2023年高考數(shù)列大題練習(xí)【含答案】

新高考數(shù)列大題優(yōu)質(zhì)練習(xí)

解答題（共50小題）

1.（2022秋?新泰市校級(jí)期中）已知數(shù)列｛斯｝是等差數(shù)列，其前〃項(xiàng)和為S“且滿足。什。5

=10,54=16；數(shù)列｛仇｝滿足：加+3歷+32歷+…+3"-1%=2,（nGN,）.

3

（I）求數(shù)列｛斯｝,｛兒｝的通項(xiàng)公式;

（II）設(shè)Cn=a,A:+-----------,求數(shù)列｛5｝的前N項(xiàng)和7".

anant-l

2.（2022秋?鄒城市期中）已知數(shù)列｛斯｝,勾=2,且滿足“eN*,有a〃?a“+i=22"+i.

（1）求數(shù)列｛“”｝的通項(xiàng)公式.；

nn2n3nW

（2）若尻=斯（斯-1）,設(shè)數(shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)和為S〃，試求和：工-?卡??/_.

S1S2s3Sn

3.（2022秋?浙江月考）在下面三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中并作答.

;

①（〃+1）。"+1；@an+l=2,>/s^③-2+L=盧支）之

已知S,為數(shù)列｛?！ǎ那啊绊?xiàng)和，滿足。1=1,a?>0,.

（1）求｛斯｝的通項(xiàng)公式；

（2）若b”=llg（斯+1）],其中田表示不超過(guò)x的最大整數(shù),求數(shù)列｛瓦｝的前100項(xiàng)和

Tioo.

=

4.（2022秋?麗水月考）在數(shù)列｛a,J中，a\=—,an-an+]2an+]an（neN*）.

3

（1）求數(shù)列｛“”｝的通項(xiàng)公式；

（2）求滿足不等式2a3+…（k€N*）成立的％的最大值.

5.（2022秋?寧波月考）已知數(shù)列｛總的前"項(xiàng)和己滿足S"=2a”-2（〃CN*）.

（1）求數(shù)列｛“”｝的通項(xiàng)公式：

b

（2）令bn=an-4n,求數(shù)列f-2-｝的前n項(xiàng)和Tn.

an

6.（2022秋?溫州月考）已知數(shù)列缶“｝是等差數(shù)列，ai=\,且圖，。5-1成等比數(shù)列.給

定在N*,記集合｛，水〃6N*｝的元素個(gè)數(shù)為

（1）求4,歷的值；

（2）求最小自然數(shù)"的值,使得4+歷+…+642022.

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7.(2022秋?南山區(qū)校級(jí)期中)設(shè)等差數(shù)列｛a”｝的前"項(xiàng)和為為,已知55=35,且雨是m

與03的等比中項(xiàng)，數(shù)列｛仇｝的前n項(xiàng)和Tn=4n2+5rr

(1)求數(shù)列｛斯｝、｛a｝的通項(xiàng)公式；

(2)若。1<4,對(duì)任意〃€N*總有————十1+?**+-一1一<人恒成立，求

4Sb

4S[-b[4S2-b2n'n

實(shí)數(shù)人的最小值.

8.(2022秋?浙江月考)已知數(shù)列｛斯｝的前"項(xiàng)和為知,m=3,Sn=2+an+i.(?GN*).

(1)證明：數(shù)列｛S〃-2｝為等比數(shù)列；

“n+2

(2)設(shè)d=記數(shù)列｛bn｝的前"項(xiàng)和為T(mén)n,證明：Tn<\.

(an+1+l)(2Sn-3)

9.(2022秋?上城區(qū)校級(jí)月考)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的無(wú)窮數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為S",且滿足

2L

。1=1，nSn+1=(n+1)Sn+^Y^-(n€N*)-

(1)證明數(shù)列｛“”｝是等差數(shù)列，并求出｛斯｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)列的,｝滿足bn=-^-，證明：bl+b2+-+bn<y-

2Sn2

10.(2022?浙江開(kāi)學(xué))已知數(shù)列｛”“｝的首項(xiàng)為a=上，對(duì)于任意的正自然數(shù)

12

42n

n，an+l^Tf

(I)求證：數(shù)列Q-1｝為等比數(shù)列：

an

(H)若」<100,求滿足條件的最大整數(shù)〃.

ala2an

ajl，n為奇數(shù)

11.(2022?淄博一模)已知數(shù)列｛斯｝滿足：m=2,且a=一必(nCN)?設(shè)

n+1

2an,n為偶數(shù)

bn-Clin-1?

