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文檔簡介
新高考數(shù)列大題優(yōu)質(zhì)練習(xí)
解答題(共50小題)
1.(2022秋?新泰市校級期中)已知數(shù)列{斯}是等差數(shù)列,其前〃項和為S“且滿足。什。5
=10,54=16;數(shù)列{仇}滿足:加+3歷+32歷+…+3"-1%=2,(nGN,).
3
(I)求數(shù)列{斯},{兒}的通項公式;
(II)設(shè)Cn=a,A:+-----------,求數(shù)列{5}的前N項和7".
anant-l
2.(2022秋?鄒城市期中)已知數(shù)列{斯},勾=2,且滿足“eN*,有a〃?a“+i=22"+i.
(1)求數(shù)列{“”}的通項公式.;
nn2n3nW
(2)若尻=斯(斯-1),設(shè)數(shù)列{為}的前〃項和為S〃,試求和:工-?卡??/_.
S1S2s3Sn
3.(2022秋?浙江月考)在下面三個條件中任選一個,補充在下面的問題中并作答.
;
①(〃+1)。"+1;@an+l=2,>/s^③-2+L=盧支)之
已知S,為數(shù)列{?!ǎ那啊绊椇?,滿足。1=1,a?>0,.
(1)求{斯}的通項公式;
(2)若b”=llg(斯+1)],其中田表示不超過x的最大整數(shù),求數(shù)列{瓦}的前100項和
Tioo.
=
4.(2022秋?麗水月考)在數(shù)列{a,J中,a\=—,an-an+]2an+]an(neN*).
3
(1)求數(shù)列{“”}的通項公式;
(2)求滿足不等式2a3+…(k€N*)成立的%的最大值.
5.(2022秋?寧波月考)已知數(shù)列{總的前"項和己滿足S"=2a”-2(〃CN*).
(1)求數(shù)列{“”}的通項公式:
b
(2)令bn=an-4n,求數(shù)列f-2-}的前n項和Tn.
an
6.(2022秋?溫州月考)已知數(shù)列缶“}是等差數(shù)列,ai=\,且圖,。5-1成等比數(shù)列.給
定在N*,記集合{,水〃6N*}的元素個數(shù)為
(1)求4,歷的值;
(2)求最小自然數(shù)"的值,使得4+歷+…+642022.
1/54
7.(2022秋?南山區(qū)校級期中)設(shè)等差數(shù)列{a”}的前"項和為為,已知55=35,且雨是m
與03的等比中項,數(shù)列{仇}的前n項和Tn=4n2+5rr
(1)求數(shù)列{斯}、{a}的通項公式;
(2)若。1<4,對任意〃€N*總有————十1+?**+-一1一<人恒成立,求
4Sb
4S[-b[4S2-b2n'n
實數(shù)人的最小值.
8.(2022秋?浙江月考)已知數(shù)列{斯}的前"項和為知,m=3,Sn=2+an+i.(?GN*).
(1)證明:數(shù)列{S〃-2}為等比數(shù)列;
“n+2
(2)設(shè)d=記數(shù)列{bn}的前"項和為Tn,證明:Tn<\.
(an+1+l)(2Sn-3)
9.(2022秋?上城區(qū)校級月考)已知各項均為正數(shù)的無窮數(shù)列{斯}的前〃項和為S",且滿足
2L
。1=1,nSn+1=(n+1)Sn+^Y^-(n€N*)-
(1)證明數(shù)列{“”}是等差數(shù)列,并求出{斯}的通項公式;
(2)設(shè)數(shù)列的,}滿足bn=-^-,證明:bl+b2+-+bn<y-
2Sn2
10.(2022?浙江開學(xué))已知數(shù)列{”“}的首項為a=上,對于任意的正自然數(shù)
12
42n
n,an+l^Tf
(I)求證:數(shù)列Q-1}為等比數(shù)列:
an
(H)若」<100,求滿足條件的最大整數(shù)〃.
ala2an
ajl,n為奇數(shù)
11.(2022?淄博一模)已知數(shù)列{斯}滿足:m=2,且a=一必(nCN)?設(shè)
n+1
2an,n為偶數(shù)
bn-Clin-1?
