可能的結(jié)果有6x6=36種，則不能過(guò)關(guān)的基本事件個(gè)數(shù)為2<x+y<4的正整數(shù)解的個(gè)

數(shù)，則有1+C；+C；=6種,

通過(guò)第二關(guān)的概率p,=1-2=；

366

該人第三關(guān)所有可能的結(jié)果有6x6x6=216種，則不能過(guò)關(guān)的基本事件個(gè)數(shù)為34x+y+zW8的正整數(shù)

解得個(gè)數(shù)，則有1+C；+C；+C；+C；+C；=1+3+6+10+15+21=56種，

???通過(guò)第三關(guān)的概率"3=I"-=—；

21627

.連過(guò)前三關(guān)的概率p=PiP2P3=-x—x—=——.

3627243

…z100

故答案為：4；——.

243

16.在銳角三角形ABC中，角的對(duì)邊分別為若+c?=4bcsin(A+^),則

tanA+tan8+tanC的最小值是.

【答案】873

【解析】

【分析】由余弦定理及所給等式可得〃+2歷cosA=4歷sin(A+f|,化簡(jiǎn)得標(biāo)=2屜°sinA，然后利

用正弦定理進(jìn)行邊化角可整理得tanB+tanC=26tanBtanC，再由lanA=-tan(8+C)可推出

tanA+tan8+tanC=tanA?tan8?tanC,令tan8?tanC-1=m(m>0)將所求式子整理為關(guān)于相的函

數(shù)，利用基本不等式即可求得最小值.

【詳解】由余弦定理，得h2+c2=a2+2hccosA,則由+c?=4反sin(A+小,得

a2+2Z?ccosA=4bcsinA+=2bc(y/3sinA+cosA),所以/=2csinA，

由正弦定理，得sin2A=2j5sin8?sinC?sinA，所以sinA=26sin3sinC，

所以sin(8+C)=26sinBsinC,sinBcosC+cosBsinC=26sinBsinC，

tanB+tanC=25/3tanBtanC.

因?yàn)閠anA=-tan(8+C)=-----------------

tanBtanC-1

所以tanA+tan5+tanC=tan4tan3tanC,

..n「tanB+tanC_廠273tanBtanC_廠

則mitanA+tanB+tanC=------------------tanB-tanC=--------------------tanB-tanC?

tanBtanC-1tanBtanC-1

.八一.—八一1tan8tanC八

令tan3?tanC-1="，而tan3?tanC—I=----+-----m>0

tanAtanA

則tan3?tanC=m+1,

tanA+tanB+tg迎工迎上吧I

mm

m+—+2-+2)=85/3，

m

當(dāng)且僅當(dāng)根=l時(shí)，等號(hào)成立，

故tanA+tanK+tanC的最小值為8JJ.

故答案為：8百

【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，兩角和的正弦公式、正切公式，基本不等式的應(yīng)用，

換元法的應(yīng)用等，屬于較難題.根據(jù)條件中邊和角的關(guān)系求解三角形的相關(guān)問(wèn)題的一般方法：（I）利用正

弦定理將邊化為角，然后利用三角函數(shù)的知識(shí)及其他知識(shí)求解；（2）利用正弦定理或余弦定理將角化為

邊，然后利用代數(shù)知識(shí)求解.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQy中，銳角a的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單

位圓交于點(diǎn)P（%,y）,cosa=-

（l）求,的值；

TT

（2）射線OP繞坐標(biāo)原點(diǎn)。按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，后與單位圓交于點(diǎn)M（X2，＞2），點(diǎn)N與M關(guān)于X軸對(duì)

稱，求tanNMON的值.

【答案】（1）述

5

(2)-

3

【解析】

【分析】(1)根據(jù)角a的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x”y),cosa=半，利用三角函數(shù)的定義，結(jié)合平方

關(guān)系求解;

(2)設(shè)單位圓與x軸負(fù)半軸交點(diǎn)為°,則。(—1,0),設(shè)NMOQ=尸，求得tan￡,再利用二倍角的正切

公式求解.