(1)證明：數(shù)列｛瓦+2｝為等比數(shù)列,并求出｛瓦｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛詼｝的前2〃項(xiàng)和.

12.(2021,3月份模擬)已知數(shù)列｛斯｝滿足ai=2,a?+i=L"-——-——，b"=a”--

22X3n3n-1

(1)求證：數(shù)列｛d｝是等比數(shù)列；

(2)設(shè)數(shù)列｛〃”｝的前〃項(xiàng)的和為S”求證：sn<L.

2

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13.（2022?浙江開(kāi)學(xué)）已知數(shù)列｛“”｝的前〃項(xiàng)和為S”且做=1,S”=a“+i-l,數(shù)列｛如｝為

等差數(shù)列，且2a4=3歷+1,56=7加.

（I）求｛“”｝與｛如｝的通項(xiàng)公式；

b

（II）記c=—＞求｛cn｝的前〃項(xiàng)和為T(mén)".

nan

14.（2021?廣州二模）已知等比數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為%,ai=l,S"+i+2S,」=3S“（〃22）.

（1）求數(shù)列｛“”｝的通項(xiàng)公式；

（2）令］=皿一,求數(shù)列也"｝的前〃項(xiàng)和%.

nSnSn+1

15.（2021?萍鄉(xiāng)二模）已知等比數(shù)列｛斯｝各項(xiàng)均為正數(shù)，S,為其前〃項(xiàng)和.若對(duì)任意正整數(shù)

n,有Sn+2=4Sn+3恒成立，且6〃=log2a2〃.

（1）求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

（2）令c=_■,求數(shù)列｛Cn｝的前〃項(xiàng)和T”.

nb"|

16.（2022?浙江開(kāi)學(xué)）已知數(shù)列｛a,,｝的前”項(xiàng)和為

Sn，a廣1,（n+3）Sn=nSn+1（n€N*）-

（1）求數(shù)列｛〃”｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)b=＞L,T為數(shù)列｛d｝的前〃項(xiàng)和，如果對(duì)于任意的〃€N*恒有求/

nan11

的最小值.

17.（2022春?雅安期末）已知數(shù)列｛a”｝中，1=2,且對(duì)任意正整數(shù)機(jī)，1都有。.

（1）求數(shù)列｛〃”｝的通項(xiàng)公式；

>b2,

（2）若數(shù)列｛加｝滿足:…+(-1)n-1

an

2+122+12n+l

（i）求數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式；

（訂）設(shè)Cn=3、tbn'若c"+i＞Cn對(duì)任意"CN*恒成立，求實(shí)數(shù)f的取值范圍.

18.（2022秋?拱墅區(qū)校級(jí)月考）已知公差為d的等差數(shù)列｛加｝和公比夕＜0的等比數(shù)列｛6.｝

中，a\=b\=\,。2+歷=3,。3+歷=2.

（I）求數(shù)列｛斯｝和?〃｝的通項(xiàng)公式；

（II）令Cn=3an-b：（n€N*＞抽去數(shù)列的｝的第3項(xiàng)、第6項(xiàng)、第9項(xiàng)、…第3〃

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項(xiàng)、…，余下的項(xiàng)的順序不變，構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列出｝,求數(shù)列B,｝的前2023項(xiàng)和S2023.

19.(2022秋?浙江月考)已知數(shù)列伍”｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，記S”為｛斯｝的前〃項(xiàng)和,

(1)求證：數(shù)列｛、瓦｝是等差數(shù)列，并求｛斯｝的通項(xiàng)公式：

(2)當(dāng)〃6N*,時(shí)，求證：-^―+-｝

2121214

20.(2022?寶雞模擬)已知｛斯｝是等差數(shù)列，ai+a2+a3=12,04=8.

(1)求｛斯｝的通項(xiàng)公式；

(2)若對(duì)于任意"6N+,點(diǎn)4,(alt,%)都在曲線夕=2工上，過(guò)4,作x軸的垂線，垂足

為Bn,記△04,8”的面積為S”求數(shù)列｛SJ的前n項(xiàng)和Tn.

21.(2022秋?重慶月考)已知數(shù)列｛斯｝滿足ai=l,an+i=3an+l.