(1)證明:數(shù)列{瓦+2}為等比數(shù)列,并求出{瓦}的通項公式;
(2)求數(shù)列{詼}的前2〃項和.
12.(2021,3月份模擬)已知數(shù)列{斯}滿足ai=2,a?+i=L"-——-——,b"=a”--
22X3n3n-1
(1)求證:數(shù)列{d}是等比數(shù)列;
(2)設(shè)數(shù)列{〃”}的前〃項的和為S”求證:sn<L.
2
2/54
13.(2022?浙江開學(xué))已知數(shù)列{“”}的前〃項和為S”且做=1,S”=a“+i-l,數(shù)列{如}為
等差數(shù)列,且2a4=3歷+1,56=7加.
(I)求{“”}與{如}的通項公式;
b
(II)記c=—>求{cn}的前〃項和為T".
nan
14.(2021?廣州二模)已知等比數(shù)列{斯}的前〃項和為%,ai=l,S"+i+2S,」=3S“(〃22).
(1)求數(shù)列{“”}的通項公式;
(2)令]=皿一,求數(shù)列也"}的前〃項和%.
nSnSn+1
15.(2021?萍鄉(xiāng)二模)已知等比數(shù)列{斯}各項均為正數(shù),S,為其前〃項和.若對任意正整數(shù)
n,有Sn+2=4Sn+3恒成立,且6〃=log2a2〃.
(1)求數(shù)列{斯}的通項公式;
(2)令c=_■,求數(shù)列{Cn}的前〃項和T”.
nb"|
16.(2022?浙江開學(xué))已知數(shù)列{a,,}的前”項和為
Sn,a廣1,(n+3)Sn=nSn+1(n€N*)-
(1)求數(shù)列{〃”}的通項公式;
(2)設(shè)b=>L,T為數(shù)列{d}的前〃項和,如果對于任意的〃€N*恒有求/
nan11
的最小值.
17.(2022春?雅安期末)已知數(shù)列{a”}中,1=2,且對任意正整數(shù)機,1都有。.
(1)求數(shù)列{〃”}的通項公式;
>b2,
(2)若數(shù)列{加}滿足:…+(-1)n-1
an
2+122+12n+l
(i)求數(shù)列{為}的通項公式;
(訂)設(shè)Cn=3、tbn'若c"+i>Cn對任意"CN*恒成立,求實數(shù)f的取值范圍.
18.(2022秋?拱墅區(qū)校級月考)已知公差為d的等差數(shù)列{加}和公比夕<0的等比數(shù)列{6.}
中,a\=b\=\,。2+歷=3,。3+歷=2.
(I)求數(shù)列{斯}和?〃}的通項公式;
(II)令Cn=3an-b:(n€N*>抽去數(shù)列的}的第3項、第6項、第9項、…第3〃
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項、…,余下的項的順序不變,構(gòu)成一個新數(shù)列出},求數(shù)列B,}的前2023項和S2023.
19.(2022秋?浙江月考)已知數(shù)列伍”}的各項均為正數(shù),記S”為{斯}的前〃項和,
(1)求證:數(shù)列{、瓦}是等差數(shù)列,并求{斯}的通項公式:
(2)當(dāng)〃6N*,時,求證:-^―+-}
2121214
20.(2022?寶雞模擬)已知{斯}是等差數(shù)列,ai+a2+a3=12,04=8.
(1)求{斯}的通項公式;
(2)若對于任意"6N+,點4,(alt,%)都在曲線夕=2工上,過4,作x軸的垂線,垂足
為Bn,記△04,8”的面積為S”求數(shù)列{SJ的前n項和Tn.
21.(2022秋?重慶月考)已知數(shù)列{斯}滿足ai=l,an+i=3an+l.