【小問(wèn)1詳解】

解：因?yàn)殇J角a的終邊與單位圓交于點(diǎn)尸(％，x),cosa=正,

所以y=sina=Jl-cos2a=~~~

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)單位圓與x軸負(fù)半軸交點(diǎn)為Q,貝1」。(一1,0),

7t

設(shè)NMOQ=/?,則￡=乃,

2

所以tan/?=tanH-acosa_1

sina2'

2tan/?_2x!

4

所以tanZ.MON=tan2/?=

1-tan2/7]J3-

18.數(shù)列4:tzl,6Z2,---,a?(/7>2)滿足a,,G{-!,1}(/=1,2,--?,/?)稱

n2n31

T?=a}-2'-'+a2-2-+%?2-+-+%?2+an-2°為數(shù)列A”的指數(shù)和.

(1)若〃=3,求所有可能的取值;

(2)求證：數(shù)列的指數(shù)和7；,<0的充分必要條件是4=-1.

【答案】(1){-7,-5-3-1,1,3,5,7)

(2)證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】(1)分別討論%,4，%的取值，由4=4,4+%2+4可求得所有可能的取值；

(2)當(dāng)4=一1時(shí)，可知<W-2"T+(2"-2+2"-3+~+2i+2°),結(jié)合等比數(shù)列求和公式可證得充分性成

立；假設(shè)4=1，可知T”>2'-'-T---2"-3—2'-2%結(jié)合等比數(shù)列求和公式可證得必要性成立，由

此可得結(jié)論.

【小問(wèn)1詳解】

由題意知：4=44+2/+%,

4￡{-1,1}(i=l,2,?.?,〃),

?二當(dāng)q=g=。3=-1時(shí)，(=-7；當(dāng)〃]=%=一1,%=1時(shí)，4=-6+1=-5；

當(dāng)。]=。3=_1,。2=1時(shí)，4=-5+2=—3；當(dāng)。2=%=_1，q=l時(shí)，T3=4-3=1；

當(dāng)q=_l,4=q=1時(shí)，(=—4+3=-1；當(dāng)。2=-1，q=%=l時(shí)，=5-2=3；

當(dāng)〃3二一1，q=〃2=l時(shí)，4=6—1=5；當(dāng)q=〃2=〃3=l時(shí)，4=7；

綜上所述：心所有可能的取值為{-7,-5,-3,-1,1,3,5,7}.

【小問(wèn)2詳解】

W2,,3

充分性：當(dāng)4=-1時(shí)，Tn=-T-'+.2-+?2-+???+?2'+?2°

z、

<-2"-'+Qi+2"7+…+21+2°)=-2"T+[2=-2,,_|+2,M-l=-l<0(當(dāng)且僅當(dāng)

%=%=…=%=1時(shí)取等號(hào)),

即當(dāng)4=—1時(shí)，(<0,充分性成立；

21

必要性：假設(shè)％=1,則Tn=2"~'+a2-2"~+%?2"-3+…+a,”].2+an-2°

i_9?-l

>2"''-2"-2-2"3-------2'-2°=2"T-------=2"T_2"“+1=1>0(當(dāng)且僅當(dāng)

1-2

a2=a3=---=an=-l時(shí)取等號(hào)),

與北<0矛盾，，假設(shè)錯(cuò)誤，即6=-1，必要性成立；

綜上所述：數(shù)列4的指數(shù)和7；<0的充分必要條件是q=-1

19.如圖①所示，長(zhǎng)方形ABC。中，AZ)=1,A6=2,點(diǎn)M是邊CO的中點(diǎn)，將/WM/沿40翻折到

APAM，連接P3,PC,得到圖②的四棱錐尸―A5CW.

（1）求四棱錐P-43CM的體積的最大值；

（2）設(shè)P—AA7—。的大小為6,若