中考數(shù)學(xué)拉分壓軸題專題12 二次函數(shù)與字母參數(shù)的關(guān)系（含答案與解析全國通用）

第第頁專題12二次函數(shù)與字母參數(shù)的關(guān)系拋物線y＝ax2＋bx＋c的圖象與字母系數(shù)a，b，c之間的關(guān)系：(1)a開口向上拋物線y＝ax2＋bx＋c的圖象與字母系數(shù)a，b，c之間的關(guān)系：(1)a開口向上(2)b左同右異(3)c拋物線與y軸的交點(diǎn)位置(4)a＋b＋c系列，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝ax2＋bx＋c＝a＋b＋c的位置；(5)判斷a與b的關(guān)系，看對稱軸；(6)b2－4ac>0看拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)；(7)判斷a與c，b與c，先搭建一個(gè)有關(guān)a、b、c的平臺(tái)，再利用對稱軸找到a與b的關(guān)系，替換掉不需要的字母，即出現(xiàn)目標(biāo)。(8)遇到新的參數(shù)比如：，關(guān)注最值就行。1．二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則應(yīng)滿足的條件是（）A．a(chǎn)＞0，b＞0，c＞0 B．a(chǎn)＜0，b＜0，c＞0 C．a(chǎn)＞0，b＜0，c＜0 D．a(chǎn)＞0，b＞0，c＜0【答案】D【解題過程】試題解析：根據(jù)開口向上可判斷a＞0，對稱軸在y軸左側(cè)可判斷b＞0，與y軸交于負(fù)半軸可判斷c＜0，故選D．2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，下列說法正確的是（）A．a(chǎn)bc＜0，b2﹣4ac＞0 B．a(chǎn)bc＞0，b2﹣4ac＞0C．a(chǎn)bc＜0，b2﹣4ac＜0 D．a(chǎn)bc＞0，b2﹣4ac＜0【答案】B【解題過程】解：根據(jù)二次函數(shù)的圖象知：拋物線開口向上，則a＞0，拋物線的對稱軸在y軸右側(cè)，則x=﹣＞0，所以b＜0，拋物線交y軸于負(fù)半軸，則c＜0，∴abc＞0，∵拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，∴△=b2﹣4ac＞0，故選B．【我思故我在】本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，熟知拋物線的開口方向確定a的符號(hào)，結(jié)合對稱軸可確定b的符號(hào)，根據(jù)與y軸交點(diǎn)確定c的符號(hào)，與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)確定b2-4ac的符號(hào)是解題的關(guān)鍵．3．已知二次函數(shù)，圖象的一部分如圖所示，該函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，對稱軸為直線，下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．若和均在該函數(shù)圖象上，且，則【答案】B【分析】根據(jù)拋物線與軸的一個(gè)交點(diǎn)以及其對稱軸，求出拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，再根據(jù)拋物線開口朝下，可得，進(jìn)而可得，，再結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)逐條判斷即可．【解題過程】解：拋物線的對稱軸為直線，且拋物線與軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，拋物線與軸的另一個(gè)坐標(biāo)為，把代入，可得：，解得，，故C錯(cuò)誤；拋物線開口方向向下，，，，，故A錯(cuò)誤；，，，又，，即，故B正確；拋物線的對稱軸為直線，且拋物線開口朝下，可知二次函數(shù)，在時(shí)，隨的增大而減小，，，故D錯(cuò)誤，故選：B【我思故我在】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)和一元二次方程的關(guān)系等知識(shí)，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想解題是關(guān)鍵．4．已知，二次函數(shù)圖像如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）①；②；③；④（其中，為任意實(shí)數(shù)）；⑤A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】D【分析】由圖像可知，，，根據(jù)對稱軸在拋物線的右側(cè)可得,即可得；根據(jù)對稱軸為得，即可得；當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，即可得，即可判斷；當(dāng)時(shí)，y有最大值：，所以當(dāng)時(shí)，，即，進(jìn)行計(jì)算即可得；當(dāng)時(shí)，，，即，即可得，綜上，即可得．【解題過程】解：由圖像可知，，，∵對稱軸在拋物線的右側(cè)，∴,即，故結(jié)論①正確；∵對稱軸為，∴即，故結(jié)論②正確；∵當(dāng)時(shí)，∴，∴當(dāng)時(shí)，，即，故結(jié)論③正確；∵當(dāng)時(shí)，y有最大值：，∴當(dāng)時(shí)，，即，，故結(jié)論④正確；當(dāng)時(shí)，，∴，即，∴，故結(jié)論⑤正確；綜上，①②③④⑤正確，正確的個(gè)數(shù)為5個(gè)，故選：D．【我思故我在】本題考查了二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)．5．如圖，拋物線的對稱軸為直線x=1，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(?1，0)，其部分圖象如圖所示，下列結(jié)論：①；②方程的兩個(gè)根是，；③；④；⑤當(dāng)時(shí)，y隨x增大而增大，其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（