(1)證明:卷}是等比數(shù)列,并求{斯}的通項公式;
(2)證明:3.
ala2a3an2
22.(2022秋?皇姑區(qū)期中)已知數(shù)列{”“}前〃項積為7,”且an+Tn=l(n£N*>
ard-l2
23.(2021秋?柳州月考)數(shù)列{〃〃}的前〃項和為S,”若m=2,點(S〃,Se)在直線y=
■—x-n-1(n€N*)匕
n
S
(1)求證:數(shù)列{」}是等差數(shù)列;
(2)若數(shù)列{與}滿足m=2%〃,求數(shù)列{加}的前〃項和
24.(2022秋?萊西市校級月考)記S“為數(shù)列{〃”}的前〃項和,已知內(nèi)=1,且數(shù)列
3
{4〃S〃+(2〃+3)是等差數(shù)列.
(1)證明:擊_}是等比數(shù)列,并求{斯}的通項公式;
4/54
3kLan,n為奇數(shù)
⑵設(shè)[=nmg*、,求數(shù)列{仇}的前2〃項和72”.
一,n為偶數(shù)
an
25.(2022秋?大連期中)已知數(shù)列{斯}是公比為2的等比數(shù)列,及,。3,04-4成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列{斯}的通項公式;
(2)若b=l+l°g2a二設(shè)數(shù)列付”}的前〃項和〃,求證:1W2V3.
nan
26.(2022秋?湖北月考)已知數(shù)列{斯}的前〃項和為S”滿足a,=-LS,,=S+----------
町2n+1°n2an+l
(1)證明數(shù)列&L}是等差數(shù)列,并求數(shù)列{a”}的通項公式:
an
(2)若數(shù)列{d}滿足bn=(2n+l)2?an,an+「求數(shù)列{加的前〃項和心
2
27.(2022秋?黃岡月考)已知數(shù)列{?!ǎ黜椌鶠檎龜?shù)且滿足a/-(?-1)a?-2n+n=0,
數(shù)列{d}滿足一=3,且瓦+1=3叢+3田.
(1)求{斯},也”}的通項公式;
(2)若Cn=b"+G”求{Cn}的前"項和T”.
28.(2022秋?張掖期中)己知數(shù)列{即}的前〃項和S”=-a”-(■1)"1+2,數(shù)歹北方}滿足
2
bn=2〃a〃.
(1)證明:數(shù)列仍〃}是等差數(shù)列;
(2)設(shè)Cn=-----------n(n+1)---------,求數(shù)列{Cn}的前"項和%.
n
2(n-an)(n+1-an+1)
29.(2022秋?金鳳區(qū)校級期中)設(shè)數(shù)列{即}的前〃項和為Sn,ai=2且an+i=2an,數(shù)列{d}
滿足[」-
b且*=3b+l-
1aln
(1)證明:數(shù)列?。堑炔顢?shù)列,并求{斯},仙"}的通項公式;
(2)設(shè)數(shù)列4)的前n項和為T,?求Tn.
30.(2022?南通模擬)已知數(shù)列{%}滿足:。1=1,且,其中“6N*,從①斯+1-2的
=n-\,②斯+1-?尸2"-1,③/生工=2+二旦三個條件中任選一個填入上面的橫線
an2n-n
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中,并完成下列問題解答.
(1)求數(shù)列{“"}的通項公式;
(2)設(shè)與=-----------------S,為數(shù)列{%〃}的前”項和,求S”.
n
(2-an)(n+2)
31.(2022秋?長春月考)已知數(shù)列{劭}滿足:“1=2,〃劭+1+(〃+1)=3+2)斯+(〃+1尸.
(I)證明:數(shù)列{-^^}是等差數(shù)列;
(II)設(shè)分產(chǎn)二手).,求數(shù)列?“}的前?項和Sn.
2口“
32.(2022秋?長沙期中)已知正項數(shù)歹U{。"}滿足幻=2且+[_6a:+anan+[=0.
(1)求數(shù)列{加}的通項公式;
n為奇數(shù)
(2)令b=]2,求數(shù)列{d}的前2〃+1項的和S2“+i.
na門,n為偶數(shù)
33.(2022秋?沙坪壩區(qū)校級月考)設(shè)數(shù)列{“"}滿足ai=2,a2=6,且斯+2=2斯+1-a”+2.等
差數(shù)列{瓦}的公差d大于0.已知。2=歷+3,且歷,歷,加成等比數(shù)列.