(1)證明：卷｝是等比數(shù)列，并求｛斯｝的通項(xiàng)公式；

(2)證明：3.

ala2a3an2

22.(2022秋?皇姑區(qū)期中)已知數(shù)列｛”“｝前〃項(xiàng)積為7,”且an+Tn=l(n￡N*>

ard-l2

23.(2021秋?柳州月考)數(shù)列｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和為S,”若m=2,點(diǎn)(S〃，Se)在直線y=

■—x-n-1(n€N*)匕

n

S

(1)求證：數(shù)列｛」｝是等差數(shù)列;

(2)若數(shù)列｛與｝滿足m=2%〃,求數(shù)列｛加｝的前〃項(xiàng)和

24.(2022秋?萊西市校級(jí)月考)記S“為數(shù)列｛〃”｝的前〃項(xiàng)和，已知內(nèi)=1,且數(shù)列

3

｛4〃S〃+(2〃+3)是等差數(shù)列.

(1)證明：擊_｝是等比數(shù)列，并求｛斯｝的通項(xiàng)公式；

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3kLan，n為奇數(shù)

⑵設(shè)［=nmg*、,求數(shù)列｛仇｝的前2〃項(xiàng)和72”.

一,n為偶數(shù)

an

25.(2022秋?大連期中)已知數(shù)列｛斯｝是公比為2的等比數(shù)列,及，。3,04-4成等差數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式;

(2)若b=l+l°g2a二設(shè)數(shù)列付”｝的前〃項(xiàng)和〃，求證：1W2V3.

nan

26.(2022秋?湖北月考)已知數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為S”滿足a,=-LS,,=S+----------

町2n+1°n2an+l

(1)證明數(shù)列&L｝是等差數(shù)列，并求數(shù)列｛a”｝的通項(xiàng)公式：

an

(2)若數(shù)列｛d｝滿足bn=(2n+l)2?an，an+「求數(shù)列｛加的前〃項(xiàng)和心

2

27.(2022秋?黃岡月考)已知數(shù)列｛?！ǎ黜?xiàng)均為正數(shù)且滿足a/-(?-1)a?-2n+n=0,

數(shù)列｛d｝滿足一=3,且瓦+1=3叢+3田.

(1)求｛斯｝,也”｝的通項(xiàng)公式；

(2)若Cn=b"+G”求｛Cn｝的前"項(xiàng)和T”.

28.(2022秋?張掖期中)己知數(shù)列｛即｝的前〃項(xiàng)和S”=-a”-(■1)"1+2,數(shù)歹北方｝滿足

2

bn=2〃a〃.

(1)證明：數(shù)列仍〃｝是等差數(shù)列；

(2)設(shè)Cn=-----------n(n+1)---------，求數(shù)列｛Cn｝的前"項(xiàng)和%.

n

2(n-an)(n+1-an+1)

29.(2022秋?金鳳區(qū)校級(jí)期中)設(shè)數(shù)列｛即｝的前〃項(xiàng)和為Sn,ai=2且an+i=2an,數(shù)列｛d｝

滿足［」-

b且*=3b+l-

1aln

(1)證明：數(shù)列?。堑炔顢?shù)列，并求｛斯｝,仙"｝的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)數(shù)列4)的前n項(xiàng)和為T(mén),?求Tn.

30.(2022?南通模擬)已知數(shù)列｛%｝滿足:。1=1,且,其中“6N*,從①斯+1-2的

=n-\,②斯+1-?尸2"-1,③/生工=2+二旦三個(gè)條件中任選一個(gè)填入上面的橫線

an2n-n

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中，并完成下列問(wèn)題解答.

(1)求數(shù)列｛“"｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)與=-----------------S,為數(shù)列｛%〃｝的前”項(xiàng)和，求S”.

n

(2-an)(n+2)

31.(2022秋?長(zhǎng)春月考)已知數(shù)列｛劭｝滿足:“1=2,〃劭+1+(〃+1)=3+2)斯+(〃+1尸.

(I)證明：數(shù)列｛-^^｝是等差數(shù)列；

(II)設(shè)分產(chǎn)二手).,求數(shù)列?“｝的前?項(xiàng)和Sn.

2口“

32.(2022秋?長(zhǎng)沙期中)已知正項(xiàng)數(shù)歹U｛。"｝滿足幻=2且+[_6a：+anan+[=0.

