22.2二次函數(shù)與一元二次方程教師版

★★★★★☆22.2二次函數(shù)與一元二次方程★★★★★☆【新手目標】理解一元二次方程根的幾何意義，掌握二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系；知道拋物線與x軸的三種位置關(guān)系對應(yīng)一元二次方程的根的三種情況?！铩铩睢睢睢铌P(guān)卡21二次函數(shù)與一元二次方程/不等式★★☆☆☆☆【過關(guān)筆記】二次函數(shù)y=ax2+bx+c,當(dāng)y=0時，得到一元二次方程ax2+bx+c=0，所以拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點的橫坐標就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根；b24ac的取值b24ac＞0b24ac=0b24ac＜0二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象a＞0a＜0二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸的交點有兩個交點（x1,0）和（x2,0）有一個交點（b2a無交點一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情況有兩個不相等的實數(shù)根有兩個相等的實數(shù)根無實數(shù)根二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸的交點的三種情況，對應(yīng)著一元二次方程ax2+bx+c=0的根的三種情況：

【成長例題】例題11（2019·育才·第一次月考）二次函數(shù)y＝﹣x2+6x﹣9的圖象與x軸的交點坐標為（3，0）．例題12已知二次函數(shù)y＝?x2?2x＋m的部分圖象如圖，則關(guān)于x的一元二次方程?x2?2x＋m＝0的解為?3或1例題21（2019·七中·月考）將拋物線y＝x2+2x1向上平移a個單位后得到的拋物線恰好與x軸有一個交點，則a的值為（D）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2例題22若函數(shù)y＝（a?1）x2?2x＋1的圖象與x軸只有一個交點，則a的值為2或1．例題23（2021·一中·期中）若拋物線y＝x2+bx+c與x軸只有一個交點，且過點A（m，n），B（m+6，n），則n＝9．【解答】解：∵拋物線y＝x2+bx+c與x軸只有一個交點，∴當(dāng)x＝﹣時，y＝0．且b2﹣4c＝0，即b2＝4c．又∵點A（m，n），B（m+6，n），∴點A、B關(guān)于直線x＝﹣對稱，∴A（﹣﹣3，n），B（﹣+3，n）將A點坐標代入拋物線解析式，得：n＝（﹣﹣3）2+b（﹣﹣3）+c＝﹣b2+c+9∵b2＝4c，∴n＝﹣×4c+c+9＝9．例題31（2021·一中·期中）如圖，拋物線y＝x2+x﹣5與x軸交于點A和點B，點E為x軸下方拋物線上的一動點，當(dāng)S△ABE＝20時，求點E的坐標．【解答】解：E（﹣2，﹣5）或（0，﹣5）．例題32（2020·育才·月考）已知：拋物線的解析式為y＝x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m，（1）求證：此拋物線與x軸必有兩個不同的交點；（2）若此拋物線與直線y＝x﹣3m+4的一個交點在y軸上，求m的值．【解答】證明：（1）令y＝0得：x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m＝0①∵△＝（2m﹣1）2﹣4（m2﹣m）×1＞0，∴方程①有兩個不等的實數(shù)根，∴原拋物線與x軸有兩個不同的交點；（2）令：x＝0，根據(jù)題意有：m2﹣m＝﹣3m+4，解得m＝﹣1+或﹣1﹣．例題4（2020·一中·月考）已知函數(shù)y＝3﹣（x﹣m）（x﹣n），并且a，b是方程3﹣（x﹣m）（x﹣n）＝0的兩個根，則實數(shù)m，n，a，b的大小關(guān)系可能是（D）A．m＜n＜b＜a B．m＜a＜n＜b C．a(chǎn)＜m＜b＜n D．a(chǎn)＜m＜n＜b例題51（2020·一中·月考）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則函數(shù)值y＞0時，x的取值范圍是（D）51圖52圖A．x＜﹣1 B．x＞3 C．﹣1＜x＜3 D．x＜﹣1或x＞3例題52（2021·五中·期中）二次函數(shù)y1＝ax2+bx+c的圖象與一次函數(shù)y2＝kx+b的圖象如圖所示，當(dāng)y2＞y1時，根據(jù)圖象寫出x的取值范圍﹣2＜x＜1．例題53（2019·育才·第一次月考）二次函數(shù)y＝x2+bx的圖象如圖，對稱軸為直線x＝1，若關(guān)于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t為實數(shù)）在﹣1＜x＜4的范圍內(nèi)有解，則t的取值范圍是（C）A．t≥﹣1 B．﹣1≤t＜3 C．﹣1≤t＜8 D．3＜t＜8例題61已知拋物線y=2(k+1)x2+4kx+2k3與x軸有兩個交點，（1）求k的取值范圍；（2）當(dāng)拋物線經(jīng)過原點時，①求k的值；②當(dāng)y＞0時，求x的取值范圍。答案：（1）k＞3且k≠1；（2）k=1.5;x＞0或x＜1.2例題62（2020·一中·月考）如圖，拋物線y1＝﹣x2﹣x+c與直線y2＝x+b交于A，B（1，0）兩點．（1）分別求c，b的值．（2）求y1﹣y2的最大值．（3）求點A的坐標，并根據(jù)圖象判斷，當(dāng)x取何值時，y1＞y2？【解答】解：（1）∵拋物線y1＝﹣x2﹣x+c與直線y2＝x+b交于A，B（1，0）兩點，∴0＝﹣1﹣1+c，0＝×1+b，解得，b＝﹣，c＝2；（2）∵b＝﹣，c＝2，∴拋物線y1＝﹣x2﹣x+2，直線y2＝x﹣，∴y1﹣y2＝（﹣x2﹣x+2）﹣（x﹣＝﹣x2﹣x+＝﹣（x+）2+，即當(dāng)x＝﹣時，y1﹣y2取得最大值，即y1﹣y2的最大值是；（3），解得，或，∴點A的坐標為（﹣，﹣），由圖象可得，當(dāng)﹣＜x＜1時，y1＞y2．【過關(guān)練習(xí)】練習(xí)11（2021·五中·期中）已知二次函數(shù)y＝x2﹣2x+m（m為常數(shù)）的圖象與x軸的一個交點為（3，0），則關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的兩個實數(shù)根是（A）A．x1＝﹣1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝3 C．x1＝﹣1，x2＝1 D．x1＝3，x2＝﹣5練習(xí)12（2020·實驗·月考）根據(jù)下列表格的對應(yīng)值：x0.590.600.610.620.63x2+x﹣1﹣0.0619﹣0.04﹣0.01790.00440.0269判斷方程x2+x﹣1＝0一個解的取值范圍是（C）A．0.59＜x＜0.61B．0.60＜x＜0.61 C．0.61＜x＜0.62D．0.62＜x＜0.63練習(xí)2（2019·育才·第三次月考）在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y＝﹣x2+6x﹣9與坐標軸交點個數(shù)（B）A．3個 B．2個 C．1個 D．0個練習(xí)3已知二次函數(shù)y＝x2?2mx＋m2＋3（m是常數(shù)）．