(1)求證:數(shù)列{?!?1-4”}為等差數(shù)列,并求{劭}的通項公式;
(2)求數(shù)列{-—}的前〃項和Tn.
bnbn4-l
34.(2022秋?郴州月考)已知數(shù)列{斯}中,3=1,其前〃項和為S”S“+i=3S"+l.
(1)求數(shù)列{“”}的通項公式;
(2)設(shè)6"=log3a”+i,若數(shù)列[——---}的前"項和為T”,求證:丁<—.
b"2114
35.(2022秋?襄陽期中)已知數(shù)列{斯}滿足2。1+22a2+…+2%"=〃義2"+2-2n+l+2.
(1)求{a,J的通項公式;
3a+4c1
(2)設(shè)加=---------------,證明:_2_Wbi+歷+…+與<」^.
an-i>、672120
92anan+lan+2
36.(2022秋?秦皇島月考)已知數(shù)列{a“}的前〃項和為S”,a\=2,當(dāng)〃2時,2(n-1)
2
Sn=2nSn-i+n-n.
(1)求數(shù)列m”}的通項公式;
(2)求證:---
ala2a3an3
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n<1
37.(2022秋?湖北期中)已知數(shù)列{念}的首項為4,且滿足a.1=4an-2'1若bn=弋一L
(1)求數(shù)列{加}的通項公式;
(2)數(shù)列{Cn}中,CI—4,對任意加,〃€N*,都有CnCm=3,求數(shù)歹(J{加?g}的前〃項
n-m
和S”.
2
38.(2022秋?煙臺期中)記S”為數(shù)列{斯}的前"項和,已知ai=l,S?=nan.
(1)求{斯}的通項公式;
(2)設(shè)d,T=52bb..ib..y求證:?
9anxni+2
zi=l4A
39.(2022秋?湖北期中)已知等差數(shù)列{斯}和等比數(shù)列{瓦}滿足的=2,3=4,金=21唯瓦,
”€N*.
(1)求數(shù)列S"},{辦}的通項公式;
(2)設(shè)數(shù)列{“”}中不在數(shù)列{d}中的項按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列{Cn},記數(shù)列{Cn}的前
”項和為S,,求S50.
40.(2022秋?湖南月考)記各項均為正數(shù)的數(shù)列伍“}的前〃項和是S”己知。/+斯=25”,〃
為正整數(shù).
(1)求{斯}的通項公式;
(2)設(shè)6”=tan(an)-tan(a?+i),求數(shù)列{a}的前“項和T”.
41.(2022秋?濰坊月考)在各項均不相等的等差數(shù)列{四}中,m=l,且可,°2,。5成等比
數(shù)歹IJ,數(shù)歹I{仇}的前n項和S,=2"+1-2.
(1)求數(shù)列{為}的通項公式;
(2)設(shè)數(shù)列⑸}的前〃項和加若不等式2〃+"2>3bg"(1
對任意的正整數(shù)〃恒成立,求實數(shù)。的取值范圍.
42.(2022秋?玄武區(qū)校級月考)設(shè)數(shù)列{斯}滿足ai=2,&=6,且a”+2=2a”+i-a”+2.
(1)求證:數(shù)列{念+1-斯}為等差數(shù)列,并求{a”}的通項公式;
(2)設(shè)hn=ancosim,求數(shù)列{仇}的前“項和Tn.
43.(2022秋?鞍山期中)已知數(shù)列{&”}的前"項和S"=3〃-1,數(shù)列{為}滿足加=-1,bn+i
=b”+(2n-1).
(1)求數(shù)列{斯}、出力的通項公式.
7/54
a.b
(2)若c=—~~工,求數(shù)列{Cn}的前〃項和心,
nn
44.(2022秋?濰坊月考)已知數(shù)列{即}中,at=2,當(dāng)時,(?-1)an=2nan.\.
(1)求數(shù)列{"”}的通項公式;
(2)設(shè)(:產(chǎn)蟲史),數(shù)列{.}中是否存在最大項與最小項?若存在,求出最大項與最
an
小項;若不存在,說明理由.