(1)求數(shù)列｛加｝的通項(xiàng)公式；

n為奇數(shù)

(2)令b=]2，求數(shù)列｛d｝的前2〃+1項(xiàng)的和S2“+i.

na門(mén)，n為偶數(shù)

33.(2022秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考)設(shè)數(shù)列｛“"｝滿足ai=2,a2=6,且斯+2=2斯+1-a”+2.等

差數(shù)列｛瓦｝的公差d大于0.已知。2=歷+3,且歷，歷，加成等比數(shù)列.

(1)求證：數(shù)列｛?！?1-4”｝為等差數(shù)列，并求｛劭｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛-—｝的前〃項(xiàng)和Tn.

bnbn4-l

34.(2022秋?郴州月考)已知數(shù)列｛斯｝中,3=1,其前〃項(xiàng)和為S”S“+i=3S"+l.

(1)求數(shù)列｛“”｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)6"=log3a”+i，若數(shù)列[——---｝的前"項(xiàng)和為T(mén)”，求證：丁<—.

b"2114

35.(2022秋?襄陽(yáng)期中)已知數(shù)列｛斯｝滿足2。1+22a2+…+2%"=〃義2"+2-2n+l+2.

(1)求｛a,J的通項(xiàng)公式；

3a+4c1

(2)設(shè)加=---------------，證明：_2_Wbi+歷+…+與<」^.

an-i>、672120

92anan+lan+2

36.(2022秋?秦皇島月考)已知數(shù)列｛a“｝的前〃項(xiàng)和為S”，a\=2,當(dāng)〃2時(shí)，2(n-1)

2

Sn=2nSn-i+n-n.

(1)求數(shù)列m”｝的通項(xiàng)公式；

(2)求證：---

ala2a3an3

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n<1

37.（2022秋?湖北期中）已知數(shù)列｛念｝的首項(xiàng)為4,且滿足a.1=4an-2'1若bn=弋一L

（1）求數(shù)列｛加｝的通項(xiàng)公式；

（2）數(shù)列｛Cn｝中，CI—4,對(duì)任意加，〃€N*,都有CnCm=3,求數(shù)歹（J｛加?g｝的前〃項(xiàng)

n-m

和S”.

2

38.（2022秋?煙臺(tái)期中）記S”為數(shù)列｛斯｝的前"項(xiàng)和,已知ai=l,S?=nan.

（1）求｛斯｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)d,T=52bb..ib..y求證：?

9anxni+2

zi=l4A

39.（2022秋?湖北期中）已知等差數(shù)列｛斯｝和等比數(shù)列｛瓦｝滿足的=2,3=4,金=21唯瓦,

”€N*.

（1）求數(shù)列S"｝,｛辦｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)數(shù)列｛“”｝中不在數(shù)列｛d｝中的項(xiàng)按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列｛Cn｝,記數(shù)列｛Cn｝的前

”項(xiàng)和為S,,求S50.

40.（2022秋?湖南月考）記各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列伍“｝的前〃項(xiàng)和是S”己知。/+斯=25”，〃

為正整數(shù).

（1）求｛斯｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)6”=tan（an）-tan（a?+i）,求數(shù)列｛a｝的前“項(xiàng)和T”.

41.（2022秋?濰坊月考）在各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列｛四｝中，m=l,且可，°2,。5成等比

數(shù)歹IJ,數(shù)歹I｛仇｝的前n項(xiàng)和S,=2"+1-2.

（1）求數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)數(shù)列⑸｝的前〃項(xiàng)和加若不等式2〃+"2>3bg"（1

對(duì)任意的正整數(shù)〃恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

42.（2022秋?玄武區(qū)校級(jí)月考）設(shè)數(shù)列｛斯｝滿足ai=2,&=6,且a”+2=2a”+i-a”+2.

（1）求證：數(shù)列｛念+1-斯｝為等差數(shù)列，并求｛a”｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)hn=ancosim,求數(shù)列｛仇｝的前“項(xiàng)和Tn.

43.（2022秋?鞍山期中）已知數(shù)列｛&”｝的前"項(xiàng)和S"=3〃-1,數(shù)列｛為｝滿足加=-1,bn+i

=b”+（2n-1）.

（1）求數(shù)列｛斯｝、出力的通項(xiàng)公式.

7/54

a.b

（2）若c=—~~工，求數(shù)列｛Cn｝的前〃項(xiàng)和心,

nn

44.（2022秋?濰坊月考）已知數(shù)列｛即｝中,at=2,當(dāng)時(shí),（?-1）an=2nan.\.