（1）求證：不論m為何值，該函數(shù)的圖象與x軸沒有公共點；

（2）把該函數(shù)的圖象沿y軸向下平移多少個單位長度后，得到的函數(shù)的圖象與x軸只有一個公共點？解答：（1）證明：∵△＝（?2m）2?4×1×（m2＋3）＝4m2?4m2?12＝?12＜0，

∴方程x2?2mx＋m2＋3＝0沒有實數(shù)解，即不論m為何值，該函數(shù)的圖象與x軸沒有公共點；（2）解：y＝x2?2mx＋m2＋3＝（x?m）2＋3，

把函數(shù)y＝（x?m）2＋3的圖象沿y軸向下平移3個單位長度后，得到函數(shù)y＝（x?m）2的圖象，它的頂點坐標是（m，0），因此，這個函數(shù)的圖象與x軸只有一個公共點，

所以，把函數(shù)y＝x2?2mx＋m2＋3的圖象沿y軸向下平移3個單位長度后，得到的函數(shù)的圖象與x軸只有一個公共點．練習(xí)4（2020·十七中·第一次月考）如圖，直線y＝x+m和拋物線y＝x2+bx+c都經(jīng)過點A（1，0），B（3，2）．（1）求m的值和拋物線的解析式；（2）求不等式x2+bx+c＞x+m的解集．（直接寫出答案）【解答】解：（1）m＝﹣1，b＝﹣3，c＝2，y＝x﹣1，y＝x2﹣3x+2；（2）x2﹣3x+2＞x﹣1，解得：x＜1或x＞3．22.1二次函數(shù)與一元二次方程/不等式作業(yè)作業(yè)1（2020·十七中·第一次月考）若拋物線y＝x2﹣2x﹣3與x軸分別交于A，B兩點，則AB的長為4．作業(yè)2（2020·育才·期中）已知拋物線y＝ax2﹣2ax+3與x軸的一個交點是（﹣1，0），則該拋物線與x軸的另一個交點坐標為（3，0）作業(yè)3（2021·育才·期中）已知拋物線y＝x2﹣x﹣1與x軸的一個交點為（m，0），則代數(shù)式m2﹣m+99的值為100．作業(yè)4若二次函數(shù)y＝x2﹣mx的對稱軸是x＝﹣3，則關(guān)于x的方程x2+mx＝7的解是（D）A．x1＝0，x2＝6 B．x1＝1，x2＝7 C．x1＝1，x2＝﹣7 D．x1＝﹣1，x2＝7作業(yè)5二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c為常數(shù)）的圖象如圖所示，則方程ax2+bx+c＝m有實數(shù)根的條件是（A）5圖A．m≥﹣4 B．m≥0 C．m≥5 D．m≥6作業(yè)6（2020·育才·月考）二次函數(shù)y＝ax2+（2a﹣1）x+a+的圖象與x軸有兩個交點，則a應(yīng)為（B）A．a(chǎn)＞ B．a(chǎn)＜且a≠0 C．0＜a＜ D．以上都不對作業(yè)7二次函數(shù)y＝﹣x2+mx的圖象如圖，對稱軸為直線x＝2，若關(guān)于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t為實數(shù)）在1＜x＜5的范圍內(nèi)有解，則t的取值范圍是（D）A．t＞﹣5 B．﹣5＜t＜3 C．3＜t≤4 D．﹣5＜t≤4作業(yè)8二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖，則下列結(jié)論：①ac＜0；②方程ax2+bx+c＝0的兩根之和大于0；③y隨x的增大而增大；④a﹣b+c＜0．其中正確的是（D）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④作業(yè)9若關(guān)于x的一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）＝m有實數(shù)根x1、x2，且x1≠x2，有下列結(jié)論：①x1＝2，x2＝3②m③二次函數(shù)y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+m的圖象與x軸交點的坐標為（2，0）和（3，0）其中，正確的結(jié)論是（A）A．②③ B．② C．①② D．①②③【解答】②正確；①錯誤；③正確．