45.(2022秋?湖北月考)已知等差數(shù)列{斯}的首項內(nèi)>0,記數(shù)列{斯}的前"項和為
Sn(n€N*)'且數(shù)列的;}為等差數(shù)列?
s
(1)證明:數(shù)列段}為常數(shù)列;
aS
(2)設(shè)數(shù)列的前〃項和為T(n€N*)求{T"}的通項公式.
anarH-l11
46.(2022秋?遼寧期中)己知數(shù)列{斯}的前〃項和S"=〃2+〃.
(1)求數(shù)列{"”}的通項公式;
(2)設(shè),數(shù)列{5}的前〃項和為7”,是否存在正整數(shù)%,使得7”<乒-3女
anan*-2
對于正N+恒成立?若存在,求出左的最小值;若不存在,請說明理由.
47.(2022秋?湖北月考)已知數(shù)列{“”}滿足工,「-ac+~^3+…(?eN+).
31322333n
(I)求數(shù)列{斯}的通項公式;
(II)設(shè)6"=魄3斯,求數(shù)列{-------------}的前"項和為T".
bnbn+]b/2
48.(2022?開福區(qū)校級開學(xué))已知數(shù)列{如}的前〃項和為S”,且滿足(q-l)Sn=qan-1(q
>0),〃€N*.
(1)求數(shù)列{“”}的通項公式:
⑵當(dāng)夕=2時,數(shù)列{與}滿足b=,,釐—,求證:-7-<bi+b+-+b<2s
10Jn
nnkn+Uan2
(3)若對任意正整數(shù)〃都有成立,求正實數(shù)q的取值范圍.
49.(2021秋?沙坪壩區(qū)校級月考)已知數(shù)列{an}的前〃項的為S,,滿足
S-S<=-----------(n>2,n€N*)>m=l,“2=2.
nn1a.—an-l
(1)記》=斯斯+1,求{b〃}的通項公式;
8/54
(2)記Cn=log24"-log2a”+2,求{Cn}的前63項和763.
50.(2022秋?沈北新區(qū)校級月考)已知數(shù)列{。“}是等差數(shù)列,。2=3,?=6,數(shù)列{加}的前
”項和為S,且26"-S〃=2.
(I)求數(shù)列{〃"}、{為}的通項公式;
(H)記c=——包坦——,若數(shù)列{Cn}的前〃項和為T”,證明:T
nan*an+l*n<f
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新高考數(shù)列大題優(yōu)質(zhì)練習(xí)
參考答案與試題解析
一.解答題(共50小題)
1.(2022秋?新泰市校級期中)已知數(shù)列{斯}是等差數(shù)列,其前〃項和為S“且滿足。1+。5
=10,$4=16;數(shù)列{瓦}滿足:加+3歷+32的+…+3"-%“=2,(〃6N*).
3
(I)求數(shù)列{*},出”}的通項公式;
(II)設(shè)cn—anb,,+——-——,求數(shù)列{.}的前n項和T,,.
anant-l
【答案】(/)即=2〃-1,b,產(chǎn)工
3n
(IDi-
3n2n+l
【解答】解:⑺設(shè)等差數(shù)列{斯}的公差為力???。1+。5=10,54=16,
.?.2c“+4d=10,4m+64=16,
聯(lián)立解得ai=Ld=2,
J劭=1+2(/?-1)=2n-1.
數(shù)列{m}滿足:bi+362+32b3+???+3〃F6〃=旦,(z?GN*),
3
時,歷+3歷+32/+…+3獷2=注1,
3
相減可得3"一5”=工,解得與=」一
33n
(n)由(/)可得:Cn-anbn+——---—+---------------
211殘913n(2n-l)(2n+l)
1=1=1(1.1y
anan4-l(2n-l)(2n+l)22n~l2n+l
,數(shù)歹ijf-----------]的前n項和=—(1--?1■+???+—1---1—)=JL(1
anan*-l23352n_l2n+l2
—n
2n+l'
設(shè)數(shù)列{2n-l}的前n項和為An,則4產(chǎn)工+-^-+-^-+…+2n-1,
n
3332333n
L”=JL+-^_+_§_■+…+2n-3+2n-l,
331233343n3ttH
10/54
e(i
.?.斗,尸工+2(_1_+_U…+_L)-Q=L2X^3——2nJ_;
3332333n3nH31」3nH
3
化為4產(chǎn)1-史工.