（1）求數(shù)列｛"”｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)（:產(chǎn)蟲(chóng)史）,數(shù)列｛.｝中是否存在最大項(xiàng)與最小項(xiàng)？若存在，求出最大項(xiàng)與最

an

小項(xiàng)；若不存在，說(shuō)明理由.

45.（2022秋?湖北月考）已知等差數(shù)列｛斯｝的首項(xiàng)內(nèi)>0,記數(shù)列｛斯｝的前"項(xiàng)和為

Sn（n€N*）'且數(shù)列的;｝為等差數(shù)列?

s

（1）證明：數(shù)列段｝為常數(shù)列；

aS

（2）設(shè)數(shù)列的前〃項(xiàng)和為T(mén)（n€N*）求｛T"｝的通項(xiàng)公式.

anarH-l11

46.（2022秋?遼寧期中）己知數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和S"=〃2+〃.

（1）求數(shù)列｛"”｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè),數(shù)列｛5｝的前〃項(xiàng)和為7”，是否存在正整數(shù)%,使得7”<乒-3女

anan*-2

對(duì)于正N+恒成立？若存在，求出左的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

47.（2022秋?湖北月考）已知數(shù)列｛“”｝滿足工，「-ac+~^3+…（?eN+）.

31322333n

（I）求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

（II）設(shè)6"=魄3斯，求數(shù)列｛-------------｝的前"項(xiàng)和為T(mén)".

bnbn+]b/2

48.（2022?開(kāi)福區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）已知數(shù)列｛如｝的前〃項(xiàng)和為S”,且滿足（q-l）Sn=qan-1（q

>0）,〃€N*.

（1）求數(shù)列｛“”｝的通項(xiàng)公式：

⑵當(dāng)夕=2時(shí)，數(shù)列｛與｝滿足b=,，釐—，求證：-7-<bi+b+-+b<2s

10Jn

nnkn+Uan2

（3）若對(duì)任意正整數(shù)〃都有成立，求正實(shí)數(shù)q的取值范圍.

49.（2021秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）已知數(shù)列｛an｝的前〃項(xiàng)的為S,,滿足

S-S<=-----------（n>2,n€N*）>m=l，“2=2.

nn1a.—an-l

（1）記》=斯斯+1,求｛b〃｝的通項(xiàng)公式;

8/54

（2）記Cn=log24"-log2a”+2，求｛Cn｝的前63項(xiàng)和763.

50.(2022秋?沈北新區(qū)校級(jí)月考)已知數(shù)列｛?！埃堑炔顢?shù)列，。2=3,?=6,數(shù)列｛加｝的前

”項(xiàng)和為S,且26"-S〃=2.

(I)求數(shù)列｛〃"｝、｛為｝的通項(xiàng)公式;

(H)記c=——包坦——，若數(shù)列｛Cn｝的前〃項(xiàng)和為T(mén)”，證明:T

nan*an+l*n<f

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新高考數(shù)列大題優(yōu)質(zhì)練習(xí)

參考答案與試題解析

一.解答題（共50小題）

1.（2022秋?新泰市校級(jí)期中）已知數(shù)列｛斯｝是等差數(shù)列，其前〃項(xiàng)和為S“且滿足。1+。5

=10,$4=16；數(shù)列｛瓦｝滿足：加+3歷+32的+…+3"-%“=2,(〃6N*).

3

(I)求數(shù)列｛*｝,出”｝的通項(xiàng)公式；

(II)設(shè)cn—anb,,+——-——，求數(shù)列｛.｝的前n項(xiàng)和T,,.

anant-l

【答案】(/)即=2〃-1,b,產(chǎn)工

3n

(IDi-

3n2n+l

【解答】解：⑺設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的公差為力???。1+。5=10,54=16,

.?.2c“+4d=10,4m+64=16,

聯(lián)立解得ai=Ld=2,

J劭=1+2(/?-1)=2n-1.

數(shù)列｛m｝滿足:bi+362+32b3+???+3〃F6〃=旦,(z?GN*),

3

時(shí)，歷+3歷+32/+…+3獷2=注1,

3

相減可得3"一5”=工，解得與=」一

33n

(n)由(/)可得：Cn-anbn+——---—+---------------

211殘913n(2n-l)(2n+l)

1=1=1(1.1y

anan4-l(2n-l)(2n+l)22n~l2n+l

,數(shù)歹ijf-----------］的前n項(xiàng)和=—(1--?1■+???+—1---1—)=JL(1

anan*-l23352n_l2n+l2

—n

2n+l'

設(shè)數(shù)列｛2n-l｝的前n項(xiàng)和為An,則4產(chǎn)工+-^-+-^-+…+2n-1,

n

3332333n

L”=JL+-^_+_§_■+…+2n-3+2n-l,

331233343n3ttH

10/54

e(i

.?.斗，尸工+2(_1_+_U…+_L)-Q=L2X^3——2nJ_；

3332333n3nH31」3nH

3

化為4產(chǎn)1-史工.