）．A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)【答案】B【分析】由拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可對①進(jìn)行判斷；利用拋物線的對稱性得到拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），則可對②進(jìn)行判斷；由對稱軸方程得到b=-2a,即可得到2a+b=0，則可對③進(jìn)行判斷；由拋物線的位置可對④進(jìn)行判斷；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)對⑤進(jìn)行判斷．【解題過程】解：由圖象可知：拋物線的對稱軸為直線x=1，而點(diǎn)（-1，0）關(guān)于直線x=1的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），∴方程的兩個(gè)根是，，故②正確；故，即，故①正確；∵x=-=1，即b=-2a，∴2a+b=0，故③正確；∵拋物線開口向下，∴a＜0，∵對稱軸在y軸的右側(cè)，∴-＞0，∴b＞0，∵拋物線交y軸的正半軸，∴c＞0，∴abc＜0，故④錯(cuò)誤；∵拋物線的對稱軸為直線x=1，∴當(dāng)x＜1時(shí)，y隨x增大而增大，故⑤正確．綜上，①②③⑤共4個(gè)正確．故選：C．【我思故我在】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：對于二次函數(shù)（a≠0），二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小：當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線向下開口；一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab＞0），對稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab＜0），對稱軸在y軸右；常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)位置：拋物線與y軸交于（0，c）；拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)由△決定：＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；＜0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．6．二次函數(shù)圖象如圖所示，下列結(jié)論：①；②；③；④有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，其中正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．【解題過程】解：根據(jù)拋物線的開口朝下可知：，根據(jù)對稱軸是1：，得到：，，與y軸交于正半軸：，與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)：，頂點(diǎn)坐標(biāo)：（1,3），有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．綜上：，，，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．正確的是：①②④，共3個(gè)．故選：C．【我思故我在】本題考查二次函數(shù)圖像和系數(shù)之間的關(guān)系，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，利用數(shù)形結(jié)合的思想可以快速的解決此類問題．7．如圖，二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)C．則以下結(jié)論：①；②；③；④當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減少；⑤若方程沒有實(shí)數(shù)根，則．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)拋物線的開口方向與y軸的交點(diǎn)可判斷①；利用拋物線的對稱軸直線對稱軸判斷②；利用拋物線的對稱軸為，拋物線開口向上，可得到拋物線的最小值，進(jìn)而可判斷結(jié)論③；利用拋物線的增減性可判斷④；利用一元二次方程的判別式結(jié)合即可求解⑤．【解題過程】對于①：二次函數(shù)開口向上，故a＞0，與y軸的交點(diǎn)在y的負(fù)半軸，故c＜0，故ac＜0，因此①錯(cuò)誤；對于②：二次函數(shù)的圖象與x軸相交于A（?2，0）、B（4，0），由對稱性可知，其對稱軸為：，又對稱軸直線為，所以，所以因此，故②正確；對于③：∵拋物線的對稱軸為，拋物線開口向上，∴當(dāng)時(shí)，，∴，則∴因此③正確；對于④：∵拋物線的對稱軸為，拋物線開口向上，∴當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減少，則有當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減少，故④正確；對于⑤：∵若方程沒有實(shí)數(shù)根，∴＜0，解得，故⑤正確；∴正確的有②③④⑤，故選：C．【我思故我在】本題考查了二次函數(shù)的圖象與其系數(shù)的關(guān)系及二次函數(shù)的對稱性，熟練掌握二次函數(shù)的圖象性質(zhì)是解決此類題的關(guān)鍵．8．已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，有下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤方程的兩個(gè)根是和1；⑥．其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象，逐一進(jìn)行判定即可．【解題過程】解：由圖象可知：開口朝上：；對稱軸為：，∴，；與軸交于負(fù)半軸：；與軸有兩個(gè)交點(diǎn)：；與軸交于，故：；根據(jù)對稱性：與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為：；綜上：，①正確；，②錯(cuò)誤；，③正確；，④錯(cuò)誤；方程的兩個(gè)根是和1，⑤正確；，，故：，⑥錯(cuò)誤；綜上分析可知，正確的有3個(gè)，故A正確．故選：A．【我思故我在】本題考查二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系．熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，從圖象中挖掘有效信息是解題的關(guān)鍵．9．如圖是二次函數(shù)y＝ax2+bx+c圖象的一部分，其對稱軸是直線x＝﹣1，且過點(diǎn)（﹣3，0），下列說法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（，y2）是拋物線上兩點(diǎn)，則y1＜y2，其中說法正確的是（