3n
...數(shù)列{Cn}的前n項和Tn=\-空工+_!3—.
3n2n+l
2.(2022秋?鄒城市期中)已知數(shù)列{斯},4=2,且滿足〃6N*,有所?劭+i=22n+i.
(1)求數(shù)列{斯}的通項公式.;
nQ2n3nW
(2)若為=斯(a〃-1),設(shè)數(shù)列{d}的前〃項和為8,試求和:+/,+?./_.
SiS2s3$n
n
【答案】(1)an=2.
(2)3x(1-—1—).
22n+1-l
【解答】解:(1)???斯?即+1=22"+1,
...an+lan+2^.22tH-34=an+2
anan+lan
取”=1時,aia2=23,<71=2,解得。2=4.
al
???數(shù)列{板}是等比數(shù)列,首項為2,公比為2.
**?4〃=2”.
nH
(2)bn=anCan-1)=2(2-1)=4〃-2",
...數(shù)列9的前〃項和為s尸好也-2(2-1)=4'y-6><2'2,
4-12-13
...變==3x(1-1),
sn2(2n+1-l)(2n-l)22n-l2n+1-l
.?.2工1?=3*=
S1s2s3sn222-l22-l23-l2n-l2n+1-l
.lx(1-―l——).
22n+1-l
3.(2022秋?浙江月考)在下面三個條件中任選一個,補充在下面的問題中并作答.
11/54
①〃a”+i=an+\;②a+l=2\ls~;③("1)2.
nVnSnn
已知S,為數(shù)列{?!ǎ那啊椇停瑵M足。1=1,an>0,(D.
(1)求{如}的通項公式;
(2)若bn=Ug(即+1)],其中田表示不超過x的最大整數(shù),求數(shù)列{瓦}的前100項和
rioo.
【答案】(1)an=2n-\.
(2)147.
【解答】解:(1)選擇條件①.
由Na〃+1-(?+1)an—1>得(M+1)cin+2~(n+2)a"+i=l,
=
兩式作差得(M+1)(an+an+2)-2(M+1)an+i0>即即+。"+2=2%+1,
故{“〃}為等差數(shù)列,
當(dāng)〃=1時,由條件①知42-2m=l,6=3,故公差〃=。2-1=2,
所以an=2n-1,
選擇條件②,
當(dāng)〃=1時,可知0=1,a:+2an=4Sn-l,
當(dāng)〃22時,/.n=4。-1,
an-l+Zan-l"rrl1
兩式相減得&2+2a-a21-2a,=4(S-Si)=4a,
anzanan-lzan-l33n
即(an-an-i_2)=0,又?!?gt;0,所以
所以{〃〃}是1為首項,2為公差的等差數(shù)列,
所以an=2n-1,
選擇條件③,
SS
由31了=匾,得{匾}為常數(shù)列,
(n+1)nn
S
所以£=Sl=l,得Sn=n2,
n
當(dāng)〃》2時,an=n2-(n-l)2=2n-l,
又m=l也符合上式,所以斯=2〃-1.
12/54
(2)由(1)可得醫(yī)=[/g(2n)],
當(dāng)/g(2〃)=1時,〃=5;當(dāng)/g(2〃)=2時,”=50;當(dāng)/g(2〃)=3時,〃=500,
所以Tioo=[/g2]+[/g4]+…+[/g8]+[/glO]+-+[/g98]+[/gl00]+-+[/g200]=4X0+45X1+51X
2=147.
4.(2022秋?麗水月考)在數(shù)列{a,,}中,a-a?i=2a+ia(MGN*).
3n+nn
(1)求數(shù)列{斯}的通項公式;
(2)求滿足不等式2a3+…+飆飆*1〈二(k€N*)成立的人的最大值?
【答案】(1)劭=二^;(2)8.