3n

...數(shù)列｛Cn｝的前n項(xiàng)和Tn=\-空工+_!3—.

3n2n+l

2.(2022秋?鄒城市期中)已知數(shù)列｛斯｝,4=2,且滿足〃6N*,有所?劭+i=22n+i.

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式.；

nQ2n3nW

(2)若為=斯(a〃-1),設(shè)數(shù)列｛d｝的前〃項(xiàng)和為8,試求和：+/，+?./_.

SiS2s3$n

n

【答案】(1)an=2.

(2)3x(1-—1—).

22n+1-l

【解答】解:(1)???斯?即+1=22"+1,

...an+lan+2^.22tH-34=an+2

anan+lan

取”=1時(shí),aia2=23,<71=2,解得。2=4.

al

???數(shù)列｛板｝是等比數(shù)列，首項(xiàng)為2,公比為2.

**?4〃=2”.

nH

(2)bn=anCan-1)=2(2-1)=4〃-2",

...數(shù)列9的前〃項(xiàng)和為s尸好也-2(2-1)=4'y-6><2'2,

4-12-13

...變==3x(1-1),

sn2(2n+1-l)(2n-l)22n-l2n+1-l

.?.2工1?=3*=

S1s2s3sn222-l22-l23-l2n-l2n+1-l

.lx(1-―l——).

22n+1-l

3.(2022秋?浙江月考)在下面三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中并作答.

11/54

①〃a”+i=an+\；②a+l=2\ls~；③("1)2.

nVnSnn

已知S,為數(shù)列｛?！ǎ那啊?xiàng)和，滿足。1=1,an>0,(D.

(1)求｛如｝的通項(xiàng)公式；

(2)若bn=Ug(即+1)],其中田表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，求數(shù)列｛瓦｝的前100項(xiàng)和

rioo.

【答案】(1)an=2n-\.

(2)147.

【解答】解：(1)選擇條件①.

由Na〃+1-(?+1)an—1>得(M+1)cin+2~(n+2)a"+i=l,

=

兩式作差得(M+1)(an+an+2)-2(M+1)an+i0>即即+。"+2=2%+1,

故｛“〃｝為等差數(shù)列，

當(dāng)〃=1時(shí)，由條件①知42-2m=l,6=3,故公差〃=。2-1=2,

所以an=2n-1,

選擇條件②，

當(dāng)〃=1時(shí)，可知0=1，a：+2an=4Sn-l，

當(dāng)〃22時(shí)，/.n=4。-1,

an-l+Zan-l"rrl1

兩式相減得&2+2a-a21-2a,=4(S-Si)=4a，

anzanan-lzan-l33n

即(an-an-i_2)=0,又?！?gt;0,所以

所以｛〃〃｝是1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，

所以an=2n-1,

選擇條件③，

SS

由31了=匾，得｛匾｝為常數(shù)列,

(n+1)nn

S

所以￡=Sl=l，得Sn=n2,

n

當(dāng)〃》2時(shí)，an=n2-(n-l)2=2n-l，

又m=l也符合上式，所以斯=2〃-1.

12/54

(2)由(1)可得醫(yī)=[/g(2n)],

當(dāng)/g(2〃)=1時(shí)，〃=5；當(dāng)/g(2〃)=2時(shí)，”=50；當(dāng)/g(2〃)=3時(shí)，〃=500,

所以Tioo=[/g2]+[/g4]+…+[/g8]+[/glO]+-+[/g98]+[/gl00]+-+[/g200]=4X0+45X1+51X

2=147.

4.(2022秋?麗水月考)在數(shù)列｛a,,｝中，a-a?i=2a+ia(MGN*).

3n+nn

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

(2)求滿足不等式2a3+…+飆飆*1〈二(k€N*)成立的人的最大值?

【答案】(1)劭=二^;(2)8.