）A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④【答案】A【分析】根據(jù)拋物線開口方向得到a＞0，根據(jù)拋物線的對稱軸得b＝2a＞0，則2a﹣b＝0，則可對②進(jìn)行判斷；根據(jù)拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸下方得到c＜0，則abc＜0，于是可對①進(jìn)行判斷；由于x＝2時(shí)，y＞0，則得到4a+2b+c＞0，則可對③進(jìn)行判斷；通過點(diǎn)（﹣5，）和點(diǎn)（，）離對稱軸的遠(yuǎn)近對④進(jìn)行判斷．【解題過程】解：∵拋物線開口向上，∴a＞0，∵拋物線對稱軸為直線x1，∴b＝2a＞0，則2a﹣b＝0，所以②正確；∵拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸下方，∴c＜0，∴abc＜0，所以①正確；∵x＝2時(shí)，y＞0，∴4a+2b+c＞0，所以③錯(cuò)誤；∵點(diǎn)（﹣5，）離對稱軸要比點(diǎn)（，）離對稱軸要遠(yuǎn)，∴，所以④錯(cuò)誤．故選：A．【我思故我在】本題主要考查了二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，二次函數(shù)(a≠0)，二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小，一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對稱軸的位置∶當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)(即ab>0)，對稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)(即ab<0)，對稱軸在y軸右．(簡稱∶左同右異)，拋物線與y軸交于(0，c)．熟練掌握二次函數(shù)的各項(xiàng)系數(shù)與對稱軸的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．10．已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，有以下結(jié)論：①；；；；其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】A【分析】由拋物線開口向下，與軸交于正半軸，可確定，．再根據(jù)對稱軸是直線，即，可確定，從而可判斷①④；根據(jù)當(dāng)時(shí)，即可判斷②；根據(jù)當(dāng)時(shí)，，即可判斷③；由，，即可判斷⑤．【解題過程】解：拋物線開口向下，與軸交于正半軸，，．對稱軸是直線，，，，故①④錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，．，故②錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，，故③正確；，．，故⑤錯(cuò)誤．綜上可知正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是1個(gè)．故選A．【我思故我在】本題考查二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是求解本題的關(guān)鍵．11．如圖，已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，其對稱軸為直線，以下4個(gè)結(jié)論：①；②；③；④（的實(shí)數(shù)）．其中正確結(jié)論的有（

）A．3個(gè) B．4個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】A【分析】由拋物線開口向下得到a＜0；由拋物線的對稱軸為直線x==1得到b＞0；由拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方得到c＞0，則abc＜0；觀察圖象得到當(dāng)x=-1時(shí)，y＜0，即a-b+c＜0；當(dāng)x=2時(shí)，y＞0，即4a+2b+c＞0；根據(jù)二次函數(shù)的最值問題得到x=1時(shí)，y有最大值a+b+c，則a+b+c＞am2+bm+c（m≠1），變形得到a+b＞m（am+b）．【解題過程】解：∵拋物線開口向下，∴a＜0；∵拋物線的對稱軸為直線x==1，∴b＞0；∵拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①正確；當(dāng)x=-1時(shí)，y＜0，即a-b+c＜0，當(dāng)x=1時(shí)，y＞0，即a+b+c＞0，∴（a-b+c）（a+b+c）＜0∴∴所以②正確；當(dāng)x=2時(shí)，y＞0，即4a+2b+c＞0，所以③正確；∵拋物線的對稱軸為直線x=1，∴x=1時(shí)，y有最大值a+b+c，∴a+b+c＞am2+bm+c（m≠1），∴a+b＞m（am+b），所以④錯(cuò)誤．故選：A．【我思故我在】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象為一條拋物線，當(dāng)a＜0，拋物線的開口向下，當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)值最大；拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c）．12．如圖所示的二次函數(shù)的圖象中，劉星同學(xué)觀察得出了下面四條信息：（1）；（2）c＞1；（3）；（4）．你認(rèn)為其中錯(cuò)誤的有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．1個(gè)【答案】D【分析】由拋物線與x軸交點(diǎn)情況判斷與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c與1的關(guān)系，然后根據(jù)對稱軸及a的范圍推理的符號(hào)，根據(jù)當(dāng)x＝1的函數(shù)值判斷的符號(hào)．【解題過程】解：（1）根據(jù)圖示知，該函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，∴；故本選項(xiàng)正確；（2）由圖象知，該函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)在點(diǎn)（0，1）以下，∴；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；（3）由圖示，知對稱軸；又函數(shù)圖象的開口方向向下，∴，∴，即，故本選項(xiàng)正確；（4）根據(jù)圖示可知，當(dāng)x＝1，即，∴；故本選項(xiàng)正確；綜上所述，其中錯(cuò)誤的是（2），共有1個(gè)；故選：D．【我思故我在】此題主要考查二次函數(shù)圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，會(huì)利用對稱軸的范圍求2a與b的關(guān)系，以及二次函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)換，根的判別式的熟練運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．13．如圖是二次函數(shù)的圖象，其對稱軸為直線，且過點(diǎn)．有以下四個(gè)結(jié)論：①，②，③，④若頂點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，y有最大值為2、最小值為，此時(shí)m的取值范圍是．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是(

)A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】A【分析】①：根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸，，即可判斷出；②：結(jié)合圖象發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值大于1，代入即可判斷；③：結(jié)合圖象發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值小于0，代入即可判斷；④：運(yùn)用待定