2n+l
【解答】解:(1)由。”-斯+1=2。"+1即("6N*),可得一--—-^-=2,
an+lan
可得{工}是首項為3,公差為2的等差數(shù)列,則上-=3+2(n-1)=2/7+1,
anan
即有a——--;
n2n+l
(2)aa+\1=1(1
nn(2n+l)(2n+3)~22n+l
所以a102+0203+???i=A(A-A.+A-A.+...+—1—備)
235572k+l
=工(1--J-)<1,
232k+37
可得」即2k+3V21,即有kV9,
2k+321
則整數(shù)4的最大值為8.
5.(2022秋?寧波月考)己知數(shù)歹義而}的前"項和S,滿足a=2。"-2(〃WN*).
(1)求數(shù)列{“"}的通項公式;
b
(2)令b?^a?-4n,求數(shù)列{」?}的前〃項和T?.
an
【答案】⑴。“=2";(2)〃=〃-8+紅給.
2n-2
【解答】解:(I)在S〃=2a.-2中,令〃=1,則ai=2ai-2,即內(nèi)=2,
當(dāng)〃》2時,有S"j=2a”一1-2,
兩式相減得,an=2an-2an.\,即。"=2即一1(〃22),
所以數(shù)列{Z}是首項為2,公比為2的等比數(shù)列,
所以數(shù)列念=2?2"1=2".
13/54
(2)bn—an-4〃=2"-4〃,
所以%=21至1=1
an2n2n-2
設(shè)數(shù)列的前八項和為Q,?則T?=n-Q,?
2nT
而gn=-^-+—+—+--+--P-^.+—2—,
2-120212n72n-2
所以,,,+#]—+」—,
22°21222n-22n-1
n2[1-e)力
兩式相減得,..1-+」一+—+.1
2°2122
n+2
2n-1
所以5=8-n+2
n+2
所以Tn=n-Qn=n-8+
6.(2022秋?溫州月考)已知數(shù)列{&}是等差數(shù)列,m=l,且a”“2,a57成等比數(shù)列.給
定KN*,記集合{,冰〃6N*}的元素個數(shù)為塊.
(1)求6i,62的值;
(2)求最小自然數(shù)〃的值,使得61+62+…+仇>2022.
【答案】(1)61=2,歷=3;
(2)當(dāng)最小自然數(shù)〃的值為11時,使得加+歷+…+6Q2022.
【解答】解:(1)設(shè)等差數(shù)列{?”}的公差為",
Vai=l,且a”ai,怒-1成等比數(shù)列,
a2=q]?(--I),即(l+J)2=4d,解得d=l,
a2
??4〃=1+/7-1=〃,
:集合{砥〃6N*}的元素個數(shù)為bk,
.?.當(dāng)左=1時,集合{〃[1W〃W2,〃6N*}的元素個數(shù)為加,即歷=2;
當(dāng)k=2時,集合{川2<〃<4,〃eN*}的元素個數(shù)為歷,即仍=3,
故從=2,m=3;
(2)集合〃CN*}的元素個數(shù)為6,即集合〃6N*}的元素個數(shù)
為bk,
14/54
kn
/.bk=2-k+l,即bn=2-n+l,
二6+歷+…+b”=(2-1+1)+(22-2+1)+...+(2n-n+l)=(2+22+...+2n)-n(n+l)+〃
2
=2止2"),ni.+n_=2⑵-1)-nl+H>2022,
1-22222
2
令Cn=2,,+1-2-2L-+2L,
22
則C?+1-Cn=(2"+2-2-lutlll+Htk)-(2,,+I-1-直+旦)=2,,+1-n>0,
2222
;?數(shù)列{Cn}單調(diào)遞增,
2
當(dāng)*=10時,2(2"-l)-二_+且=2(210-1)-50+5=2001<2022,
22
2
當(dāng)〃=11時,2(2"-1)-匚_+匹=2(2"-1)--111_+里=4039>2022,
2222
當(dāng)最小自然數(shù)n的值為11時,使得bi+bz¥-+bn>2022.