2n+l

【解答】解：(1)由?！?斯+1=2。"+1即("6N*),可得一--—-^-=2,

an+lan

可得｛工｝是首項(xiàng)為3,公差為2的等差數(shù)列，則上-=3+2(n-1)=2/7+1,

anan

即有a——--；

n2n+l

(2)aa+\1=1(1

nn(2n+l)(2n+3)~22n+l

所以a102+0203+???i=A(A-A.+A-A.+...+—1—備)

235572k+l

=工(1--J-)<1,

232k+37

可得」即2k+3V21,即有kV9,

2k+321

則整數(shù)4的最大值為8.

5.(2022秋?寧波月考)己知數(shù)歹義而｝的前"項(xiàng)和S,滿足a=2。"-2(〃WN*).

(1)求數(shù)列｛“"｝的通項(xiàng)公式;

b

(2)令b?^a?-4n,求數(shù)列｛」?｝的前〃項(xiàng)和T?.

an

【答案】⑴?！?2"；(2)〃=〃-8+紅給.

2n-2

【解答】解：(I)在S〃=2a.-2中，令〃=1,則ai=2ai-2,即內(nèi)=2,

當(dāng)〃》2時(shí)，有S"j=2a”一1-2,

兩式相減得,an=2an-2an.\,即。"=2即一1(〃22),

所以數(shù)列｛Z｝是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,

所以數(shù)列念=2?2"1=2".

13/54

(2)bn—an-4〃=2"-4〃,

所以%=21至1=1

an2n2n-2

設(shè)數(shù)列的前八項(xiàng)和為Q,?則T?=n-Q,?

2nT

而gn=-^-+—+—+--+--P-^.+—2—,

2-120212n72n-2

所以,,,+#]—+」—,

22°21222n-22n-1

n2[1-e)力

兩式相減得,..1-+」一+—+.1

2°2122

n+2

2n-1

所以5=8-n+2

n+2

所以Tn=n-Qn=n-8+

6.(2022秋?溫州月考)已知數(shù)列｛&｝是等差數(shù)列，m=l,且a”“2,a57成等比數(shù)列.給

定KN*,記集合｛，冰〃6N*｝的元素個(gè)數(shù)為塊.

(1)求6i,62的值;

(2)求最小自然數(shù)〃的值，使得61+62+…+仇>2022.

【答案】(1)61=2,歷=3；

(2)當(dāng)最小自然數(shù)〃的值為11時(shí)，使得加+歷+…+6Q2022.

【解答】解：(1)設(shè)等差數(shù)列｛?”｝的公差為",

Vai=l,且a”ai,怒-1成等比數(shù)列,

a2=q]?(--I),即(l+J)2=4d,解得d=l,

a2

??4〃=1+/7-1=〃，

:集合｛砥〃6N*｝的元素個(gè)數(shù)為bk,

.?.當(dāng)左=1時(shí)，集合｛〃[1W〃W2,〃6N*｝的元素個(gè)數(shù)為加，即歷=2；

當(dāng)k=2時(shí)，集合｛川2<〃<4,〃eN*｝的元素個(gè)數(shù)為歷，即仍=3,

故從=2,m=3；

(2)集合〃CN*｝的元素個(gè)數(shù)為6，即集合〃6N*｝的元素個(gè)數(shù)

為bk,

14/54

kn

/.bk=2-k+l,即bn=2-n+l,

二6+歷+…+b”=(2-1+1)+(22-2+1)+...+(2n-n+l)=(2+22+...+2n)-n(n+l)+〃

2

=2止2"),ni.+n_=2⑵-1)-nl+H>2022,

1-22222

2

令Cn=2,,+1-2-2L-+2L,

22

則C?+1-Cn=(2"+2-2-lutlll+Htk)-(2,,+I-1-直+旦)=2,,+1-n>0,

2222

；?數(shù)列｛Cn｝單調(diào)遞增，

2

當(dāng)*=10時(shí)，2(2"-l)-二_+且=2(210-1)-50+5=2001<2022,

22

2

當(dāng)〃=11時(shí)，2(2"-1)-匚_+匹=2(2"-1)--111_+里=4039>2022,

2222

當(dāng)最小自然數(shù)n的值為11時(shí)，使得bi+bz￥-+bn>2022.