作業(yè)10已知二次函數(shù)y＝﹣x2+3x+1，現(xiàn)有下列結(jié)論：①拋物線的開口向下；②其圖象的對稱軸為x＝1；③當(dāng)x＜時，函數(shù)值y隨x的增大而增大；④方程﹣x2+3x+1＝0有一個根大于4．其中正確的結(jié)論有（B）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【解答】解：①正確，②錯誤，③正確，④錯誤，作業(yè)11如圖，這是二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3的圖象，根據(jù)圖象可知，函數(shù)值小于0時x的取值范圍為﹣1＜x＜3．作業(yè)12已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c（b，c均為常數(shù)），當(dāng)x＝1時，函數(shù)有最小值．甲乙丙三位同學(xué)繼續(xù)研究，得出以下結(jié)論：甲：該函數(shù)的最小值為3；乙：﹣1是方程x2+bx+c＝0的一個根；丙：當(dāng)x＝2時，y＝4．若這三個結(jié)論中只有一個是錯誤的，那么得出錯誤結(jié)論的同學(xué)是乙【解答】解：∵當(dāng)x＝1時，函數(shù)有最小值，∴拋物線解析式為y＝（x﹣1）2+m，若甲的結(jié)論正確，則拋物線解析式為y＝（x﹣1）2+3，當(dāng)x＝﹣1時，y＝（﹣1﹣1）2+3＝7，此時乙的結(jié)論錯誤；當(dāng)x＝2時，y＝（2﹣1）2+3＝4，此時丙的結(jié)論正確；若乙的結(jié)論正確，把（﹣1，0）代入y＝（x﹣1）2+m得（﹣1﹣1）2+m＝0，解得m＝﹣4，此時甲的結(jié)論錯誤；當(dāng)x＝2時，y＝（2﹣1）2﹣4＝﹣3，此時丙的結(jié)論錯誤．故答案為乙．作業(yè)13二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的部分對應(yīng)值如下表：x…﹣3﹣20135…y…70﹣8﹣9﹣57…①拋物線的頂點坐標為（1，﹣9）；②與y軸的交點坐標為（0，﹣8）；③與x軸的交點坐標為（﹣2，0）和（2，0）；④當(dāng)x＝﹣1時，對應(yīng)的函數(shù)值y為﹣5．以上結(jié)論正確的是①②④．作業(yè)14（2020·十七中·期中）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c過A（0，2），B（1，3），CB⊥x軸于點C，四邊形CDEF為正方形，點D在線段BC上，點E在此拋物線上，且在直線BC的左側(cè)，則正方形CDEF的邊長為．【解答】解：把A（0，2），B（1，3）代入y＝﹣x2+bx+c得，解得，所以二次函數(shù)解析式為y＝﹣x2+x+2，設(shè)正方形CDEF的邊長為a，則D（1，a），E（1﹣a，a），把E（1﹣a，a）代入y＝﹣x2+x+2得﹣（1﹣a）2+（1﹣a）+2＝a，整理得a2+3a﹣6＝0，解得a1＝，a2＝（舍去），所以正方形CDEF的邊長為．作業(yè)15已知二次函數(shù)y＝（k?8）x2?6x＋k的圖象與x軸只有一個交點，求該交點的坐標．答案：（3，0）或（1/3，0）作業(yè)16（2021·九中·月考）如圖所示，已知y=x+1與坐標軸分別相交于B、D兩點，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過B、D兩點，及點（1，8）求拋物線的解析式（2）已知拋物線頂點坐標為A，鏈接AB，AD，求三角形ABD的面積（3）直接寫出不等式ax2+bx+c＜x+1的解集作業(yè)17已知二次函數(shù)y＝x2+ax+a﹣2，求證：不論a為何值，此函數(shù)圖象與x軸總有兩個交點．【解答】證明：令x2+ax+a﹣2＝0，∵△＝a2﹣4（a﹣2）＝a2﹣4a+8＝（a﹣2）2+4＞0，∴不論a為何實數(shù)，此函數(shù)圖象與x軸總有兩個交點．