7.(2022秋?南山區(qū)校級期中)設(shè)等差數(shù)列{“”}的前〃項和為S”已知S5=35,且函是m
與。13的等比中項,數(shù)列{劣}的前n項和Tn=4n2+5rr
(1)求數(shù)列{即}、出”}的通項公式;
(2)若。1<4,對任意"CN*總有———入恒成立,求
+-4---s---2--^---2---+??-4--4---S--------b----<^
4Sl-blnn
實數(shù)人的最小值.
【答案】(1)數(shù)列{斯}的通項公式”“=7或許=2〃+1,數(shù)列{方}的通項公式為6”=8"公;
(2)實數(shù)人的最小值為
2
【解答】解:(1)設(shè)等差數(shù)列{a,,}的公差為力
?.$=35,且04是41與。13的等比中項,
<
5a1+10d=35
/.<,即3d(3d-2〃i)=0,ai+2d=7,解得d=0或
a4=(ai+3d)2=a1(a]+12d)
d=2,
當(dāng)d=0時,a\=7,此時數(shù)列{〃〃}的通項公式a〃=7,
當(dāng)d=2時,m=3,此時數(shù)列{斯}的通項公式?!?3+2(?-1)=2〃+1,
數(shù)列」{d}的前n項和K=4n2+5n①,
當(dāng)N=1時,bi=Ti=9,
當(dāng)〃22時,7ki=4(n-1)2+5(n-1)②,
15/54
由①-②得時,氏=4〃2+5〃-[4(?-1)2+5(n-1)]=8〃+1,
當(dāng)M=1時,4=9,
,數(shù)列{b?}的通項公式為仇=8"+1;
(2)由(1)得〃”=7或。"=2〃+1,hn=8n+\,
...等差數(shù)列{a”}的前n項和為s,=n(3+2n+l)=〃(?+2),
2
11_=工f1_1
令Cn),
4Sn-bn4n2-122n-l2n+l
--+--1--+…+--1---=Cl+C2+...+Cn=L(1-—+A-
4S「b14S2-b24Sn-bn233
=工(1-
2n+l2
?.」(1--J_)隨n的增大而增大,
22n+l
.,.A(i--J_)<上恒成立,
22n+l2
11
:對任意"6N*總有.,+…+——-——<入恒成立,
_4S-b
4S[-b[4S2b2nn
.?.入三,
2
故實數(shù)人的最小值為工.
2
8.(2022秋?浙江月考)己知數(shù)列{斯}的前〃項和為S”0=3,S”=2+a”+i.(n£N*).
(1)證明:數(shù)列{Sn-2}為等比數(shù)列;
an+2
(2)設(shè)bn—記數(shù)列出"}的前n項和為T”,證明:Tn<\.
(an+1+l)(2Sn-3)
【答案】(1)證明過程請看解答;(2)證明過程請看解答.
【解答】證明:(1)在5"=2+。?+1中,令〃=1,有41=2+02,所以“2=1
由S”=2+a”+i,知當(dāng),?22時,S"-i=2+a”,
兩式相減得‘-a,”即(〃22),
所以數(shù)列S”}從第二項開始,是公比為2的等比數(shù)列,
3,n=l
所以
2n-2n》2
22Z,1
所以S?=3+1+2+2+—+2"-=3+.1£1Z221)=2-+2,
1-2
16/54
所以S"-2=2"i+2-2=2"F,是首項為1,公比為2的等比數(shù)列,得證.
,、“3,n=l..
(2)由(1)知斯=,,,S;=2"1+2,
告已n>2
(2n-1+l)[2-(2n-1+2)-3]
2n=2(1-1X
(2n-1+l)(2n+l)2n-1+12n+l
、一工、一一
所以7”=2K上」+(▲」+???+(——1d12
23352n-1+12n+l22n+l2n+l
<1,得證.
9.(2022秋?上城區(qū)校級月考)已知各項均為正數(shù)的無窮數(shù)列{加}的前〃項和為S“且滿足
n(1)
。尸1,nSn+1=(n+l)Sn+y(n€N*)-
(1)證明數(shù)列{a,,}是等差數(shù)列,并求出{a“}的通項公式;
+
(2)設(shè)數(shù)列{姍滿足證明:b1+b2-+bn<y-
2Sn*2
【答案】(1)證明
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