7.(2022秋?南山區(qū)校級(jí)期中)設(shè)等差數(shù)列｛“”｝的前〃項(xiàng)和為S”已知S5=35,且函是m

與。13的等比中項(xiàng)，數(shù)列｛劣｝的前n項(xiàng)和Tn=4n2+5rr

(1)求數(shù)列｛即｝、出”｝的通項(xiàng)公式;

(2)若。1<4,對(duì)任意"CN*總有———入恒成立，求

+-4---s---2--^---2---+??-4--4---S--------b----<^

4Sl-blnn

實(shí)數(shù)人的最小值.

【答案】(1)數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式”“=7或許=2〃+1,數(shù)列｛方｝的通項(xiàng)公式為6”=8"公;

(2)實(shí)數(shù)人的最小值為

2

【解答】解：(1)設(shè)等差數(shù)列｛a,,｝的公差為力

?.$=35,且04是41與。13的等比中項(xiàng),

<

5a1+10d=35

/.<,即3d(3d-2〃i)=0,ai+2d=7,解得d=0或

a4=(ai+3d)2=a1(a]+12d)

d=2,

當(dāng)d=0時(shí)，a\=7,此時(shí)數(shù)列｛〃〃｝的通項(xiàng)公式a〃=7,

當(dāng)d=2時(shí)，m=3,此時(shí)數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式?！?3+2(?-1)=2〃+1,

數(shù)列」｛d｝的前n項(xiàng)和K=4n2+5n①,

當(dāng)N=1時(shí)，bi=Ti=9,

當(dāng)〃22時(shí)，7ki=4(n-1)2+5(n-1)②，

15/54

由①-②得時(shí)，氏=4〃2+5〃-[4(?-1)2+5(n-1)]=8〃+1,

當(dāng)M=1時(shí),4=9,

，數(shù)列｛b?｝的通項(xiàng)公式為仇=8"+1；

(2)由(1)得〃”=7或。"=2〃+1,hn=8n+\,

...等差數(shù)列｛a”｝的前n項(xiàng)和為s,=n(3+2n+l)=〃(?+2),

2

11_=工f1_1

令Cn),

4Sn-bn4n2-122n-l2n+l

--+--1--+…+--1---=Cl+C2+...+Cn=L(1-—+A-

4S「b14S2-b24Sn-bn233

=工(1-

2n+l2

?.」(1--J_)隨n的增大而增大,

22n+l

.,.A(i--J_)＜上恒成立,

22n+l2

11

:對(duì)任意"6N*總有.,+…+——-——<入恒成立,

_4S-b

4S[-b[4S2b2nn

.?.入三,

2

故實(shí)數(shù)人的最小值為工.

2

8.（2022秋?浙江月考）己知數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為S”0=3,S”=2+a”+i.(n￡N*).

（1）證明：數(shù)列｛Sn-2｝為等比數(shù)列;

an+2

(2)設(shè)bn—記數(shù)列出"｝的前n項(xiàng)和為T(mén)”，證明:Tn<\.

(an+1+l)(2Sn-3)

【答案】（1）證明過(guò)程請(qǐng)看解答；（2）證明過(guò)程請(qǐng)看解答.

【解答】證明：（1）在5"=2+。?+1中，令〃=1,有41=2+02,所以“2=1

由S”=2+a”+i，知當(dāng)，?22時(shí)，S"-i=2+a”,

兩式相減得‘-a,”即（〃22）,

所以數(shù)列S”｝從第二項(xiàng)開(kāi)始，是公比為2的等比數(shù)列,

3,n=l

所以

2n-2n》2

22Z,1

所以S?=3+1+2+2+—+2"-=3+.1￡1Z221)=2-+2,

1-2

16/54

所以S"-2=2"i+2-2=2"F,是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列，得證.

,、“3,n=l..

(2)由(1)知斯=，,，S；=2"1+2,

告已n>2

(2n-1+l)[2-(2n-1+2)-3]

2n=2(1-1X

(2n-1+l)(2n+l)2n-1+12n+l

、一工、一一

所以7”=2K上」+(▲」+???+(——1d12

23352n-1+12n+l22n+l2n+l

<1,得證.

9.(2022秋?上城區(qū)校級(jí)月考)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的無(wú)窮數(shù)列｛加｝的前〃項(xiàng)和為S“且滿足

n(1)

。尸1,nSn+1=(n+l)Sn+y(n€N*)-

(1)證明數(shù)列｛a,,｝是等差數(shù)列，并求出｛a“｝的通項(xiàng)公式；

+

(2)設(shè)數(shù)列｛姍滿足證明：b1+b2-+bn<y-

2Sn*2

【答案】(1)證明